数值积分课件

《数值积分课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数值积分课件（37页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、数值积分第八章第八章 数值积分数值积分 近似计算近似计算 badxxfI)(思思路路插值多项式插值多项式 则积分易算。则积分易算。)()(xfxPn 问题的提出：问题的提出：();()f xf x的原函数不存在或不适宜计算只有的离散数据点数值积分 在在a,b上取上取 a x0 x1 xn b，做，做 f 的的 n 次插值次插值多项式多项式 ，即得到，即得到 nkkknxlxfxL0)()()(babaknkkdxxlxfdxxf)()()(0Ak bakjxxxxkdxAjkj)()(由由 决定，决定，与与 无关。无关。节点节点 f(x)插值型积分公式插值型积分公式数值积分 bankkxnba

2、nbanbankkkdxxxnfdxxRdxxLxfxfAdxxffR0)1(0)()!1()()()()()()(误差误差数值积分例：例：对于对于a,b上上1次插值，有次插值，有)()()(1bfafxLabaxbabx )()()(2221bfafdxxfAAabbaab 考察其代数精度。考察其代数精度。f(x)abf(a)f(b)梯形公式梯形公式解：解：逐次检查公式是否精确成立逐次检查公式是否精确成立代入代入 P0=1：baabdx111 2 ab=代入代入 P1=x：=代入代入 P2=x2：222abbadxx 2baab 3233abbadxx 222baab 代数精度代数精度=1数

3、值积分抛物型求积公式：二次插值求积公式：2b,b,2b()(b)2()()b()(b)2b()()()()b2 ()()bbb2()(b)()()2222bb ()()()2()()()22 ()aa ba.axxP xf aaaaaxaxxaxbaff baaaaba baaxxb f axaxb fb a区间二等分：作抛物线b ()()()2axaxf b数值积分 y=P2()y=f()a a+b/2 b SimpsonSimpson公式公式2()()()4()62babaabI fx dxf aff bP数值积分定定 义义若某个求积公式所对应的误差若某个求积公式所对应的误差R f 满足：

4、满足：R Pk=0 对对任任意意 k n 阶阶的多项式成立，且的多项式成立，且 R Pn+1 0 对对某个某个 n+1 阶多项式阶多项式成立，则称此求积公式的成立，则称此求积公式的代数精度代数精度为为 n。代数精度：代数精度：数值积分怎样验证代数精度：怎样验证代数精度：b0a2m2211 ()()()1,x,x,.,x 1()2.1()1nkkkkkkmmmkkf x dxA ff xAbaA xbaA xbamx一般地，若要使求积公式：具有m次代数精确度,只要对能精确成立。即数值积分注：注：形如形如 的求积公式至少有的求积公式至少有 n 次代数精度次代数精度 该该公式为公式为插值型插值型（即

5、：（即：）nkkkxfA0)(bakkdxxlA)(数值积分思考：思考：代数精度是否是越高代数精度是否是越高越好？越好？数值积分梯形公式的误差梯形公式的误差2,3 (),-()()-()()2 -()(,):12(-)a bbaf x b aR ff x dxf af bfa bCb a则：定若理数值积分定理证明133 ()2 a,b ():()()()()()6()12()()babaff(x)(x)(xa)(xb)(a,b)fxa(xb)dxfxa(xb)dx f R(f)fPabba 证 明：由 插 值 公 式 余 项：使积 分 中 值 定 理数值积分辛普森辛普森(Simpson)(Si

6、mpson)求积公式的误差：求积公式的误差：454 ,:462()288 0a,bba()f(x)baabR(f)f(x)dxf(a)f()f(b)(a,b)C(b a)f 若理则定数值积分思考：思考：结论是什么？结论是什么？怎么办？怎么办？数值积分复合求积：复合求积：高次插值有高次插值有Runge 现象，故采用分段低次插值现象，故采用分段低次插值 分段低次合成的分段低次合成的 复合求积公式。复合求积公式。复合梯形公式：复合梯形公式：),.,0(,nkhkaxnabhk 在每个在每个 上用梯形公式：上用梯形公式：,1kkxx 数值积分 11)()(2)(2nkkbfxfafh bankkkxf

7、xfhdxxf11)()(2)(=Tn),(),()(12)()(12)(1221213bafabhnfabhfhfRnkknkk /*中值定理中值定理*/nkxfxfxxdxxfkkxxkkkk,.,1,)()(2)(111 怎么办？怎么办？数值积分)()(4)(6)(1211 kkkxxxfxfxfhdxxfkkkx21 kx1 kx44444)()(2)(4)(6)(1010121 nknkkkbabfxfxfafhdxxf=Sn)(2180)4(4 fhabfR 注：为方便编程，可采用另一记法：令注：为方便编程，可采用另一记法：令 n=2n 为偶数，为偶数，这时这时 ，有，有hkaxh

8、nabhk ,2)()(2)(4)(3 koddkevenkknbfxfxfafhS 复合复合Simpson公式：公式：数值积分复化求积例：复化求积例：10n n?n?SxnIdxeT计算积分保留五位有效数字。试用计算，用计算242n11(,)()1212210baR fh fehT(4)(4).()()()(0 1)()()xf xfxxx,:fxxefef解14logelog61 log1.82807 682h h则数值积分复化求积例：复化求积例：1114loglog14401 log 0.318983 34ehh4-4n111(,)2880210R feSh两种方法谁好？两种方法谁好？数

9、值积分给定精度给定精度 ，如何取，如何取 n?通常采取将区间通常采取将区间不断对分不断对分的方法，即取的方法，即取 n=2k上例中上例中2k 68 k=7注意到区间再次对分时注意到区间再次对分时412)()(12122fRhafbffRnn 412 nnTITI)(3122nnnTTTI 可用来判断迭可用来判断迭代是否停止。代是否停止。数值积分5.2 5.2 高斯型积分高斯型积分0()()nbkkakf x dxA f x构造具有构造具有2n+1次代数精度的求积公式次代数精度的求积公式将节点将节点 x0 xn 以及系数以及系数 A0 An 都作为待定系数。都作为待定系数。令令 f(x)=1,x

10、,x2,x2n+1 代入可求解，得到的公式代入可求解，得到的公式具有具有2n+1 次代数精度。这样的节点称为次代数精度。这样的节点称为Gauss 点点，公式称为公式称为Gauss 型求积公式型求积公式。数值积分例：在两点数值积分公式中，如果积分点也作为未知量，在两点数值积分公式中，如果积分点也作为未知量，则有则有4 4个未知量个未知量,可以列出可以列出4 4个方程个方程：（在：（在-1,1-1,1为例）为例）1010,xxaa032021111133113001122112001111001110dxxxaxadxxxaxaxdxxaxadxaa可解出：可解出：31,31,1,11010 xx

11、aa数值积分公式数值积分公式)31()31(11fffdx具有3阶代数精度，比梯形公式1阶代数精度高数值积分推广：推广：n加权加权GaussGauss积分公式积分公式0()()()nbkkakx f x dxA f x权函数权函数数值积分例：例：求求 的的 2 点点 Gauss 公式。公式。dxxfx)(10 解：设解：设 ，应有，应有 3 次代数精度。次代数精度。101100)()()(xfAxfAdxxfx代入代入 f(x)=1,x,x2,x3 31130092211200721100521032xAxAxAxAxAxAAA2776.03891.02899.08212.01010 AAxx

12、不是线性方程组，不是线性方程组，不易求解。不易求解。数值积分 x0 xn 为为 Gauss 点点 与任意次数与任意次数不大于不大于n 的多项式的多项式 P(x)（带权）正交（带权）正交。nkkxxxw0)()(定理定理求求 Gauss 点点 求求w(x)数值积分证明：证明：“”x0 xn 为为 Gauss 点点,则公式则公式 至少有至少有 2n+1 次代数精度。次代数精度。bankkkxfAdxxfx0)()()(对任意次数对任意次数不大于不大于n 的多项式的多项式 Pm(x)，Pm(x)w(x)的次数的次数不大于不大于2n+1，则代入公式应则代入公式应精确成立精确成立：nkkkmkbamxw

13、xPAdxxwxPx0)()()()()(0=0“”要证明要证明 x0 xn 为为 Gauss 点，即要证公式对任意次点，即要证公式对任意次数数不大于不大于2n+1 的多项式的多项式 Pm(x)精确成立，即证明：精确成立，即证明：nkkmkbamxPAdxxPx0)()()(设设)()()()(xrxqxwxPm bababamdxxrxdxxqxwxdxxPx)()()()()()()(0 nkkkxrA0)(nkkmkxPA0)(数值积分 正交多项式族正交多项式族 0 0,1 1,n n,有有性质：任意次数不大于性质：任意次数不大于n n 的多项式的多项式 P P(x x)必与必与 n n

14、+1+1 正交。正交。若取若取 w(x)为其中的为其中的 n+1，则，则 n+1的根的根就是就是 Gauss 点。点。数值积分再解上例：再解上例：101100)()()(xfAxfAdxxfxStep 1：构造正交多项式构造正交多项式 2设设cbxxxaxxx 2210)(,)(,1)(53 a0)(10 dxaxx0),(10 1021102100)(53(0),(0)(0),(dxcbxxxxdxcbxxx 215910 cb即：即：215910)(22 xxx 数值积分Step 2：求求 2=0 的的 2 个根，即为个根，即为 Gauss 点点 x0，x1221/20)9/10(9/10

15、21;0 xStep 3：代入代入 f(x)=1,x 以求解以求解 A0，A1解线性方程组，解线性方程组，简单。简单。结果与前一方法相同：结果与前一方法相同：2776.0,3891.0,2899.0,8212.01010 AAxx 利用此公式计算利用此公式计算 的值的值 10dxexx2555.1 10dxexx2899.08212.0102776.03891.010eeeAeAxx 数值积分Matlab Matlab 积分函数积分函数函数名函数名功能功能quadquad采用采用SimpsonSimpson计算积分。精度高，较常用计算积分。精度高，较常用quad8quad8采用采用8 8样条样

16、条Newton-CotesNewton-Cotes公式计算积分。精度公式计算积分。精度高，最常用高，最常用trapztrapz采用梯形法计算积分。精度差，速度快采用梯形法计算积分。精度差，速度快cumtrapzcumtrapz 采用梯形法求一区间上的积分曲线。精度差，采用梯形法求一区间上的积分曲线。精度差，速度快速度快sumsum等宽矩形法求定积分。精度很差，速度快，一等宽矩形法求定积分。精度很差，速度快，一般不用般不用cumsumcumsum等宽矩形法求一区间上的积分曲线。精度很差，等宽矩形法求一区间上的积分曲线。精度很差，速度快，一般不用速度快，一般不用数值积分q=quad(fun,a,b

17、,tol,trace,p1,p2,)q=quad(fun,a,b,tol,trace,p1,p2,)q=quad8(fun,a,b,tol,trace,p1,p2,)q=quad8(fun,a,b,tol,trace,p1,p2,)参数参数funfun是被积函数是被积函数,可以是表达式字符串、可以是表达式字符串、内联函数、内联函数、M M函数文件名，被积函数的自变量一函数文件名，被积函数的自变量一般采用字母般采用字母 x x；a a、b b分别是积分的上、下限，都分别是积分的上、下限，都为确定的值；为确定的值；tol tol 是一二元向量，第一个元素控是一二元向量，第一个元素控制相对误差，第二

18、个元素控制绝对误差；制相对误差，第二个元素控制绝对误差；tracetrace若取非零值，将以动态图形展现积分的整个过程，若取非零值，将以动态图形展现积分的整个过程，若取零值，则不画图，其缺省值为若取零值，则不画图，其缺省值为0 0；p1p1、p2p2是是向被积函数传递的参数。向被积函数传递的参数。在调用函数时，前三个参数是必须的，其余在调用函数时，前三个参数是必须的，其余参数可缺省。参数可缺省。数值积分Matlab Matlab 积分函数积分函数符号积分：符号积分：数值积分5.3 5.3 积分方程的数值求解积分方程的数值求解()(,)()()baFredholmy tk t s y s dsf

19、 t积分方程：怎么求解？怎么求解？数值积分求解思路：求解思路：n用数值积分代替积分()(,)()()bay xk x s y s dsf x1(,)()(,)()bnkkkkak x s y s dsA k x xy x由1()(,)()()nkkkky xA k x xy xf x数值积分1()(,)()()nkkkky xA k x xy xf xkxx代入代入 1()(,)()()nkkkkkkky xA k xxy xf x未知未知数值积分()IK yf()()ky xy x精度与未知数个数？精度与未知数个数？数值积分作业：作业：思考题：1（a,b,c,d）习题：2（a，b），3（a,c）