正交多项式的性质及在科学计算中的应用

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1、正交多项式的性质及在科学计算中的应用摘要正交多项式是满足一定条件的多项式族。正交多项式是数学研究领域热点之 一。许多数学理论的突破，如 Bieberbach 猜想的证明，数据拟合，数学物理、 工程技术和函数逼近等领域的理论研究，都依赖于或应用了正交多项式的重要成 果。现正交多项式被广泛应用于数学物理，工程技术，科学计算，回归分析，概 率分布等领域。因此，对于正交多项式的研究具有重要的意义和价值。本文首先给出了正交多项式的定义，其次对勒让德(Legendre)多项式、切 比雪夫(Chebyshev)多项式、拉盖尔(Laguerre)多项式、艾尔米特(Hermite) 多项式的性质进行了探讨并对部

2、分性质进行了证明，最后对正交多项式在数据拟 合，最佳平方逼近以及在概率分析中的应用进行了讨论。关键词：正交多项式 勒让德(Legendre)多项式切比雪夫(Chebyshev) 多项式 拉盖尔(Laguerre)多项式 艾尔米特(Hermite)多项式 数据拟合 最 佳平方逼近 概率分析The Character of Orthogonal Plynomial and its Applicationin Scientific ComputationAbstractOrthogonal polynomial is a polynomial that satisfies some conditio

3、ns.Orthogonal polynomial is one of the hotspot in the field of mathematical research.Many mathematical theory, such as proof of the conjecture of Bieberbach, data fitting, mathematical physics, theory of engineering technology and function approximation are depends on the important achievements in t

4、he field or the application of orthogonal polynomials.Now the orthogonal polynomial is widely used inTpmathematical physics, engineering, scientific computing, regression analysis, probability distribution etc.Therefore, research orthogonal polynomials having great significance and value.Firstly, th

5、is paper gives the definition of orthogonal polynomials,.Moreover, it discusses on the Legendre polynomials, Chebyshev polynomials, Laguerre polynomials, Hermite polynomial and proves some properties .Lastly, the orthogonal polynomial in data fitting, the best square approach and application in prob

6、ability are discussed in this paper.Keywords: orthogonal polynomial, Legendre polynomials, Chebyshev polynomials, Laguerre polynomials, Hermite polynomial,data fitting,The best square approximation, probabilistic analysis目录前言1第1章正交多项式21.1 积分型正交多项式的定义和性质： 21.2 正交多项式的构造： 31.2.1 生成的集合31.2.2 施密特正交化31.3正

7、交多项式的性质： 4第2章常用的正交多项式62.1 勒让德(Legendre) 多项式62.1.1 首项系数62.1.2 性质72.1.3 Legendre 微分方程82.2 切比雪夫(Chebyshev)多项式92.2.1 第一类切比雪夫(Chebyshev)多项式92.2.2 第二类切比雪夫(Chebyshev)多项式122.3 拉盖尔(Laguerre)多项式132.3.1 定义：132.3.2 拉盖尔多项式的性质142.3.3 拉盖尔微分方程152.4 艾尔米特(Herm ite) 多项式152.4.1 定义152.4.2 性质152.4.3 Hermite 微分方程16第3章正交多项

8、式在科学计算中的应用173.1 正交多项式在数据拟合中的应用173.1.1 正交多项式最小二乘法拟合原理173.2 正交多项式在最佳平方逼近中的应用 233.2.1 最佳平方逼近 233.2.2 正交多项式的最佳平方逼近 253.2.3 最佳平方逼近的 MATLAB 实现283.3 正交多项式在概率分析中的应用 293.3.1 矩与概率分布的关系 293.3.2 极限状态函数的矩 303.3.3 极限状态函数的概率密度函数的正交多项式逼近 303.3.4 计算失效概率 31参考文献33前言正交多项式在国家数学研究中是一个非常活跃的领域，它与数学、物理以及 其它科学领域都有着密切联系。许多科学理

9、论山的突破都应用了正交多项式的重 要成果。这些正交多项式是当今数学研究中许多重要工作的有力支柱。另外在数学物理和工程技术的应用中常常遇到特殊函数，如勒让德、厄米尔、 拉盖尔、切比雪夫等多项式，它们都满足正交关系。这些正交多项式不仅在应用 方面，而且在理论研究上也有重要的作用。随着计算机的发展与普及，在科学研究与工程设计诸方面，以及科学实验之 后，科学计算显得越来越重要。“计算”本身是一个古老又现代的话题。在电子 计算机出现以前，人们为了“计算”而创造了许多工具。例如算盘，近代又研制 了机械计算机。而早于这些计算机的出现，数值方法就已经出现了。几百年来， Newton，Gauss，Euler，L

10、agrange 和 Chebyshev 等数学大师为其做出了杰出贡 献，尽管冠以这些数学家名字的许多理论与方法是后人逐步完善的。所以，任何 关于科学计算的文章想摆脱他们是不可能的。因此，本文中仍研究了这些以名字 命名的多项式。本文分为三章。第一章正交多项式，从整体上介绍正交多项式的性质。第二 章主要介绍了四种常见的正交多项式。主要介绍了勒让德多项式，切比雪夫多项 式，拉盖尔多项式以及额额米特多项式的性质，并对部分性质给出了证明。第三 章主要介绍了正交多项式在科学计算中的应用，主要介绍了在数据拟合中的应 用，在最佳平方逼近中的应用以及在概率分析中的应用。第 1 章 正交多项式1.1 积分型正交多

11、项式的定义和性质：若 f (x), g(x) g Ca,b, p (x)为a,b上的权函数，且(f, g) = Jb p (x) f (x) g (x) dx = 0a则称f (x)与g(x)在a, b 上带权p (x)正交1。1-1-1)设在a,b给定函数族P (x),p (x),.,p (x),.,且满足01n0, i 丰 k,人.?(i, k = 0,1,2,.)A , i = k,k1-1-2)则称函数族p (x)为a,b上带权p (x)的正交函数族。特别地，当A三1时，则nk 称该函数系为标准正交函数族。例如，三角函数族1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x,

12、.,为-兀,兀上的正交函数族。(1,1) = 2兀,(cos kx, cos kx) = (sin kx, sin kx)=兀，其他内积=0.定义1 ：设p (x)是a,b上首项系数a主0的n次多项式，p(x)为a,b上的权函数,nn若多项式序列p (x).，满足正交性(1-2)，则称p (x)L为以p (x)为权函数的n 0n 0a,b上的正交多项式序列，称p (x)为以p (x)为权函数的a,b上的n次正交多n项式。只要给定a,b上的权函数p(x),由I, x，xn，利用逐个正交化可得正交多项式序列：p (x) = 0, p (x) = xn -0n貫i( xn, P.)乙p , n =

13、1,2j 0(p ,p ) jj=0j j1-1-3)1.2 正交多项式的构造：1.2.1 生成的集合定义2：设(P (x)n为Ca,b中线性无关组，称集合ii=0Span p，,p = S(x) I S(x) = Y a p (x), a 为实数0 ni i ii=0为由p (x)n生成的集合。ii=0结论：(1) Spanp ,.,p u Ca,b;0n( 2 )H = Span 1, x,., xn是Spanp ,.,p 的特例。n0 n1.2.2、施密特正交化定理2：(1) 设 H = Span 1, x,., xn；n(2) w(x) 0是权函数,则由基1, x,., xn可构造以w

14、(x)为权函数的正交多项式组p (x),p (x),.,p (x)使得p (x)为首项(即xk项)系数是01nk1 的 k 次多项式，即fp (x) = 10p (x) = xk + t1 c p (x), k = 1,2,., n121kkj jj=0(xk ,p )其中系数 c =一 七,(j = 0,1,., k -1)kj(p ,p )jj证明：用递推法证明(1) 、令 p (x) = 1;0(2) 、构造p(x) = x + c p (x),且选取c门使(p,p) =(x,p) + c(p,p ) = 01 10 0 10 1 0 0 10 0 0(正交性)，即选取c二-(x，90)

15、10(9 ,9 )00(3)、设已构造9 (x),9 (x),.,9 (x),(k 1)，且满足：01k-1(a) 9 (x)是首项系数为1的i次多项式；i(b) (Q ,9 ) = 0 ,当 i 丰 j(i, j = 0,1,., k -1)ij由xk及9 ,9，,9 组合构造9 (x) = xk +艺c 9 (x)，选择系数c使01k -1kkj jkjj=00 = (9 ,9 ) = (xk,9 ) + (艺 c 9 ,9 ) = c (9 ,9 ) = (xk,9 ) + c (9 ,9 )，即k iikj j iki i iiki i ij=0cki护署,(i 二0,1，,k-1)i

16、i于是9 (x)n为a,b具有权函数w(x)的正交多项式组，即ii=0(9 , 9 ) = Jb w(x)9 (x)9 (x)dx = 0,当 i 丰 j。 i j aij1.3 正交多项式的性质：，性质1、9 (x)是具有最高次项系数为1的n次多项式。n性质2、任何n次多项式P (x) e H均可表示为9 (x),9 (x),., 9 (x)的线性组nn01n合。性质3、当k丰j时，(9 (x),9 (x) = 0，且9 (x)与任何一次数小于k的多项式 jkk正交。性质 4、成立递推关系9(x) = (x an + 1其中：)9(x)卩9(x)n n -1(n = 0 ,1,2 ,.)9

17、( x) = 0-1c _ (x申(x),申(x)1-3-1)1-3-2)nnn(申(x),申(x)nnn(9 (讪(兀)p = 祖加”(9(兀),9(x)n-1n-1例1-1】：对区间为-1,1及权函数P ( x) 1 + x 2 ,求由1, x, x 2, x 3正交化得到的正交多项式。解：9 (x) 10_(x ,1)一 x (1,1)( x,9 )9 (x) x - 91(9 , 9 ) 000J1 x (1 + x 2)dx一 x -J1 1(1 + x 2) dx19 ( x) 一 x 22也92 9(9 ,9 )111(x一 x2 1x 1,9 )9 r (x2, x)(x2,1

18、)0 9 一 x 2 x (9 ,9 ) 0(x, x)(1,1)00J1 x3 (1 + x2 )dxJ1 x 2(1 + x 2) dx(x3,9 )9 (x) 一 x 3 二 93(9 , 9 ) 222(xJ1 x 2(1 + x 2) dxJ1 1(1 + x 2)dx,9 )9(9 ,9 )111(x3,9 ) 9 o 9(9 ,9 )0009一 x 3 x14第 2 章 常用的正交多项式21、勒让德（Legendre）多项式定义1,2n 次多项式 P (X) =(X2 1)n , (n = 0,1,2,.)称为 Legendren2nn! dxn多项式，且有p (X)=1= p

19、(X)00p1( X) = X = p1( X)1 31 13p (X) = x 2 = (X)2 22 2 22 3 5 p (X) =X 3 x = (X)3522 3、丿2-1-1)2.1.1 首项系数p (X)的首 项系数a二丄缨”,若申(X) = (X2 1)n ,则 有 nn2n n! n!d 2 n申(X) = (2n)!dX2n事实上，申(X) = 2nX 2 n1 + 申(X) = 2 n (2 n 一 1) X 2 n - 2 +.申(n) (x) = 2n(2n 1).(2n (n 1)x2nn + 2 n (2 n 1)(n +1) n 2 1=Xn + n!(2 n)

20、!丄Xn +n!申(2n)(x)二 2n(2n 1)(n +1)n2-1 二(2n)!1(2 n)!2n n! n!2.1.2 性质性质1正交性证明：0, m 丰 n2,m 二 n.2n +1当m主n时，不妨m (P , P )n nnn nk k k n n-1k =0证毕。2.1.3 Legendre 微分方程(1 - x2)y一2xyf + n(n +1)y = 0,n e N,P (x) =1,0P ( x ) = x,1P (x) =1 (3x2 -1),22P (x) = (5 x2 - 3 x),32P (x) = (35x4 - 30x2 + 3),48P (x) = (63x

21、5 - 70x3 +15x),58P (x) = (231x6 - 315x4 +105x2 - 5),6 162.2、切比雪夫( Chebyshev )多项式221、第一类切比雪夫(Chebyshev)多项式1)定义 3 ：当区间为-1,1,权函数p (x)=时，由序列(x,xn，k交化得到的1 x22-2-1)正交多项式就是第一类切比雪夫(Chebyshev)多项式。它可表示为T (x)二 cos(n arccosx), Ixl 1. n若令x二cos9 ,当x在-1,1上变化时，对应的9在0,兀上变化，其可改写成T (x) = cos nx,0 9 1)令 x = cos 9 ，既得。性

22、质2 T (x)对零的偏差最小。即在区间-1,1上所有最高项系数为1的一n切n次多项式中,12 n-1T (x)与零的偏差最小，其偏差为n12 n-1证：由于(x)二丄 T (x) = xn - P (x)n2 n-1 nn-11 1 max |o (x)| =max |T (x)| =-1 x 1 n2 n-1 -1 x1 n2 n-1且点 x = cos 兀kn(二0,1,n)是T (x)的切比雪夫交错点，区间-1,1上xnn在H 中最佳逼近多项式为P (x),即o (x)是与零的偏差最小的多项式。 n -1n-1证毕。性质3 T (x)的首项xn的系数为2 n-1 (n二1,2,n)n性

23、质4 T (x)在-1,1上有n +1个不同的点nx = cos , ( = 0,1,2,n) n轮流取得最大值1和最小值-1, x称为交错点组。定理3：设T (x)是首项系数为1的切比雪夫多项式，则nmax T (x) maxn-1 x1-1 x 1|P(x)|, VP(x) e H ,n2-2-2)max T (x)=-1 x 1 n2 n -1定理表明在所有首项系数为1的n次多项式集合H中,n引co=min|P(x)| ,peHng所以T (x)是H中最大值最小的多项式，即nnmax T (x)二 min max|p(x)| 二丄2 n-1-1 x1npeHn -1 x1求f (x) =

24、 2x3 + x2 + 2x-1在-1,1上的最佳2次逼近多项式。解：最佳逼近多项式p( x)应满足max | f (x) - p (x )| = min.-1 x111由上述定理知，当一(f (x)-p(x) =T (x)222 313即 当f (x) - P(x) = -T (x) = 2x3 -x时，与零偏差最小，故2 3 217p (x) = f (x) - - T( x) = x2 + - x -1就是f (x)在-1,1上的最佳2次逼近多项式。【注】：由于切比雪夫多项式是在区间-1,1上定义的，对于一般区间a,b，要通过变量替换变换到-1,1，可令1x =(b - a )t + a

25、 + b,2则可将x g a,b变换到t g -1,1.性质5切比雪夫多项式T (x)在区间-1,1上带权p (x) 一k正交，且Y 1 x20,冗29 兀,n丰m;n = m 丰 0;n = m = 0.2-2-3)令 x = cos0 ,则 dx = -sin0d0,于是J1 竺竺=J- cos n0 cos-1 1 x 200,兀m0d0 = ,2兀,n丰m;n = m 丰 0;n = m = 0.性质6 T (x)只含x的偶次幂，T (x)只含x的奇次幂。2k2k+1性质7 T (x)在区间-1,1上有n个零点nx = cosJe , k = 1, , n. k2n2-2-4)xn可用

26、T ,T,T的线性组合表示，其公式为xn0 1 n(x)其具体的表达式为1=T0x=T1x 2 =(T + T )2 0 2x3 = -(3T + T)413x4 = -(3T + 4T + T )8024x5 =丄(10T + 5T + T )161353) 第一类 chebyshev 微分方程(1 x2)y xy + n2y = 0,n e N,T (x) =1,0 T ( x) = x,1T ( x) = 2 x 定义 3： 在区间1,1上带权p (x) = i x2的正交多项式称为第二类切比雪夫多项 1,2T (x) = 4x式，其表达式为 3x,3T (x) = 8x4 8x2 +1

27、,4T (x)=16x5 20x3 +5x,5T (x) = 32x6 48x4 + 18x2 1,6222、第二类切比雪夫(Chebyshev )多项式2-2-5)sin(n +1) arccos x U (x)=v 1 x2由x = cos0 ,可得11 U (x)U (x) T 1 x2 dxnm=J 兀 sin(n +1)0 sin(m + 1)0d00m 丰 n, = 兀.m = n.2即U (x)是1,1上带权J-x2的正交多项式族，还可得到递推关系式nU (x) = 1,U (x) = 2x,01U (x) = 2xU (x) U (x)(n = 1,2,)n+1nn12) 第二

28、类 Chebyshev 微分方程(1 x2)y一3xy y + n(n + 2)y = 0,n e N,U (x) =10U ( x ) = 2 x,1U (x)=4x21,2U ( x) = 8 x3 4 x,3U (x) = 16x4 12x2 +1,4U ( x) = 32 x5 32 x3 + 6 x,5U (x)=64x680x4+24x21,623、拉盖尔(Laguerre)多项式2.3.1 定义6,7 ：称下面多项式为拉盖尔(Laguerre)多项式d n(xnex )L (x) = ex -ndxnn = 0,1, 2-3-1)2.3.2 拉盖尔多项式的性质性质1 L (兀)是

29、x的n次多项式，其首项系数为a = (-1)nn性质2 L (x)是0,+8)上带权e-x的正交多项式系，满足正交关系n彳I 0, m丰n,(L , L ) = f +se-xL (x)L (x)dx 斗m n一sm n|(n!)2, m = n.2-3-2)证明】：用 e-x 乘 xL(x) + (1 x)L (x) + nL (x) = 0 得nnne-x xL(x) + (1 - x)L (x) + ne-xL (x) = 0nnnxe-xL (x) + ne-xL (x) = 0nn用 L (x)乘xe-xL (x) + ne-xL (x) = 0mnn用 L (x)乘xe-xL (x

30、) + me-xL (x) = 0nmmL (xe-xL) + ne-xL L = 0mnm nL (xe-xL) + me-xL L = 0nmm n两式相减(n m)e-xL L dx = L (xe-xL)- L (xe-xL )dx 0m n0 nmmn分部积分L (xe-xL)- L (xe-xL )dx0 nmmn=L (xe-xL ) 一 L (xe-xL)nmmnn (n - m) e-xL L dx = 0 0m ns卜xe - xL L - xe - xL L dx = 00 on mm nne-xL (x)L (x) = 00mn性质3 L (x)满足递推公式nL (x)

31、三 1; L (x) = 1 - x; 0 1L (x) = (2n +1 - x)L (x) - n2L (x), n = 1,2,n +1nn-12-3-3)2.3.3 拉盖尔微分方程xy + (1 一 x) y + ny = 0,n g N,L (x) = 1,0L (x) = 1 - x,1L (x) = x2 一 4x + 2,2L (x) = -x3 + 9x2 一 18x + 6,3L (x) = x4 一 16x3 + 72x2 一 96x + 24,4L (x) = 一x5 + 25x4 一 200x3 + 600x2 一 600x +120,524、艾尔米特(Hermite

32、)多项式2.4.1 定义8称下面的多项式为艾尔米特(Hermite )多项式2-4-1)2-4-2)H (x) = (-1)nex2 d(e一),n = 0,1,ndxn242 性质性质1 H (x)是x的n次多项式，其首相系数为a = 2” nn(H ,H ) = J+cof(x)H (x)H (x)dx = L 一 n m一8mn12nn!电兀,性质2 H (x)是(-8,+8)上带权e-x2的正交多项式系，有 nm丰n,m = n.注】：设f (x)为定义在(-8,+8)上的函数，且满足(1) f (x)在任何有限区间(-a,a)内都是分段光滑的函数；(2) j+8|x|e-x2f2(x

33、)dx +8一8在连续处有g x 0,造出带权函数正交的多项式0 1 mP (x)。注意n m，用递推公式表示p (x)，即 nkP (x)二 1,0P(x) = (x-a )P (x),(3-1-1)1 1 0P= (x-a )P (x) - P P (x)(k = 1,2,n一 1)k +1k+1 kk k-1这里的P (x)是首项系数为1的k次多项式，根据P (x)的正交性，得kkak+1迟 P(x )x P 2(x )i i k i=40迟 P(x )P 2(x )i k i(xP (x), P (x)kk(P (x), P (x)kkPk区 p(x )P 2(x )i k i学区 P

34、(x )P 2(x )i k -1 i护笛(k = 02,n -1)k-1 k-13-1-2)i=0根据公上式逐步求P (x)的同时，相应计算系数k(f, P)k -=(P, P)kkP (x 加(x 加(x )i j i k i(k = 0,1,n)尢 p (x m 2( x)i k ii=03-1-3)并逐步把a * P (X)累加到S(X)中去，最后就可得到所求的拟合函数曲线 kky 二 s(x)二 a *P (x) + a *P(x) + + a *P (x)(3-1-4)0 0 1 1 n n【例3-H : 给定一组实验数据如下:xi1.22.84.35.46.87.9yi2.111

35、.528141.972.391.4利用正交多项式求最小二乘拟合函数.解 根据图 3-1，可取幂函数g (x)二 axb作拟合函数，其中a,b为待定参数。令申(a,b) = f (axb - y )2,iii=0求a *, b*使申(a *, b*) = min (p (a, b)a ,beR +(R +是正实数的集合)。由极值必要条件得方程组工(axb -y )xb = 0ii i彳i=0工(axb - y )axb ln x = 0.ii iii=0这是关于a,b的非线性方程组.我们也可以将问题转化为线性问题求解，对y = axb两边取对数有lg y = lga+blg xw 二 lg y,

36、 z 二 lg x ,c 二 lg a.上式化为w = c + bz由(x , y )可得到相应的(z , w),有如下数据表：i i i izi0.07920.44720.63350.73240.83250.8976wi0.32221.06071.44871.62221.85911.9609可得如下法方程组：J6c + 3.62224b = 8.2738, 3.6224c + 2.6427b = 5.9135,解得c = 0.1624,b = 2.0150.从而a =10c = 1.4534,y = 1.4534x2.0150即为所求。比较拟合值(y)、实验值(y )并算出个点的误差(8 )

37、如下表:i i ixi1.22.84.35.46.87.9y.i2.111.528.141.972.391.4yi2.09911.57427.47243.47369.17593.5768i-0.0010.074-0.6281.573-3.1252.176需要指出的是，拟合一组数据可以采用不同的函数，然后按误差大小或问题的实际背景决定是否使用计算的结果或改变拟合函数。3.1.2、算法实现流程图开始读取点集x,y和n数据调用QR分解函数求的多项式 系数”输出多项式系” / 结束算法计算 y (x ) = a p (x )i = 0,1,nm ij j ij=0inputm, n,x n,(p )n

38、,f ni 0 i 0 i 0outputa m,a m,0 m-1, y ( x )nj 0 j 1 j 0 m i i =0stepl set 卩=0;d =Xp00ii=0step2 for i = 0,1,nset p (x )=0;p (x )=1;y (x )=0.-1 i0 im istep3 for j = 0,1,m do steps 49step4 set v = X p f p (x ) ji i j ii=0a = v /d j j jstep5 for i = 0,1，,nset y (x ) = y (x ) + a p (x )m i m i j j istep6

39、 if j 主 m then do step 79step7 set a =Xp xp 2(x)/dj+1i i j i ji=0step8 for i = 0,1,nset p(x) = (x -a )p (x )卩 p (x )j +1 iij +1j ij j -1 istep9 set d=Xp p (x )2j+1i j +1 ii=0B = d / dj +1j+1jstepl0output( a m,a m,B m -1 , y (x )n );j 0 j1 j 0 m i 0stop.过程：clearx = 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000 2.5000

40、3.0000y=1.75 2.45 3.81 4.80 8.00 8.60 x1=0.5:0.05:3.0;p=mypolyfit(x,y,2)y1=p(3)+p(2)*x1+p(1)*x1.人2;plot(x,y,*) hold onplot(x1,y1,r)3.2 正交多项式在最佳平方逼近中的应用3.2.1、最佳平方逼近 4,5,9 函数的最佳平方逼近是内积空间最佳逼近的一个特殊情况。设L2a, b表示在区间a, b上的关于权函数w( x)平方可积的函数空间Jb w(x) f 2(x)dx 0(x G (x,b)为权函数。设f,g e L2a,b,引入内积(f, g) = J bw( x)

41、 f (x) g (x)dxaIlf II2内积导出的范数为=卩 b w( x ) f 2( x ) dx 2 aL2a,b中的最佳逼近问题是：设V u L2a,b,V二span(p ,p , p .对 nn12 nf e L2a, b,求 p* (x) = Y c *p (x)，使对于任何 p eV，都有 i ini=1|f -叫-llf pl2这时称p* (x)为f (x)在区间a, b关于权函数w( x)的最佳平方逼近，简称为最佳平方逼近。由内积空间最佳逼近理论知，这时求c * (j = 1,2,n)的正规方程组为jY (申,申)c * =(申,f), i = 1,2,n(3-2-1)i

42、 j jij=1一般方法：设f (x) g Ca,b,函数列(p ,p，,p 在a,b上线性无关，则f (x)在a,b上01 n的最佳平方逼近为寻求一个p(x) = a p (x)，使其满足 kkk=0Jb P (x) f (x) - p(x)2dx = min,(3-2-2)aP (x)是a,b上的权函数。p (x),p (x),p (x)称为最佳平方逼近基函数。系数01na (k = 0,1,n)由法方程组 kJ b P( x) f ( x)p (x)dx aj=工 a JbkaP (x)p (x)p (x) dx, j = 0,1,nkj3-2-3)(p ,p )00(p ,p )n0(

43、p0,pn)(p ,p )nn(f,p0)( f,p )n3-2-4)确定。【例3- 2】：求 y = arctan x 在区间0,1上的最小二乘一次式。解 设y = arctanx在区间0,1上的最小二乘一次式p(x) = a + a x，则按 01照方程(3 - 2 - 4)，注意p (x) = 1,p (x) = x,有 01(申,申)=f11dx = 10 00(申,申)=f1 xdx =0 102(申,申)=f1 x 2 dx =1 103兀 1(申,f) = J1 arctan xdx = 一一 In 2004 2兀 1(甲,f) = J1 x arctan xdx =-i 042

44、因之，正规方程组为丄1兀一-2a + a 一 ln 2 0.04290931164大于相应的最佳一次一致逼近误差 0.035557318.3.2.2、正交多项式的最佳平方逼近在正则方程 瓦工j =0 i=0%(xi) f, ki=0申(x)取以p (x)为权的正交多项式p (x)，则系数矩阵元素d jjd =Yp p (x ) p (x )jki j i k i1=丫 pipk(xi)f0,1, , m 中，如果和自由项 v 满足k(3-2-5)i=0i=0利用PS）的正交性，当j丰k时，j 0。于是，正则方程的系数矩阵呈对角线型，可直接解未知量va（m）= j- jdjj回避了求解病态系数矩

45、阵的线性方程组。其次，上式的左端与m有关，而右j 二 0,1,m3-2-6)端表达式与m无关，只是下表j的取值范围在0 j m。因此，用m +1代替m仍va(m+1)= 匚j = 0,1，,m +1jdjj于是，a m = a m+1, j = 0丄,m.在a（m）m计算出来之后，只需计算d 和j jj 0m +1,m+1V就可以得到a（m+1）m+1。当逼近多项式的次数预先不能确定时，使用上式对 m +1j 0计算a m十分方便。省略a m的上标m，得jjva =jdjjd =Yp p 2( x )jji j ii=0V = X P p (x )fji j i ii=0可以得到正交多项式的三

46、项递推关系p(x) = (xa )p (x)-p p(x)k +1k +1kk k 一1p = 0, p (x) = 1, k = 0,1,m一103-2-7)计算P (x )n , j = 0,1,m.式中 0 = 0j i i =00Xx p(x )pXp (x )2 pi k 一1 i ik i i= Xp(x )2pXp(x )2pk 一1i ik 一1 ii =0i =0k = 1,2,m 一 1工 x p (x )2 pi k i i=4=0工p(x )2 pk 一1iii=0得正交多项式的最佳平方逼近公式ak+1k = 0,1,2,m 一 1y (x) = a p (x) m j jj=03-2-8)【例3 - 3】：用勒让德展开求f (x)二ex在-1,1上的最佳平方逼近多项式(取n二1,3 )解： 先计算：(f, P ) = J1 exdx = e 一 e-1 沁 2.35040一1(f, P) = J1 xexdx = 2e-1 0.73581 一131(f, P ) = J1 (- x2 - -)exdx = e - 7e-1 沁 0.14312-1 22(f, P) = J1 (- x3 - 3 x)exdx = 37e-1 - 5e 沁 0.020133-1 22由( 3-2-8 )可算出a * =1.1752, a * =1.1036,