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1、杨辉三角的规律以及定理1 二项式定理与杨辉三角与杨辉三角联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律，即。杨辉三角我们首先从一个二次多项式（a+b）2的展开式来探讨。由上式得出：（a+b）2=a2+2ab+b2此代数式的系数为：1 21则（a+b）3的展开式是什么呢？答案为:a3+3a2b+3ab2+b3由此可发现，此代数式的系数为：13 31但似乎没有什么规律，所以让我们再来看看（a+b）4的展开式。展开式为：a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4由此又可发现，代数式的系数为：14 6 4 1 似乎发现了一些规律，就可以发现以下呈三角形的数列：1(110)1 1(111)1 2 1(112)
2、1331(113)14641(114)1 5 10 10 5 1（115）1 6 15 20 15 6 1（116）杨辉三角形的系数分别为：1,（1,1）,（1,2,1）,（1,3,3,1）,（1,4,6,4,1）（1,5,10,10,5,1）,（1,6,15,20,15,6,1）,（1,7,21,35,35,21,7,1）所以：（a+b）7=a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7。由上式可以看出，（a+b）n等于a的次数依次下降n、nT、n-2n-n, b的次数依次上升，0、1、次方。系数是杨辉三角里的系数。2 杨辉三角的幂的关系首先我们把杨辉
3、三角的每一行分别相加，如下：111211331146411510105 11 61520156 1( 1 )( 1+1=2 )(1+2+1=4 )(1+3+3+1=8 )(1+4+6+4+1=16 )(1+5+10+10+5+1=32 )(1+6+15+20+15+6+1=64 )相加得到的数是1，2，4，8，16，32，64,刚好是2的0，1，2，3，4，5，6，-n次幕，即杨辉三角第n 行中n个数之和等于2的n-1次幕3 杨辉三角中斜行和水平行之间的关系n=1(2)n=2n=3n=4n=5n=6把斜行(1)中第 7 行之前的数字相加得 1+1+1+1+1+1+1=6 把斜行(2)中第7行之
4、前的数字相加得1+2+3+4+5=15 把斜行(3)中第7行之前的数字相加得1+3+6+10=20 把斜行(4)中第7行之前的数字相加得1+4+10=15 把斜行(5)中第7行之前的数字相加得1+5=6 把斜行(6)中第7行之前的数字相加得1 将上面得到的数字与杨辉三角中的第7 行中的数字对比，我们发现它们是完全相同的由上面可得：杨辉三角中n行中的第i个数是i-1中前n-1个数之和，即第n行的数分别为1、(1)中第n行 之前的数字之和、(2)中第n行之前的数字之和、(3)中第n行之前的数字之和、(4)中第n行之前的数字之和、 (n-3)中第n行之前的数字之和、1。总结杨辉三角对于我们好理解的规律，如下六点：1、每个数等于它上方两数之和。2、每行数字左右对称，由1开始逐渐变大。3、第n行的数字有n+1项。4、第n行数字和为2 (n-i)。(2 的 (n-1)次方)5(a+b) n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1 )行中的每一项。16、第n行的第m个数和第n-m个数相等，即C(n,m)=C(n,n-m)，这是组合数性质
杨辉三角的规律以及推导公式
