材料力学《第五章》弯曲应力.ppt

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1、上海交通大学 11-1 引 言 11-2 对称弯曲正应力 11-3 惯性矩与平行轴定理 11-4 对称弯曲切应力简介 11-5 梁的强度条件 11-6 梁的合理强度设计 11-7 双 对称截面 梁的非 对称弯曲 11-8 弯拉 (压 )组合强度计算 第 十 一 章 弯 曲 应 力 主要介绍：梁的弯曲正应力、梁的强度分析与设计、 弯拉 (压 )组合问题。 上海交通大学 一、梁横截面上的内力和应力的对应关系 t = f1 (FS) 正应力 仅与 弯矩有关 11-1 引 言 切应力 仅与 剪力有关 s = f2 (M) 二、纯弯曲概念 (Pure Bending) F a a A F B C D F

2、S M x x F F Fa Fa 若 FS = FS(x) M = M(x) 同时存在， 称为横力弯曲或剪切弯曲。 梁在弯曲变形的同时产生剪切变形。 如简支梁的 AC、 BD段。 在梁的 CD段中： FS = 0， M = 常量 即只有 M 存在，没有剪力作用，称 为纯弯曲。 实践指出，对于工程中简化为梁的构件， 正应力往往是引起破坏的主要因素。 上海交通大学 纯弯曲： FS = 0， 梁横截面上没有 t， 只有 s 。 11-2 对称弯曲正应力 一、矩形横截面梁纯弯曲实验研究 弯曲正应力的分布为静不定问题，必须考虑几何变形、物理和 静力学三方面的关系 。 纯弯曲实验：万能材料实验机上进行。

3、 F b d a c O2 O1 1 1 2 2 取矩形横截面梁实验： z y O 梁表面作与梁轴线平行的纵向线 代表纵向纤维； 与梁轴线垂直的横向线 代表横截面。 上海交通大学 在梁两端加弯矩 M，使梁产生纯弯曲变形。 上海交通大学 观察现象： 1. 横向线仍为直线，但相对地转过 一个微小角度，仍与已弯曲成圆 弧线的纵向线垂直； 与轴向拉、压时变形相似。 2. 纵向线均弯曲成圆弧线，且靠近 凸面处伸长，靠近凹面处缩短； 3. 在伸长区，梁宽度减小， 在缩短区，梁宽度增加。 b d a c O2 O1 1 1 2 2 M M ab ab M cd cd M 伸长 缩短 z y O b d a

4、c O2 O1 1 1 2 2 上海交通大学 二、假设 1. 梁弯曲平面假设 弯曲变形时： 2. 单向受力假设 由实验现象和假设可推知： 设想梁由许多层纵向纤维组成，弯 曲时各纵向纤维处于单向受拉或单 向受压状态。 梁弯曲变形后， 横截面仍保持为平 面，并仍与已变弯后的梁轴线垂直， 只是绕该截面内某轴转过一个微小 角度。 靠近梁顶面的纵向纤维受压、缩短； 靠近梁底面的纵向纤维受拉、伸长。 z y O b d a c O2 O1 1 1 2 2 b d a c O2 O1 1 1 2 2 M M 上海交通大学 O1 O2 弯曲变形时，梁横截面是绕中性轴转动的。 从伸长到缩短的过程中，必存在一 层

5、纵向纤维既不伸长也不缩短，保 持原来的长度。 由变形的连续形可知： 中性层：由既不伸长也不缩短的纵 向纤维组成。 中性轴：中性层与梁横截面的交线。 O2 中性层 中性轴 中性轴垂直于梁横截面的纵向对称轴。 b d a c O2 O1 1 1 2 2 b d a c O2 O1 1 1 2 2 M M 上海交通大学 1. 变形几何关系 正应变分布规律 二、弯曲正应力一般公式 取梁微段 dx 分析： 弯曲变形后： 1 1 2 2 O2 O1 dx r 设中性层曲率半径为 r。 横截面 1-1、 2-2仍保持为平面， 取坐标轴： y 轴， z 轴。 y 轴与截面对称轴重合； z 轴与中性轴重合 (位

6、置未定 )。 但各自绕中性轴转过一个角 度，形成一夹角 ， 为 dq ； z y O dq 1 1 2 2 M M O1 O2 上海交通大学 距 中性层为 y 处 纵向纤维 ab的变形： 弯曲前： ab O1O2 = = dx 弯曲后： ab = (r + y)dq 中性层长度不变： O1O2 = = dx = r dq O1O2 ab = dx = r dq ab 的伸长： D ab = ab ab = (r + y)dq r dq = ydq ab 的正应变： rqr q yy ab ab D d d (a ) y 为横截面上正应变分布规律。 y b a b a y (a) 式表示：纵向纤

7、维的正应变与其离中性层的距离 y 成正比。 在一定的 M 作用下， r 为常数， y |， | 。 z y O 1 1 2 2 O2 O1 dx dq 1 1 2 2 M M O1 O2 r 上海交通大学 中性层下方， y 为正值， 也为正值，表示为拉应变； b a O2 O1 1 1 2 2 M M dq r y 中性层上方， y 为负值， 也为负值，表示为压应变。 z y O 2. 物理关系 正应力分布规律 纵向纤维 间无相互挤压， ab单 向受拉 (压 )， 当 s 5h 时， FS产生的附加正应力 s 与 M 引起的 s 相比很小， 在工程计算中可略去，纯弯曲正应力公式仍可适用 ，误差

8、 0， y2、 z20， Iz 、 Iy 0，单位： m4， cm4， mm4 (2) 若 A = A1+ A2 + + An 则： Iz = IzA1+ IzA2 + + IzAn = S IzAi Iy = IyA1+ IyA2 + + IyAn = S IyAi 为组合图形的惯性矩公式。 上海交通大学 矩形截面的惯性矩： 取微面积 dA： bdy 圆形截面的惯性矩： AyI A d2z 2/ 2/ 2 dh h yby 3121 bh 23z 6 1 212 1 bhhbhW 取微面积 dA： ( z， y ) AI A d2p r yz II AzyA )d( 22 AzAy AA d

9、d 22 4 32 d Iz = Iy 4 p 642 1 dIII yz 34z 32264 d ddW 且有 r 2 = y2 + z2 上海交通大学 箱形截面的惯性矩： 由 组合图形的惯性矩公式： 空心圆截面的惯性矩： A2A1 zzz III 33 121121 bhBH )(1 32 2 )(1 64 4 3 4 4 m ax D D D y I W zz z y C b h H B A2A1 zzz III 44 6464 dD )(1 64 44 D D d z y C D d )( 6 1 2 12 1 12 1 33 33 m ax bhBH HH bhBH y I W zz

10、 上海交通大学 二、平行轴定理 已知： A、 Iz0、 Iy0 Iz = A y2dA = A ( y0 + a)2 dA 求： Iz、 Iy Cy0z0：过形心直角坐标系 Oyz：任意直角坐标系 z与 z0平行，间距为 a， y与 y0平行，间距为 b， = A (y02 + 2ay0 + a2) dA Iz = Iz0 + a2A Iz 0 = A y02dA 同理得： 解： y = y0 + a z = z0 + b A y0dA = 0 AdA = A Iy = Iy0 + b2A = A y02dA + 2aA y0dA + a2AdA 即：截面对任一坐标轴 z 的惯性矩 Iz，等于

11、对其平行形心轴 z0 的惯性矩 Iz0加上截面面积与两轴间距离平方的乘积。 上海交通大学 已知： d、 m 求： Iz 解： d m z z0 y C 40 64 dI z 22420 464 dmdAmII zz )161(4 222 mdd 已知： h、 b 求： Iz 解： AaII zz 20 bhhbh 23 )2(121 3 3 1 bh C h b z y z0 上海交通大学 4 6 z y 2 2 求：图示图形对形心轴 z 的惯性矩 Iz。单位： cm 解： (1) 确定形心位置 cm2.2812 32122462 424162C y z C (2) Iz 4231 cm28.

12、21262.126 12 1 zAI 4232 cm59.36428.142 12 1 zAI Iz = IzA1+ IzA2 = 21.28 + 36.59 = 57.87 cm4 C2 C1 A 1 A 2 其他常见图形的惯性矩见附录 B， P346 工字钢、角钢等型钢的惯性矩见附录 E， P352 yC 上海交通大学 4 6 z y 2 2 组合图形对形心轴 z 惯性矩 Iz的计算步骤： (1) 将 组合图形分解为几个简单图形， 由形心公式 确定形心位置： z C (2) 由 平行轴定理分别计算各简单图形对 z 轴的惯性矩 Iz C2 C1 A 1 A 2 yC A yAy ii D C

13、 Iz = Iz0 + a2A (3) 由 组合公式计算组合图形对 z 轴的惯性矩 Iz Iz = IzA1+ IzA2 + + IzAn = S IzAi 上海交通大学 例 2： 已知钢带厚 = 2 mm，宽 b = 6mm，钢带材料弹性模量 E=200GPa，带轮直径 D=1400mm。 求钢带内的最大弯曲正应力和钢带受的弯矩 。 解： 分析 已知 钢带变形，求钢带应力与弯矩： 由前有： 应力与变形关系 rs yE 弯矩与变形关系 zEI M r 1 (1) 计算 s max m70 1.022 r D m1012 3m a x y M P a3.2 8 5m a xm a x rs yE

14、 (2) 计算 M mN141.11026 12 1 701.0 10200 12 1 12393 rr b EEIM z b 上海交通大学 例 3： 悬臂梁截面为 T形如图示。已知： F = 15 kN， l = 0.4 m， b = 12 cm， = 2 cm。 求： B 截面上的最大弯曲拉应力和最大弯曲压应力。 M B| = Fl =15 103 0.4 = 6000 Nm 解： (1) 计算 弯矩 (2) 计算 惯性矩 Iz cm5.42424 19224122212 81221212C y 4231 cm3022125.3212 12 1 zAI 4232 cm5821225.312

15、2 12 1 zAI Iz = IzA1+ IzA2 = 302 + 582 = 884 cm4 y2 上海交通大学 (3) 计算 stmax、 scmax z C I yM B m a xt s zI yM 2B m a xc s M P a54.30108 8 4 105.46 0 0 0 8 2 M P a5.6410884 10)5.4212(6000 8 2 y2 上海交通大学 q=60kN/m A B 1m 2m 1 1 Mmax M 1 解： 1) 作 M 图确定截面弯矩 mkN60)22( 1 2 1 x qxq l xM mkN5.678/3608 2 2 m a x qlM

16、 例 4 受均布载荷作用的简支梁如 图所示，试求： 1 2 120 180 z y 30 (1) 1-1截面上 1、 2两点的正应力； (2) 此截面上的最大正应力； (3) 全梁的最大正应力； (4) 已知 E=200GPa，求 1-1截面的 曲率半径。 x M 8 2ql 上海交通大学 mkN601 M mkN5.67m a x M 2) 计算应力 4512 33 m10832.51012 18012012 bhI z 342 m1048.66/ bhW z M P a7.6110832.5 6060 5121 zI yMss M Pa6.921048.6 60 41m a x1 zW M

17、s M Pa2.1041048.6 5.67 4m a xm a x zW Ms m4.1941060 10832.510200 3 59 1 1 M EI zr 3) 计算曲率半径 q=60kN/m A B 1m 2m 1 1 8 2qlM max M1 1 2 120 180 z y 30 (压应力 ) x M 上海交通大学 一、矩形截面 梁横截面上的切应力 假设： 11-4 对称弯曲切应力简介 z y O t y FS 横截面上剪力 FS 位于纵向对称轴上， 由切应力互等定理可知： 截面两侧边处的切应力方向应平行于侧边。 1. 截面上各点切应力都与剪力平行； 2. 距中性轴等距离处，切应

18、力沿宽度均布。 当 h/b 1 时与实际情况较接近。 在以上假设的基础上分析 得切应力的计算公式为： zbISFy z )()( *S t 矩形截面 ：高 h，宽 b， h b。 上海交通大学 L A B F (+) (-) 图SF b h 分析方法（截面法）： 1、沿 mm,nn 截面截开， 取微段 dx。 m m n n dx m m n n sF sF M M+dM m m n n t t 1s 2s k l 图M (+) 弯曲应力 /弯曲时的剪应力 上海交通大学 m n t 1s 2s k l t 2、沿 kl 截面截开，根据剪应力的互等定理： tt dx很小，在 kl 面上可认为 均

19、布。 1NF 2NF sF 021 NsN FFF 3、列平衡方程，由 ： 0 xF 即 0)( 21 21 AA dAbdxdA sts 弯曲应力 /弯曲时的剪应力 上海交通大学 而 ,11 zI Mys zI ydMM 1 2 )( s 代入得： 0 11 11 A z A z dAy I dMMb d xdAy I M t 1 1A z dAy I dMbdxt * zS z z bI S dx dM * t sF z zs bI SF * 弯曲应力 /弯曲时的剪应力 上海交通大学 z zs bI SF * tt 式中符号意义： t：截面上距中性轴 y处的剪应力 ： y以外面积对中性轴的

20、静矩 * zS ：整个截面对中性轴的惯性矩 zI b： y处的宽度 对于矩形 ： cz yAS * 2 2) 2 ( y h yy h b ) 4 ( 2 2 2 yhb 弯曲应力 /弯曲时的剪应力 上海交通大学 切应力沿截面高度呈抛物线分布。 2 2 S 41 2 3)( h y bh Fyt 12 3bh I z 在中性轴上： y = 0， 在上、下表层： y = h/2， t = 0 ； 可知： bh F 2 3 S m ax t A F 2 3 S m a x t t 方向：与横截面上剪力方向相同； t 大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度 h 呈抛物线分布 。 tmax ：为平均 切 应

21、力的 1.5 倍。 上海交通大学 二、工字形截面 梁横截面上的切应力 切应力仍可用矩形截面时公式计算： 腹板上切应力： 腹板为矩形： h 腹板上切应力的分布与矩形截面相同。 zI SFy z t )()( *S 工字形截面 ：由中间腹板和上下两 块翼板组成。 ：为所求切应力处以外图形面积 对 z 轴的静矩。 求得 后代入上式得腹板上切应力的计算公式为： )(* zS )(* zS 上海交通大学 )4()(8)( 22220S yhhhbIFy z t 即腹板上切应力沿腹板高度呈抛物线分布。 在中性轴上： y = 0， )( 8 22 0Sm a x hbbhI F z t 在腹板与翼板交接处，

22、 y = h/2， )( 8 22 0Sm in bhbhI F z t 上海交通大学 对工字型钢： 式中 翼板上切应力： )( )( m a x Sm a xSm a x t zzz z SI F I SF )( 1 m a x S zz SI F )(m ax z zS I 可查型钢求得。 在翼板上还存在垂直方向的切应力，数值很小，一般略去不计。 此外，在翼板上还有沿水平方向 (z方向 )的切应力存在，其推导 方法和结果可参考有关资料。 上海交通大学 三、弯曲正应力与弯曲 切应力比较 最大弯曲正应力 ： 最大弯曲切应力 ： bh F 2 3 m a x t 当 l h 时， s max t

23、 max 22 m a x m a x 6 6 bh Fl bh Fl W M z s )(4326 2 m a x m a x h l F bh bh Fl t s 对实心截面的细长梁，弯曲正应力是影响梁强度的主要因素。 上海交通大学 11-5 梁的强度条件 对一般梁，弯曲正应力和切应力的分布规律为： 横截面的中性轴处：有 t max ，并且为纯剪切。 横截面的上下边缘处：有 s max，并且为单向受拉 (压 )； 上海交通大学 y2 y1 y z C 一、弯曲正应力强度条件 对一般梁， M = M(x)，作 M 图，确定 Mmax，即危险截面， s 为弯曲时材 料许用正应力。 则： 发生在

24、横截面的上下边缘处，且 为单向受拉 (压 )。 zI yM m a xm a x m a x s zW M m a x m a x s 或： 弯曲正应力强度条件： m a x m a x ss zW M 塑性材料： s c=s t， 只需 smax st 脆性材料： s cs t， 应： t1m a xm a xt ss zI yM c2m a xm a xc ss zI yM M 上海交通大学 由强度条件可进行三方面强度计算： 1. 强度 校核： 2. 设计截面： smax s m a x s MW z %5 z z W WW 选选择型钢时，若 则可选用。 3. 确定许可载荷： Mmax s

25、 Wz 由 Mmax F 二、弯曲切应力强度条件 一般对短梁 ( l 5h )、组合截面腹板较薄 (工字形、 T形、槽形 等 )、抗剪切强度低 (焊缝、胶合面、铆钉连接等 )的场合要进行 弯曲切应力强度校核。 弯曲切应力强度条件： m a xSm a x m a x tt z z I SF t 为材料的 许用切应力。 上海交通大学 解： (1) 作 FS、 M 图 例 5 图示矩形截面木梁，已知 b = 0.12m， h = 0.18m， l = 3m， 材料 s = 7 MPa， t = 0.9 MPa。试 校核梁的强度。 q = 3.6kN/m A B l 可知： FSmax = 5400

26、 N M max = 4050Nm (2) 校核梁的强度 2 m a xm a x 18.012.0 4 0 5 06 zW Ms 18.012.0 54005.1 2 3 m a xS m a x A Ft = 6.25 MPa s = 0.375 MPa t FS 2 ql x 2 ql 8 2ql 梁安全。 x M 上海交通大学 例 6 图示减速箱齿轮轴，已知 F = 70 kN ， d1 = 110mm， d2= 100 mm，材料 s =100 MPa。 试 校核轴的强度。 F 140 350 350 d1 d2 A B C D 12.25 kNm 9.8 x M 解： (1) 作

27、M 图，确定危险截面 C截面： Mmax= 12.25 kNm ， 为危险截面 D截面： MD = 9.8 kNm，但其直 径较小，也可能为危险 截面。 (2) 强度校核 3231 m a xm a xm a x d M W M z s C截面： = 93.9 MPa s D截面： 3232D DD m a x d M W M D z s = 99.9 MPa s 梁满足强度要求。 上海交通大学 解： (1) 作 M 图 例 7 图示 T形截面铸铁梁，已知 Iz = 8.84 10-6m4， y1 = 45mm， y2= 95mm，材料 s t = 35 MPa， s c= 140 MPa。

28、试 校核梁的强度。 可知危险截面： D 截面、 B 截面 D 截面：最大正弯矩 MD = 5.66 kNm B 截面：最大负弯矩 MB = 3.13 kNm 上海交通大学 = 59.8 MPa | MB | ， | y2 | | y1 | |sa | |sd | 即最大压应力 为 D 截面上 a点。 而最大拉应力为 D 截面上 b点或 B 截面上 c点，由计算确定。 6 33 2Dam a xc 1084.8 10951066.5 zI yMss M P a3.281084.8 10451066.5 6 33 1Db zI yMs M P a6.331084.8 10951013.3 6 33

29、 2Bc zI yMs stmax= 33.6 MPa s t 梁不安全。 (2) 校核梁的强度 上海交通大学 弯曲正应力是决定梁强度的主要因素， 11-6 梁的合理强度设计 m a xm a x ss zW M 是设计梁的主要依据。 要使 smax，则应使 Mmax 、 Wz 一、合理安排梁的载荷及支座 目的： 使 Mmax 如：合理安排载荷 Mmax = 0.25Fl Mmax = 0.167Fl 上海交通大学 Mmax = 0.125ql 2 Mmax = 0.025ql 2 如：合理安排支座 二、梁的合理截面形状 Mmax s Wz 即梁所能承受的弯矩 Mmax与 Wz 成正比， Wz

30、 越大越有利； 另外，梁所用材料的多少和重量的大小与横截面面积 A成正比， 面积 越小，材料越少，重量越轻，越经济。 上海交通大学 梁的合理截面形状应为： A 较小而 Wz 较大。 如：矩形截面，高 h，宽 b， h b 实际中矩形截面梁均为竖放 。 竖放时： h b y z C b h y z C 2 z1 6 1 bhW 平放时： hbW 2z2 61 1 z2 z1 b h W W 即矩形截面梁竖放比平放具有更高的弯曲强度。 若： h:b = 3:2 时， 竖放时强度比平放时强度高 50%。 上海交通大学 根据弯曲正应力的分布规律： 离中性轴愈远，正应力愈大；靠近中性轴处，正应力很小。

31、y z C 因此靠近 中性轴处的材料工作时未充分发挥作用。 如：矩形截面改为工字形截面，可提高 Wz 所以应将尽可能多的 材料配置在远离中性轴处的部位。 y z C 其他如箱形截面、 T形截面、 槽 形截面等都可提高 Wz 。 上海交通大学 一般可用 Wz/A 来评价梁截面形状的合理性和经济性。 若 Wz/A 较大，则表示梁截面形状较为合理性，较为经济。 矩形截面： 可知：矩形截面较圆形截面更为合理 。 圆形截面：设直径 d = h h bh bh A W 1 6 7.06 1 2 z hd d d A W 1 2 5.01 2 5.0 4 32 2 3 z 工字钢、 槽 钢： h A W )

32、31.027.0(z 此外在考虑梁的合理截面形状时，还应考虑到材料的力学性能。 上海交通大学 对 st =sc 的塑性材料，一般采用对称于中性轴的截面， 此时有： stmax=scmax= s 比较合理。 如 T形截面， 并使中性轴偏向于强度较弱的一边。 对 st sc 的脆性材料，一般采用不对称于中性轴的截面， stmax= st ， scmax= sc 设计时应有： c t 2 1 2 1 m a xc m a xt s s s s y y I My I My z z由： 即： c t 2 1 s s y y 可使最大拉应力和最大压应力同时达到材料的许用应力。 对钢筋混凝土梁，应将钢筋置于

33、梁中较大拉应力处。 上海交通大学 三、等强度梁的概念 一般 M = M(x) s 若在 A-A处再开一缺口，使截面对称， 则成为轴向拉伸： M P a3.1 3 3)2(N ss tb FAF 钢板安全。 可见应 避免 偏心载荷。 上海交通大学 例 9 图示悬臂梁， F = 10 kN， l = 2 m， e = l/10， a = 30，材料 s =160 MPa。试选择工字钢型号 。 解： (1) 外力分析 将 F 向 B 截面形心简化： 梁的计算简图： 轴向力： FC= Fx= F cosa 集中力偶矩： Me= eF cosa 横向力： Fy = F sina 可知：梁为拉伸和弯曲组合变形。 上海交通大学 (2) 内力分析 作 FN 图 ： FN = 8.66 kN 由强度条件 ： 得： 作 M 图 ： Mmax = 8.27 kNm (3) 初选梁 工字钢型号 m a x s zW M 336 6 3 m a x cm17.5m1017.5 10160 1027.8 s MW z 查附录 E表 4：选 No12.6工字钢， Wz = 77.5 cm3， A = 18.118 cm2 (4) 强度校核 M P a5.111105.77 1027.810118.18 1066.8 6 3 4 3 m a xNm a x zW M A Fs s 时，需重新选择。