数值计算方法(三次样条插值).ppt

《数值计算方法(三次样条插值).ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数值计算方法(三次样条插值).ppt（69页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、4.4 三次样条插值 前面我们根据区间 a,b上给出的节点做 插值多项式 Ln(x)近似表示 f (x)。一般总 以为 Ln(x)的次数越高，逼近 f (x)的精度 越好，但实际并非如此，次数越高，计 算量越大，也不一定收敛。因此高次插 值一般要慎用，实际上较多采用分段低 次插值。 4.4.1 分段插值 2, )1,(, ,1 ,)( ,.,1,0, 2 010 1 1 1 jxu jxuxxx jxuxu xxxf xxxnjyx jj jjjj 取若 ，则外插也选若，即 取，若计算机上实现 。上的现性插值函数表示用则 判断）已知（ 分段线性插值 )/()( )/()( , 1111 1 1

2、 1 1 1111 1 jjjjjj j jj j j jj j jjjjjj jj xxyyxxy y xx xx y xx xx y xxyyxuyu xux 这是因为 则线性插值函数为一般的， 分段线性插值 则如果 做对于 输入插值点 做按 输入 算法： j ii xu mk niyx n1,2,.,j( 2) u( 1) ,.,2,1.2 ),.,1,0(,.1 分段线性插值 ),()( . . ),()( ),()( )( ,2 )/()(1 1 212 101 0 1111 0 nnn jjjjjj xxxxI xxxxI xxxxI xI vu xxyyxuyv 分段插值函数 输

3、出 )/()( 1111 1 1 1 1 jjjjjj j jj j j jj j j xxyyxxy y xx xx y xx xx I其中 缺点： I(x)连续，但不光滑，精度较低 ,仅在 。足够小才能较好的逼近m a x 11 jjjnj xxhh 分段三次 Hermite插值 上述分段线性插值曲线是折线，光滑性 差，如果交通工具用这样的外形，则势 必加大摩擦系数，增加阻力，因此用 hermite分段插值更好。 分段三次 Hermite插值 2 2 2 111 21 2 21 11 11113 1 )()( )()( )(21()( )(21()( )()()()()( , j j jj

4、 j j jj j j j j j j j j j j jjjjjjjj jj h xu xuuB h xu xuuB h xu h xu uA h xu h xu uA fxfxyxyxxH xxxH e r m i t e 令 时插值三次 分段三次 Hermite插值算法 。输出 则计算如果 做对于 输入插值点 计算插值 ）；（输入 算法： vu fBfBfAfAv BBAAxu nj u njffx jjjj j jjj ,.3 ; ;, ,. .,2,1)2( ;)1( .2 ,. .,1,0,.1 211211 2121 jjjj fBfByAyAv 211211则 例题 2 2 2

5、 1 22 2 22 1 10 )1)(2( )2)(1( )1)(32()1)(2(21( )2)(12()2)(1(21( 112,2,1 1)2(1)1(3)2(2)1( xxB xxB xxxxA xxxxA hxx H e r m i t e ffff 则解： 插值多项式。求满足条件的 ，设例 例题 5983 )1)(2()2)(1( )1)(32(3)2)(12(2)( 23 22 22 3 xxx xxxx xxxxxH 所以得 4.4.2 三次样条插值 的三次样条函数。对应于划分为区间则称 有连续的二阶导数）上在开区间（ 三次多项式； 是不超过上在每个小区间 ）（ 满足条件如果

6、函数 ： 上给出一个划分，在区间 ，上的二次连续可微函数是区间设函数定义 ,)( ,)(,)3( )(),.,2,1(,)2( );,.2,1,0()()(1 )( . ,)( 1 110 baxs xsba xsnjxx njxfxs xs bxxxxa ba baxf jj jj nn 三次样条插值 1,.,2,1 )0()0( )0()0( )0()0( )1()2( ,.,1,0)()(1 ., .2,1),()()( ,)( 1 23 1 nj xsxs xsxs xsxs n njxfxs dcba njxxxdxcxbxaxsxs xxxs jj jj jj jj jjjj jj

7、jjjjj jj 条件：内节点处连续及光滑性 ）；（）（ 为：为待定常数，插值条件其中 上有表达式在每个子区间设三次样条函数 三次样条插值 nnn jjjj mxfxs mxfxs n nnjdcba )()( )()( 24 4,.2,1., 000 已知两端点的一阶导数第一类 以下三类：条件称为边界条件，有 给出两个个，还缺两个，因此须而插值条件为 个未知系数，即对于待定系数 三次样条插值 )0()0( )0()0( )()( 0 )()( )()( . 00 0 0 000 nn n n nnn xsxs xsxs xsxs MM Mxfxs Mxfxs 第三类：周期边界条件 时为自然边

8、界条件当 已知两端点二阶导数第二类： 三次样条插值 ,)( ,)( ,)(),.2,1,0()( ! 1 1 1 1 ii ii ii ii iiii xxx xx MM xs xxxs xxxsniMxs 项式，故有 上是一次多在是三次多项式，所以 上在。因为令 条插值函数用三弯矩阵构造三次样 三次样条插值 )1()( 6 2 6 1 ()( )( !3 )( !2 )( )( )(!3 )( !2 )( )( !3 )( )( !2 )( )()()( 11 1 1 2 1 12 111 1 3 1 12 32 iiii ii ii i ii ii ii i iiiii i i ii ii

9、 i i jii i i i i iii xxMM xx yy xs xx MM xx M xxxsyy xx xx xx MM xx M xxxsy xx xs xx xs xxxsxsxs Ta y l o r 解得 得令 展示有于是由 三次样条插值 ii i ii ii i iiii iiii ii ii iiii ii ii iiii ii ii i ii hh h hh h xxh xxMM xx yy xxMM xx yy xs xxMM xx yy xs xx 1 1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1 1 )( 6 1 6 2 ()( 6 2 6 1 ( 21

10、)( )2()( 6 1 6 2 ()( , 记 ）即（）连续，所以（因为 上讨论得同理在 三次样条插值 ),(6)(2 ),(6)2()2 )2( 6 1 ,)2( 6 1 , 111111 11111 11111 iiiiiiiiiii iiiiiiiiii iiiiiiiiii xxfxxfMhMhhMh xxfxxfhMMhMM hMMxxfhMMxxf 也就是 （ 即 则上式为 1,.2,1,62 ,62 )( 1111 111 1 1 1 11111 nixxxfMMM xxxfM hh h MM hh h hhxxxxxx iiiiiiii iiii ii i ii ii i i

11、iiiiiii 即得 得 两边同除 三次样条插值 ,62 )( 6 2 6 1 ()( 0)1( )()()()( 10010 0101 01 01 0 00 xxxfMM xxMM xx yy xs i xfxsxfxs nn 既有 得式中令 第一类边界条件： 三次样条插值 ,62 1,.,2,1,62 ,62 ,62 )2( 11 1111 10010 11 nnnnn iiiiiiii nnnnn xxxfMM nixxxfMMM xxxfMM xxxfMM ni ）（ 即有 得式中令同理 三次样条插值 2,.,3,2 ,62 ,62 ,62 )()(,)()( 11221 1111 0

12、1210211 00 0 ni MxxxfMM xxxfMMM MxxxfMM MxfxsMxfxs nnnnnnnn iiiiiiii nnn 同理可得 第二类边界条件 三次样条插值 1,.,3,2 ,62 ,62 ,2 1111 1111 2101211 ni xxxfMMM xxxfMMM xxxfMMM nnnnnnn iiiiiiii n 三弯方程周期函数边界条件下的 例题 例 4.4.1 已知函数 y=f(x)的数表如下表所示。 求满足边界条件 x 0 0.15 0.30 0.45 0.60 f(x) 1 0.97800 0.91743 0.83160 0.73529 。并计算函数

13、 三次样条 )2.0(),( 6 4 8 7 9.0)60.0(,0)0( sxs ss 解 做差商表 (P111),由于是等距离节点 , 2 1 , 2 1 4,3,2,115.0 1 1 1 1 ii i i ii i i iii hh h hh h ixxh 由第二类边界条件得 0 1 2 3 4 2 1 5 .8 6 6 6 7 0 .5 2 0 .5 5 .1 4 2 6 0 0 .5 2 0 .5 3 .3 6 7 9 8 0 .5 2 0 .5 1 .3 9 7 4 0 1 2 0 .2 6 8 8 0 M M M M M 解方程得 将 Mi代入式 4.4.14)得 0 8 4

14、1 8.0,4 3 7 1 6.0 ,1 3 0 3 1.1,7 7 7 5 7.1,0 4 4 6 2.2 43 210 MM MMM 32 32 32 32 0 .2 9 6 7 2 1 .0 2 2 3 1 1 , 0 , 0 .1 5 0 .7 1 9 1 8 1 .2 1 2 4 2 0 .0 2 8 5 1 0 .9 9 8 5 8 , 0 .1 5 , 0 .3 0 () 0 .7 7 0 1 7 1 .2 5 8 3 1 0 .0 4 2 2 8 0 .9 9 7 2 0 , 0 .3 0 , 0 .4 5 0 .5 7 9 2 7 1 .0 0 0 5 9 0 .0 7 3

15、7 0 1 .0 1 4 6 1 0 .4 5 , 0 .6 0 x x x x x x x sx x x x x x x x x 0.20 0.15 , 0.30 由于 故 33(0 . 2 0 ) 0 . 7 1 9 1 8 0 . 2 1 . 2 1 2 4 2 0 . 2 0 . 0 2 8 5 1 0 . 2 0 . 9 9 8 5 8 0 . 9 6 1 5 4s 4 5 曲线拟合的最小二乘法 插值法是用多项式近似的表示函数 ,并要 求在他们的某些点处的值相拟合 .同样也 可以用级数的部分和作为函数的近似表 达式 .无论用那种近似表达式 ,在实际应用 中都要考虑精度 ,所以我们给出

16、最佳逼近 的讨论 . 4.5.1 最佳平方逼近 定义 4.5.1 设 称 为函数 在区间 a,b上的内积 . 其中 为区间 a,b上的权函数 ,且满足 下面两个条件 : ( ) , ( ) , ,f x g x C a b ba xxgxfxgf d)()()(),( )(),( xgxf )(x ,.2,1,0d)(2 ,0)()1( ixxx xba b a i 存在，）（ 零点；并且最多只能有有限个上，在 容易验证 ,上述定义的函数内积满足一般内积概 念中四条基本性质 . 内积的性质 是等号成立。切当且仅当性质 性质 性质 性质 0,0),(4 );,(),(),(3 ;),(),(2

17、);,(),(1 2121 fff gfgfgff Rgfgf fggf 函数的欧几里得范数 定义 4.5.2 设 称 为函数 f(x)的欧几里得范数 ,或 2范数 . ( ) , ( ) , ,f x g x C a b ),(2 fff 函数的欧几里得范数性质 。性质 性质 ；时有，当且仅当性质 222 22 22 3 ;2 0001 gfgf Rff fff 线性相关的函数系 定义 4.5.3 设函数 , 如果存在一组不全为零的数 使 ( ) , , ( 0 , 1 , 2 )k x C a b k n k 0 0 1 1( ) ( ) ( ) 0nnx x x 成立 ,则称函数系 是线

18、性相关的 , 否则称 是线性无关的 . 0() nk x 0() nk x 线性相关的函数系的判定 定理 4.5.1 函数 在区间 a,b上线性相 关的充分必要条件是 Gramer行列式 0()nk x 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 01 01 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , , , ) 0 ( , ) ( , ) ( , ) n n n n n n n G 不难证明 在 R上 线性无关 . 定理 4.5.1的等价说法是 :函数系 线性无关的充分必要条件是 Gramer行列 式 . ( ) ( 0 , 1 , 2 , )kk x x k

19、 n 0()nk x 01( , , , ) 0nG 最佳平方逼近 定义 4.5.4 设函数 及函数系 且线性无关 . 记 为连续函数空 Ca,b的子 空间 ,如果存在元素 满足 ( ) , f x C a b ( ) , ( 0 , 1 , 2 , )k x C a b k n 01 , , , nSpan * 0 ( ) ( ) n kk k s x x 2 2*2 22 0inf inf ( ) ( ) ( ) ( 4.5.5 ) nb kkass k f s f s x f x x dx 则称 为 f(x)在 上的最佳平方逼近 函数 .且 其中 是法方程 唯一的一组解 . *()sx

20、* 0 ( ) ( ) n kk k s x x * * * 01, , ,n 0 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( 0 , 1 , 2 , ) nb k k ja k x f x x x d x j n 令 则误差为 *( ) ( )f x s x 2 * * * * * 2 2* 2 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) n kk k f s f s f s f f s s f f s f f f 特例 取 则法方程为 其中 ( ) ( 0 , 1 , 2 , ) , ( ) 1 , , 0 , 1 kk x x k n x a b 00 1

21、1 11 1 21 111 ( 4. 5. 10 )322 1 1 1 1 2 2 1 nn n n n n n 1 0 ( ) ( 0 , 1 , 2 , ) kj x f x d x k n 例题 例 4.5.1 设 求 f(x)在区间 0,1上的一次最佳平方逼近多项式 . 解 设 由于 ( ) , 0 , 1 ,xf x e x 01()s x x 1 1 0 00( , ) 1 xf e d x e 1 1 1 10( , ) 1 xf x e d x 故法方程为 解得 1 1e 1 0 3 1 2 1 2 1 1 01 * 4 1 0 0 . 8 7 3 1 2 7 3 1 3 ,

22、6 ( 3 ) 1 . 6 9 0 3 0 9 0 3 ( ) 0 . 8 7 3 1 2 7 3 1 3 1 . 6 9 0 3 0 9 0 3 ee s x x 平方误差为 0 6 27 7.0 0 0 39 4 0 22 3 4.0 )3(6)1)(104( 2 1 0 2 1100 2 2 2 2 所以 eeedxe f x 4.5.2 对离散数据的曲线拟合最小二乘法 曲线拟合问题 对于 f(x)插值问题 ,要想提高精度 ,就要增加 节点 ,因此多项式的次数也就太高 ,计算量过大 , 而节点少 ,多项式的次数低 ,但误差精度不能保 证 ,为了消除误差干扰 ,取多一些节点利用最小 二乘法

23、确定低次多项式近似表示 f(x),这就是曲 线拟合问题 . 在科学实验中 ,得到函数 y=f(x)的一组实验数 据 : ,求曲线 与实验数据误差在某种度量意义下最小 . ),. .2,1,0(),( miyx ii )(.)()()( *1*10*0* xxxxs nn 设 是 a,b上一组线性无关的连续 函数系 ,令 0() nk x 0 0 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( 4 . 5 . 1 1 )nns x x x x 记误差 .为寻求 我们常以误差 加权平方和最小为度量标准 ,即 ( ) ( 0 , 1 , 2 , )i i is x y i m 01, , , n i 2

24、2 01 2 0 ( , , , ) ( ) m n i i i Ix ( ) 0 x 达到极小值 ,这里 是 a,b上的权函数 . 类似前述最佳平方逼近方法 ,有多元函数 极值必要条件有 00 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( 0 , 1 , 2 , ) mn i k k i i j i ikj I x x f x x j n 用向量内积形式表示 ,上式可记 上式为求 的法方程组 ,其 矩阵的形式为 0 ( , ) ( 0 , 1 , 2 , ) n j k k j k jn 000 0 0 1 0 111 0 1 1 1 01 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) (

25、, ) ( , ) ( 4 . 5 . 1 4 ) ( , ) ( , ) ( , ) n n n n n n nn 01, , , n 其中 0 ( , ) ( ) ( ) ( ) m j k i j i k i i x x x ),.2,1,0()()()(),( 0 njxxfxf ij m i iijj 由于向量组 是线性无关 , 故式 (4.5.14)的系数行列式 01, , , n 01( , , , ) 0 ,nG 故式 (4.5.14)存在唯一解 , 于是得到函数 f(x)的最小二乘解 其平方误差为 * * *01, , , n * * * *0 0 1 1( ) ( ) (

26、) ( ) ,nns x x x x T mkkkk T m n k kk n k kk xxxyyyf fff )() ,. . ,(),(,),.,( ),( 1010 0 *2 2 0 *2 2 2 2 这里 特例 m i n ii m i ii m i i n m i n i m i n i m i n i m i n i m i i m i i m i n i m i i m i k k xy xy y xxx xxx xx nkxxx 0 0 0 1 0 0 2 0 1 0 0 1 0 2 0 000 1 ),.,2,1,0()(1)( 最小二乘的法方程为 时，当 例题 例 4.5

27、.2 设函数 y=f(x)的离散数据如下表所示 试用二次多项式拟和上述数据 ,并求平方误差 . 0 1 2 3 4 5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.000 1.221 1.492 1.822 2.226 2.718 i ix iy 解 由式 (4.5.16)可得 解方程组得 所以拟合二次函数为 0 8 6 1 2.5 4 3 3.6 4 7 9.10 5 6 6 4.18.12.2 8.12.23 2.236 2 1 0 0 1 21 . 0 0 6 3 2 1 4 2 8 , 0 . 8 6 2 5 8 9 2 9 5 , 0 . 8 4 2 4 1 0 7 0 4 21 .

28、 0 0 6 3 2 1 4 2 8 0 . 8 6 2 5 8 9 2 9 5 0 . 8 4 2 4 1 0 7 0 4y x x 平方误差为 01 75 5.0 1007 89 3.3 2 4 221100 2 2 2 2 所以 f 例 4.5.3 地球温室效应问题 下表统计了近 100年内地球大气气温上升 的数据 .试根据表中数据建立一数学模型即 拟和曲线 ,并根据这一模型 ,预报地球气温 何年会比 1860年的平均温度高 7oC 年份 N 1860年后地球气 温增加值 年份 N 1860年后地球气 温增加值 1880 0.01 1940 0.10 1890 0.02 1950 0.1

29、3 1900 0.03 1960 0.18 1910 0.04 1970 0.24 1920 0.06 1980 0.32 1930 0.08 Ct0Ct0 解 为简化数据 ,从 1880年起年份记 N,其变 换 n=(N-1870)/10.将地球气温增加值改 记为 t=1,2,3,4,6,8,10,13,18,24,32,也就 是将原气温增加值扩大 100倍 ,根据新数 据绘制图 4.5.1 (P119) 从图 4.5.1可以看出 ,气温 t与变换 n大致服 从指数函数增长过程 ,因此 ,可以假设 t与 n 满足指数函数关系 为决定参数 ,将上式改写成 nte l n l ntt 记 则有

30、这是已知数据相应地变为如下表所示 l n , , l n ,y t x n a b bxay n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ln1 ln2 ln3 ln4 ln6 ln8 ln10 ln13 ln19 ln24 ln32 ty ln 由式 (4.5.16),取 n=1,m=10,并将上表已知数 据带入得 解方程组得 : 1 1 6 5 2 1 . 4 5 0 9 5 0 7 8 6 5 5 0 6 1 6 4 . 2 1 7 4 2 4 8 ab ab 1 . 1 4 3 6 9 5 1 0 8 0 . 3 0 7 2 9 2 9 6 9 ae b 所以,3 0 7 2

31、9 2 9 6 9.0,1 3 4 2 6 4 3 4 3.0 ba 相应的 t 与 n 的指数型拟合曲线关系为 就是所求地球温室效应的指数函数的数 学模型 ,以此进行预报 ,即已知 t值求 0.3072929691. 14 36 95 10 8te l n ( / 1 . 1 4 3 6 9 5 1 0 8 ) / 0 . 3 0 7 2 9 2 9 6 6 1 8 7 0 1 0 nt Nn 以地球气温比 1860年上升 为例 ,即以 t=700代入上式可得 : N(7)=2078(年 ) 7oC 4.5.3 矛盾方程组的最小二乘解 设矛盾方程组 这里 mn,记 1 1 1 1 2 2 1

32、 1 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 ( 4 . 5 . 1 8 ) nn nn m m m n n m x x x b x x x b x x x b 11 22 ( ) , , , ij m n nn xb xb A a x b xb 则上式可简记为 Ax=b. 矛盾方程组的最小二乘解 x*是指满足 22 * 2 2m in A x b A x b 引理 设 则 B为半正定 对称方阵 ,当 R(A)=n,则 B是正定对称 方程 .若 A的各列线性无关 ,则 是非奇异方阵 . ,m n TA R B A A TB A A 定理 4.5.2 设 且各列向量线性无关 , 则 (1

33、)矛盾方程组 (4.5.19)的法方程组 恒有解 ; (2)设 x* 是法方程组 的解 ,则 x* 是矛 盾方程组 (4.5.19)的最小二乘解 . nmRA TTA A x A b TTA A x A b 定理 4.5.2指出 :实验数据 的曲线拟合最小二乘法本质上就是矛盾方 程组 的最小二乘解 . ),. .2,1,0(),( miyx ii 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 4 . 5 . 1 7 ) ( ) ( ) ( ) nn nn m m n n m m x x x y x x x y x x x y