《lei三重积分》PPT课件.ppt

《《lei三重积分》PPT课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《lei三重积分》PPT课件.ppt（36页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、返回 上页 下页 目录 2020年 11月 17日星期二 1 第三节 三重积分 第八章 (Triple Integrals) 一、三重积分的概念 二、三重积分的计算 三、小结与思考练习 返回 上页 下页 目录 2020年 11月 17日星期二 2 一、三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想 , 采用 kkkk v),( ),( kkk kv 引例 : 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的 物质 , ( , , ) ,x y z 求分布在 内的物质的 可得 n k 10 limM “分割 , 近似求和 , 求极限” 解决方法 : 质量 M . 密度函数为 返回 上页 下页 目录 2020

2、年 11月 17日星期二 3 ,),(,),( zyxzyxf kkk n k k vf ),(lim 10 存在 , ),( zyxf ( , , ) df x y z v 称为 体积元素 , vd .ddd zyx 若对 作 任意分割 : 任意取点 则称此极限为函数 在 上的 三重积分 . 在直角坐标系下常写作 三重积分的性质与二重积分相似 . 性质 : 例如 下列 “乘 中值定理 . 在有界闭域 上连续 , 则存在 ,),( 使得 ( , , ) df x y z v Vf ),( V 为 的 体积 , 积和式” 极限 记作 定义 设 返回 上页 下页 目录 2020年 11月 17日星

3、期二 4 二、三重积分的计算 1. 利用直角坐标计算三重积分 方法 1 . 投影法 (“先一后二” ) 方法 3 . 截面法 (“先二后一” ) 方法 2 . 三次积分法 ,0),( zyxf先假设连续函数 并将它看作某物体 通过计算该物体的质量引出下列各计算 最后 , 推广到一般可积函数的积分计算 . 的密度函数 , 方法 : 返回 上页 下页 目录 2020年 11月 17日星期二 5 x y z o D 1z 2z 2S 1S ),( 1 yxzz ),(2 yxzz a b )(1 xyy )(2 xyy),( yx 如图， ,D xoy 面上的投影为闭区域 在闭区域 ),(: ),(

4、: 22 11 yxzzS yxzzS ,),( 作直线过点 Dyx 穿出穿入，从从 21 zz 方法 1. 投影法 (“先一后二 ” ) 注意 于两点情形 相交不多的边界曲面直线与闭区域 内部的轴且穿过闭区域这是平行于 S z 返回 上页 下页 目录 2020年 11月 17日星期二 6 z x yD D yx dd Dyx yxzzyxz ),( ),(),(: 21 yxzzyxfyxz yxz ddd),(),( ),(2 1 该物体的质量为 vzyxf d),( ),( ),(2 1 d),(yxz yxz zzyxf D yxz yxz zzyxfyx ),( ),(21 d),(

5、dd yxzyxf dd),( 细长柱体微元的质量为 ),(2 yxzz ),(1 yxzz yxdd 微元线密度 记作 返回 上页 下页 目录 2020年 11月 17日星期二 7 投影法 设区域 : 利用投影法结果 , bxa xyyxyDyx )()(:),( 21 ),(),( 21 yxzzyxz 把二重积分化成二次积分即得 : ),( ),(21 d),(dd yxz yxzD zzyxfyx ),( ),(21 d),(yxz yxz zzyxf )( )(21 dxy xy y ba xd 方法 2. 三次积分法 返回 上页 下页 目录 2020年 11月 17日星期二 8 例

6、 1. 化三重积分 d x d y d zzyxfI ),(为 三次积分，其中积分区域 为由曲面 22 2 yxz 及 22 xz 所围成的闭区域 . 解 由 2 22 2 2 xz yxz , 得交线投影区域 ,122 yx 返回 上页 下页 目录 2020年 11月 17日星期二 9 故 ： 222 22 22 11 11 xzyx xyx x , .),(1 1 2 21 1 2 22 2 2 x yx x x dzzyxfdydxI 返回 上页 下页 目录 2020年 11月 17日星期二 10 其中 为三个坐标 ,ddd zyxx 12 zyx 所围成的闭区域 . 1x y z 1

7、21 解 : : zyxx ddd )1(010 21 d)21(d x yyxxx yx z210 d 10 32 d)2(41 xxxx yxz 210 )1(0 21 xy 10 x 48 1 面及平面 例 2. 计算三重积分 返回 上页 下页 目录 2020年 11月 17日星期二 11 (1 ) 把积分区域 向某轴（例如 z 轴）投影，得投 影区间 , 21 cc ； (2) 对 , 21 ccz 用 竖坐标为 z 且平行 xoy 平面的平 面去截 ，得截面 zD ; (3 ) 计算二重积分 z D dxdyzyxf ),( 其结果为 z 的函数 )( zF ； (4 ) 最后计算单

8、积分 2 1 )( c c dzzF 即得三重积分值 . z 2 1 d ( , , ) d d Z c cD z f x y z x y 方法 3. 截面法 (“先二后一 ” )的一般步骤： 返回 上页 下页 目录 2020年 11月 17日星期二 12 a b 为底 , d z 为高的柱形薄片质量为 zD以 x y z 该物体的质量为 ba ZD yxzyxf dd),( ZDba yxzyxfz dd),(d z zD zzyxf d),( 面密度 zd 记作 返回 上页 下页 目录 2020年 11月 17日星期二 13 解 z dxdy dz ,10 zD d x d yz d z

9、1|),( zyxyxD z )1)(1(21 zzdxdy zD 原式 1 0 2)1( 2 1 dzzz 24 1 . x o z y1 1 1 例 3. 计算三重积分 zdxdydz ，其中 为三个 坐标面及平面 1 z y x 所围成的闭区域 . 返回 上页 下页 目录 2020年 11月 17日星期二 14 例 4. 计算三重积分 dxdydzz 2 ，其中 是 由椭球面 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 所成的空间闭区域 . : ,|),( czczyx 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 原式 ,2 zD c c d x d ydzzx y z

10、o zD 解 返回 上页 下页 目录 2020年 11月 17日星期二 15 )1()1( 2 2 2 2 2 2 c zb c zad x d y zD ),1( 2 2 c zab c c dzzczab 22 2 )1( .154 3abc |),( yxD z 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 原式 返回 上页 下页 目录 2020年 11月 17日星期二 16 当被积函数在积分域上变号时 , 因为 ),( zyxf 2 ),(),( zyxfzyxf ),(1 zyxf ),(2 zyxf 均为非负函数 根据重积分性质仍可用前面介绍的方法计算 . 2 ),(),(

11、zyxfzyxf 返回 上页 下页 目录 2020年 11月 17日星期二 17 方法 1. “先一后二” 方法 3. “先二后一” 方法 2. “三次积分” ),( ),(21 d),(dd yxz yxzD zzyxfyx ZDba yxzyxfz dd),(d ),( ),()( )( 2121 d),(dd yxz yxzxy xyba zzyxfyx 具体计算时应根据 三种方法 (包含 12种形式 )各有特点 , 被积函数及积分域的特点灵活选择 . 小结 : 三重积分的计算方法 返回 上页 下页 目录 2020年 11月 17日星期二 18 o x y z ,R),( 3zyxM设

12、, 代替用极坐标将 yx ), z（则 就称为点 M 的柱坐标 . z 20 0 s iny zz c o sx 直角坐标与柱面坐标的关系 : 常数 坐标面分别为 圆柱面 常数 半平面 常数z 平面 o z ),( zyxM )0,( yx 2. 利用柱面坐标计算三重积分 返回 上页 下页 目录 2020年 11月 17日星期二 19 z zd d d zv dddd 因此 zyxzyxf ddd),( 其中 ),s in,c o s(),( zfzF 适用范围 : 1) 积分域 表面用柱面坐标表示时 方程简单 ; 2) 被积函数 用柱面坐标表示时 变量互相分离 . zddd x y z o

13、d d 如图所示 , 在柱面坐标系中体积元素为 返回 上页 下页 目录 2020年 11月 17日星期二 20 例 5. 利用柱面坐标计算三重积分 ， z d x d y d z 22z x y 4z 2 4 , 0 2 , 0 2z z d x d y d z z d d d z 64 3 是由曲面 与平面 所围成的 闭区域。 解 : 闭区域 可表示为 于是 其中 x y z 2 2 2 4 00 d d z d z 返回 上页 下页 目录 2020年 11月 17日星期二 21 oo x y z 例 6. 计算三重积分 解 : 在柱面坐标系下 h h z 4 2 d h dh20 2 2

14、)4(12 h20 2 d1 20 d zyx 422 )0( hhz 所围成 . 与平面 其中 由抛物面 zv dddd 原式 = 返回 上页 下页 目录 2020年 11月 17日星期二 22 其中 为由 例 7. 计算三重积分 xyx 222 0),0(,0 yaazz 所围 解 : 在柱面坐标系下 : c o s20 2 d dc o s34 20 3 2 a c o s20 20 az 0 及平面 2 a x y z o zv dddd 20 d a zz0 d zz ddd2 原式 3 9 8a 柱面 c o s2 成半圆柱体 . 返回 上页 下页 目录 2020年 11月 17日

15、星期二 23 ,R),( 3zyxM设 ),( z其柱坐标为 就称为点 M 的球坐标 . 直角坐标与球面坐标的关系 , Z O M M o x y z z r ),( r则 0 20 0 r c o ss inrx s ins inry c o srz 坐标面分别为 常数r 球面 常数 半平面 常数 锥面 ,rOM 令 ),( rM s inr c o srz 3. 利用球坐标计算三重积分 返回 上页 下页 目录 2020年 11月 17日星期二 24 x y z o d d r rd ddds ind 2 rrv 因此有 zyxzyxf ddd),( ),( rF 其中 )c o s,s i

16、ns in,c o ss in(),( rrrfrF 适用范围 : 1) 积分域 表面用球面坐标表示时 方程简单 ; 2) 被积函数 用球面坐标表示时 变量互相分离 . ddds in2 rr d 如图所示 , 在球面坐标系中体积元素为 返回 上页 下页 目录 2020年 11月 17日星期二 25 x o y z a2 例 8. 求半径为 a 的球面与半顶角为 的 内接锥面所围成的立体的体积 . 解 : 在球坐标系下空间立体所占区域为 : 则立体体积为 zyxV ddd c o s20 2 da rr dsinc o s316 0 3 3 a )c o s1(34 4 3 a c o s20

17、 ar 0 20 0 dsin 20 d rrv ddds ind 2 r M 返回 上页 下页 目录 2020年 11月 17日星期二 26 解 : 在球面坐标系下 : zyxzyx ddd)( 222 所围立体 . 40 Rr 0 20 其中 与球面 ddds ind 2 rrv R rr 0 4 d )22(51 5 R 40 dsi n 20 d x y z o 4 Rr 例 9. 计算三重积分 返回 上页 下页 目录 2020年 11月 17日星期二 27 例 1 0 . 计算 z d x d y d zI ，其中 是球面 4222 zyx 与抛物面 zyx 322 所围的立体 .

18、解 由 22 2 4 3 z z 1 , 3 ,z 知交线为 c o s s in , x y zz 综合练习 返回 上页 下页 目录 2020年 11月 17日星期二 28 2 2 3 2 3 4 00 I d d z d z .413 面上，如图，投影到把闭区域 x o y 2 2 :4 3 0 3 , 0 2 . z ， 返回 上页 下页 目录 2020年 11月 17日星期二 29 例 1 1 . 计算 d x d y d zyxI )( 22，其中 是锥 面 222 zyx ， 与平面 az )0( a 所围的立体 . 解 1 采用球面坐标 az ,c o s ar 222 zyx

19、,4 ,20,40,c o s0: ar 返回 上页 下页 目录 2020年 11月 17日星期二 30 d x d yd zyxI )( 22 drrdd a 4 0 c o s 0 342 0 s i n da )0c o s(51s i n2 5 5 4 0 3 .10 5a 返回 上页 下页 目录 2020年 11月 17日星期二 31 解 2 采用柱面坐标 ,: 222 ayxD d x d y d zyxI )( 222 2 00 aad d d z 3 0 2 ( )a ad 542 54 aa a .10 5a 222 zyx ,z : , 0 , 0 2 ,z a a 返回

20、上页 下页 目录 2020年 11月 17日星期二 32 内容小结 zyx ddd d d d z ddds in2 rr 积分区域 多由坐标面 被积函数 形式简洁 , 或 坐标系 体积元素 适用情况 直角坐标系 柱面坐标系 球面坐标系 变量可分离 . 围成 ; 返回 上页 下页 目录 2020年 11月 17日星期二 33 作业 习 题 8-3 P155-156 2; 7(1); 8(2); 9(2) 返回 上页 下页 目录 2020年 11月 17日星期二 34 思考练习 2, zxz 1. 将 .)(),( Czyxf 用三次积分表示 , ,2,0 xx ,42,1 yxy vzyxfI

21、 d),( 其中 由 所 提示 : xy 2121 I 2 d),(x zzyxf x y2121 d20 dx 六个平面 围成 , : 返回 上页 下页 目录 2020年 11月 17日星期二 35 计算 提示 : 利用对称性 原式 = 122 dd yx yx 0 奇函数 2. 设 返回 上页 下页 目录 2020年 11月 17日星期二 36 其中 .4,1),(21 22 围成由 zzyxz 解 : 利用对称性 zyxyx ddd)(21 22 yxyxz zD dd)(d21 2241 4 2 2 3 1 0 0 1 d d d 2 zz 21 zD 4 z x o y 1 3. 计算