刚体的平面运动

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1、 第第1818章章 刚体的平面运动刚体的平面运动18-1 刚体平面运动概述刚体平面运动概述 在运动中，刚体上的任意一点与某一固定平面在运动中，刚体上的任意一点与某一固定平面 始终保持相等的距离，这种运动称为平面运动。始终保持相等的距离，这种运动称为平面运动。一平面运动的定义一平面运动的定义 纯滚动纯滚动行星机构行星机构 二平面运动的简化二平面运动的简化刚体的平面运动可简刚体的平面运动可简化为化为平面平面 三平面运动方程三平面运动方程平面运动方程平面运动方程)(1tfxA)(2tfyA)(3tf结论：平面图形的运动可分解为随基点结论：平面图形的运动可分解为随基点(A点）点）的平移和绕基点的转动。

2、的平移和绕基点的转动。点不动时，点不动时，角不变时，角不变时，则作定轴转动则作定轴转动则作平移则作平移 刚体的刚体的平面运动平面运动平面图形平面图形在在 时间内从位置时间内从位置I运动到位置运动到位置II若若以以A为基点为基点:随基点随基点A平移到平移到AB后后,绕基点转绕基点转 角到角到AB1 limlim2010tttt2121 dtddtd21若以若以B B为基点为基点:随基点随基点B B平移到平移到B B A A后后,绕基点转绕基点转 角到角到A A B B 2 21 刚体的刚体的平面运动平面运动动系固连在动系固连在A A点的点的平移坐标系平移坐标系AxAx y y AByxOSvAy

3、x一基点法一基点法已知：图形已知：图形S内一点内一点A的速度，的速度，图形角速度图形角速度 求：求：AvBv绝对运动：绝对运动：未知未知相对运动相对运动：以：以A为圆心的为圆心的 圆周运动圆周运动牵连运动牵连运动：平移：平移reavvvBavv Aevv ABABvvBAr大小：方向:SvABAABvvvyxvBvAvBASvAvAvBAvB二速度投影定理二速度投影定理 ABBvBAABvvv ABAv，；BA OBA OvAvBAvBvA以以A A为基点，研究为基点，研究B B点点BAABvvv大小：大小：方向：方向：？r)(coscosrvvAB向向ABAB方向投影方向投影ABvvcos向

4、向OAOA方向投影方向投影BABvvsintanrvBAtanlrABvBAAB顺时针BAvA例：已知图示机构：例：已知图示机构：A的速度的速度已知，已知，AB=l，求：求：滑块滑块B的速度的速度BAvA解：解：AB作平面运动作平面运动vB根据速度投影定理根据速度投影定理 ABAABBvvsinBvcosAv）（tanABvvSvABAABvvvyxvBvAvBA已知：图形已知：图形S内一点内一点A的速度的速度图形角速度图形角速度 求：求：AvBv若存在一速度为零的C点，以C点为基点BCBvv AB90o90oCACAvv BCBCvBc大小：方向:一般情况下一般情况下,在每一瞬时在每一瞬时,

5、平面图形上都平面图形上都唯一唯一地存在一个速度为零的点，称为瞬时速度中心，地存在一个速度为零的点，称为瞬时速度中心，简称简称速度瞬心速度瞬心。一、定理18-3瞬心法求平面图形内各点的速度瞬心法求平面图形内各点的速度CABD基点：C二、平面图形内各点的速度分布ACAvv ACAC大小：方向:vDvAvBC平面图形内任意点的速度等于平面图形内任意点的速度等于该点随图形绕瞬时速度中心该点随图形绕瞬时速度中心转动的速度。转动的速度。ACCAvvvAB90o90oC三确定速度瞬心的方法三确定速度瞬心的方法CABDvDvAvBSABC90o90oCACBvvABSAB90o90oCCACBvvABSAB9

6、0o90o刚体作瞬时平移刚体作瞬时平移vA=vB速度瞬心在无穷远处速度瞬心在无穷远处CBvB0C瞬时平移瞬时平移 指出图示机构中作平指出图示机构中作平面运动的刚体在图示位置面运动的刚体在图示位置时的瞬心。时的瞬心。O1O2(a)AvAvBCBAB 指出图示机构中作平面运动的刚体在图示指出图示机构中作平面运动的刚体在图示位置时的瞬心。位置时的瞬心。BCAO600600vAvBvCCBC BC ABCAB在图示结构中在图示结构中,确定做平面运动杆件的瞬心确定做平面运动杆件的瞬心.O1O2ABC O1O2ABC AB杆和BC杆作平面运动.C1C2例例 已知：曲柄连杆机构已知：曲柄连杆机构OA=AB=

7、l，曲柄曲柄OA以以匀角速度匀角速度 转动。转动。求：当求：当 =45时时,滑块滑块B的速的速度及度及AB杆的角速度杆的角速度)(2lBCvABB解：解：ABAB做平面运动做平面运动BvC速度瞬心为速度瞬心为C C点点llACvAABABAvOOA=rAB=2rBRBABAB为瞬时平移为瞬时平移 轮轮B B作纯滚动，作纯滚动，C C点为瞬心点为瞬心CvA=vB=rAvBv RrRvBB rRRrNCvBN22 解：解：ABAB做平面运动，做平面运动，轮轮B B做平面运动做平面运动NvB例例 图示机构图示机构,已知曲柄已知曲柄OA的角速的角速度度=40rad/s,OA=15cm,AB=80cm,

8、CB=BD=60cm.当曲柄与水平线成当曲柄与水平线成 30 角时连杆角时连杆AB处于水平位置处于水平位置,而而 CB与铅垂线与铅垂线也成也成30 角角.求此机构在图示位置求此机构在图示位置时连杆时连杆AB和和BD的角速度及的角速度及滑块滑块D的速度的速度.OABCD30 30 30 OABCD30 30 30 C1C2C1为为AB杆的杆的瞬心瞬心.C2为为BD杆的瞬心杆的瞬心.解：杆解：杆AB和和BD杆作平面运动杆作平面运动.vA=OA.=6m/sACvAAB1=8.66rad/sABvB=C1B.AB=3.464m/svD=C2D.BD=3.464m/sBDvAvBvDsradBCvBBD

9、/77.56.0464.32ODCBvO 已知已知：半径为：半径为R R的的圆轮在直线轨道上作纯滚动。圆轮在直线轨道上作纯滚动。轮心速度为轮心速度为v vO O。求求：轮缘上：轮缘上A A、B B、C C、D D点的速度。点的速度。ODCBvORvO02vACvC0Av02vABvB02vDAvD例 曲柄连杆机构中，在连杆AB上固连一块三角板ABD，如图所示。机构由曲柄O1A带动。已知曲柄的角速度为2rad/s，曲柄O1A=0.1m，水平距离O1O2=0.05m，AD=0.05m，当O1AO1O2时，ABO1O2，且AD与AO1在同一直线上，=30。试求三角板ABD的角速度和点D的速度。O1O

10、2ABD解、ABD作平面运动，O1O2ABDCABDvAvDvB10.2 m/sAvO A110.1866 mCACOO A1.072 rad/sAABDvCA0.2366 mCDCAAD0.254 m/sDABDvCD其速度瞬心在点C。1.072 rad/sAABDvCA18-4平面图形内各点加速度分析平面图形内各点加速度分析动系固连在动系固连在A A点的点的平移坐标系平移坐标系AxAx y y AAaB已知：图形已知：图形S内一点内一点A的加速度，的加速度，图形角速度图形角速度，求：求：AaBayx动系固连在动系固连在A A点的点的平移坐标系平移坐标系AxAx y y 绝对运动：绝对运动：

11、未知未知相对运动相对运动：以：以A为圆心的为圆心的圆周运动圆周运动牵连运动牵连运动：平移：平移reaaaaBaAAaBAaBAnBAaa平面图形内任一点的加速度等于基点的加平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与相对基点转动的切向加速度和法向速度与相对基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和，加速度的矢量和，称基点法。称基点法。AAaBnBAaBAaBAnBAABaaaa方向大小nBAa方向ABAB2方向大小BAa方向ABABaAaAaB刚体瞬时平移时各点的加速度特性刚体瞬时平移时各点的加速度特性刚体刚体瞬时平移瞬时平移时，任意两点的加速度在其连时，任意两点的加速度在其连线上的投影相等。线上

12、的投影相等。BAnBAABaaaaBAABaaaABBa BAaABAa 已知：已知：O1A=O2B，图示瞬时，图示瞬时 O1A/O2B试问：试问：(a)，(b)两种情况下两种情况下 1和和 2，a1和和a2是否相等？是否相等？(a)(b)vAvBanAanBatAatB 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2cossincossinntntAABBaaaattAB杆平移杆平移AB杆瞬时平移杆瞬时平移例例 图示正方形薄板边长图示正方形薄板边长20 mm20 mm，在其平面内运动。，在其平面内运动。某 瞬 时 顶 点某 瞬 时 顶 点A A和和B B的 加 速 度 分 别

13、的 加 速 度 分 别为为 ，方向如图。求，方向如图。求薄板的角速度和角加速度。薄板的角速度和角加速度。240 2 mm/sAa 280 mm/sBa DCBAaBaA解：薄板作平面运动解：薄板作平面运动DCBAaBaAa nABa tABaBntABABAB aaaa240 2 mm/sAa 280 mm/sBa 取取B为基点分析为基点分析A点的加速度点的加速度大小：大小：方向：方向：?向向x方向投影得：方向投影得：tcos45ABABaaa DCBAxyaBaAa nABa tABaBncos45AABaa ntABABAB aaaa)/(40222402smmanAB)/(22040sr

14、adABanAB向向y方向投影得：方向投影得：)/(4022240802smmaAB)/(22040sradABaAB例：半径为例：半径为R的车轮沿直线轨道作无滑动的滚动的车轮沿直线轨道作无滑动的滚动,如如图所示图所示.已知轮心已知轮心 A在图示瞬时的速度为在图示瞬时的速度为vA及加速度及加速度为为aA.求该瞬时车轮边缘上瞬心求该瞬时车轮边缘上瞬心 C的加速度的加速度AvAaACAvAaA解：轮解：轮A作平面运动作平面运动CRvARaAnCACAACaaaaaACAanCAaRaCA2 RanCA）（RvaAC2 Aa2RvRARvA2大小：大小：方向：方向：?？xy0CAAcxaaaRvaa

15、AnCAcy2C为其瞬心为其瞬心以以A为基点为基点例例:图示曲柄连杆机构中，已知曲柄图示曲柄连杆机构中，已知曲柄OA长长0.2 m，连杆，连杆AB长长1m，OA以匀角速度以匀角速度 =10 rad/s绕绕O轴转动。求图轴转动。求图示位置滑块示位置滑块B的加速度和的加速度和AB杆的角加速度。杆的角加速度。O45A45B解解:AB作平面运动作平面运动tnBABABA aaaaO45AaBBaAa nBAa tBAaA以以A点为基点点为基点,分析分析B点点大小：大小：方向：方向：?22/20smOAaAAB作平面运动，瞬心在作平面运动，瞬心在C点点2m sAvOA2rad sAABvACOAB45A

16、vA45vBBCn224m sBAABaABtnBABABA aaaa?大小：大小：方向：方向：tnBABABA aaaaO45AaBBaAa nBAa tBAaAx将加速度投影到将加速度投影到y轴上得轴上得tsin45BABAaaancos45BBAaa25.66m sBa t216m sBAat216rad sBAABaABy将加速度投影到将加速度投影到x轴上得轴上得n2220m sAAaaOAn224m sBAABaAB例：平面四连杆机构中，曲柄例：平面四连杆机构中，曲柄OA长长r，连杆，连杆AB长长l4r。当曲柄和连杆成一直线时，此时。当曲柄和连杆成一直线时，此时曲柄的角速度为曲柄的角

17、速度为，角加速度为，角加速度为，试求摇杆，试求摇杆O1B的角速度和角加速度。的角速度和角加速度。OO1AB3030OO1ABnBAanAanAatAatBanBatAatBAa解：解：AB作平面运动作平面运动以以A为基点为基点大小：大小：方向：方向：?BAnBAAnABnBaaaaaaranA2raAAB作平面运动作平面运动速度瞬心在速度瞬心在B点点OO1AB3030110BO BvO BvAvB0BvOanBlrABvAABlaABnBA24222rlr大小：大小：方向：方向：?BAnBAAnABnBaaaaaaranA2raA将加速度向将加速度向ABAB投影得投影得：ntnncos30co

18、s60BBABAaaaatnn2221()cos6012()452BABAaaarrr 12t21532523BO BrarOBOO1ABnBAanAanAatAatBanBatAatBAa30BAnBAAnABnBaaaaaaABCD1001004545例例:平面四连杆机构的尺寸和位置如图所平面四连杆机构的尺寸和位置如图所示，如果杆示，如果杆AB以等角速度以等角速度 =1 rad/s绕绕A轴转动，求轴转动，求C点的加速度。点的加速度。ABCD45aBaBnCBatCBatCanCa取取B为基点分析为基点分析C点的加速度点的加速度解解:BC作平面运动作平面运动CBnCBBCnCaaaaa大小：

19、大小：方向：方向：?smmABaB/100245ABCDO100100vCvB4545O为该瞬时为该瞬时BC的速度瞬心。的速度瞬心。200 mm100 2 mm,200 2 mmOBBCOCCD0.5rad/sBBCvABOBOB50 2 mm/sCBCvOCBCn2225 2 mm/sCBBCaBC2n217.68 mm/sCCvaCDABCDaB45aBnCBatCBatCanCa将加速度向将加速度向BC方向投影得：方向投影得：aC负值表明实际方向与假设方向相反。负值表明实际方向与假设方向相反。n2t22()()107.5 mm/sCCCaaaCBnCBBCnCaaaaanCBBcaaa045cos2/27522522100smm2n217.68 mm/sCCvaCD054.8045