极限与导数

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1、第十四章 极限与导数一、 基础知识1极限定义：(1)若数列u 满足，对任意给定的正数，总存在正数m,当nm且nUN时，恒有|u-A|nn成立(A为常数)，则称A为数列u当n趋向于无穷大时的极限，记为lim /(x), lim /(x)，另外nX T+8XT-8lim /(x) =A表示x大于x且趋向于x时f(x)极限为A，称右极限。类似地lim /(x)表示x小于x且0XT xo趋向于叫时f(x)的左极限。2极限的四则运算：如 果 lim f(x)=a,XTX0lim g(x)=b ， 那 么 lim f(x) g(x)=a b,XTX0XTX0lim f(x) g(x)=ab, limXTX

2、0XTX03.连续：如果函数f(x)在x=x处有定义，且lim f(x)存在，并且lim0XT X0f(x)=f(x ),则称 f(x)在 x=x 处连00XT X0续。4最大值最小值定理：如果f(x)是闭区间a,b上的连续函数，那么f(x)在a,b上有最大值和最小值。5导数：若函数f(x)在x0附近有定义，当自变量x在x处取得一个增量厶x时(4 x充分小)，因变量yAy也随之取得增量厶y(A y=f(x+A x)-f(x) 若lim 存在，则称f(x)在x处可导，此极限值称为f(x)00AX T0 AX0在点x处的导数(或变化率)，记作/ (x。)或y x - xoX0即广(xo)二 lim

3、XTXf (X) - f (X )0X - X0由定义知f(x)在点x连续是f(x)在x可导的必要条件。00若f(x)在区间I上有定义，且在每一点可导，则称它在此敬意上可导。导数的几何意义是：f(x)在点x处导数f (x)等于曲线y=f(x)在点P(x,f(x)处0 0 0 0切线的斜率。6 几个常用函数的导数：(1 ) (c) =0 ( c为常数)；(2 ) (x ) = aXa-1 ( a为任意常数)；(3 )a(sin x)二 cosx; (4) (cos x)二一sin x ；(5) (a*)二 a* lna ；(6) (e*)二 e* ；( 7 )11(log x)二一log x ；

4、(8) (lnx)二.a X aX7导数的运算法则：若u(x),v(x)在x处可导，且u(x)H0,则(1 ) u(x) 土 v(x)二 u(X) 土 v(x) ； ( 2 ) u(X)v(X)二 u(x)v(x) + u(x)v(x) ； ( 3 )cu(x) = C - u (x) (c 为常数)；(4)柑=-u(x)u2(x)瞑=u(x)u(x)v(x)-u(x)v(x)8复合函数求导法：设函数y=f(u),u= P (x),已知P (x)在x处可导，f(u)在对应的点u(u= P (x)处可 导，则复合函数 y=f P (x)在点 x 处可导，且(fp (x) = fp (x)p(x)

5、.9.导数与函数的性质：(1)若f(x)在区间I上可导，则f(x)在I上连续；(2)若对一切x(a,b)有 f (x) 0，则 f(x) 在 (a,b)单调递增;(3)若对一切 xG (a,b)有 f (x) 0，则 f(x) 在 x 处取得极小值；若广(化)f(a )且f(c)=m,则cG(a,b),且f(c )为最大值，故f (c)二0，综上得证。14 . Lagrange中值定理：若f(x)在a,b上连续，在(a,b)上可导，则存在g G (a,b)，使广忆)二件也.b-af (b) - f (a)(x-a)证明令 F(x)=f(x)-(x a)，则 F(x)在a,b上连续，在(a,b)

6、上可导，且 F(a)=F(b)，b - aF 心、皿、f (b) f (a)所以由13知存在g G (a,b)使F(g) =0,即f (g)二-b-a15曲线凸性的充分条件：设函数f(x)在开区间I内具有二阶导数，(1)如果对任意xGI,广(x) 0 , 则曲线y=f(x)在I内是下凸的；(2)如果对任意xGI, f (x) 1 时， limanns 1 + a nn2i 0) ；( 3 )(1 nlim +1=1.ns w丿当 0a1 时，anlimanlimns 1+ ann1 + lim a n=0.anns当 a=1 时，lim-r= lim7ns 1 a nns 1 十1n(3)因为

7、n 2 + n+ +：n 2 + 2vn 2 + n、n 2 +1而lim nsn=limnTg i=1,lim 1ns -n 2 +1=limns=1,:1+1In 2所以lim+ +n 2 +1n 2 + 2二 1.4)vn 2 + n 丿lim x. n(Un +1 pn) = limn8、 n +1 + Q n=limnsns:1+- +1! n例2求下列极限：(1) lim (1+x)(1+x2)(1+ x22)(1+ x2 )(lxl/1 + x)(x 1)( x +1)(/3 x + x/1 + x) (x +1)(*3 x + 1 + x)lim= limxtI2连续性的讨论。

8、例3设f(x)在(-8,+8 )内有定义，且恒满足f(x+l)=2f(x)，又当xG 0,1)时，f(x)=x(l-x)2，试讨论f(x) 在 x=2 处的连续性。解当 xG 0,1 )时，有 f(x)=x(l-x)2,在 f(x+1)=2f(x)中令 x+1=t，则 x=t-1，当 xG 1,2)时，利用 f(x+1)=2f(x)有 f(t)=2f(t-1)，因为 t-1 G 0,1),再由 f(x)=x(l-x)得 f(t-l) = (tT)(2-t)2,从而 t G 1,2) 时，有 f(t)=2(t-1)(2-t)2 ；同理，当 x G 1,2)时，令 x+1=t，则当 t G 2,3

9、)时，有f(t)=2f(t-1)=4(t-2)(3-t) 2.从而 f(x) =2(x 1)(2 x)2,x G 1,2)4(x 2)(3 x)2,x g b,3)所以lim f(x)=lim2(x1)(2x)2 =0,lim f(x)=lim4(x2)(3x)2=0 ， 所 以x2x 2x2+x2+l if(xm lim f(x)=f(2)=0，所以 f(x)在 x=2 处连续。x2x2+3利用导数的几何意义求曲线的切线方程。1 1 (2 )=(2 x )，所以x=1，所以所求的切线方程为y=-(x-2)，即x+y-2=0.xx 20004导数的计算。例 5 求 下 列 函数 的 导 数 ：

10、_ 5x2 + 3x Jx(1 ) y=sin(3x+1) ； ( 2 ) y =； ( 3 ) y=ecos2x ； ( 4 )y = ln(x + x2 1) ；(5)1y=(l-2x) x (x0 且 x 0,求函数f(x)=* x -ln(x+a)(x丘(0,+8)的单调区间。解1x+a(x 0)因为 x0,a0， 所以 f(x) 0 o x2+(2a-4)x+a20f(x) 0 o x2+(2a-4)x+a+1 时，对所有 x0,有 X2+(2a-4)x+a20，即 / (x)0,f(x)在(0,+)上单调递增；(2)当 a=1时，对xHl,有X2+(2a-4)x+a20，即f (x

11、) 0，所以f(x)在(0, 1)内单调递增，在(1, +)内递 增，乂 f(x)在 x=1 处连续，因此 f(x)在(0,+8)内递增；(3)当 0a1 时，令 f (x) ，即 X2+(2a-4)x+a20, 解得 x2-a+ 2 a，因此，f(x)在(0,2-a- 2fl a )内单调递增，(2-a+ 21 a，+ 8)内也单调递增，而当2-a- 2、”；1 - a x2-a+ 2丫1 - a 时，x2+(2a-4)x+a0,2广(x) 2x.则 f ( x )兀=cosx+sec2x-2 ， 当 x1 c ox & 2 ：c oxsco2 xco2 x c ox s因 为 0cosx1

12、 )f(x)=cosx+sec2x-2=cosx+ .又 f(x) 在cos 2 x增，所以当xe时，f(x)f(0)=0，即 sinx+tanx2x.上连续，所以 f(x) 在上单调递7. 利用导数讨论极值。例 8 设 f(x)=alnx+bx2+x 在 x =1 和 x =2 处都取得极值，试求 a 与 b 的值，并指出这时 f(x) 在 x 与 x 处是 1 2 1 2取得极大值还是极小值。解因为f(x)在(0,+8)上连续，可导，又f(x)在x=1，x=2处取得极值, 所以广二广(2)二0,12又f(x)二a+2bx+1，所以xa + 2b +1 = ,a-+ 4b +1 = ,223

13、162 12 1(x 1)(2 x)所以 f (x)=厅Inx x2 + x, f (x)=亍x +1 =3 63x 33 x所以当xe(0,1)时，广(x) ，所以 f(x) 在1，2上 递增;当 xe (2,+8) 时， f (x) 0,tanxx，所以 g (x) 0 ；当x e ，兀当12丿时，因为 cosx0,tanx0,x-tanx0，所以 g (x) g(x)即(1 y ) x 一 Oy2 sin x又因为 0，所以当 xG (0, n ),yG (0,1)时，f(x,y)0.(1 一 y)2 x其次，当 x=0 时，f(x,y)=0；当 x=n 时，f(x,y) = (1-y)

14、sin(1-y)n 三0.当 y=1 时f(x,y)=-sinx+sinx=0； 当 y=1 时f(x,y)=sinx0.综上，当且仅当x=0或y=0或x=n且y=1时，f(x,y)取最小值0。三、基础训练题2 n+1 + 3 n+11. limn T8 2 n + 3 n2已知limn2 + 1n +1-an - b = 2，则 a-b= 丿31 + cos lim皿33x 2 一 4 x + 1+ limnsns33x 一 2 x 2 + 2xn+1 (n +1) x + n4. lim(x 一 1)25计算limns2 + (一1) nn+ lim (* x2 +1 x2 1)=x T+

15、86若f(x)是定义在(-6,+s)上的偶函数，且广()存在，则广()二.f (2) lim f (2 + h) f (2 h)7函数 f(x)在(-8,+8)上可导，且 J (2)二glim二hT2h8若曲线f(x)=x4x在点P处的切线平行于直线3x-y=，则点P坐标为.9. 函数f(x)=x-2sinx的单调递增区间是.10函数f (x)=山J的导数为.1 + X 2ii若曲线y =1(x 2 ax)21在点M(2,4)1处的切线的斜率为4，求实数 a.12. 求sin29o的近似值。兀sin aatan a13. 设 0ba，求证：-2sinbbtanb四、高考水平练习题1.计算lim

16、n fg1 + 2 + 4 + + 2n11 + 3 + 32 + + 3n12计算 limxf+gx32x 2 1、X 22 x +1丿3 .函数f(x)=2x3-6x2+7的单调递增区间是.e x ex4函数y=e的导数是 5 函数f(x)在xo邻域内可导a，b为实常数若广(x)二c，则1 . f (x + a Ax) 一 f (x 一 bAx) l i m AxfAx函数f(x)=2ex(sinx+cosx),x兀x G 迈 的值域为7. 过抛物线X2=2py上一点(x,y)的切线方程为 .008. 当x0时，比较大小：ln(x+1)x.9. 函数f(x)=xs-5x4+5x3+1,xE

17、 -1,2的最大值为，最小值为10. 曲线y=e-x(x0)在点M(t,e-t)处的切线l与x轴、y轴所围成的三角形面积为S(t)，则S(t)的最大值为.11. 若 x0,求证：(X2-I)lnx三(xT)2.12. 函数y=f(x)在区间(0,+s)内可导。导函数f(x)是减函数，且f(x) 0, x丘(0,+8).y=kx+m是曲0线y=f(x)在点(x,f(x)处的切线方程，另设g(x)=kx+m, (1)用x ,f(x ), / (x0)表示m； (2)证明：当0 0 0 0 03 2xW(0,+8)时，g(x)三f(x)； (3)若关于x的不等式X2+1三ax+b三？ X3在(0,+

18、)上恒成立，其中a,b为实数，求b的取值范围及a,b所满足的关系。13.设各项为正的无穷数列x 满足lnx + nnxn+1 1(n e N +)，证明:x 1(nGN).五、联赛一试水平训练题1设M = (十进制)n位纯小数0aa a 1 a只取0或1 (i=1,2,n-1),n1 2 n ia=1 ， T 是 M 中元素nn n的个数， S 是 M 中所有元素的和，则nnlimns2若(1-2x)9展开式的第3项为288，则r (1 1 1 ) lim + + 3设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x 0，且 g(-3)=0，则不等式 f(x)g(x) a(a 0)恒成

19、立，则y=lg(a2-a+3)的最小值为.8. 已知 f(x)=ln(ex+a)(a0)，若对任意 xG ln(3a),ln(4a)，不等式 | m-f-1(x)|+ln f (x)0 恒成立,则实数m取值范围是.9. 已知函数 f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,( 1 )求函数 f(x)的最大值；(2 )设 0ab ,证明：(a + b、0g(a)+g(b)- 2g z(b-a)ln2k 2丿10(1)设函数 f(x)=xlog2x+(1-x)log2(1-x) (0x1)，求 f(x)的最小值；(2)设正数 p1,p2,，p2n满足p+p+p+ P =1, 求证：plogp

20、+p logp+ P log P 上-n.1 2 32 n1 2 1 2 2 22 n2 2n11若函数z的定义域A,且)=a -1丿(b2+ 1，其中a,b为任意的正实数，且ab,Ix丿1 )求 g(x) 的最小值；A2)讨论 g(x) 的单调性A(3)若 x 丘 I =k2,(k+1)2】，x G I =(k+1)2,(k+2)2，证明:1 k2k+14k (k +1)六、联赛二试水平训练题1证明下列不等式:(1)x2x -2 ln(x) 0)；2(1 + x)2)tan xxsin xab -bc -cd -da2当 OGWbWcWd 时求 f(abCd)= ba . cb dc ad 的最小值。3 .已知 x,y G (0,1)求证：xy+yx1.