自然数平方和

《自然数平方和》由会员分享，可在线阅读，更多相关《自然数平方和（5页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、这里的自然数指的是不包含0的传统自然数。1八2+2八2+3八2+4八2+.nA2=?（nT表示nXn=n2为了好打字）一、推导1、直接推导：1+2+3+4+,+n=(1+n)*n/2+2+3+4+,+n=(2+n)*(n-1)/2+3+4+,+n=(3+n)*(n-2)/2+(i+1)+,+n=(n+i+1)*(n-i)/2(i=0,n-1)|S=(2*nA3+3*nA2+n-2S)/4两边求一下得所求S此法较为直观正规2、用其他的公式推导：数学归纳容易证明1x2+2x3+3x4+4x5+.+nx(n+1)=1/3xn(n+1)(n+2)(法易证，而左式可写成1x2+2x3+3x4+4x5+n

2、x(n+1)=(1x1+2x2+.+nxn)+(1+2+.+n)于是1x1+2x2+.+nxn=1/3xn(n+1)(n+2)-1/2xn(n+1)=1/6xn(n+1)(2n+1)3、二项式推导：2A3=1A3+3*1A2+3*1+13A3=2A3+3*2A2+3*2+14A3=3A3+3*3A2+3*3+1(n+1)A3=nA3+3*nA2+3An+1sumupbothsidessubstractcommonterms:(n+1)A3=3*b+3*(n+1)*n/2+n+1=solveforbb=1A2+2A2+.+nA2此法需要较强的基本功，属奥妙之作4、立方差公式推导(此法高中生都能看

3、懂吧)TM3-l)3=冲24-l)2=知+1l3-03=3xla-3xl+l23-15=3x23-3x2+1扌-23=3x32-3x3+1宀二妒_弟+将上面各式相加得：n3=3(la+2:+3g+-+n3)-3n(n+1)+2+2讣护+r?=(n=+泌也f门=畑)(2265、用现成恒等式推导利用一争恒等式：(M+1/-卅=3卅+3叫十！令川=!,2t3f-fn得2灯+3x1+135-2J=3x2J+3x2+1-4J_y=3m3i+3x3+1(n+1)3-n3=3xn2+3xn+1将上述h各等式加得:(n+1)3-1=3x(l2+2?+32+n2)+3x(1+2+3+m:、3x(l2+护+S2+

4、X)M(?i+iy-1-3x(1+2+3+-+n)-Mp+Z+d_3x警号+i)如m冷S+I)心+1小现+n:.l2+?+?+-+J72=ljKn+lX2n+l)(6类似地，可以利用恒叙：(+厅7、4n3十帘+4卄1推出：2+，+n?=?/t?71；-你确试试看4另外诸柱意到：自楓的立方和，恰好等于自燃数和的平方-这祥记起来容易二、证明1、数学归纳法1A2+2A2+3A2+,+nA2=n(n+1)(2n+1)/6当n=1时,显然成立.设n=k时也成立,即：1A2+2A2+3A2+,+kA2=k(k+1)(2k+1)/6那么当n=k+1时,等式的左边等于：1A2+2A2+3A2+,+kA2+(k

5、+1F2=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1F2=(k+1)k(2k+1)/6+(k+1)=(k+1)2kA2+k+6k+6/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6而等式的右边等于:(当n=k+1时)(k+1)(k+1+1)(2k+2+1)/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6即当n=k+1时，等式左边等于等式的右边所以对于一切n,等式都成立此法给初中和小学生讲是没法了，现在的教育之痛，用某小学老师的话来说，小学生的题是出给家长作的，呜，砖家当道啊，有没有满足他们拔苗助长嗜好的奥数方法呢2、图形法计算12+22+32+42。根据平方的含义和乘法的含义，我们可以将这个算式改写：12=1

6、X仁1、22=2X2=2+2、32=3X3=3+3+3、42=4X4=4+4+4+4，则12+22+32+42=1+2+2+3+3+3+4+4+4+4。把这10个加数排写在一个三角形内(图1)，计算这个算式的和，就是计算这个三角形内所有数的和。(其实学生如果会算自然数n项和，下面的说明就可省了，不过想个个学生成高斯，结果个个搞死了，呵呵)我们对图1进行两次“复制”，得到两个和图1完全相同的三角形，把其中一个逆时针旋转60得到图2,另一个顺时针旋转60得到图3。先把图2和图3重合，得到图4。图4中，重合的两个图形相对应位置的两个数相加，它们的和有什么规律呢？我们发现，从上往下看，第一行两个数的和

7、是8,第二行两个数的和都是7，第三行两个数的和都是6，第四行两个数的和都是5。再把图4和图1重合，得到图5。从图中可以看出，每个圆圈中都有三个数，这三个数的和都是9,9=2X4+1。而10=1+2+3+4=(1+4)X4-2。图5中所有数的和应是图1中所有数的和的3倍，所以图1中所有数的和=9X10十3=(2X4+1)X(1+4)X4-2-3=4X(1+4)X(2X4+1)X1/6。即12+22+32+42=4X(1+4)X(2X4+1)X1/6。观察这个算式，用同样的思考方法，我们可推出这样的结论：12+22+32+42+,+n2=nX(1+n)X(2Xn+1)X1/6这个不是证明的过程对小学生来说算是证明吧。