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1、1.4常用的分布及其分位数1.卡平方分布卡平方分布、t分布及F分布都是由正态分布所导出的分布，它们与正态分布一起，是试验统计中常用的分布。当Xi、2、Xn相互独立且都服从N(0,1)时，Z=zx2的ii分布称为自由度等于n的X2分布，记作ZX2(n),它的分布密度1n-1-zx2e2,n|22rnj12J0,p(z)=z0其他,+8u21e-udu0式中的q2j，称为Gamma函数，且(1)=1,r|1|=；noX2分布是非对称分布，具有可加性，即当Y与Z12八相互独立，且YX2(n),ZX2(加)，则Y+ZX2(n+m)o证明：先令X、X2、Xn、Xn+i、Xn+2、Xn+m相互独立且都服从
2、N(0,1),再根据X2分布的定义以及上述随机变量的相互独立性,令Y=X2+X2+X2,Z=X2+X2+X2,12nn+1n+2n+mY+Z=X2+X2+X2+X2+X2+X2,12nn+1n+2n+m即可得到Y+ZX2(n+m)o2.t分布若X与Y相互独立，且XN(0,1),YX2(n),则Z=X二的分布称为自由度n等于n的t分布，记作Zt(n),它的分布密度n+12(2j一1+Jn(2)In丿请注意：t分布的分布密度也是偶函数，且当n30时，t分布与标准正态分布N(0,1)的密度曲线几乎重叠为一。这时，t分布的分布函数值查N(0,1)的分布函数值表便可以得到。3.F分布若X与Y相互独立，且
3、XX2(n),YX2(m),则Z=XY的分布称为第一自由度等于n、第二自由度等于n/mm的F分布，记作ZF(n,m),它的分布密度nm(n+m、丁丿(m、l込丿0,p(z)=Jmirlr二12丿n-1z2,z0n+m(m+nz)2其他。F(m,n)。请注意：F分布也是非对称分布，它的分布密度与自由度的次序有关，当ZF(n,m)时，丄Z4.t分布与F分布的关系若Xt(n)，则Y=X2F(1,n)。证：Xt(n),X的分布密度p(x)=庐r2ll12Y=X2的分布函数F(y)=PYy=PX2y。Y当y0时，F(y)=P-戸X.j=J匸p(x)dx=2J弓p(x)dx,-.y0p(y)=l、2丿-Y
4、,(1、(n丿rr1212丿Y=X2的分布密度1+n、1-1y21+n(n+y)2与第一自由度等于1、第二自由度等于n的F分布的分布密度相同，因此Y=X2F（1,n）。为应用方便起见，以上三个分布的分布函数值都可以从各自的函数值表中查出。但是，解应用问题时，通常是查分位数表。有关分位数的概念如下：4.常用分布的分位数1）分位数的定义分位数或临界值与随机变量的分布函数有关，根据应用的需要，有三种不同的称呼，即a分位数、上侧a分位数与双侧a分位数，它们的定义如下：当随机变量X的分布函数为F（x），实数a满足0a入=1-F（入）=a的数入，双侧a分位数是使PXV入i=F（入i）=0.5a的数入使PX
5、入2=1-F（入2）=05a的数入2。因为1-F（入）=a,F（入）=1-a,所以上侧a分位数入就是1-a分位数xra；F（入i）=05a,1-F（入2）=05a，所以双侧a分位数入i就是0.5a分位数x05a双侧a分位数入2就是1-0.5a分位1-05a2）标准正态分布的a分位数记作ua,0.5a分位数记作u0.5a1-0.5a分位数记作u1-0.5a当XN(0,1)时，PXua=F01(Ua)=a,01PXU0.5a=F0,1(u0.5a)=5a，PXu1-0.5a=F0,1(u1-0.5a)=1-0.5a。根据标准正态分布密度曲线的对称性，当a=0.5时，ua=0；当a0.5时，ua0。
6、ua=-u1-a。如果在标准正态分布的分布函数值表中没有负的分位数,则先查出u1a,然后得到Ua=-u1a。论述如下：当XN(0,1)时，PXua=F01(ua)=a,U,1PXU1-a=1-F0?1(U1-a)=a，故根据标准正态分布密度曲线的对称性，Ua=-ua。例如,u=-0.10u=-1.282,0.90u0.05=u=-0.951.645,u=-0.01-u=-0.992.326,u=0.025:-u=0.975=-1.960,U0.005=-U0.995=-2,576又因为PIXIVu1-0.5a=1-a,所以标准正态分布的双侧a分位数分别是u1-0.5a和-U1-05a标准正态分
7、布常用的上侧a分位数有：a=0.10，u090=1282；a=0.05,u0=1645；a=0.01,u0=2326；a=0.025,u0=1960；a=0.005,u0=2.5760.995卡平方分布的a分位数记作咒2a(n)X2a(n)0,当XX2(n)时，PX005(4)=0.21,Z2仇血(4)=0.48,X20.05(4)=0.71,X20.95(4)=9.49,X20.975(4)=111,X20.995(4)=14.93) t分布的a分位数记作ta(n)另外，当n30时，在比较简略的表中查不到ta(n),可用ua作为ta(n)的近似值。OXOX当Xt(n)时，PXvta(n)=a
8、，且与标准正态分布相类似，根据t分布密度曲线的对称性，也有ta(n)=-11-a(n),论述同ua=-ua。例如，t0.95(4)=2.132,t0975(4)=2.776,10.995(4)=4604,10.005(4)=-4.604，t0.025(4)=-2.776，t0.05二-2.132。5)F分布的a分位数记作Fa(n,m)。Fa(n,m)0,当XF(n,m)时，PXFa(n,m)=a。另外，当a较小时，在表中查不出Fa(n,m),须先查F1a(m,n),再求Fa(n,m)=1。论述如下：F1-a(m，n)当XF(m,n)时，PX1=1-a,P11=a,XFi-a(m,n)XFi-a
9、(m,n)又根据F分布的定义，1F(n,m),P_Fa(n,m)=a,XX因此Fa(n,m)=1F1(m,n)例如，F095(3,4)=6.59,F0975(3,4)=998,F099(3,4)=16.7,F095(4,3)=912,F0975(4,3)=151,F099(4,3)=2871i1(3,4)=爲,F0025(3,4)=書,F0.050.990.9750.010.950.99F0.0250.9751(34)=942【课内练习】1.求分位数咒20.05(8)，咒20.95(12)。2. 求分位数t0.O5(8),10.95(12)。3. 求分位数Fo.O5(7,5)，Fo.95(1O
10、,12)。4. 由u0.975=1.960写出有关的上侧分位数与双侧分位数。5. 由10.95(4)=2.132写出有关的上侧分位数与双侧分位数。6. 若X咒2(4),PXv0711=005,PXv949=095，试写出有关的分位数。7. 若XF(5,3),PX1.44。10i习题答案：1.2.73，21.0o2.-1.860,1.782o3.丄，3.37。4.1.960为上侧0.025分位数，-1.960与1.9604.88为双侧0.05分位数。5.2.132为上侧0.05分位数,-2.132与2.132为双侧0.1分位数。6.0.711为上侧0.95分位数,9.49为上侧0.05分位数,0.711与19.49为双侧0.1分位数。7.9.01为上侧0.05分位数，541为上侧005分位数，丄与541为双侧0.1分位数，丄与9.015.419.01为双侧0.1分位数。8.0.1。
统计学常用分布及其分位数
