4甲型光学第四章光的相干叠加

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1、第4章 光的相干叠加相干光的获得分立光束的干涉光的衍射4.1 相干光的获得 1、普通光源是自发辐射 2、所发出的波列之间相位无关联 3、即使波长相等，也是非相干的定态光波场中，任意的两列波之间的相位差都是稳定的；但是，由于波场中有无数的波列，相位可以取任意值，总的效果，相位所起的作用被抵消了，即干涉项消失了 对于任意的两列定态光波，叠加后 所有光波叠加，可任意取值 对于波场而言，干涉项消失 各处光强平均，没有明暗分布，没有干涉 这就是普通光源发光过程无法控制的结果 光源中大量的原子，随机发光。不同原子发出的光波是不相干的。同一原子在不同时刻所发出的光波也是不相干的。2222012cosd2co

2、smnmnmnmnmnmnmnIAAA AtAAA A2222,2cosmnmnmnmnmnm nm nm nmIAAA AAAmn“自己与自己相干”如果只有不是很多的一些波列，则干涉是可以实现的 但实际上做不到 只有将每一列波都分为几部分，然后进行叠加 这几部分是相干的，所以是相干叠加，就可以实现干涉杨氏干涉 挡板上的孔、缝将一列波分成了几列 是相干的，进行干涉将每一列波都分成相干的几部分2212122cosiiiiiiIAAA A221212112cosiiiiiiiIIAAA A1110iiikr2220iiikr121020()()iiik rr2r1r221212112cos()ii

3、iiiiAAPA A干涉项0相干叠加非相干叠加12()P 干涉的特点 干涉是一列一列分立的光波之间的相干叠加 干涉是一列光波自己和自己的干涉 干涉的结果，使得光的能量在空间重新分布，形成一系列明暗交错的干涉条纹 干涉之后的光波场仍然是定态波场对杨氏干涉的评价 简单：只有一个分光波的装置 巧妙：自身之间相干叠加；不同波列之间光强叠加（非相干）深刻：1、找到了相干光；2、干涉是自身的一部分与另一部分的叠加 3、这是量子力学的基石之一4.2 两列单色波的干涉花样 一两相干个点光源的干涉一两相干个点光源的干涉 发出球面波，在场点P相遇。)2cos()cos(01111011111trnAtrkA)2c

4、os()cos(02222022222trnAtrkA1S2S1r2r),(zyxP可设初位相均为零)(21122rnrn2 21 1Ln rn r)(212rr 21Lrrj 21(21)2Lrrj光程差 如果在真空中 干涉相长 干涉相消 j=0，(/-)1，2，3，4，干涉级数交错的亮条纹和暗条纹在空间形成一系列双叶旋转双曲面。在平面接收屏上为一组双曲线，明暗交错分布。干涉条纹为非定域的，空间各处均可见到。1S2S杨氏双孔干涉 轴外物点和场点都满足近轴条件 可以求得发出的光波在屏上的复振幅1S2S1r2r),(yxPDd)2exp(2)2/(exp),(2221xDikdDyxdDikDA

5、yxU)2exp(2)2/(exp),(2222xDikdDyxdDikDAyxU12(,)(,)(,)U x yU x yUx y222(/2)exp exp()exp()222Adxyikdikdik DxxDDDD)2cos(2)2/(exp2222xDkdDyxdDikDA合成的复振幅为)2(cos4)2(cos4)2(cos2202222xDkdIxDkdDAxDkdDAI强度分布为 20)(DAI 从一个孔中出射的光波在屏中心的强度 D0I04I是一系列等间隔的平行直条纹)2(cos420 xDkdII干涉相长（亮条纹）jxDkd2dDjkdDjx2干涉相消（暗条纹）2)12(2j

6、xDkddDjkdDjx21222)12(Dxd相邻亮（暗）条纹间隔XYXDxjd n Dxd n相邻亮（暗）条纹间隔如光源和接收屏之间充满介质，则亮条纹位置为 tn1r2rP11()rrtnt 1(1)rnt12()()(1)L Prrnt光程差每改变1个波长，条纹移动1个间隔干涉条纹的反衬度（可见度）反衬度的定义：在接收屏上一选定的区域中，取光强最大值和最小值，有mMmMIIII221221)(,)(AAIAAImM 当A1=A2时，=1，反衬度最大 当A1A2时，即A1、A2相差悬殊时，=0，反衬度最小2221212AAAA22121)(12AAAA两束平行光的干涉 两列同频率单色光，振

7、幅分别为A1，A2；初位相为10，20，方向余弦角为（1，1 ，1），（2，2，2）研究在Z=0的波前上的位相 ZXOY101111)0coscos(cos),(yxkyx202222)0coscos(cos),(yxkyx)()cos(cos)cos(cos),(10201211ykxkyxcos2),(212221AAAAyxIZ=0)()cos(cos)cos(cos),(10201211ykxkyx)12(2jj)()cos(cos)cos(cos),(10201211ykxkyx)12(2jj亮、暗条纹都是等间隔的平行直线，形成平行直线族，斜率为 1212coscoscoscos12

8、121212coscos)cos(cos2coscos)cos(cos2kykxyfxfyx11条纹间隔 或条纹的空间频率xyXY4.3 惠更斯菲涅耳原理 一光的衍射现象 波绕过障碍物继续传播，也称绕射绕射。二次波 光波是振动的传播，波在空间各处都引起振动。波场中任一点，即波前上的任一点，都可视为新的振动中心。这些振动中心发出的光波，称为次波次波。次波的传播波前次波中心次波波的传播过程，可以看作是次波中心次波中心不断地衍生衍生出新的次波次波的过程 次波又可以产生新的振动中心，继续发出次波，使得光波不断向前传播。新的波面即是这些振动中心发出的各个次波波面的包络面。用次波的模型可以很容易解释光的衍

9、射现象。波前上的两个点，即使是邻近的，发出的次波也是不同的。严格地说，在波动光学的范畴，是没有“光线光线”或“光束光束”之类的概念的。三次波的叠加：惠更斯菲涅耳原理 1次波的相干叠加 在任一光源S周围作一封闭曲面，S在场点P引起的振动就是上所有点发出的次波在P点引起的振动的矢量和。波前上任一个次波中心Q，及Q点周围一面积元d，可以先求出该面积元发出的球面次波在场点P处引起的复振幅d(P)0nPQdrR)(PUdS0d()()U PU Qd()ikreU Prd()dU P 0d()(,)U PF 瞳函数 球面波 次波中心面元面积 倾斜因子 00d()(,)()dikreU PKFU Qr 将波

10、前上所有次波中心发出的次波在P点的振动叠加，即得到该波前发出的波传到P点时的振动，即该波前发出的次波在P点引起的振动。这就是惠更斯惠更斯菲菲涅耳原理涅耳原理。3.惠更斯菲涅耳原理 将波前上所有次波中心发出的次波在P点的振动相干叠加，即可得到P点的振动 由于次波中心在波前上连续分布，因而叠加（求和）的过程就变为求积分的过程，得到惠更斯菲涅耳衍射积分公式惠更斯菲涅耳衍射积分公式。是菲涅耳凭直觉根据惠更斯的思想得到的 积分公式中K？倾斜因子F(0,)？曲面积分区域如何选取？00d()(,)()dikreU PKFU Qr 0nPQdrR)(PUd4菲涅耳-基尔霍夫衍射积分公式 基尔霍夫对菲涅耳的积分

11、公式作了严格的数学论证，得到以下结论：（1）确定了积分常数和倾斜因子的表达式（2）证明了积分区域选取的原则，不必对整个封闭曲面求积分，而只需对衍射障碍物（衍射屏衍射屏）上开放区域求积分即可2/ieiK)cos(cos21),(00F012SP12d()0U P仅需要对区域0，求积分即可仅屏上对透光区域求积分即可取一个封闭曲面，=0+1+21d()0U P/2001(,)(,)(coscos)d d2iikreeU xyUx yxyr菲涅耳菲涅耳-基尔霍夫衍射积分公式基尔霍夫衍射积分公式 222()()()rxxyyzz式中四衍射的分类 根据衍射障碍物到光源和接收屏的距离分类。距离有限的，或至少

12、一个是有限的，为(Fresnel)菲涅耳衍射；距离无限的，即平行光入射、出射，为夫琅和费(Fraunhofer)衍射。菲涅耳衍射夫琅和费衍射菲涅耳直边衍射4.4菲涅耳衍射（圆孔、圆屏）一衍射现象一衍射现象 圆孔衍射：接收屏上可见同心圆环，接收屏沿轴向移动，圆环中心明暗交替变化。圆屏衍射：接收屏上可见同心圆环，接收屏沿轴向移动，圆环中心永远是亮点。二半波带法分析菲涅耳圆孔衍射 设法求解菲涅耳基尔霍夫衍射积分公式。将积分近似化为求和。将波前（球面）划分为一系列的同心圆环带，每一带的中心到P点的距离依次相差半个波长。这些圆环带称为半波带。0r02r032r0r02r052r03rRPR0r20r0r

13、230r20r半波带的次波 在球面上，各次波波源初位相相等。相邻半波带发出的次波，到达P点时，光程差为/2，相位差为，相位相反，振动方向相反，相互抵消。计算各个半波带的面积Sk。d/2mrdmSSRdRMd/2rmr0r1mrhkDSP0B球冠面积SMP中第m个半波带的面积M0mmSRrRr0sin dd()mmrrR Rr 22200()cos2()mRRrrR Rr2d2sin dSR 02ddmmRrSrRr222(1 cos)SRhR1()()mnikrmmmmSKU Q Fer0(1)()immmmSKUFer0(1)1(1cos)2ii mmmmSKUeer11(1)(1 cos)

14、nmmmA菲涅耳-基尔霍夫衍射积分公式0()()(,)dikreU PKU Q Fr 0()2immSKUeAr11()(1)(1 cos)nmmmU PA1(1 cos)(1)mmmUA为第m个半波带发出的次波在P点的复振幅 可见，在P点处：相邻波带次波的位相相反；m越大的波带，振幅越小。|(1 cos)mmAA取孔中心次波相位为0，Am为第m个半波带发出的次波在P点的振幅1nmmU11(1)nmmmA11123345111111()(1)()()22222nmmmU PAAAAAAAA)1(2111nnAA解释：波带数n为奇数，亮点；n为偶数，暗点 圆屏，前n个半波带被遮住n0nA121)

15、(APA1121)(nknAAPA自由传播始终亮点总是亮点半波带方程 半波带奇偶性的数量关系RMnrhnDS0BR0rP2220()nnrrh222002nrrr hh002n rr h2222()2nRRhRhhRh22222000()2nrrrnr200()2nnrn r002()nrhRr002n rr hRh2n的数值及奇偶性由r0决定。2n2011()nrRRh20022()nrRRr200nRrnRr半波带方程00nr RRrR0r20111/rRnf三一般情形下的波带 将每一个半波带划分为两个，则相邻波带发出的次波在P点位相差为/2，即第一个半波带中的第一个波带和第二个波带的位相

16、分别为/4和3/4；再将每一个进一步细分，第一个半波带中的四个波带的位相差为/4，位相依此为/16，5/16，9/16，13/16，。可以将任何一个半波带进一步细分为n个，得到更多的波带，相邻波带间光程差为/2n，位相差为/n。n很大时，位相差很小，用振幅矢量法，原来的每个半波带的波矢变为由n个小波矢组成的半圆。半波带的进一步划分 如果最后一个不是整数个半波带，也可以得到合振动。不是整数个半波带菲涅耳圆孔衍射花样四波带片 用半波带将波面分割，然后只让其中的奇数（或偶数）半波带透光，即制成波带片。透过波带片的光，在场点P处光程差依次为，位相相同，振动方向也相同，合振动大大增强，衍射后的光强大大增

17、强。相当于将光波汇聚到P点。一般情况下，可以认为前面几个半波带的倾斜因子相差不大，即满足近轴条件，所以他们发出的次波的振幅近似相等。如果波带片共有20个半波带，则在P点的复振幅为11953110)(AAAAAPU21100)(API1021)(APU21041)(API相差400倍。可见波带片具有使光汇聚的作用 光强自由传播时用于同步辐射软x射线的波带片黑白型正弦型波带片方程 将半波带方程写成如下形式 同透镜的公式 任一波带片，都只适用于一个波长。焦距是固定的。对平行光，波带片为平面的。但除主焦点之外，还有许多次焦点。2011nRr2fn201nr在距离r0处看来，半径为的波带是第n个半波带。

18、f12011()nrR201nr12345fr 02022nnr 02fr 123456789102原来的每一个半波带可以分为2个，此次波相互抵消，是暗点0rf2013nnr 30fr 1234567892原来的每一个半波带分为3个，其中2个的次波抵消，还剩余1个，为次亮点，即次焦点。0rf 当波带片不变时，r0改变，会引起n的改变，即可划分的半波带数目改变。r0减小，到r0/2时，n=2n，暗点；r0减小，到r0/3时，n=3n，亮点，次焦点；r0减小，到r0/4时，n=4n，暗点 12,5,3mffff一系列次焦点 2011()nrR201nr矢量法求解菲涅耳衍射问题2b34bb1A12A

19、2bb12A34A3113244AAA4.5 夫琅和费单缝衍射 衍射装置 平行光入射，用凸透镜成象于像方焦平面。相当于各点发出的次波汇聚于无穷远处。即是平行光的相干叠加。衍射花样 在焦平面焦平面上汇聚（相遇）的光，是从狭缝发出的相互平行相互平行的次波次波XYZ衍射屏透镜接收屏衍射花样f入射光不一定平行于光轴几何像点衍射强度的分布 求解积分公式 一、振幅矢量法 将波前N等分 每个面元宽度为a/N ：第m个面元发出的次波的复振幅 ：第m个面元发出的次波的光程()m a()mL(1)m a(1)mLa()m a()mLfm1m1m()m a()mLm(1)m a(1)mL1mNkasin相邻两单元次

20、波的光程差光程差sinaLN 相邻两单元次波的相位差相位差沿方向的次波在接收屏上的合振动()1NmmAa在近轴条件下，忽略倾斜因子的影响各个单元沿不同方向的次波振幅相等0()()(,)dikreU PKU Q Fr 00(,)1FrL aN各个面元的瞳函数相等()N a(2)a圆弧长度 各矢量长度之和(1)a振幅矢量求和()m aRRN个矢量，每个依次转过构成一段圆弧的N条弦共转过N N 成为圆弧合矢量A就是=0时的合矢量0A0AR A()N a()m aRRA0AR 2 sin2AR02sin2AA0sin22AN sinkaNN2sina0sinsinsinaAAa0sinuAusin()

21、au各个参数的物理意义()POA0A0sinuAAu22202sin|uIAAu202sin uIuO点的光强对透镜光心的张角f二、积分方法 P()点的次波来自同一方向，倾斜因子相同。不同方向的光，满足近轴条件，倾斜因子为常数1。瞳函数为常数 积分简化()POf0()()(,)dikreU PKU Q Fr 00()(,)()dikrU Q FU PKeL x/2/20()daikraKU QexL2a2a/200/20()()ddikraikraKeU PKU QexrL 00()KKU Qsinxr0/2sin00/2()daikrikxaKU PeexL0sinsin02201sinaa

22、ikrikikK eeeLik0002 sin(sin)2sinikrkaiK eLikuuUsin00001sin(sin)2()1sin2ikrkaeaKU QLkasin00 xrrrr1),(0FLfPFoxxr0rr()?rr x0000sin(),)ikreaUaKU QuL000()ikreKUQL狭缝上Q点发出的次波在几何像点几何像点所引起的复振幅 0000()ikreUaKUQL 通过整个狭缝的次波在几何像点几何像点上复振幅 sinsin21akauuuUsin0称作单缝（单元）单缝（单元）衍射因子衍射因子*000UUI 220sin)(uuIPI强度分布 0001sin(s

23、in)2()()1sin2ikrkaeU PaKU QLkauuUsin0几何像点几何像点处的光强不同宽度狭缝的衍射花样狭缝上下移动，条纹不变j=0j=1j=0j=1透镜上下移动，条纹相应移动相互平行的狭缝，衍射条纹完全重合0入射光与光轴不平行，光程差包括两部分)sin(sin0 x)sin(sin0au衍射角都从透镜的光心算起衍射花样的特点 1极值点 0)sin(uu0sincos2uuuutanuu,47.3,46.2,43.1sinaaa,)1(,2,1sinajajaa极大值极小值jausin0j极值点 2亮条纹角宽度（相邻暗条纹之间的角距离a20零级主极大 其它高级次条纹 a衍射的反

24、比关系 角距离02/a2/ax000r0rBAfr应用（互补屏）Babinet原理adreFQUKPUikra),()()(00bdreFQUKPUikrb),()()(00)()(PUPUbaadreFQUKikr),()(00bikrdreFQU),()(0000()(,)abikreKU Q Fdr )(0PU相当于自由传播 平行光入射到透镜，按几何光学原理成象，除像点之外，处处复振幅为零。)()(PUPUba)()(PIPIba 细丝与狭缝的衍射花样，除零级中央主极大外，处处相同。自由波场中有一个透镜，则光将汇聚成像，平行光汇聚成一个点)(0PU像点之外，处处为零()()abUPUP除

25、零级中央主极大外，光强分布处处相同 激光测径仪的原理4.6 夫琅和费矩孔衍射 同单缝相比，矩孔在两个相互垂直的方向上对光的传播进行限制 两个方向的参数是相互独立的 最后的结果应该是两个方向的单元衍射因子的乘积)()(),(yUxUyxU矩孔：两个正交狭缝的交集矩孔衍射：两个正交单狭缝衍射的交集)()(),(yUxUyxUsin()xxxuU xUusin()yyyuU yUu),(yxQ物点),(yxP场点r0rr0rrQOOxyzxyO)coscoscos(xyxeeerr)sinsinsin(321xyxeeerab00rrOQr)(yxeyexrrr0)sinsin(21yx)sinsi

26、n(210yxr)sinsinsin(321xyxeeedxdyreFyxUKPUikr),(),()(00满足近轴条件，倾斜因子为1 dxdyreUKPUyxikikr0)sinsin(0210)0,0()(2/2/sin2/2/sin00210)0,0()(bbikyaaikxikrdyedxereUKPU221100sinsin)0,0(0uuuureabUKikr11sinau 22sinbu 2222110)sin()sin()(uuuuIPI衍射强度分布 2000|)0,0(|0reabUKIikr矩孔发出的光波在F点产生的光强 4.7夫琅和费圆孔衍射 平行入射光，通过半径为R的圆

27、孔，汇聚在透镜的像方焦平面上。r0r),(Qr0r),(QsincosrzROABxy1r0rQAB平面内在xoz0r轴xQA cosOA OAsinrz0rOAB平面xozQAB dreFUKPUikikrsincos000),(),()(ddereUKikikrsincos000)0,0(20000)sincos2cos()0,0(0ddreUKRikrsin/sin2kRRm20000)coscos()0,0()(0dRmdreUKPURikrmmJreRUKUikr)(2)0,0()(10200J1（m）：一阶贝塞尔函数 02!1)2(!)!1()1()(2kkkmkkmmJ!3)2(

28、41!2)2(31)2(211224232mmmm思考题 1、在单缝衍射装置中，如果没有透镜，如何分析？2、在夫琅禾费单缝装置中，如果让狭缝宽度增大1倍，衍射光强增大多少？为什么？-6.28-3.140.003.146.2801234a=2I=(asinu/u)2u=asina=1缝宽与光强分布mmJreRUKUikr)(2)0,0()(10200复振幅分布02468101()J mmm0.10.20.30.40.52sinRm3.833.83sin2 Rsin0.60960.6101.220RRD00.6101.220RDAivry Disk的角半径角半径半角宽度半角宽度210)(2)(mm

29、JII衍射强度分布Aivry Disk 强度分布示意0Aivry Disk二衍射花样的特点 同心圆环，明暗交错，不等距。中央主极大（零级斑）：Aivry斑，占总强度的，半角宽度半角宽度 0 圆孔直径为，透镜焦距f，则Aivry斑半径l DR22.161.0001.22lfD 三、望远镜的分辨本领the Rayleigh criterion 仰望星空，为什么它们看起来大小差不多 平行光经透镜成象，由于衍射效应，总有一个Aivry斑，而不是一个几何点。两束光，则有两个Aivry斑。两个物所成的Aivry斑如靠得很近，可能无法分辨是一个还是两个。采用Rayleigh判据：两光斑的角距离恰等于一个光斑

30、的半角宽度时，为可以分辨的最小极限。下一页D望远镜成像Aivry Disk可分辨极限0m m0Rayleigh(瑞利)判据恰好可以分辨The Rayleigh CriterionThe Rayleigh Criterion 衍射极限与孔径的空间尺度0级1级1级衍射本来与透镜无关0级1级1级0反射的衍射情况与透射相同0级1级1级01n2n在两种不同介质中（折射）的衍射0级1级1级单缝衍射缝宽的影响-1.5708-1.0472-0.52360.00000.52361.04721.570801234a=2a=4a=2a=I/U20缝宽小于波长-1.5708-0.78540.00000.78541.5

31、7080.000.250.500.751.00a=/3a=/2Y Axis TitleX Axis Titlea=两种极限趋势-1.5708-1.0472-0.52360.00000.52361.04721.57080.00.20.40.60.81.0a=a=Ia=-1.5708-1.0472-0.52360.00000.52361.04721.57080.00.20.40.60.81.0a=100a=10Ia=缝宽越大衍射越不明显缝宽越小衍射越强烈衍射是传播过程的基本特征 如果有衍射屏，即衍射障碍物，则衍射现象必然出现。以单缝衍射为例进行分析。衍射能量大部分集中于0级。存在衍射反比关系衍射反

32、比关系，即0级斑的空间（半）角宽度角宽度与缝宽缝宽成反比。几何光学与衍射的极限 光线是几何光学中光的模型。从惠更斯的次波传播的观点出发，任何形式的光线都是不存在的。因为任何形式的波在传播过程中都会以球面波的形式发散。则光线的概念以及由此得到的反射及折射定律都似乎是不成立的。但是，几何光学的定律却都是实验定律，应该是正确的。220sin)(uuII衍射光强分布sinau a如果0a00uusin同时由于除了=0处，其它位置衍射光强I0。0级光束不发散其它的衍射级不存在。说明在衍射障碍物的尺寸远大于波长的情况下，说明在衍射障碍物的尺寸远大于波长的情况下，平行的入射光经过单缝后，仍沿着原来方向传播平

33、行的入射光经过单缝后，仍沿着原来方向传播说明自由传播的平行光束，仍然保持较好的平行性。在没有衍射障碍物的情况下，可以使用光线的模型描述光的传播。即光的直线传播定律依然成立。入射光在大尺度孔径处有反射和折射1i1i2i)sin(sin11iiau衍射0级的位置1i1i时当a反射光为平行光束反射定律成立。折射光衍射0级的位置折射定律成立。1122(sinsin)aunini2211sinsinnini几何光学是衍射的极限 衍射0级就是几何光学中光线的方向。如果衍射障碍物的尺寸比波长大很多，则几何光学定律成立。干涉与衍射的区别和联系 干涉是分立光束之间的相干叠加，这些光束是有限条，或虽然有无限多条，但是光束之间是离散的、不连续的、可数的。直接应用波的叠加原理。衍射是连续分布的无限多个点光源（次波中心）发出的光波的相干叠加。要应用惠更斯菲涅耳原理，或菲涅耳基尔霍夫衍射积分公式。无论干涉或衍射，都是人为的结果。无论是衍射还是干涉，光波在相遇点都是振动的叠加，都遵循波的叠加原理。干涉时，光的能量在空间均匀分布，各个亮条纹有相差不大的能量；衍射时，光的能量主要集中在一个特殊的衍射级上，更接近于几何成象的情况。半波带的进一步划分