工程制图技术基础第2章 点、直线、平面的投影

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1、第第2 2章章 点的投影点的投影2.32.3直线的投影直线的投影2.5 2.5 直线与平面以及两平面直线与平面以及两平面之间的相对位置之间的相对位置2.22.2多面正影投和点的投影多面正影投和点的投影2.1 2.1 投影法投影法2.42.4平面的投影平面的投影投影中心投影面投影线空间点投影SBAba投射线通过物体，向选定的平面进行投射，并投射线通过物体，向选定的平面进行投射，并在该面上得到图形的方法在该面上得到图形的方法投影法。投影法。2.1 2.1 投影法投影法2.1.1 2.1.1 投影法的建投影法的建立立 投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影响。度量性较差。投 影 特

2、 性物体位置改物体位置改变，投影大变，投影大小也改变。小也改变。投射线投射线物体物体投影面投影面投影投影投射中心投射中心2.1.2 2.1.2 投影法的分类投影法的分类投影法可根据投射线平行或汇交分为两类。投影法可根据投射线平行或汇交分为两类。1.中心投影法特点：投影光线交于一点。特点：投影光线交于一点。2.平行投影法特点：投影光线相互平行。斜投影法正投影法特点：投影光线相互平行且垂直投影面。投 影 特 性投影:大小与物体和投影面之间的距离 无关,度量性较好。工程图样多数采用正投影法绘制。斜投影法斜投影法正投影法正投影法1.2.3 1.2.3 正投影的基本特征正投影的基本特征1.1.点的正投影

3、特征点的正投影特征 过空间点A的投射线与投影面P的交点即为点A在P面上的投影。反之 点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。2直线、平面的正投影特征（1）实形性 直线或平面平行于投影面时，其投影反映实长或实形，这种特征称为实形性（下图a）。（2）积聚性 直线或平面垂直于投影面时，其投影积聚一点或直线，这种特征称为积聚性（下图b）。（3）类似性 直线或平面倾斜于投影面时，其投影为小于原长或原形的类似形，这种特征称为类似性（下图c）。返回物体的单面投影图结论：利用单面投影图无法确定物体的空间形状2.2.1 2.2.1 多面正投影多面正投影通常将物体放置在两个或更多投影面间，向这些投影面作投影，

4、形成多面正投影。2.22.2多面正影投和点的投影多面正影投和点的投影影投方向2.2.2 2.2.2 点在两投影面体系第一分角的投影点在两投影面体系第一分角的投影 投影面投影面 正面投影面 （简称正面或V面）水平投影面 （简称水平面或H面）投影轴 oxox轴轴V V面与面与H H面的交线面的交线（简称（简称x x轴）轴）H HV VO OX X两个投影面两个投影面互相垂直互相垂直1.两投影面体系建立 空间互相垂直的正立投影面（简称正面或V面）和水平投影面（简称水平面或H面）所构成的体系称为两投影面体系。V、H面交线称为投影轴，用OX 表示。它将空间划分为四个分角：第一分角、第二分角、第三分角、第

5、四分角。这里重点讲述的是第一分角中的情况。2.点的两面投影形成及投影规律a点A的水平投影a 点A的正面投影X XO OV VH HA Aaa xa注意：注意：空间点用大写字母空间点用大写字母表示，点的投影用表示，点的投影用小写字母表示。小写字母表示。（a）立体图 H HX XO OV VH HA Aaa 点的两面投影特性:（1 1）a aOXOX轴轴（2）aax aaxxa=Aa（A到V面的距离）=Aa（A到H面的距离）a投影面展开省略不画绕绕X轴下轴下旋转旋转90不动不动V Va aXH HW WV V2.2.3 2.2.3 点在三投影面体系中的投影点在三投影面体系中的投影1.三投影面体系的

6、建立正面投影面正面投影面 -V V面面水平投影面水平投影面 -H H面面侧面投影面侧面投影面 -W W面面投影轴O OX XZ ZOXOX轴轴 V面与H面的交线OZOZ轴轴 V面与W面的交线OYOY轴轴 H面与W面的交线三个投影面三个投影面互相垂直互相垂直Y Y2.点的三面投影形成及投影规律a点A的水平投影a点A的正面投影影a 点A的侧面投影X XZ ZO OV VH HW WA Aaa a xaazayY如：空间点A AH HW WV VX XY YZ ZO OV VH HW WA Aaa a xaazay绕绕Z轴轴向右向右旋转旋转90绕绕X X轴向下轴向下旋转旋转9090不动不动（1）投影

7、面展开aaxazZ Zaa yayaX XY YH H Y YW WO O 省略不画省略不画X XY YZ ZO OV VH HW WA Aaa a（2）点的三面投影规律（1）aaOX轴（2）a ax=aax=xaazayY YW WZ Zaza X XY YH HayWO OaaxayHa aaOZ轴=y=Aa （A到V面的距离）aaz=x=Aa （A到W面的距离）aay=z=Aa （A到H面的距离）aaza ay=例 已知点B的两个投影b,b,求第三b b bbxbz解法一:通过作通过作45线线使使b bz=bbx解法二:用圆规直接量用圆规直接量取取b bz=bbxZOXYWYHYHYW投

8、影b。bzb bbxZOXYHYWb（3）点的三面投影和直角坐标的关系AaaaaxayazVHWOXYZXaaaOaxayazZayYHYWHWxyzxyzyyzaaaax表示点表示点A A到到W W面的距离面的距离zxaaaay 表示点表示点A A到到V V面的距离面的距离 yxaaaaz 表示点表示点A A到到H H面的距离面的距离 例 求空间点C的坐标(12,10,15)，试作其三面投影图。XOcxczZYHYWcyHcyW40203020已知点C:X坐标=12毫米；Y坐标=10毫米；Z坐标=15毫米。ccc可见已知点的坐标（可见已知点的坐标（），可以求出点的三面投影。zyx,2.2.4

9、 两点的相对位置 空间两点的相对位置，就是指两点之间上下、前后和左右方位关系，它可以通过两点的坐标大小来判断。X坐标值大者在左，反之在右。Y坐标值大者在前，反之在后。Z坐标值大者在上，反之在下。O比较A、B两点的相对坐标xxzzyyA A点在点在B B点之右点之右 A A点在点在B B点之后点之后A A点在点在B B点之上点之上OXb bc cC=cca ba aXOVHA=aB=b 特殊位置点2.2.5 重影点及其投影的可见性 1.重影点 空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时，则称此两点为该投影面的重影点。X XY YZ ZO OV VH HW WA Aaa a xaazayb Bb(b

10、)b a a b XYWOYH()a（b）Z被挡住的投被挡住的投影加影加()()A A、B B为水平投影为水平投影面的重影点面的重影点d(c)cdCDa(b)abABaba(b)d(c)cdA A、B B为水平投影面的重影点为水平投影面的重影点C C、D D为正面投影面的重影点为正面投影面的重影点返回O 两点确定一条直线，将两点的同面投影用直线连接，就得到直线的同名投影。2.3.1 2.3.1 直线及属于直线的点的投影直线及属于直线的点的投影 1.直线的投影2.3 2.3 直线的投影直线的投影O2.属于直线的点属于直线的点有两个主要投影特征：属于直线的点有两个主要投影特征：(1)从属性 属于直

11、线的点，其各个投影必属于该直线的同面投影.(2)定比性 属于直线的点，分割直线成定比，投影后比例关系不变.例 如下图所示，已知侧平线DE 的两面投影及属于该直线的K点的正面投影 ，试求出其水平投影k。k方法1 方法2 2.3.2 各种位置直线的投影特征 在三投影面体系中，直线与投影面的相对位置可以分为三种情况：垂直、平行和倾斜;其投影特性取决于直线与三个投影面间的相对位置。下面分别讨论它们的投影特征。1.投影面垂直线 凡垂直于某一投影面，同时平行于另两个投影面的直线.投影面垂直线投影面垂直线正垂线（垂直于面）正垂线（垂直于面）铅垂线（垂直于面）铅垂线（垂直于面）侧垂线（垂直于面）侧垂线（垂直于

12、面）投影面垂直线V VW WH HY YX XZ Z铅垂线铅垂线AB H正垂线正垂线AC V侧垂线侧垂线AD WC CD DB BA A它们的共同投影特征可归纳为两点：（1）直线在其所垂直的投影面上的投影，积聚为一点；（2）直线的其余两个投影，均平行于相应的投影轴，且反映该直线的实长。正垂线正垂线ABVABV2.另外两个投影，反映线 段实长，且垂直 于相应的投影轴。1.在其垂直的V投影面 上,投影有积聚性。投影特性:a(c)acc a ZOXYHYW铅垂线ABAB H Ha b a(b)a b ZXYHYW2.另外两个投影，反映线 段实长，且垂直 于相应的投影轴。1.在其垂直的H投影面 上,投

13、影有积聚性。投影特性:O侧垂线ABAB W W2.另外两个投影，反映线 段实长，且垂直 于相应的投影轴。1.在其垂直的W投影面 上,投影有积聚性。投影特性:a d ada(d)ZXYHYWO2.投影面平行线 凡平行于某一投影面，同时倾斜于另两个投影面的直线.投影面平行线正平线（平行于面）正平线（平行于面）水平线（平行于面水平线（平行于面)侧平线（平行于面）侧平线（平行于面）（1）直线在其平行的投影面上的投影，反映直线实长，同时还反映该直线与另两个投影面之间的真实倾角。它们的共同投影特征可归纳为两点：（2）直线的其余两个投影均分别平行于相应的投影轴。投影面平行线V VW WH HY YX XZ

14、Z侧平线侧平线水平线水平线正平线正平线水平线ABHABHX XZ ZbaaabbO OY YH HY YW W水平线实长实长1、在其平行的那个投影面上的投影反映实长,并反映直线与另两投影面倾角的真实大小。2、另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴，其到相应投影轴距离反映直线与它所平行的投影面之间的距离。投影特性：V VH HabAaaBbbW WZXYoABHABHab=AB=ABa b OX OX a b OYOYW W正平线ABVABV正平线1、在其平行的那个投影面上的投影反映实长,并反映直线与另两投影面倾角的真实大小。2、另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴，其到相应投影轴距离反映直线

15、与它所平行的投影面之间的距离。投影特性：投影特性：ABVABVa b =AB=ABabOXOX a b OZOZZV VH HabAaa BbbW W oXY X XZ ZbaaabbO OY YH HY YW W实长实长侧平线ABWABW侧平线V VH HAaBbW W aba bZoXY1、在其平行的那个投影面上的投影反映实长,并反映直线与另两投影面倾角的真实大小。2、另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴，其到相应投影轴距离反映直线与它所平行的投影面之间的距离。投影特性：ABWABWa b =AB=ABa b OZ OZ abOYOYH H bY YW W实长实长Y YH HX XZ Z

16、baaabO O3.一般位置直线凡同时倾斜于三直线投影面的其投影特征为三点：（1）一般位置直线的三个投影与投影轴都倾斜;（2）一般位置直线的任一投影均不反映该直线实长，且 小于实长。（3）任一个投影与投影轴的夹角，均不反映空间直线与任何投影面间的真实倾角。V VW WH HY YX XZ ZB BA A 一般位置直线 一般位置直线Z Z Y YH HaO OX XabbaY YW Wb H HaaAb V VBbW Wa b Z ZX XOY Y一般位置直线的投影 例 已知点C在线段AB上，求点C的正面投影。cc 用第三投影求解用第三投影求解b aba c b a 例 判断点C是否在线段AB上

17、。c abca b abca b c 在在不在不在a b aa b c bc不在不在应用定比定理应用定比定理另一判断法另一判断法?X XX XZ ZX XO OY YH HY YW Wc 两直线平行：AB/CD两直线相交:CD与DE空间两直线的相对位置分为：空间两直线的相对位置分为：平行、相交、交叉（异面）两直线交叉DE与FG2.3.3 2.3.3 两直线的相对位置两直线的相对位置1.两直线平行bcdH HAd aCcV VaDbBacdbcdabO OX XO OX X 性质1：空间平行的两直线在同一的投影面内的投影相互平行，反之也成立。性质2：空间平行两直线长度之比等于其投影长度之比，但反

18、之并不一定成立。若：若：ABABCD CD；则：则：abcd ；a b c d ；a b c d 。例 判断图中两条直线是否平行。对于一般位置直线，只要有两组同面投影互相平行，空间两直线就平行。AB与与CD平行。平行。AB与与CD不平行。不平行。对于特殊位置直线，只有两组同面投影互相平行，空间直线不一定平行。a b c d b d c a dO O(1)abcc a b d X XZ ZY YH HY YW WZ Zcbad d b a c(2)X XO OY YH HY YW W 两直线相交 空间两直线相交时的投影特征：其同面投影必相交，且交点的投影连线垂直于相应的投影轴。ac V VX X

19、b H HDacdCAKd bO OBkk cabd b a c d X Xkkcd d例 过C点作水平线CD与AB相交。先作正面投影先作正面投影abb a c X Xk k例 判断直线AB、CD的相对位置。c abdabcd相交吗？相交吗？不相交！不相交！为什么？为什么？交点不符合空交点不符合空间一点的投影特性。间一点的投影特性。判断方法？判断方法？应用定比原理应用定比原理 利用侧面投影利用侧面投影X X 两直线交叉为什么？为什么？两直线相交吗？两直线相交吗？不相交！不相交！交点不符合点的投影规律！交点不符合点的投影规律！cacabddbO OX XaccAaCV VbH HddDBbX X

20、凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线cacabddbO OX X1(2)21投影特性：同面投影不会同时平行，同面投影可能相交，但交点交点的投影连线不垂直相应的投影轴。“交点交点”是两直线上的一对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。3(4)34 accAaCV VbH HddDBb211(2)43(4)3返回2.4.1 2.4.1 平面的表示法平面的表示法不在同一直线上的三个点直线及线外一点两平行直线两相交直线平面图形 平面的几何元素表示法2.42.4平面的投影平面的投影abca b c dd abca b c c abca b caba b

21、 c baca b c X XX XX XX XX X2.4.2 2.4.2 各种位置平面的投影特征各种位置平面的投影特征 平面在三投影面体系中，平面相对于投影面的位置有三种情况：垂直、平行和倾斜。下面分别讨论它们的投影特征。1.投影面垂直面 凡垂直于一个投影面，而与另两个投影面倾斜的平面 投影面垂直面正垂面正垂面(V)V)铅垂面铅垂面(H)H)侧垂面侧垂面(W)W)共同投影特征（1）平面在所垂直的投影面上的投影，积聚成一直线，该直线与两投影轴的夹角分别反映该平面与相应投影面的真实夹角；（2）平面的另两个投影均为小于实形的类似形。侧垂面侧垂面1.投影面垂直面V VW WH HY YX XZ Z

22、正垂面正垂面铅垂面铅垂面铅垂面c c 铅垂面abca b b a 积聚性积聚性铅垂面铅垂面投影特征：1）在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。即：水平投影积聚成直线。水平投影积聚成直线。该直线与两投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。2)另外两个投影面上的投影为类似形。Z Z类似性类似性类似性类似性X XO OY YH HY YW W正垂面c c 正垂面abca b b a 积聚性积聚性正垂面正垂面 投影特征：1）在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。即：正面投影积聚成直线。正面投影积聚成直线。该直线与两投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。2）另外两个投影面上的投影为类似

23、形。Z Z类似性类似性X XO OY YH HY YW W类似性类似性侧垂面c c 侧垂面abca b b a 积聚性积聚性侧垂面侧垂面 投影特征：1）在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。即：侧面投影积聚成直线。侧面投影积聚成直线。该直线与两投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。2）另外两个投影面上的投影为类似形。Z Z类似性类似性类似性类似性X XO OY YH HY YW W1.投影面平行面 凡平行于一个投影面，同时垂直于另两个投影面凡平行于一个投影面，同时垂直于另两个投影面的平面的平面 投影面平行面 正平面正平面(V)(V)水平面水平面(H)(H)侧平面侧平面(W)(W)共同

24、投影特征（1）平面在所平行的投影面上的投影，反映该平面的实形；（2）平面的另两个投影均积聚成直线，且分别平行于相应的投影轴。X XY YZ ZH HV VW W侧平面侧平面正平面正平面水平面水平面2.投影面平行面水平面积聚性积聚性积聚性积聚性实形性实形性水平面水平面投影特征：1）它在水平投影面上的投影反映实形。2）它在另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。a b c a b c abcZ ZX XO OY YH HY YW W正平面积聚性积聚性积聚性积聚性实形性实形性正正平面平面投影特征：1）它在正面投影面上的投影反映实形。2）它在另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴

25、平行的直线。a b c a b c abcZ ZX XO OY YH HY YW W侧平面积聚性积聚性积聚性积聚性侧侧平面平面投影特征：1）它在侧面投影面上的投影反映实形。2）它在另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。a b c a b c abcZ ZX XO OY YH HY YW W实形性实形性3一般位置平面凡同时倾斜于三投影面的平面 其投影特征为：(1）三个投影均不反映该平面的真实大小；(2）三个投影均没有积聚性；(3）三个投影均为小于实形的类似形。X XY YZ ZH HV VW W 一般位置平面三个投影都为类似形。三个投影都为类似形。投影特性：投影特性：a b c

26、 a c b abcZ ZX XO OY YH HY YW W平面与三个投影面都倾斜。平面与三个投影面都倾斜。例 试分析如图所示物体各表面的空间位置，并利用各种位置平面的投影特征，补画出该物体的俯视图。物体上P面的投影物体上Q、R面的投影物体上Q、R面的投影2.4.3 2.4.3 属于平面的点和直线属于平面的点和直线点和直线属于平面的几何条件1若点属于平面内任一直线，则点属于平面；2若直线经过平面内两点，或过平面内一点且平行于平面内一直线，则直线属于平面 平面内取点、取线的方法 在平面上取点、直线的作图，实质上就是在平面内作辅助线的问题。利用在平面上取点、直线的作图，可以解决三类问题：判别已知

27、点、线是否属于已知平面；完成已知平面上的点和直线的投影完成多边形的投影。取属于平面的点，要取自属于该平面的已知直线取属于平面的点，要取自属于该平面的已知直线EDddee 取属于定平面的直线，要经过属于该平面的已知两点。EDFddeeff 例 已知一平面ABCD,EABCD平面,求 ;e并判别F是否属于平面ABCD。例 已知如图所示，试完成平面图形的水平投影。返回 直线与平面、平面与平面在空间的相对位置有平行和相交两种情况。垂直是相交的特殊情况。2.5.1 平行问题平行问题1.直线与特殊位置平面平行 判断直线与特殊位置平面是否平行，只要判断平面的积聚性投影与直线的同面投影是否平行即可。2.5 2

28、.5 直线与平面以及两平面之间的直线与平面以及两平面之间的 相对位置相对位置 当平面为投影面的垂直面时，只要平面有积聚性的投影和直线的同面投影平行，则直线与平面必定平行。2.特殊位置平面平行 若特殊位置平面平行,在它们所垂直的投影面上的有积聚性投影必相互平行。f g abcdefga b c d e X X两特殊位置平面平行 2.5.2 2.5.2 相交问题相交问题1一般位置直线与特殊位置平面相交由于特殊位置平面的某个投影有积聚性，交点可直接求出。2投影面垂直线与一般位置平面相交空间及投影分析空间及投影分析:直线MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点K的水平投影也积聚在该点上。(1)求交

29、点求交点(2)判别可见性判别可见性 点位于平面上，在前，点位于MN上，在后，故k1为不可见。3特殊位置平面与一般位置平面相交 求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题，由于特殊位置平面的某个投影有积聚性，交线可直接求出。1.求交线 2.判断平面的可见性空间及投影分析空间及投影分析:一铅垂面ABCD，其水平投影积聚为直线，根据交线的共有性，交线MN的水平投影mn必与a（d）b（c）重合，由mn可以作出其正面投影.。作图1)求交线2)判别可见性 点在AB上，点在EF上，点在前，点在后，因此可得，包含的ABCD正面投影可见，包含的平面GEF则为不可见。故mc左侧两平面重合部分不可见。2.5.3 2.5.3 垂直问题垂直问题1直线与特殊位置平面垂直 若直线与特殊位置平面垂直，则在平面积聚为直线的投影上，直接反映垂直关系，此时的直线亦为特殊位置直线。如图所示，与正垂面垂直的直线必定为正平线，在正面投影中反映垂直关系。如图所示，垂直于水平面的直线必为铅垂线，在正面投影上反映垂直关系。2两特殊位置平面垂直 两特殊位置平面垂直，它们的有积聚性投影一定互相垂直.如图所示 fedcba返回