运筹学PPT完整版课件

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1、运运 筹筹 学学(Operations Research)绪绪 论论（1）运筹学简述）运筹学简述（2）运筹学的主要内容）运筹学的主要内容（3）本课程的教材及参考书）本课程的教材及参考书（4）本课程的特点和要求）本课程的特点和要求（5）本课程授课方式与考核）本课程授课方式与考核（6）运筹学在工商管理中的应用）运筹学在工商管理中的应用本章主要内容：本章主要内容：运筹学简述运筹学简述v运筹学（Operations Research）v 系统工程的最重要的理论基础之一，在美国有人把运筹学称之为管理科学(Management Science)。运筹学所研究的问题，可简单地归结为一句话：v“依照给定条件和

2、目标，从众多方案中选择最佳方案”v故有人称之为最优化技术。运筹学简述运筹学简述v运筹学的历史“运作研究运作研究(Operational Research)小组小组”:解决复杂的战略和战解决复杂的战略和战术问题。例如：术问题。例如：1.如何合理运用雷达有效地对付德军德空袭如何合理运用雷达有效地对付德军德空袭2.对商船如何进行编队护航，使船队遭受德国潜艇攻击时损失对商船如何进行编队护航，使船队遭受德国潜艇攻击时损失最少；最少；3.在各种情况下如何调整反潜深水炸弹的爆炸深度，才能增加在各种情况下如何调整反潜深水炸弹的爆炸深度，才能增加对德国潜艇的杀伤力等。对德国潜艇的杀伤力等。运筹学的主要内容运筹学

3、的主要内容数学规划（线性规划、整数规划、目标规划、动态规划等）图论存储论排队论对策论排序与统筹方法决策分析本课程的教材及参考书本课程的教材及参考书选用教材 运筹学基础及应用胡运权主编 哈工大出版社参考教材 运筹学教程胡运权主编（第2版）清华出版社 管理运筹学韩伯棠主编（第2版）高等教育出版社 运筹学(修订版)钱颂迪主编 清华出版社 本课程的特点和要求本课程的特点和要求先修课：先修课：高等数学，基础概率、线性代数高等数学，基础概率、线性代数特点：特点：系统整体优化；多学科的配合；模型方法的应用系统整体优化；多学科的配合；模型方法的应用运筹学的研究的主要步骤：运筹学的研究的主要步骤：真实系统真实系

4、统系统分析系统分析问题描述问题描述模型建立模型建立与修改与修改模型求解模型求解与检验与检验结果分析与结果分析与实施实施数据准备数据准备本课程授课方式与考核本课程授课方式与考核学科总成绩学科总成绩平时成绩平时成绩（4040）课堂考勤课堂考勤（5050）平时作业平时作业（5050）期末成绩期末成绩（6060）讲授为主，结合习题作业讲授为主，结合习题作业运筹学在工商管理中的应用运筹学在工商管理中的应用v运筹学在工商管理中的应用涉及几个方面：1.生产计划2.运输问题3.人事管理4.库存管理5.市场营销6.财务和会计v另外，还应用于设备维修、更新和可靠性分析，项目的选择与评价，工程优化设计等。运筹学在工

5、商管理中的应用运筹学在工商管理中的应用v Interface上发表的部分获奖项目组织组织应用应用效果效果联合航空公司联合航空公司在满足乘客需求的前提下，以最低成本进在满足乘客需求的前提下，以最低成本进行订票及机场工作班次安排行订票及机场工作班次安排每年节约成本每年节约成本600600万美元万美元CitgoCitgo石油公司石油公司优化炼油程序及产品供应、配送和营销优化炼油程序及产品供应、配送和营销每年节约成本每年节约成本70007000万万AT&TAT&T优化商业用户的电话销售中心选址优化商业用户的电话销售中心选址每年节约成本每年节约成本4.064.06亿美元，销亿美元，销售额大幅增加售额大幅

6、增加标准品牌公司标准品牌公司控制成本库存（制定最优再定购点和定购控制成本库存（制定最优再定购点和定购量确保安全库存）量确保安全库存）每年节约成本每年节约成本380380万美元万美元法国国家铁路公司法国国家铁路公司制定最优铁路时刻表并调整铁路日运营量制定最优铁路时刻表并调整铁路日运营量每年节约成本每年节约成本15001500万美元，万美元，年收入大幅增加。年收入大幅增加。Taco BellTaco Bell优化员工安排，以最低成本服务客户优化员工安排，以最低成本服务客户每年节约成本每年节约成本13001300万美元万美元DeltaDelta航空公司航空公司优化配置上千个国内航线航班来实现利润优化

7、配置上千个国内航线航班来实现利润最大化最大化每年节约成本每年节约成本1 1亿美元亿美元“管理运筹学管理运筹学”软件介绍软件介绍v“管理运筹学”2.0版包括：线性规划、运输问题、整数规划（0-1整数规划、纯整数规划和混合整数规划）、目标规划、对策论、最短路径、最小生成树、最大流量、最小费用最大流、关键路径、存储论、排队论、决策分析、预测问题和层次分析法，共15个子模块。Chapter1 线性规划线性规划(Linear Programming)LP的数学模型的数学模型 图解法图解法 单纯形法单纯形法 单纯形法的进一步讨论人工变量法单纯形法的进一步讨论人工变量法 LP模型的应用模型的应用线性规划问题

8、的数学模型线性规划问题的数学模型v1.规划问题生产和经营管理中经常提出如何合理安排，使人力、物力等各种资生产和经营管理中经常提出如何合理安排，使人力、物力等各种资源得到充分利用，获得最大的效益，这就是规划问题。源得到充分利用，获得最大的效益，这就是规划问题。（1 1）当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用最少的资源）当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用最少的资源 （如资（如资金、设备、原标材料、人工、时间等）去完成确定的任务或目标金、设备、原标材料、人工、时间等）去完成确定的任务或目标（2 2）在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最好的经济效益（如产）在一定的资源条件

9、限制下，如何组织安排生产获得最好的经济效益（如产品量最多品量最多 、利润最大、利润最大.）线性规划问题的数学模型线性规划问题的数学模型v例1.1 如图所示，如何截取x使铁皮所围成的容积最大？x xa a xxav 220 dxdv0)2()2()2(22 xaxxa6ax 线性规划问题的数学模型线性规划问题的数学模型例例1.2 某企业计划生产甲、乙两种产品。这些产品分别要在某企业计划生产甲、乙两种产品。这些产品分别要在A、B、C、D、四种不同的设备上加工。按工艺资料规定，单件产品在不同设备上、四种不同的设备上加工。按工艺资料规定，单件产品在不同设备上加工所需要的台时如下表所示，企业决策者应如何

10、安排生产计划，使企加工所需要的台时如下表所示，企业决策者应如何安排生产计划，使企业总的利润最大？业总的利润最大？设设 备备产产 品品 A B C D利润（元）利润（元）甲甲 2 1 4 0 2 乙乙 2 2 0 4 3 有有 效效 台台 时时 12 8 16 12线性规划问题的数学模型线性规划问题的数学模型v解：设x1、x2分别为甲、乙两种产品的产量，则数学模型为：线性规划问题的数学模型线性规划问题的数学模型线性规划问题的数学模型线性规划问题的数学模型00 )()(min)max12211112121112211 nmnmnmmnnnnxxbxaxaxabxaxaxaxcxcxcz)21(j

11、0 )21(i )(Z (min)max 11nxmbxaxcjnjijijnjjj 简写为：简写为：线性规划问题的数学模型线性规划问题的数学模型)(21ncccC nxxX1 mjjjaaP1 mbbB1 0)(min)maxXBxpCXzjj其中：其中：线性规划问题的数学模型线性规划问题的数学模型 mnmnaaaaA1111 0)(min)maxXBAXCXZ其中：其中：)(21ncccC nxxX1 mbbB1线性规划问题的数学模型线性规划问题的数学模型v3.线性规划问题的标准形式minjxbxatsxcZjnjijijnjjj,2,1,2,1,0.max11 特点：特点：(1)目标函数

12、求最大值（有时求最小值）目标函数求最大值（有时求最小值）(2)约束条件都为等式方程，且右端常数项约束条件都为等式方程，且右端常数项bi都大于或等于零都大于或等于零(3)决策变量决策变量xj为非负。为非负。线性规划问题的数学模型线性规划问题的数学模型 目标函数的转换目标函数的转换 如果是求极小值即如果是求极小值即 ，则可将目标函数乘以，则可将目标函数乘以(-1)(-1)，可化为求极大值，可化为求极大值问题。问题。jjxczmin也就是：令也就是：令 ，可得到上式。，可得到上式。zz jjxczzmax即即 若存在取值无约束的变量若存在取值无约束的变量 ，可令，可令 其中：其中：jxjjjxxx

13、0,jjxx 变量的变换变量的变换线性规划问题的数学模型线性规划问题的数学模型 约束方程的转换：由不等式转换为等式。约束方程的转换：由不等式转换为等式。ijijbxa0 iniinjijxbxxa称为松弛变量称为松弛变量 ijijbxa0 iniinjijxbxxa称为剩余变量称为剩余变量 变量变量 的变换的变换 可令可令 ，显然，显然0 jxjjxx 0 jx线性规划问题的数学模型线性规划问题的数学模型例例1.3 将下列线性规划问题化为标准形式将下列线性规划问题化为标准形式 ,0,52324 7 532min321321321321321无无约约束束xxxxxxxxxxxxxxxZ用用 替换

14、替换 ，且，且 解解:（）因为（）因为x3无符号要求无符号要求，即，即x3取正值也可取负值，标准型中要求变量非负，取正值也可取负值，标准型中要求变量非负，所以所以33xx 3x0,33 xx线性规划问题的数学模型线性规划问题的数学模型(2)第一个约束条件是第一个约束条件是“”号，在号，在“”左端加入松驰变量左端加入松驰变量x4，x40,化为等式；化为等式；(3)第二个约束条件是第二个约束条件是“”号，在号，在“”左端减去剩余变量左端减去剩余变量x5，x50；(4)第第3个约束方程右端常数项为个约束方程右端常数项为-5，方程两边同乘以，方程两边同乘以(-1),将右端常数项化为正数；将右端常数项化

15、为正数；(5)目标函数是最小值，为了化为求最大值，令目标函数是最小值，为了化为求最大值，令z=-z,得到得到max z=-z，即当，即当z达到达到最小值时最小值时z达到最大值，反之亦然达到最大值，反之亦然;线性规划问题的数学模型线性规划问题的数学模型 0,5 )(252 )(7 )(500)(32max54332133215332143321543321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxZ标准形式如下：标准形式如下：线性规划问题的数学模型线性规划问题的数学模型v4.线性规划问题的解 )3(,2,1,0)2(),2,1(.)1(max11njxmibxatsxcZjnjijij

16、njjj线性规划问题线性规划问题求解线性规划问题，就是从满足约束条件求解线性规划问题，就是从满足约束条件(2)、(3)的方程组中找出一个解，使的方程组中找出一个解，使目标函数目标函数(1)达到最大值。达到最大值。线性规划问题的数学模型线性规划问题的数学模型 可行解可行解：满足约束条件、的解为可行解。所有可行解的集合为可行域。：满足约束条件、的解为可行解。所有可行解的集合为可行域。最优解最优解：使目标函数达到最大值的可行解。：使目标函数达到最大值的可行解。基：基：设设A为约束条件的为约束条件的mn阶系数矩阵阶系数矩阵(m04010换换出出行行将将3化为化为15/311801/301/31011/

17、3303005/304/3乘乘以以1/3后后得得到到103/51/518011/52/540011单纯形法的计算步骤单纯形法的计算步骤v例1.9 用单纯形法求解 02053115232.2max321321321321xxxxxxxxxtsxxxZ、解：将数学模型化为标准形式：解：将数学模型化为标准形式：5,2,1,02053115232.2max53214321321jxxxxxxxxxtsxxxZj不难看出不难看出x4、x5可作为初始基变量，列单纯形表计算。可作为初始基变量，列单纯形表计算。单纯形法的计算步骤单纯形法的计算步骤cj12100icB基变量基变量bx1x2x3x4x50 x41

18、52-32100 x5201/31501121000 x42x2j 201/3150120753017131/30902j 256011017/31/31250128/9-1/92/335/300-98/9-1/9-7/3j 单纯形法的计算步骤单纯形法的计算步骤学习要点：学习要点：1.线性规划解的概念以及线性规划解的概念以及3个基本定理个基本定理2.熟练掌握单纯形法的解题思路及求解步骤熟练掌握单纯形法的解题思路及求解步骤单纯形法的进一步讨论人工变量法单纯形法的进一步讨论人工变量法v人工变量法：v 前面讨论了在标准型中系数矩阵有单位矩阵，很容易确定一组基可行解。在实际问题中有些模型并不含有单位矩

19、阵，为了得到一组基向量和初基可行解，在约束条件的等式左端加一组虚拟变量，得到一组基变量。这种人为加的变量称为人工变量，构成的可行基称为人工基，用大M法或两阶段法求解，这种用人工变量作桥梁的求解方法称为人工变量法。单纯形法的进一步讨论人工变量法单纯形法的进一步讨论人工变量法v例1.10 用大M法解下列线性规划 012210243423max321321321321321xxxxxxxxxxxxxxxZ、解：首先将数学模型化为标准形式解：首先将数学模型化为标准形式 5,2,1,012210243423max32153214321321jxxxxxxxxxxxxxxxZj系数矩阵中不存在单位矩系数矩

20、阵中不存在单位矩阵，无法建立初始单纯形阵，无法建立初始单纯形表。表。单纯形法的进一步讨论人工变量法单纯形法的进一步讨论人工变量法v故人为添加两个单位向量，得到人工变量单纯形法数学模型：7,2,1,012210243423max732153216432176321jxxxxxxxxxxxxxxMxMxxxxZj其中：其中：M是一个很大的抽象的数，不需要给出具体的数值，可以理解为它能大于是一个很大的抽象的数，不需要给出具体的数值，可以理解为它能大于给定的任何一个确定数值；再用前面介绍的单纯形法求解该模型，计算结果见给定的任何一个确定数值；再用前面介绍的单纯形法求解该模型，计算结果见下表。下表。单纯

21、形法的进一步讨论人工变量法单纯形法的进一步讨论人工变量法cj32-100-M-MCBXBbx1x2x3x4x5x6x7i0 x64-431-10104-Mx5101-1201005-Mx712-21000113-2M2+M-1+2M-M0 x63-650-1013/5-Mx58-3300108/3-1x312-210005-6M5M0-M002x23/56/5101/50-Mx531/53/5003/5131/3-1x311/52/5012/505 00002x213010123x131/310015/3-1x319/300102/3000-5-25/3j j j j 单纯形法的进一步讨论人工

22、变量法单纯形法的进一步讨论人工变量法解的判别：解的判别：1）唯一最优解判别：最优表中所有非基变量的检验数非零）唯一最优解判别：最优表中所有非基变量的检验数非零,则线则线 规划具有唯规划具有唯一最优解。一最优解。2）多重最优解判别：最优表中存在非基变量的检验数为零）多重最优解判别：最优表中存在非基变量的检验数为零,则线则性规划具有则线则性规划具有多重最优解（或无穷多最优解）。多重最优解（或无穷多最优解）。3）无界解判别：某个）无界解判别：某个k0且且aik（i=1，2,m）则线性规划具有无界解。）则线性规划具有无界解。4）无可行解的判断：当用大）无可行解的判断：当用大M单纯形法计算得到最优解并且

23、存在单纯形法计算得到最优解并且存在Ri0时，则时，则表明原线性规划无可行解。表明原线性规划无可行解。5）退化解的判别：存在某个基变量为零的基本可行解。）退化解的判别：存在某个基变量为零的基本可行解。单纯形法的进一步讨论人工变量法单纯形法的进一步讨论人工变量法v单纯性法小结:建建立立模模型型个个 数数取取 值值右右 端端 项项等式或等式或不等式不等式极大或极小极大或极小新加变量新加变量系数系数两两个个三个三个以上以上xj0 xj无无约束约束xj 0 bi 0bi mi 时，企业愿时，企业愿意购进这种资源，单位纯利为意购进这种资源，单位纯利为yi*mi，则有利可图；如果，则有利可图；如果yi*mi

24、 则购进资源则购进资源i，可获单位纯利，可获单位纯利yi*mi 若若yi*mi则转让资源则转让资源i，可获单位纯利，可获单位纯利miyi对偶问题的经济解释影子价格对偶问题的经济解释影子价格v3）影子价格在资源利用中的应用v根据对偶理论的互补松弛性定理:vY*Xs=0 ,YsX*=0v表明生产过程中如果某种资源bi未得到充分利用时，该种资源的影子价格为0；若当资源资源的影子价格不为0时，表明该种资源在生产中已耗费完。对偶问题的经济解释影子价格对偶问题的经济解释影子价格v4）影子价格对单纯形表计算的解释单纯形表中的检验数单纯形表中的检验数 miiijjjBjjyacPBCc11其中其中c cj j

25、表示第表示第j j种产品的价格种产品的价格;表示生产该种产品所消耗的各项资源的影表示生产该种产品所消耗的各项资源的影子价格的总和子价格的总和,即产品的隐含成本。即产品的隐含成本。miiijya1当产值大于隐含成本时，即当产值大于隐含成本时，即 ，表明生产该项产品有利，可在计划中安排；，表明生产该项产品有利，可在计划中安排；否则否则 ，用这些资源生产别的产品更有利，不在生产中安排该产品。，用这些资源生产别的产品更有利，不在生产中安排该产品。0 j 0 j 对偶单纯形法对偶单纯形法 对偶单纯形法是求解线性规划的另一个基本方法。它是根据对偶原理和对偶单纯形法是求解线性规划的另一个基本方法。它是根据对

26、偶原理和单纯形法原理而设计出来的，因此称为对偶单纯形法。不要简单理解为是求单纯形法原理而设计出来的，因此称为对偶单纯形法。不要简单理解为是求解对偶问题的单纯形法。解对偶问题的单纯形法。找出一个对偶问题的可行基，保持对偶问题为可行解的条件下，判断找出一个对偶问题的可行基，保持对偶问题为可行解的条件下，判断XB是是否可行（否可行（XB为非负），若否，通过变换基解，直到找到原问题基可行解（即为非负），若否，通过变换基解，直到找到原问题基可行解（即XB为非负），这时原问题与对偶问题同时达到可行解，由定理为非负），这时原问题与对偶问题同时达到可行解，由定理4可得最优解。可得最优解。对偶单纯形法对偶单纯形

27、法找出一个找出一个DP的可行基的可行基LP是否可行是否可行（XB 0）保持保持DP为可行解情况下转移到为可行解情况下转移到LP的另一个基的另一个基本解本解最优解最优解是是否否循循环环结束结束对偶单纯形法对偶单纯形法例例2.9 用对偶单纯形法求解：用对偶单纯形法求解：)3.2.1(0145 1232102215129min321321321321jxxxxxxxxxxxxxZj解解:（1）将模型转化为求最大化问题，约束方程化为等式求出一组基本解，因为将模型转化为求最大化问题，约束方程化为等式求出一组基本解，因为对偶问题可行，即全部检验数对偶问题可行，即全部检验数0（求（求max问题）。问题）。对

28、偶单纯形法对偶单纯形法 014 5 12 3210 2215129max61632153214321321xxxxxxxxxxxxxxxxZcj-9-12-15000bcBxBx1x2x3x4x5x60 x4-2-2-1100-100 x5-2-3-1010-120 x6-1-1-5001-14(-9/-1.-12/-1.-15/-5)j-9-12-150000i对偶单纯形法对偶单纯形法cj-9-12-15000bcBxBx1x2x3x4x5x60 x4-9/5-9/5010-1/5-36/50 x5-9/5-14/5001-1/5-46/5-15x31/51/5100-1/514/5(-30

29、/-9,-45/-14,-15/-1)-6-9000-342icj-9-12-15000bcBxBx1x2x3x4x5x60 x4-9/14001-9/14-1/14-9/7-12x29/14100-5/141/1423/7(-3/-9,-45/-9,-33/-1)-15x31/140101/14-3/1415/7-3/14000-45/14-33/14ij j 对偶单纯形法对偶单纯形法cj-9-12-15000cBxBx1x2x3x4x5x6b-9x1100-14/911/92-12x20101-102-15x30011/90-2/92000-1/3-3-7/3j 原问题的最优解为：原问题的

30、最优解为：X*=（2,2,2,0,0,0），），Z*=72 其对偶问题的最优解为：其对偶问题的最优解为：Y*=（1/3,3,7/3），），W*=72对偶单纯形法对偶单纯形法 对偶单纯形法应注意的问题：对偶单纯形法应注意的问题：用对偶单纯形法求解线性规划是一种求解方法，而不是去求对用对偶单纯形法求解线性规划是一种求解方法，而不是去求对偶问题的最优解偶问题的最优解 初始表中一定要满足对偶问题可行，也就是说检验数满足最优初始表中一定要满足对偶问题可行，也就是说检验数满足最优判别准则判别准则 最小比值中最小比值中 的绝对值是使得比值非负，在极小化问题的绝对值是使得比值非负，在极小化问题 j j00，分

31、母分母a aij ij0 0 这时必须取绝对值。在极大化问题中，这时必须取绝对值。在极大化问题中，j j00，分母，分母a aij ij00，总满足非负，这时绝对值符号不起作用，可以去掉。如总满足非负，这时绝对值符号不起作用，可以去掉。如在本例中将目标函数写成在本例中将目标函数写成ijja 这里这里 j j 0 0在求在求 k k时就可以不带绝对值符号。时就可以不带绝对值符号。32134maxxxxz ijja 对偶单纯形法对偶单纯形法 对偶单纯形法与普通单纯形法的换基顺序不一样，普通单纯形法对偶单纯形法与普通单纯形法的换基顺序不一样，普通单纯形法是先确定进基变量后确定出基变量，对偶单纯形法是

32、先确定出基变是先确定进基变量后确定出基变量，对偶单纯形法是先确定出基变量后确定进基变量；量后确定进基变量；普通单纯形法的最小比值是普通单纯形法的最小比值是 其目的是保证下一其目的是保证下一个原问题的基本解可行，对偶单纯形法的最小比值是个原问题的基本解可行，对偶单纯形法的最小比值是 0minikikiiaab其目的是保证下一个对偶问题的基本解可行其目的是保证下一个对偶问题的基本解可行 0|minljljjjaa 对偶单纯形法在确定出基变量时，若不遵循对偶单纯形法在确定出基变量时，若不遵循 规则，任选一个小于零的规则，任选一个小于零的b bii对应的基变量出基，不影响计算结果，对应的基变量出基，不

33、影响计算结果，只是迭代次数可能不一样。只是迭代次数可能不一样。0|min iilbbb本章小结本章小结学习要点：学习要点：1.线性规划解的概念以及线性规划解的概念以及3个基本定理个基本定理2.熟练掌握单纯形法的解题思路及求解步骤熟练掌握单纯形法的解题思路及求解步骤Chapter3 运输规划运输规划(Transportation Problem)运输规划问题的数学模型运输规划问题的数学模型表上作业法表上作业法运输问题的应用运输问题的应用 运输规划问题的数学模型运输规划问题的数学模型v例3.1 某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1,B2,B3，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销

34、地每件物品的运费如下表所示，问：应如何调运可使总运输费用最小？B1B2B3产量产量A1646200A2655300销量销量150150200运输规划问题的数学模型运输规划问题的数学模型v解：产销平衡问题：总产量=总销量500v 设 xij 为从产地Ai运往销地Bj的运输量，得到下列运输量表：B1B2B3产量产量A1x11x12x13200A2x21x22x23300销量销量150150200Min C=6x11+4x12+6x13+6x21+5x22+5x23 s.t.x11+x12+x13=200 x21+x22+x23=300 x11+x21=150 x12+x22=150 x13+x23

35、=200 xij 0 (i=1、2；j=1、2、3）运输规划问题的数学模型运输规划问题的数学模型v运输问题的一般形式：产销平衡A1、A2、Am 表示某物资的表示某物资的m个产地；个产地；B1、B2、Bn 表表示某物质的示某物质的n个销地；个销地；ai 表示产地表示产地Ai的产量；的产量；bj 表示销地表示销地Bj 的销的销量；量；cij 表示把物资从产地表示把物资从产地Ai运往销地运往销地Bj的单位运价。设的单位运价。设 xij 为从产为从产地地Ai运往销地运往销地Bj的运输量，得到下列一般运输量问题的模型：的运输量，得到下列一般运输量问题的模型：minjijijxcz11min njmixn

36、jbxmiaxtsijjmiijnjiij,1;,1,0,1,1.11运输规划问题的数学模型运输规划问题的数学模型变化：变化：1）有时目标函数求最大。如求利润最大或营业额最大等；）有时目标函数求最大。如求利润最大或营业额最大等；2）当某些运输线路上的能力有限制时，在模型中直接加入约束条件（等式或不）当某些运输线路上的能力有限制时，在模型中直接加入约束条件（等式或不等式约束等式约束)；3）产销不平衡时，可加入假想的产地（销大于产时）或销地（产大于销时）。）产销不平衡时，可加入假想的产地（销大于产时）或销地（产大于销时）。v定理:设有m个产地n个销地且产销平衡的运输问题，则基变量数为m+n-1。表

37、上作业法表上作业法v表上作业法是一种求解运输问题的特殊方法，其实质是单纯形法。步骤步骤描述描述方法方法第一步第一步求初始基行可行解（初始调运方案）求初始基行可行解（初始调运方案）最小元素法、最小元素法、元素差额法、元素差额法、第二步第二步求检验数并判断是否得到最优解当非基变量的求检验数并判断是否得到最优解当非基变量的检验数检验数 ij ij全都非负时得到最优解，若存在检验全都非负时得到最优解，若存在检验数数 ij ij 00，说明还没有达到最优，转第三步。，说明还没有达到最优，转第三步。闭回路法和位闭回路法和位势法势法第三步第三步调整运量，即换基，选一个变量出基，对原运调整运量，即换基，选一个

38、变量出基，对原运量进行调整得到新的基可行解，转入第二步量进行调整得到新的基可行解，转入第二步表上作业法表上作业法例例3.2 3.2 某运输资料如下表所示：某运输资料如下表所示：单位单位 销地销地 运价运价 产地产地产量产量3 311113 310107 71 19 92 28 84 47 74 410105 59 9销量销量3 36 65 56 64321 BBBB321AAA问：应如何调运可使总运输费用最小？问：应如何调运可使总运输费用最小？表上作业法表上作业法v解：第1步 求初始方案方法方法1：最小元素法：最小元素法 基本思想是就近供应，即从运价最小的地方开始供应（调运），然后次小，直基本

39、思想是就近供应，即从运价最小的地方开始供应（调运），然后次小，直到最后供完为止。到最后供完为止。B1B2B3B4产量产量A17A2 4A39销量销量3656311310192741058341633表上作业法表上作业法总的运输费总的运输费(31)+(64)+(43)+(12)+(310)+(35)=86元元元素差额法对最小元素法进行了改进，考虑到产地到销地的最小运价和次小元素差额法对最小元素法进行了改进，考虑到产地到销地的最小运价和次小运价之间的差额，如果差额很大，就选最小运价先调运，否则会增加总运费。例运价之间的差额，如果差额很大，就选最小运价先调运，否则会增加总运费。例如下面两种运输方案。

40、如下面两种运输方案。85102120151515510总运费是总运费是z=108+52+151=105最小元素法：最小元素法：表上作业法表上作业法85102120151551510总运费总运费z=105+152+51=85后一种方案考虑到后一种方案考虑到C11与与C21之间之间的差额是的差额是82=6，如果不先调，如果不先调运运x21，到后来就有可能，到后来就有可能x110，这样会使总运费增加较大，从而这样会使总运费增加较大，从而先调运先调运x21，再是，再是x22，其次是，其次是x12用元素差额法求得的基本可行解更接近最优解，所以也称为近似方用元素差额法求得的基本可行解更接近最优解，所以也称

41、为近似方案。案。表上作业法表上作业法方法方法2：Vogel法法1）从运价表中分别计算出各行和各列的最小运费和次最小运费的差额，并填入）从运价表中分别计算出各行和各列的最小运费和次最小运费的差额，并填入该表的最右列和最下行。该表的最右列和最下行。B1B2B3B4产量产量A17A2 4A39销量销量3656311310192741058表上作业法表上作业法2）再从差值最大的行或列中找出最小运价确定供需关系和供需数量。当产地或）再从差值最大的行或列中找出最小运价确定供需关系和供需数量。当产地或销地中有一方数量供应完毕或得到满足时，划去运价表中对应的行或列。销地中有一方数量供应完毕或得到满足时，划去运

42、价表中对应的行或列。重复重复1)和和2)，直到找出初始解为至。，直到找出初始解为至。B1B2B3B4产量产量A17A2 4A3 9销量销量3656311310192741058表上作业法表上作业法单位单位 销地销地 运价运价 产地产地产量产量行差额行差额311310719284741059销量销量3656列差额列差额4321 BBBB321AAA71135215表上作业法表上作业法单位单位 销地销地 运价运价 产地产地产量产量行差额行差额311310719284741059销量销量3656列差额列差额4321 BBBB321AAA71352753表上作业法表上作业法单位单位 销地销地 运价运价

43、 产地产地产量产量行差额行差额311310719284741059销量销量3656列差额列差额4321 BBBB321AAA11351536312该方案的总运费该方案的总运费:(13)(46)(35)(210)(18)(35)85元元表上作业法表上作业法求出一组基可行解后，判断是否为最优解，仍然是用检验数来判断，记求出一组基可行解后，判断是否为最优解，仍然是用检验数来判断，记xij的检验数为的检验数为ij由第一章知，求最小值的运输问题的最优判别准则是：由第一章知，求最小值的运输问题的最优判别准则是：所有非基变量的检验数都非负，则运输方案最优所有非基变量的检验数都非负，则运输方案最优求检验数的方

44、法有两种：求检验数的方法有两种：闭回路法闭回路法 位势法（位势法（）表上作业法表上作业法闭回路的概念,132222111jsisjsijijijijixxxxxx称称集集合合),(2121互互不不相相同同；其其中中ssjjjiii为一个闭回路为一个闭回路，集合中的变量称为回路的顶点，相邻两个变量的连线为闭回路，集合中的变量称为回路的顶点，相邻两个变量的连线为闭回路的边。如下表的边。如下表表上作业法表上作业法v例下表中闭回路的变量集合是x11,x12,x42,x43,x23,x25,x35,x31共有8个顶点，这8个顶点间用水平或垂直线段连接起来，组成一条封闭的回路。B1B2B3B4B5A1X1

45、1X12A2X23X25A3X31X35A4X42X43 一条回路中的顶点数一定是偶数，回路遇到顶点必须转一条回路中的顶点数一定是偶数，回路遇到顶点必须转90度与另一顶点连接，度与另一顶点连接，表表33中的变量中的变量x 32及及x33不是闭回路的顶点，只是连线的交点。不是闭回路的顶点，只是连线的交点。表上作业法表上作业法v闭回路,123233434111xxxxxxB1B2B3A1X11X12A2A3X32X33A4X41X43例如变量组例如变量组 不能构成一条闭回路，但不能构成一条闭回路，但A中包含有闭回中包含有闭回路路 ,121131352521xxxxxxA ,31352521xxxx

46、变量组变量组 变量数是奇数，显然不是闭回路，也不含有变量数是奇数，显然不是闭回路，也不含有闭回路；闭回路；,2111123233xxxxxB 表上作业法表上作业法用位势法对初始方案进行最优性检验：用位势法对初始方案进行最优性检验：1）由）由 ij=Cij-（Ui+Vj）计算位势）计算位势Ui，Vj，因对基变量而言有，因对基变量而言有 ij=0，即即Cij-（Ui+Vj）=0，令，令U1=02）再由）再由 ij=Cij-（Ui+Vj）计算非基变量的检验数）计算非基变量的检验数 ijB1B2B3B4UiA1A2A3Vj311310192741058436313当存在非基当存在非基变量的检验变量的检

47、验数数 kl 0，说明现行方说明现行方案为最优方案为最优方案，否则目案，否则目标成本还可标成本还可以进一步减以进一步减小。小。表上作业法表上作业法v当存在非基变量的检验数kl 0 且kl=minij时，令Xkl 进基。从表中知可选X24进基。第第3步步 确定换入基的变量确定换入基的变量第第4步步 确定换出基的变量确定换出基的变量以进基变量以进基变量xik为起点的闭回路中，标有负号的最小运量作为调整量为起点的闭回路中，标有负号的最小运量作为调整量，对应的对应的基变量为出基变量，并打上基变量为出基变量，并打上“”以示换出作为非基变量。以示换出作为非基变量。表上作业法表上作业法B1B2B3B4UiA

48、1A2A3Vj311197436 13,1minmin14,23 xx调整步骤为：调整步骤为：在进基变量的闭回路中标有正号的变量加上调整量在进基变量的闭回路中标有正号的变量加上调整量，标有负号的变量减去调整量，标有负号的变量减去调整量，其余变量不变，得到一组新的，其余变量不变，得到一组新的基可行解。然后求所有非基变量的检验数重新检验。基可行解。然后求所有非基变量的检验数重新检验。表上作业法表上作业法当所有非基变量的检验数均非负时，则当前调运方案即为最优方案，如表此时当所有非基变量的检验数均非负时，则当前调运方案即为最优方案，如表此时最小总运费：最小总运费：Z=(13)(46)(35)(210)

49、(18)(35)85元元B1B2B3B4UiA1A2A3Vj311310192741058536312表上作业法表上作业法v表上作业法的计算步骤：分析实际问题列出产销平分析实际问题列出产销平衡表及单位运价表衡表及单位运价表确定初始调运方案（最小确定初始调运方案（最小元素法或元素法或Vogel法）法）求检验数（位势法）求检验数（位势法）所有检验数所有检验数0找出绝对值最大的负检验数，用闭合找出绝对值最大的负检验数，用闭合回路调整，得到新的调运方案回路调整，得到新的调运方案得到最优方案，得到最优方案，算出总运价算出总运价表上作业法表上作业法（1）若运输问题的某一基可行解有多个非基变量的检验数为负，

50、在继续迭代时，）若运输问题的某一基可行解有多个非基变量的检验数为负，在继续迭代时，取它们中任一变量为换入变量均可使目标函数值得到改善，但通常取取它们中任一变量为换入变量均可使目标函数值得到改善，但通常取ij0中最中最小者对应的变量为换入变量。小者对应的变量为换入变量。（2）无穷多最优解）无穷多最优解产销平衡的运输问题必定存最优解。如果非基变量的产销平衡的运输问题必定存最优解。如果非基变量的ij0，则该问题有无，则该问题有无穷多最优解。穷多最优解。表上作业法表上作业法 退化解：退化解：表格中一般要有表格中一般要有(m+n-1)个数字格。但有时在分配运量时则需要同时划去个数字格。但有时在分配运量时

51、则需要同时划去一行和一列，这时需要补一个一行和一列，这时需要补一个0，以保证有，以保证有(m+n-1)个数字格作为基变量。一般个数字格作为基变量。一般可在划去的行和列的任意空格处加一个可在划去的行和列的任意空格处加一个0即可。即可。利用进基变量的闭回路对解进行调整时，标有负号的最小运量（超过利用进基变量的闭回路对解进行调整时，标有负号的最小运量（超过2个个最小值）作为调整量最小值）作为调整量，选择任意一个最小运量对应的基变量作为出基变量，并，选择任意一个最小运量对应的基变量作为出基变量，并打上打上“”以示作为非基变量。以示作为非基变量。表上作业法表上作业法 销地销地产地产地B1B2B3B4产量

52、产量A116A210A322销量销量81412141241148310295116(0)(2)(9)(2)(1)(12)如下例中如下例中11检验数是检验数是 0，经过调整，可得到另一个最优解。，经过调整，可得到另一个最优解。表上作业法表上作业法 销地销地产地产地B1B2B3B4产量产量A17A24A39销量销量365620114431377821060在在x12、x22、x33、x34中任选一个变量作为基变量，例如选中任选一个变量作为基变量，例如选x34例：用最小元素法求初始可行解例：用最小元素法求初始可行解运输问题的应用运输问题的应用v目标函数求利润最大或营业额最大等问题。minjijijx

53、CZ11max njmixnjbxmiaxijmijijnjiij,2,1;,2,10,2,1,2,111，运输问题的应用运输问题的应用v求解方法：v 将极大化问题转化为极小化问题。设极大化问题的运价表为C，用一个较大的数M（Mmaxcij）去减每一个cij得到矩阵C，其中C=（Mcij）0,将C作为极小化问题的运价表，用表上用业法求出最优解。运输问题的应用运输问题的应用v例3.3 下列矩阵C是Ai（I=1，2，3）到Bj的吨公里利润,运输部门如何安排运输方案使总利润最大.销地销地产地产地B1B2B3产量产量A1A2A3销量销量ijijijccccM 10,10max/22取取运输问题的应用运

54、输问题的应用 销地销地产地产地B1B2B3产量产量A1A2A3销量销量得到新的最小化运输问题，用表上作业法求解即可。得到新的最小化运输问题，用表上作业法求解即可。运输问题的应用运输问题的应用v 当总产量与总销量不相等时,称为不平衡运输问题.这类运输问题在实际中常常碰到,它的求解方法是将不平衡问题化为平衡问题再按平衡问题求解。当产大于销时，即：当产大于销时，即：minjjiba11数学模型为：数学模型为：minjijijxcZ11min njmixnjbxmiaxijmijijnjiij,2,1;,2,10,2,1,2,111，运输问题的应用运输问题的应用v 由于总产量大于总销量，必有部分产地的

55、产量不能全部运送完，必须就地库存，即每个产地设一个仓库，假设该仓库为一个虚拟销地Bn+1，bn+1作为一个虚设销地Bn+1的销量(即库存量)。各产地Ai到Bn+1的运价为零，即Ci,n+1=0,（i=1，m）。则平衡问题的数学模型为：minjijijxcZ11min ,2,1,2,1,01,2,1,2,1111jmixnjbxmiaxijmijijnjiij；具体求解时具体求解时,只在只在运价表右端增加运价表右端增加一列一列B Bn n+1+1，运价，运价为零为零,销量为销量为b bn n+1+1即可即可运输问题的应用运输问题的应用 当销大于产时，即：minjjiba11 minjijijxC

56、Z11min ,2,1;,2,1,0,2,1,2,111jmixnjbxmiaxijmijijnjiij数学模型为：数学模型为：由于总销量大于总产由于总销量大于总产量量,故一定有些需求地故一定有些需求地不完全满足不完全满足,这时虚设这时虚设一个产地一个产地Am+1，产量，产量为：为：miinjjab11运输问题的应用运输问题的应用销大于产化为平衡问题的数学模型为销大于产化为平衡问题的数学模型为：minjijijxcZ11min njmixnjbxmiaxijmijijnjiji,2,11,2,1,0,2,11,2,1111；具体计算时，在运价表的下方增加一行具体计算时，在运价表的下方增加一行A

57、m+1，运价为零。产量为，运价为零。产量为am+1即可。即可。运输问题的应用运输问题的应用v例3.4 求下列表中极小化运输问题的最优解。B1B2B3B4aiA1592360A2-47840A3364230A448101150bj20603545180160 4141160180ijjiba因为有：因为有：运输问题的应用运输问题的应用v所以是一个产大于销的运输问题。表中A2不可达B1，用一个很大的正数M表示运价C21。虚设一个销量为b5=180-160=20，Ci5=0，i=1,2,3,4，表的右边增添一列，得到新的运价表。B1B2B3B4B5aiA15923060A2M478040A33642

58、030A4481011050bj2060354520180运输问题的应用运输问题的应用v下表为计算结果。可看出：产地A4还有20个单位没有运出。B1B2B3B4B5AiA1352560A24040A3102030A420102050Bj2060354520180运输问题的应用运输问题的应用v3.生产与储存问题例例3.5 某厂按合同规定须于当年每个季度末分别提供某厂按合同规定须于当年每个季度末分别提供10、15、25、20台同一规格的柴油机。已知该厂各季度的生产能力及生产每台台同一规格的柴油机。已知该厂各季度的生产能力及生产每台柴油机的成本如右表。如果生产出来的柴油机当季不交货，每台柴油机的成本

59、如右表。如果生产出来的柴油机当季不交货，每台每积压一个季度需储存、维护等费用每积压一个季度需储存、维护等费用0.15万元。试求在完成合同万元。试求在完成合同的情况下，使该厂全年生产总费用为最小的决策方案。的情况下，使该厂全年生产总费用为最小的决策方案。季度季度生产能力生产能力/台台单位成本单位成本/万元万元2510.83511.130111011.3运输问题的应用运输问题的应用v解：设 xij为第 i 季度生产的第 j 季度交货的柴油机数目，那么应满足：v 交货：x11 =10 生产：x11+x12+x13+x14 25v x12+x22 =15 x22+x23+x24 35v x13+x23

60、+x33 =25 x33+x34 30v x14+x24+x34+x44 =20 x44 10把第把第 i 季度生产的柴油机数目看作第季度生产的柴油机数目看作第 i 个生产厂的产量；把第个生产厂的产量；把第 j 季季度交货的柴油机数目看作第度交货的柴油机数目看作第 j 个销售点的销量；设个销售点的销量；设cij是第是第i季度生季度生产的第产的第j季度交货的每台柴油机的实际成本，应该等于该季度单位季度交货的每台柴油机的实际成本，应该等于该季度单位成本加上储存、维护等费用。可构造下列产销平衡问题：成本加上储存、维护等费用。可构造下列产销平衡问题：运输问题的应用运输问题的应用 ji产量产量10.81

61、0.9511.111.2525M11.1011.2511.4035MM11.0011.1530MMM11.3010销量销量10152520 10070由于产大于销，加上一个虚拟的销地由于产大于销，加上一个虚拟的销地D，化为平衡问题，即可应用表上作业，化为平衡问题，即可应用表上作业法求解。法求解。运输问题的应用运输问题的应用该问题的数学模型：该问题的数学模型：Min f=10.8 x11+10.95 x12+11.1 x13+11.25 x14+11.1 x22+11.25 x23 +11.4 x24 +11.0 x33+11.15 x34 +11.3 x44 jiD产量产量10.810.951

62、1.111.25025M11.1011.2511.40035MM11.0011.15030MMM11.30010销量销量1015252030 100100运输问题的应用运输问题的应用 jiD产量产量1015025053035255301010销量销量1015252030 100100最优生产决策如下表，最小费用最优生产决策如下表，最小费用z773万元。万元。Chapter4 整数规划整数规划(Integer Programming)整数规划的特点及应用整数规划的特点及应用分支定界法分支定界法分配问题与匈牙利法分配问题与匈牙利法整数规划的特点及应用整数规划的特点及应用v 要求一部分或全部决策变量

63、取整数值的规划问题称为整数规划。不考虑整数条件，由余下的目标函数和约束条件构成的规划问题称为该整数规划问题的松弛问题。若该松弛问题是一个线性规划，则称该整数规划为整数线性规划。整数线性规划数学模型的一般形式：整数线性规划数学模型的一般形式：且且部部分分或或全全部部为为整整数数或或 n)1.2(j 0)2.1()min(max11jnjijijnjjjxmibxaxcZZ整数规划的特点及应用整数规划的特点及应用 纯整数线性规划：指全部决策变量都必须取整数值的整数线性规划。纯整数线性规划：指全部决策变量都必须取整数值的整数线性规划。混合整数线性规划：决策变量中有一部分必须取整数值，另一部分可以不取

64、混合整数线性规划：决策变量中有一部分必须取整数值，另一部分可以不取整数值的整数线性规划。整数值的整数线性规划。0-1型整数线性规划：决策变量只能取值型整数线性规划：决策变量只能取值0或或1的整数线性规划。的整数线性规划。整数规划的特点及应用整数规划的特点及应用例例4.1 工厂工厂A1和和A2生产某种物资。由于该种物资供不应求，故需要生产某种物资。由于该种物资供不应求，故需要再建一家工厂。相应的建厂方案有再建一家工厂。相应的建厂方案有A3和和A4两个。这种物资的需求两个。这种物资的需求地有地有B1,B2,B3,B4四个。各工厂年生产能力、各地年需求量、各厂四个。各工厂年生产能力、各地年需求量、各

65、厂至各需求地的单位物资运费至各需求地的单位物资运费cij，见下表：，见下表：B1B2B3B4年生产能力年生产能力A12934400A28357600A37612200A44525200年需求量年需求量350400300150工厂工厂A3或或A4开工后，每年的生产费用估计分别为开工后，每年的生产费用估计分别为1200万或万或1500万万元。现要决定应该建设工厂元。现要决定应该建设工厂A3还是还是A4，才能使今后每年的总费用，才能使今后每年的总费用最少。最少。整数规划的特点及应用整数规划的特点及应用v解：这是一个物资运输问题，特点是事先不能确定应该建A3还是A4中哪一个，因而不知道新厂投产后的实际

66、生产物资。为此，引入0-1变量：)2,1(01 iyi若不建工厂若不建工厂若建工厂若建工厂再设再设xij为由为由Ai运往运往Bj的物资数量，单位为千吨；的物资数量，单位为千吨；z表示总费用，单位万元。表示总费用，单位万元。则该规划问题的数学模型可以表示为：则该规划问题的数学模型可以表示为：整数规划的特点及应用整数规划的特点及应用 )2,1(1,0)4,3,2,1,(0200200600400150300400350.15001200min244434241134333231242322211413121144342414433323134232221241312111414121iyjixyxxxxyxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxtsyyxcziijijijij混合整数规划问题混合整数规划问题整数规划的特点及应用整数规划的特点及应用v例4.2 现有资金总额为B。可供选择的投资项目有n个，项目j所需投资额和预期收益分别为aj和cj（j1,2,.,n），此外由于种种原因，有三个附加条件：若选择项目1，就必须同时选择项目2。反之不一定项目3和4中至少选择一个；项目5