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1、层次分析中的判断向量法 李颖娟1 赵中奇21沈阳大学工商管理学院 沈阳041 2上海交通大学管理学院 上海 20003摘要:本文提出互反集和判断向量等概念，给出了判断向量一致性的充分必要条件，在此基础上提出一种新的层次分析法。此方法不需进行一致性检验，而且判断次数少，计算简单，具有一定的实用价值.关键词:层次分析，集标度，判断向量，一致性. Judment Vetor nalyic Hiery Pocess I Yingjuan ZHAhong-i 1. Colleof Insry andBuiesdmiistaio,Shnyang nersity,10412. Schoolof aagent
2、， Snghi iaoong Univeriy,Sanghai, 20030Aract: Acnptino a se isemns ar iprocal eaotherisproed。 The sufici n neessy onitnbut th cnstency of ugent ctriprvd Baed o ,we prpose aewanlytichierarhy proce。hi ethodneentbetese bot the cositey nd vrsimpe ncomution. It has defnite pracicalale.Key ar： analtic hier
3、achy poes, set ra scae， udgentory vecto, cnsiseny。引言层次分析法1,2是一种很有实用价值的方法,但传统方法在建立判断矩阵和进行一致性检验方面比较困难，许多人对此方法正在进行着研究和改进,4，5。层次分析中的核心问题是建立判断矩阵，判断矩阵是由决策者给出的一个上三角矩阵,其中,右下角元素对权重向量的影响最大，它是此行中决策者提供的唯一信息.由此向上，随着每行元素的增加,每个元素的影响相应的降低。由于判断矩阵的建立是从上至下的，考虑到人的心理与生理因素，人们判断失误的概率随着连续判断次数的增加而增大,这样，影响最大的元素，判断失误的概率也就越大。一
4、般地，建立一个阶判断矩阵,判断次数为，当较大时,工作量是惊人的。一致性检验是层次分析中的必要环节。实际应用中，一般都是凭着大致的估计来调整判断矩阵，因此不能排除需要多次调整才能通过一致性检验的可能性。这些都给层次分析法的实际应用带来困难。为克服上述缺点,减少判断工作量，提高判断精度，现提出一种新的层次分析法。该方法与传统方法的区别是:对专家给出的判断结果只保留了合理的、符合一致性要求的结果，直接构造出满足一致性的“判断向量”，据此直接算出各因素的权重值，不必进行一致性检验。判断次数为2(n-），当较大时，比传统方法大大减少了判断工作量，而且运算过程比传统方法简单。1. 新方法的程序步骤设是评判
5、空间,其中是某层次上的元素，是其上一层次的中的某元素,即相对于的目标元素,是判断向量(由于其取值决定判断矩阵的一致性，故称之为判断向量，见定义）。是到某互反集(由于该集合是由互为倒数的数构成的，故称之为互反集。见定义1）上的映射,称三元组为标度.因此，标度就是在目标之下每一对两两比较的元素到互反集上的映射。记。新方法算法步骤为:步1:确定因素与相对重要程度的集标度,即确定，使概率，.其中表示与的相对重要程度。如此得到集判断向量.步:置步3：确定与之间相对重要程度的点标度 (1） (2）步4:如果,转步7，否则转步5步5:令 （3) (4） (5）步：如果,则,转步3,否则令,转步3步7：计算因
6、素间的相对权重 （6) （）规范化后有 (）新方法的理论证明为证明前面提出的方法的合理性,先给出如下定义:定义1 如果数,且对任意有,则称集合是标度集;如果是标度集，且对任意有，称是互反的标度集。定义2 设如果是因素与的相对重要程度标度值，则称V是在G上的判断向量。定义3 如果G是互反的，且对任意的 有,对任意有其中,则称矩阵A是标度集G上一致的。定义 如果对任意的，有其中，称向量是标度集G上一致的.定义5如果存在使概率，则称为集判断向量；称随机变量为因素集在标度集G上的集标度。定理1 如果因素集在标度集G上的判断向量是一致的,则F在上的判断矩阵A也是一致的。其中。 （）证明由定义3与4，立即
7、得证.定理设G是标度集,，则,，其中由(5）式定义。证明 对任意，显然,现证明。为此只需证明。采用数学归纳法，时,因是标度集，故有。假设时，有，欲证当时有。假设不然，则必有（或)。不妨设,则=由此得，这与矛盾，故必有，同理可证时的情况。根据归纳法原理，命题得证.定理3 设集合.其中，,则有。证明 应用数学归纳法,当 时，显然有 ;假设 时有 欲证当 时，有 。假设不然,即 则必有 或 。不妨设 由（3）和 的定义有同理当 时，可推出。这与矛盾，故必是 ，根据归纳法原理,命题得证。定理4 设 是标度集G上的判断向量，则 是一致的，其中由（1）与（)确定。证明由定义4只需证明对任意的 有。由（2）
8、，(定理3）。故。因此有即 同理可证 因此。这就证明了定理4。定理5 设是在标度集G上一致的判断向量.则F中元素的相对权重由（8）式给出。证明因为是G上一致的，所以由定理1知A是上一致的，由（9）式定义。记是的权重,则A的元素可记为，又因A是一致的，所以的任一列都可以作为因素集 F中元素的相对权重向量，不妨取第一列并令，则有由（9）式,对任意有由此有 注意到 ,故有规范化后有 。定理得证。3. 应用实例分析现以三峡移民工程方案评价为例，说明本文方法的应用过程与优点.问题的层次结构如图，现只考虑因素层F，取标度集G=，按1中的方法步1得集判断向量为其中表示（使搬迁费用最低)与(使损失最小)的相对
9、重要程度的概率是1，后面以此类推。确定判断向量的过程如表。表中各值由算法步2至步6得出.判断向量为（9，1/，2,，1/,5，/3，4，/）于是由 （),（7)得规范化后得即因素层各因素权重按图中先后顺序分别为(024,，091)。 目标层C选择一个最优方案因素层方案层M方案1方案2方案3使搬迁费用最低使损失最小对生态环境的影响法律障碍最少文化差异人口均衡发展资源的可持续利用人口安置问题经济生活现状搬迁距离 图1 1 1，9 1/9，9 1， 9 1/6， 1/9,1 /，6 /53 1，7 5/，5 1，5 4 1，3 518,5/ ,5/2 /9，1 5/3，5/4 5/36， 1/76
10、3，6 3536,35/4 3,6 57 /5，12 7/36，7/ 1/5，1/2 1/38 ，6 2136,21/4 2，1/4 9 1/4,1/2 21/144，2/6 21/144,1/2 1/3 表1 构造判断向量表4 结论本文提出的新的层次分析法直接构造出一致的判断向量,据此直接算出各因素的权重值，不必进行一致性检验。由应用实例可以看出,区间判断向量9个元素,判断次,共次。比一般层次分析法少451827次判断，且权重值的计算非常简单,得出的权重值是很理想的。参考文献1 Stty T L. A calnMdo Poritie i irarcalSiruchal. J。 Mat Psy
11、ho， 1977；1(3）。Sat T L. Alos of Aalycal Hirace。 ath。 AndCm In Simulation X （979）： 1。刘石里，王全艳。H和齐次马尔可夫链J。系统工程，200，：12154孙才志，林学钰,王金生。模糊动态H及其在水资源系统模糊优化中的应用J.系统工程,2001,：7883 肖四汉，樊治平,王梦光。Fuzzy判断矩阵的一致性研究J.系统工程学报，201，2:24-27作者简介李颖娟（1962）女，吉林市人，硕士,副教授。研究方向：系统工程，生产存储与管理.赵中奇 (15）男，吉林省人，副教授,上海交通大学博士后,从事数量经济及复杂性科学研究.文中如有不足，请您指教！7 / 7
层次分析中的判断向量法
