结构动力学第六章 分布参数体系

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1、结构动力学 Dynamics of Structures第六章分布参数体系Chapter 6 Continuous Systems华南理工大学土木工程系马海涛/陈太聪结构动力学第六章分布参数体系Oof 24华南理工大学土木与交通学院土木工程系 本章主要目的及内容目的：了解具有分布质量弹性连续体的动力分析方法；初步掌握一维结构的运动方程的建立和简单问题求解内容：梁的偏微分运动方程梁的自振频率和振型振型的正交性用振型叠加法计算梁的动力反应结构动力学第六章分布参数体系1of 24华南理工大学土木与交通学院土木工程系 6.1梁的偏微分运动方程剪切变形-Euler梁、Timoshenko梁转动惯量 阻尼

2、影响6.1.1a弯曲梁(欧拉梁)的横向振动方程结构动力学第六章分布参数体系2of 24华南理工大学土木与交通学院土木工程系 6.1梁的偏微分运动方程Euler梁静力平衡方程:d2dx2du(x,t)l 丨 EI(x)l =P(x,t)2dx【J 2惯性力-分布强度：du(x,t)fI(x)=m(x)2dt2Euler梁动力平衡方程：d2dx结构动力学 2du(x,t)l du(x,t)l EI(x) I =P(x,t)-m(x)22dxdt【J 223of 24 华南理工大 学土木与交通学院土木工程系图&2微梁段隔离体(仅考虑弯曲悄况) IdH?LH PH第六章分布参数体系6.1梁的偏微分运动

3、方程 等截面梁的运动方程：du(x,t)du(x,t)m+EI=P(x,t)24dtdx24运动方程：2du(x,t)ddu(x,t)l m(x)+2l EI(x)l =P(x,t)22dtdxL dxJ 22Euler梁动力平衡方程： 2dx结构动力学 2du(x,t)l du(x,t)l EI(x) I =P(x,t)-m(x)22dxdtL J 224of 24 华南理工大 学土木与交通学院土木工程系第六章分布参数体系6.1梁的偏微分运动方程等截面梁的运动方程：du(x,t)du(x,t)m+EI=P(x,t)24dtdx24四阶偏微分方程(A fourth order partial

4、differential equation) 比较静力情形:du(x)EI=P(x)4dx4(2)假设条件：Euler梁理论忽略转动惯量影响结构动力学第六章分布参数体系dux,t()DP(x,t)=P(x)-m(x)2dt25of 24华南理工大学 土木与交通学院土木工程系6丄5考虑阻尼影响1厂L的梁的振动方程结构动力学第六章分布参数体系6of 24华南理工大学土木与交通学院土木工程系 6.1.5考虑阻尼影响的梁的振动方程横向阻尼力(分布线密度)du(x,t)fD(x)=c(x)dt梁内阻尼弯矩 d阻尼应.32du(x,t)d第六章分布参数体系7of 24华南理工大学土木与交通学院土木工程系结

5、构动力学a=csdtds(x,n,t)MD(x)=JoDnd=Jcsnl 2n ldA=csI(x)2dtdAdtAAdx/ dtdxA6.1.5考虑阻尼影响的梁的振动方程无阻尼梁的震动方程 du(x,t)dm(x)+22dtdx22du(x,t)l 丨 EI(x)l =P(x,t)2dx【J 2 考虑阻尼力的贡献后，有du(x,t)du(x,t)m(x)+c(x)+2dtdt232du(x,t)du(x,t)l df EI(x)+csI(x)丨=P(x,t)2l 22dxL dxdxdtJ 2结构动力学第六章分布参数体系8of 24华南理工大学土木与交通学院土木工程系 6.2梁的自振频率和振

6、型6.2.1弯曲梁的自振频率和振型欧拉梁的横向自由振动 运动方程m或写成 du(x,t)2dt2+EIdu(x,t)4dx4=0d()d()()=,()dtdxiEI口 +u=Oum u(x,t)=9(x)q(t )使用分离变量法(the method of separation of variables)代入方程后， 可得结构动力学第六章分布参数体系Eimm(t)=-0(x)q(t)叽x)qm9of 24华南理工大学 土木与交通学院土木工程系6.2.1弯曲梁的自振频率和振型于是有 (t)0(x)mq=申 xEIqt 命(t)EI0(x)q2=e=m 申 xqt2mDq(t)+eq(t)=0

7、4(x)-a申(x)=0可得两个常微分方程分别求解式中a二结构动力学4mEI10of24华南理工大学土木与交通学院土木工程系2第六章分布 参数体系6.2.1弯曲梁的自振频率和振型方程 (t)+q(t)=0q2通解为q(t)=Alsinet+Blcost对给定初始条件，有q(t)=D(0)qrosinrot+q(0)cosrot结构动力学第六章分布参数体系11of 24华南理工大学土木与交通学院土木工程 系6.2.1弯曲梁的自振频率和振型方程0(x)-a申(x)=04设解为申(x)=Cesx代入方程后，有特征方程(s解方程得4a)Ce=04sxs1,2,3,4=a,ia方程的通解-iax-axi

8、axax9(x)=Cle+C2e+C3e+C4e结构动力学第六章分布参数体系12of 24华南理工大学土木与交通学院土木工程 系6.2.1弯曲梁的自振频率和振型方程0(x)-a申(x)=04 用三角函数和双曲函数可将通解表示为 9(x)=Asinax+Bcosax+Csinhax+Dcoshax 其中双曲函数 e-esinhax=2ax-axe+e,coshax=2ax-ax(1)A, B, C, D为待定常数，通过边界条件确定位移、斜率、剪力或弯矩的自由边界条件(2)齐次代数方程由非零解条件得频率方程，可确定频率参数a,再确定振型参数A, B, C,D 结构动力学第六章分布参数体系13of

9、24华南理工大学土木与交通学院土木工程 系6.2.1弯曲梁的自振频率和振型例6.1简支梁简支条件：x=0：9(0)=0M(O)=EI0(O)=Ox=L：9(L)=0M(L)=EI0(L)=O14of 24华南理工大学土木与交通学院土木工程系结构动力学第六章分布参数体系 6.2.1弯曲梁的自振频率和振型由左端边界条件(x = 0)得：申(0)=Asin0+Bcos0+Csinh0+Dcosh0=B+D=022申(0)=a(Asin0Bcos0+Csinh0+Dcosh0)=a(B+D)=0=B=D=0右端边界条件，有：AsinaL+CsinhaL=O-AsinaL+CsinhaL=OsinaLs

10、inhaL】(0)=lllll -sinaLsinhaLI d J Ul 0 丿为保证有非零解，系数矩阵行列式必等于零sinaLsinhaLsinaLsinhaL结构动力学第六章分布参数体系=0频率方程sinaLsinhaL=0sinaL=015of 24华南 理工大学土木与交通学院土木工程系621弯曲梁的自振频率和振型根据正弦函数特性，由sinaL=0我们有： anL=nn,n=l,2,m,waEI 注意到 3=频率为：m22n=nn(n=l,2，口 ,)24将sinaL=0代回到右端点边界条件方程，可得C = 0。AsinaL+CsinhaL=0至此，求得振型函数为：nnx申n(x)=An

11、sinL结构动力学第六章分布参数体系16of 24(n=1,2,妙)土木与交通学院土木工程系华 南理工大学6.2.1图简支梁.及其振型弯曲梁的自振频率和振型结构动力学第六章分布参数体系17of 24华南理工大学土木与交通学院土木工程 系6.3振型的正交性功的互等定理：JLOum(x)fI,n(x,t)dx=Jun(x)fI,n(x,t)dxOL 考虑第 n 阶和第 m 阶振型：un(x,t)=申n(x)qnsinntum(x,t)=m(x)qmsinmt结构动力学第六章分布参数体系18of 24华南理工大学土木与交通学院土木工程 系6.3振型的正交性分布惯性力：fl,n(x,t)=-m(x)f

12、l,m(x,t)=-m(x)dun(x,t)2dt2dum(x,t)dt22=m(x)n申(x)qnsinnt2=m(x)m申(x)qmsinmt2 代入互等定理表达式：Jl0申m(x)qmm(x)n申n(x)qndx=bn(x)qnm(x)m申m(x)qmdx220Lj结构动力学2n-22m)b(x)m(x)申(x)dx=00nm2mLn定L0第六章分布参数体系 申n(x)m(x)申m(x)dx=019of 24(m#n)华南理工大学土木与交通学院土木工程系 6.3振型的正交性分布参数简支梁关于分布质量正交条件：Lj0申n(x)m(x)申m(x)dx=0(mn)分布参数简支梁关于分布刚度正交

13、条件：Jl0申m(x)申n(x)EI(x)dx=0对多自由度系统，振型向量满足mMn=0TmKn=0结构动力学第六章分布参数体系Tm#nm#n20of 24华南理工大学土木与交通学院 土木工程系6.4梁的动力反应将振型叠加法由多自由度推广至无限自由度.641广义坐标振 型向量血(x)已知 广义坐标qi(t)未知结构动力学第六章分布参数体系21of 24华南理工大学土木与交通学院土木工程 系6.4.1广义坐标 位移场用振型函数表示： u(x,t)=qm(t)申m(x) m=lw两端分别乘申n(x)后取积分： a(x)m(x)u(x,t)dx=Yq(t)b(x)m(x)申(x)dxOnm m=10

14、nmLL由正交性，得振幅表达式：q(t)=n结构动力学 LO申n(x)m(x)u(x,t)dxLO 比较jf L 申n(x)l J m(x)dx22of242nMuqn=TnMWnTWnMu=Mn 土木工程系土木与交通学院 T第六章分布参数体系华南理工大学6.4.2振型叠加法具有分布质量无阻尼梁的横向振动运动方程: dudf dul m(x)2+2, EI(x)21 =P(x,t)dtdxL dxJ 222采用振型广义坐标：d申m(x)l df m(t)+2l EI(x)m(x)申m(x)q丨 qm(t)=P(x,t)2dxJ m=1m=1dxL 22 两端分别乘申n(x)后取积分:jm=1L

15、0DDm(t)dx+n(x)m(x)m(x)q L22Ld申m(x)l dqm(%n(x)2l EI(x)dx=f9n(x)P(x,t)dx I 200dxL dxm=1J 第六章分布参数体系23of 24华南理工大学土木与交通学院土木工程系结构动力学6.4.2振型叠加法由振型函数正交性，有 d(x)dymmn(t)bn(x)m(x)dx+qn(t)an(x)2EI(x)qdx200dxdxL=an(x)P(x,t)dxL2L02 2再根据振型函数特性，得 n(t)anq0L2(x)m(x)dx+qn(t)ej0申n(x)m(x)dx=JO申 n(x)P(x,t)dx2 n2LL引入 Mn=Jn(x)m(x)dxPn(t)=Jn(x)P(x,t)dx00LL2 得模态运动方程2DDn(t)+ronMnqn(t)=Pn(t)Mnq结构动力学第六章分布参数体系24of 24即Pn(t)DDn(t)+roq(t)=qMn2nn 土木与交 通学院土木工程系华南理工大学