几类简单的微分方程

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1、2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系1第第3章章 一元函数积分学及其应用一元函数积分学及其应用第第1节节 定积分的概念，存在条件与性质定积分的概念，存在条件与性质第第2节节 微积分基本公式与基本定理微积分基本公式与基本定理第第3节节 两种基本积分法两种基本积分法第第4节节 定积分的应用定积分的应用第第5节节 反常积分反常积分第第6节节 几类简单的微分方程几类简单的微分方程2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系2(),yf xy 已知求已知求 积分问题积分问题 微分方程问题微分方程问题 推广推广(,),yf x yy 已知求已知求()(1)(,)nnyf x y

2、 yyy 已知，求已知，求第第6节节 几类简单的微分方程几类简单的微分方程本节仅讨论几类能直接利用积分方法求解的简单微分本节仅讨论几类能直接利用积分方法求解的简单微分方程及其应用方程及其应用.ch7.ch7章对微分方程的理论及其求解将进章对微分方程的理论及其求解将进行较为系统的介绍行较为系统的介绍2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系3第第6节节 几类简单的微分方程几类简单的微分方程6.1 几个基本概念几个基本概念6.2 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程6.3 一阶线性微分方程一阶线性微分方程6.4 变量代换法变量代换法6.5 可降阶的高阶方程可降阶的高阶方程6.6 应

3、用举例应用举例2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系4例例 1 1 一一曲曲线线通通过过点点(1,2),且且在在该该曲曲线线上上任任一一点点),(yxM处处的的切切线线的的斜斜率率为为x2,求求这这曲曲线线的的方方程程.解解)(xyy 设所求曲线为设所求曲线为xdxdy2 xdxy21,2xy时时,2Cxy 即即,1 C求求得得.12 xy所求曲线方程为所求曲线方程为6.16.1、几个基本概念、几个基本概念2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系5例例 2 2 列列车车在在平平直直的的线线路路上上以以 2 20 0 米米/秒秒的的速速度度行行驶驶,当当制制动动时时

4、列列车车获获得得加加速速度度4.0 米米/秒秒2 2,问问开开始始制制动动后后多多少少时时间间列列车车才才能能停停住住？以以及及列列车车在在这这段段时时间间内内行行驶驶了了多多少少路路程程？解解)(,tssst 米米秒钟行驶秒钟行驶设制动后设制动后4.022 dtsd,20,0,0 dtdsvst时时14.0Ctdtdsv 2122.0CtCts 2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系6代入条件后知代入条件后知0,2021 CC,202.02tts ,204.0 tdtdsv故故),(504.020秒秒 t列列车车在在这这段段时时间间内内行行驶驶了了).(5005020502.

5、02米米 s开始制动到列车完全停住共需开始制动到列车完全停住共需2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系7微分方程微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程叫凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程微分方程.例例,xyy ,0)(2 xdxdtxt,32xeyyy ,yxxz 实质实质:联系自变量联系自变量,未知函数以及未知函数的未知函数以及未知函数的某些导数某些导数(或微分或微分)之间的关系式之间的关系式.分类分类1 1:常微分方程常微分方程,偏微分方程偏微分方程.2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系8,0),(yyxF一阶微分方程一阶微分方程);,(yxf

6、y 高阶高阶(n)微分方程微分方程,0),()(nyyyxF).,()1()(nnyyyxfy分类分类2 2:微分方程的阶微分方程的阶:微分方程中出现的未知函数的最微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为高阶导数的阶数称为微分方程的阶微分方程的阶.,xyy ,32xeyyy 2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系9分类分类3 3:线性与非线性微分方程线性与非线性微分方程.),()(xQyxPy ;02)(2 xyyyx分类分类4 4:单个微分方程与微分方程组单个微分方程与微分方程组.,2,23zydxdzzydxdy如果一个微分方程中仅含有未知函数及其各阶导数作为整体的一

7、次幂,则称它为线性微分方程.2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系10微分方程的解微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.,)(阶导数阶导数上有上有在区间在区间设设nIxy .0)(,),(),(,()(xxxxFn微分方程的解的分类微分方程的解的分类：(1)(1)通解通解:微分方程的解中含有任意常数微分方程的解中含有任意常数,且任且任意常数的个数与微分方程的阶数相同意常数的个数与微分方程的阶数相同.2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系11(2)(2)特解特解:确定了通解中任意常数以后的解确定了通解中任意常数以后

8、的解.,yy 例例;xcey 通解通解,0 yy;cossin21xcxcy 通解通解通解的图象通解的图象:积分曲线族积分曲线族.初始条件初始条件:用来确定任意常数的条件用来确定任意常数的条件.2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系12过定点的积分曲线过定点的积分曲线;00),(yyyxfyxx一阶一阶:二阶二阶:0000,),(yyyyyyxfyxxxx过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.初值问题初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题求微分方程满足初始条件的解的问题.2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系1

9、3解解,cossin21ktkCktkCdtdx ,sincos221222ktCkktCkdtxd ,22的表达式代入原方程的表达式代入原方程和和将将xdtxd2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系14.0)sincos()sincos(212212 ktCktCkktCktCk.sincos21是原方程的解是原方程的解故故ktCktCx ,0,00 ttdtdxAx.0,21 CAC所求特解为所求特解为.cosktAx 补充补充:微分方程的初等解法微分方程的初等解法:初等积分法初等积分法.求解微分方程求解微分方程求积分求积分(通解可用初等函数或积分表示出来通解可用初等函数或

10、积分表示出来)2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系156.2 6.2 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程Cxxdxyxxdxdyxdxdy 2222 1积分积分两端对两端对即，即，解：解：例例上节上节回顾回顾积积分分含含有有未未知知函函数数，不不好好求求若若两两端端积积分分：求求解解问问题题 dxxyyxydxdy2222:2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系16.2)()()1(0),(),()1(),(量量的的微微分分方方程程则则原原方方程程称称为为可可分分离离变变）（能能化化成成或或若若dxxfdyygdyyxNdxyxMyxfy ，使使方方程程

11、变变形形为为：解解决决)0(21:2 yxdxdyy.1122解解验验证证的的确确是是原原方方程程的的通通两两端端积积分分CxyCxy 定义定义分离变量法步骤分离变量法步骤:1.分离变量分离变量;2.两端积分两端积分-隐式通解隐式通解.2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系17dxxfdyyg)()(可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.解法解法设设函函数数)(yg和和)(xf是是连连续续的的,dxxfdyyg)()(设设函函数数)(yG和和)(xF是是依依次次为为)(yg和和)(xf的的原原函函数数,CxFyG )()(为微分方程的解为微分方程的解.2008年12月17日

12、南京航空航天大学 理学院 数学系18例例4 4 求解微分方程求解微分方程.2的通解的通解xydxdy 解解分离变量分离变量,2xdxydy 两端积分两端积分,2 xdxydy12lnCxy .2为所求通解为所求通解xcey 2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系190)()(22 dyyxydxxyx解解微微分分方方程程0)1()1(22 dyxydxyx原原微微分分方方程程为为：dxxxdyyy11:22 分离变量后分离变量后Cxyln)1ln()1ln(22 )0()1(122 CxCy例例5解解2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系20)()(xQyxPd

13、xdy 一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式的标准形式:,0)(xQ当当上方程称为上方程称为齐次的齐次的.上方程称为上方程称为非齐次的非齐次的.,0)(xQ当当例如例如,2xydxdy ,sin2ttxdtdx 线性的线性的;6.3 6.3 一阶线形微分方程一阶线形微分方程2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系21.0)(yxPdxdy,)(dxxPydy ,)(dxxPydy,ln)(lnCdxxPy 齐次方程的通解为齐次方程的通解为.)(dxxPCey1.线性齐次方程线性齐次方程一阶线性微分方程的一阶线性微分方程的解法解法(使用分离变量法使用分离变量法)2008年12

14、月17日南京航空航天大学 理学院 数学系222.线性非齐次方程线性非齐次方程).()(xQyxPdxdy 讨论讨论,)()(dxxPyxQydy 两边积分两边积分,)()(ln dxxPdxyxQy),()(xvdxyxQ为为设设,)()(ln dxxPxvy.)()(dxxPxveey即即非齐方程通解形式非齐方程通解形式与齐方程通解相比与齐方程通解相比:)(xuC 2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系23常数变易法常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.实质实质:未知函数的变量代换未知函数的变量代换.),()(xyxu

15、原未知函数原未知函数新未知函数新未知函数作变换作变换 dxxPexuy)()(,)()()()()(dxxPdxxPexPxuexuy2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系24对应齐次方程通解xxPeCyd)(齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解()dP xxCe 解非齐次方程解非齐次方程)()(ddxQyxPxy用用常数变易法常数变易法:()d()(),P xxy xu x e 则则xxPeud)()(xPxxPeud)()(xQ故原方程的通解故原方程的通解xexQexxPxxPd)(d)(d)(CxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(y即即即即作变换作变

16、换xxPeuxPd)()(xxPexQxud)()(ddCxexQuxxPd)(d)(两端积分得两端积分得2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系25.sin1的通解的通解求方程求方程xxyxy ,1)(xxP,sin)(xxxQ Cdxexxeydxxdxx11sin Cdxexxexxlnlnsin Cxdxxsin1 .cos1Cxx 解解例例1 12008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系26 求一连续可导函数求一连续可导函数)(xf使其满足下列方程使其满足下列方程:ttxfxxfxd)(sin)(0提示提示:令令txu0()sin()dxf xxf uu 则

17、有则有()()cosfxf xx(0)0f 利用公式可求出利用公式可求出1()(cossin)2xf xxxe 例例22008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系276.4 6.4 变量代换法变量代换法2 2 伯努利方程伯努利方程1 齐次方程齐次方程3 其他的变量替换法举例其他的变量替换法举例2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系286.4 6.4 变量代换法变量代换法)(xyfdxdy 形如形如的微分方程称为的微分方程称为齐次方程齐次方程.(2)解法解法,xyu 作变量代换作变量代换,xuy 即即代入原式代入原式,dxduxudxdy ),(ufdxduxu .)(

18、xuufdxdu 即即可分离变量的方程可分离变量的方程(1)(1)定义定义1 齐次方程齐次方程2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系29例例 1 1 求解微分方程求解微分方程.0cos)cos(dyxyxdxxyyx，令令xyu ，则则udxxdudy ,0)(cos)cos(xduudxuxdxuuxx,cosxdxudu ,lnsinCxu .lnsinCxxy 微分方程的解为微分方程的解为解解2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系30伯努利伯努利(Bernoulli)方程的标准形式方程的标准形式nyxQyxPdxdy)()()1,0(n方程为方程为线性微分

19、方程线性微分方程.方程为方程为非线性微分方程非线性微分方程.2 伯努利方程伯努利方程时时，当当1,0 n时时，当当1,0 n解法解法:需经过变量代换化为线性微分方程需经过变量代换化为线性微分方程.2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系31,1 nyz 令令，则则dxdyyndxdzn )1(),()(1xQyxPdxdyynn ),()1()()1(xQnzxPndxdz 求出通解后，将求出通解后，将 代入即得代入即得nyz 1，得，得两端除以两端除以ny代入上式代入上式.)1)()()1()()1(1 CdxenxQezydxxPndxxPnn2008年12月17日南京航空航

20、天大学 理学院 数学系32.42的通解的通解求方程求方程yxyxdxdy ,412xyxdxdyy ,yz 令令,422xzxdxdz ,22 Cxxz解得解得.224 Cxxy即即解解，得，得两端除以两端除以ny例例 22008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系332(3).dyxydx例例求的通解求的通解解解,xyu令令1 dxdudxdy代入原方程代入原方程21udxdu ,arctanCxu 解得解得得得代回代回,yxu ,)arctan(Cxyx 原方程的通解为原方程的通解为.)tan(xCxy 3 其他的变量替换法举例其他的变量替换法举例2008年12月17日南京航空航

21、天大学 理学院 数学系34()()0.f xy ydxg xy xdy例4求方程通解例4求方程通解,xyu 令令,ydxxdydu 则则,0)()(xydxduxugydxuf,0)()()(duugdxxuuguf,0)()()(duugufuugxdx.)()()(|lnCduugufuugx 通解为通解为解解2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系35EXcos()yxy求求方方程程 的 的通通解解.3.-tan cosxyyy 求求方方程程 的 的通通解解.212.;sin()dyydxxxyx12008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系36cos()yxy求

22、求方方程程 的 的通通解解.1解解,uyx 令令1 dxdudxdy代入原方程代入原方程1cosduudx tan,2uxC 解解得得得得代代回回,yxu tan,2xyxC 原方程的通解原方程的通解2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系37212.;sin()dyydxxxyx解解,xyz 令令,dxdyxydxdz 则则,sin1)(sin1(22zxyxyxxydxdz ,42sin2Cxzz 分离变量法得分离变量法得,代回代回将将xyz 所求通解为所求通解为.4)2sin(2Cxxyxy 2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系383.-tan cosxy

23、yy 求求方方程程 的 的通通解解.sincoscosxyyyycossiny yxy解解sinsindyyxdxsin:yu duuxdxxxxeeduuexdx()xxeddxuxe xxxxuxe dxexeeC sin1xyxCe 2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系39(h,k 为待为待 例例5 5 求解求解可化为齐次方程的方程可化为齐次方程的方程111d()dyaxbycfxa xb yc 221(0)cc111.,abab 当时当时作变换作变换,xXhyYkdd,dd,xXyY则则原方程化为原方程化为)(dd11YbXaYbXafXYckbha111ckbha令

24、令 0ahbkc10a hbkc,解出解出 h,k d()dYaXbYfXaXbY (齐次方程齐次方程)定常数定常数),2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系40,Xxh Yyk将代入将代入求出其通解后求出其通解后,即得即得原方程的通解原方程的通解.112.,abab 当时当时原方程可化为原方程可化为 1d()d()yaxbycfxaxbc 令,vaxbyddddvyabxx 则则1d()dvvcabfxvc (可分离变量方程可分离变量方程)(0)b 2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系41解解 ,0301khkh解方程组解方程组,2,1 kh.2,1 YyX

25、x令令,YXYXdXdY 代入原方程得代入原方程得，令令XYu 例例,11uudXduXu 方程变为方程变为1.3dyxydxxy 求的通解求的通解2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系42分离变量分离变量,得得,)12(22CuuX ,222CXXYY 即即代回，代回，将将2,1 yYxX得原方程的通解得原方程的通解.)1()2)(1(2)2(22Cxyxy .622122Cyxyxyx 或或,21)12XdXuuduu （XCuuln2ln)12ln(2 两边积分得两边积分得2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系436.5 6.5 可降阶的高阶方程可降阶的高

26、阶方程1、型型()()nyf x 降阶降阶n阶降到阶降到n-1阶阶2、型型),()1()()(nknyyxfy3、型型()(1)(,)nnyf y yy 2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系44 型型代入原方程代入原方程,得得解法：解法：特点：特点：.,)1(kyyy及及不显含未知函数不显含未知函数)()(xPyk 令令.,)()()1(knnkPyPy 则则).(,),(,()1()(xPxPxfPknkn P(x)的的(n-k)阶方程阶方程),(xP求得求得,)()(次次连续积分连续积分将将kxPyk 可得通解可得通解.),()1()()(nknyyxfy2008年12月

27、17日南京航空航天大学 理学院 数学系45.0)4()5(的通解的通解求方程求方程 yxy解解),()4(xPy 设设代入原方程代入原方程,0 PPxxCP1 解线性方程解线性方程,得得两端积分两端积分,得得原方程通解为原方程通解为)()5(xPy ）（0 P,1)4(xCy 即即,21221CxCy ,2612054233251CxCxCxCxCy 54233251dxdxdxdxdy 例例 12008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系46 型型)(ypy 设设,dydPpdxdydydpy 则则阶方程，阶方程，的的代入原方程得到新函数代入原方程得到新函数)1()(nyP求得其解

28、为求得其解为原方程通解为原方程通解为,),(11nnCxCCydy 特点：特点：.x右右端端不不显显含含自自变变量量解法：解法：222(),d PdPyPdydy ,),()(11 nCCyyPdxdy()(1)(,)nnyf y yy 2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系47.02的通解的通解求方程求方程 yyy解解,dydPpy 则则),(ypy 设设代入原方程得代入原方程得,02 PdydPPy,0)(PdydPyP即即，由由0 PdydPy,1yCP 可得可得.12xceCy 原方程通解为原方程通解为,1yCdxdy 例例 22008年12月17日南京航空航天大学 理

29、学院 数学系486.66.6、微分方程应用举例、微分方程应用举例应用微分方程解决实际问题的基本步骤：应用微分方程解决实际问题的基本步骤：（1）分析问题，建立起实际问题的数学分析问题，建立起实际问题的数学 模型模型常微分方程常微分方程（组）（组）（2）求解与分析这一数学模型，即求出求解与分析这一数学模型，即求出 相应的常微分方程（组）的解，或相应的常微分方程（组）的解，或 是精确解或近似解，其中还包括分是精确解或近似解，其中还包括分析解的特性析解的特性2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系49（3）用所得的数学结果（解的形式和数用所得的数学结果（解的形式和数值定性分析等）回过头去

30、解决实际值定性分析等）回过头去解决实际问题，从而预测某些自然现象甚至问题，从而预测某些自然现象甚至 社会现象中的特定性质，以便达到社会现象中的特定性质，以便达到能动地能动地改变世界解决实际问题的目的。改变世界解决实际问题的目的。1.根据规律列方程，根据规律列方程，2.微分分析法（微元法），微分分析法（微元法），3.模拟近似法。模拟近似法。基本方法基本方法).(,00tMMtMMMMt 的的变变化化规规律律随随铀铀含含量量求求已已知知成成正正比比的的含含量量度度与与未未衰衰变变的的原原子子放放射射性性元元素素铀铀的的衰衰变变速速.),:(这这种种现现象象称称为为衰衰变变，铀铀的的含含量量就就不不

31、断断减减少少微微粒粒子子而而变变成成其其它它元元素素地地有有原原子子放放射射出出放放射射性性元元素素铀铀由由于于不不断断衰衰变变例例1dtdMv ）负负号号是是由由于于称称衰衰变变常常数数（0;0 dtdMk解解积分得积分得分离变量后分离变量后方程方程)1()3(lnlntkCeMCkM 即即0)3()2(MC 得得，代代入入初初始始条条件件kteMM 0故故 dtkMdM衰变规律衰变规律(1)dMkMdt 由题意由题意00(2)tMM 初始条件初始条件2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系51.,0,间间的的函函数数关关系系求求降降落落伞伞下下落落速速度度与与时时成成正正比比

32、，离离塔塔时时速速度度为为速速度度与与所所受受空空气气阻阻力力后后设设降降落落伞伞从从跳跳伞伞塔塔下下落落vR例例2解解 可分离变量可分离变量00tv dvmmgkvdt由牛顿第二定律由牛顿第二定律()kvk阻力比例系数阻力比例系数Pmg(),vv t 设下落速度为降落伞受重力设下落速度为降落伞受重力2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系52通通解解两两端端积积分分，分分离离变变量量 )()(ln11111keCCekmgvekvmgCmtkvmgkdtmkvmgdvkCtmkkCtMkkmgCvt 代代入入将将初初始始条条件件00)1(tmkekmgv .,近近似似于于匀匀速

33、速运运动动以以后后逐逐渐渐先先加加速速)(kmgvkmgvt 2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系53.,1,12水水流流尽尽所所需需要要的的时时间间试试求求的的小小孔孔流流出出它它底底端端的的一一个个面面积积为为水水从从的的半半球球形形容容器器现现有有一一盛盛满满水水而而高高为为cmm,262.0)(,ghSdtdVQQcmh 为为：的的孔孔流流出出的的流流量量为为水水从从距距自自由由面面深深度度根根据据水水力力学学定定律律.)(thhth 的的变变化化规规律律随随离离先先求求液液面面离离孔孔中中心心的的距距流量系数流量系数孔口截面面积孔口截面面积例例3解解重力加速度重力加

34、速度ho2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系54(,)ht 这里没有现成的物理规律可遵循 介绍一种从这里没有现成的物理规律可遵循 介绍一种从分析增量确定 与 之分析增量确定 与 之微微间的微分间的微分小增量小增量关的方法关的方法分析法分析法系系1 S,cm20.62 2,(1)dVgh dt cm100horhdhh 设在微小的时间间隔设在微小的时间间隔,ttt 水面的高度由水面的高度由h降至降至 ,hh ,2dhrdV 则则,200)100(100222hhhr 2(2)(2,)00dVhh dh 比较比较(1)和和(2)得得:dhhh)200(2 ,262.0dtgh d

35、hhh)200(2 ,262.0dtgh 可分离变量可分离变量,)200(262.03dhhhgdt ,)523400(262.053Chhgt ,100|0 th,101514262.05 gC).310107(265.45335hhgt 所求规律为所求规律为流流尽尽所所需需时时间间时时 )(107265.4,05sgth 2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系56AB 10010,3/,2/,:1AB容器内有公升的盐水，含公升的盐容器内有公升的盐水，含公升的盐现以 公升 分的均匀速度，从 管放进净水现以 公升 分的均匀速度，从 管放进净水冲淡盐水 又以 公升 分速度将盐水从

36、 管抽出冲淡盐水 又以 公升 分速度将盐水从 管抽出问小时后容器还剩多少盐。问小时后容器还剩多少盐。例例4 42008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系57dxttxdtttxtttxt 100)(2,100)()23(100)(:时时刻刻的的浓浓度度)(),(txxxt 建建立立公公升升容容器器中中含含盐盐为为分分钟钟设设任任何何时时刻刻)0()()(dxdxtxdtttxt含含盐盐量量含含盐盐量量时时刻刻dxdtBdxBdt 浓浓度度管管流流出出的的盐盐量量从从管管流流出出的的盐盐量量时时间间内内从从2:解解2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系582552)1

37、00(10101001010,0txccxt 代代入入上上式式初初值值问问题题10,10020 txtxdtdx211)100(100ln)100ln(ln21tcxtcxctx )(906.31610)160(1060232560公公升升分分 txt2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系59 某车间体积为某车间体积为12000立方米立方米,开始时空气中开始时空气中含有含有 的的 ,为了降低车间内空气中为了降低车间内空气中 的含量的含量,用一台风量为每秒用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机立方米的鼓风机通入含通入含 的的 的新鲜空气的新鲜空气,同时以同样的同时以同样的风量将混

38、合均匀的空气排出风量将混合均匀的空气排出,问鼓风机开动问鼓风机开动6分分钟后钟后,车间内车间内 的百分比降低到多少的百分比降低到多少?例例442CO%1.02CO2CO2CO%03.0解解 设鼓风机开动后设鼓风机开动后 时刻时刻 的含量为的含量为2CO)%(txt,dttt 在在 内内,2CO的通入量的通入量2CO的排出量的排出量,03.02000 dt),(2000txdt 2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系602CO的通入量的通入量2CO的排出量的排出量2CO的改变量的改变量 03.0200012000 dtdx),(2000txdt ),03.0(61 xdtdx,0

39、3.061tCex ,1.0|0 tx,07.0 C,07.003.061tex ,056.007.003.0|16 ext6分钟后分钟后,车间内车间内 的百分比降低到的百分比降低到%.056.02CO2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系61Oxy),(yxMATS.曲曲面面的的方方程程轴轴平平行行，求求这这旋旋转转镜镜反反射射后后都都与与旋旋转转出出的的一一切切光光线线经经凹凹由由旋旋转转轴轴上上一一点点发发形形状状的的凹凹镜镜，假假设设有有一一旋旋转转曲曲面面例例5 5)0)(:,xyyCCx设设（见见图图）曲曲线线为为平平面面与与旋旋转转面面截截得得的的的的任任一一平平

40、面面为为坐坐标标面面，过过轴轴轴轴，光光源源为为坐坐标标原原点点，取取旋旋转转轴轴为为解解2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系6222,OAOMMyOxOMASMT 由光学中的反射定律，有由光学中的反射定律，有0,yYXxy 令令()YyyXxM过点的切线为：过点的切线为：XyAOxy 22yxyyx211()y xy x 22)(yxxyy 故故Oxy),(yxMATS2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系63211()y xyy x 22111duuuxdxu211duuuxdxu,duyuxdx代入以上方程得代入以上方程得y xu 令令1211ln(1)

41、lnlnlnuxCuu22111udxduxuu 分离变量后，分离变量后，12111yCuu12111xuCuu2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系64).(,同同样样可可解解方方程程令令yxv12111yCuu222()2CyzCx旋转面方程为：旋转面方程为：222(2)1(2CxCxCyC 211111()21()yCyCCuC记记21122111()21yCyCuuu21211()1yCuu 12111yCuu注意注意抛物线抛物线2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系6521ddyxyxyx,vyx 则,yxv 令21ddvyvyyvyvyxddddCy

42、vvlnln)1(ln2积分得积分得故有故有1222CvyCy,xvy代入得得)2(22CxCy (抛物线抛物线)221)(vvCyCyvv21故旋转曲面为旋转抛物面故旋转曲面为旋转抛物面,方程为方程为将方程化为将方程化为(齐次方程齐次方程)(2222CxCzy 2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系66例例6 6 设物体设物体A从点从点(0,1)出发，以速度大出发，以速度大小为常数小为常数v沿沿 y轴方向运动。物体轴方向运动。物体 B从点从点(-1,0)与与A同时出发，其速度大小为同时出发，其速度大小为2v，方向始终，方向始终 指向指向A。试建立物体。试建立物体B的运的运动轨

43、迹动轨迹 所满足的微分方程，所满足的微分方程，并写出初值条件。并写出初值条件。2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系67【解【解】如图，设在时刻如图，设在时刻t，物体，物体B位于点位于点M(x,y)此时物体此时物体A位于点位于点N(0,1+vt)。轨线在点。轨线在点 M的切线指向点的切线指向点N。由两点式知，。由两点式知，M处处的切线斜率为的切线斜率为(1)0dyvtydxx1xyyvt 即即但这还不是轨迹所满足的微分方程，因为但这还不是轨迹所满足的微分方程，因为 其中含有时间其中含有时间t，要设法消去，要设法消去t。2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系68点点M处物体处物体B的运动速度大小的运动速度大小221dsds dxdxvydtdx dtdt201221txvtvdty dx代入得代入得211112xxyyy dx 2112xyy 再求导，得再求导，得 初始条件：初始条件：(1)0y(1)1y 即为即为物体物体B的运动轨迹所满足的的运动轨迹所满足的微分微分方程方程