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1、四、二次曲面 第三节 一、曲面方程的概念 二、旋转曲面 三、柱面 机动 目录 上页 下页 返回 结束 曲面及其方程 第 七 章 一、曲面方程的概念 求到两定点 A(1,2,3) 和 B(2,-1,4)等距离的点的 222 )3()2()1( zyx 07262 zyx化简得 即 说明 : 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面 . 引例 : 显然在此平面上的点的坐标都满足此方程 , 不在此平面上的点的坐标不满足此方程 . 222 )4()1()2( zyx 解 :设轨迹上的动点为 ,),( zyxM ,BMAM 则 轨迹 方程 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义 1. 0),( zyxF
2、 S z yx o 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系 : (1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程 ; 则 F( x, y, z ) = 0 叫做 曲面 S 的 方程 , 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的 图形 . 两个基本问题 : (1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时 , (2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程 , 求曲面方程 . (2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状 ( 必要时需作图 ). 机动 目录 上页 下页 返回 结束 故所求方程为 例 1. 求动点到定点 方程 . 特别 ,当 M0在原点时 ,球面方程
3、为 解 : 设轨迹上动点为 即 依题意 距离为 R 的轨迹 x y z o M 0M 表示上 (下 )球面 . Rzzyyxx 202020 )()()( 2202020 )()()( Rzzyyxx 2222 Rzyx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 2. 研究方程 解 : 配方得 5 ,)0,2,1(0 M此方程表示 : 说明 : 如下形式的三元二次方程 ( A 0 ) 都可通过配方研究它的图形 . 其图形可能是 的曲面 . 表示 怎样 半径为 的球面 . 球心为 一个 球面 , 或 点 , 或 虚轨迹 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义 2. 一条平面曲线 二、旋转曲面
4、 绕其平面上一条 定直线 旋转 一周 所形成的曲面叫做 旋转曲面 . 该定直线称为 旋转 轴 . 例如 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束 建立 yoz面上曲线 C 绕 z 轴旋转所成曲面 的 方程 : 故旋转曲面方程为 ,),( zyxM 当绕 z 轴旋转时 , 0),( 11 zyf ,),0( 111 CzyM 若点 给定 yoz 面上曲线 C: ),0( 111 zyM ),( zyxM 1221 , yyxzz 则有 0),( 22 zyxf 则有 该点转到 0),( zyf o z y x C 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考： 当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？
5、 0),(: zyfC o y x z 0),( 22 zxyf 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 3. 试建立顶点在原点 , 旋转轴为 z 轴 , 半顶角为 的圆锥面方程 . 解 : 在 yoz面上直线 L 的方程为 绕 z 轴旋转时 ,圆锥面的方程为 )( 2222 yxaz x y z 两边平方 L ),0( zyM 机动 目录 上页 下页 返回 结束 x y 例 4. 求坐标面 xoz 上的双曲线 分别绕 x 轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程 . 解 :绕 x 轴旋转 12 22 2 2 c zy a x 绕 z 轴旋转 12 2 2 22 c z a yx 这两种曲面都
6、叫做 旋转双曲面 . 所成曲面方程为 所成曲面方程为 z 机动 目录 上页 下页 返回 结束 x y z三、柱面 引例 . 分析方程 表示怎样的曲面 . 的坐标也满足方程 解 :在 xoy 面上 ， 表示圆 C, 222 Ryx 沿曲线 C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面 称为 圆 故在空间 222 Ryx 过此点作 柱面 . 对任意 z , 平行 z 轴的直线 l , 表示 圆柱面 oC 在圆 C上任取一点 ,)0,(1 yxM l M 1M ),( zyxM点 其上所有点的坐标都满足此方程 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 x y z x y z o 定义 3. 平行定直线并沿定
7、曲线 C 移动的直线 l 形成 的轨迹叫做 柱面 . 表示 抛物柱面 , 母线平行于 z 轴 ; 准线为 xoy 面上的抛物线 . z 轴的 椭圆柱面 . 12 2 2 2 byax z 轴的 平面 . 0 yx 表示母线平行于 C (且 z 轴在平面上 ) 表示母线平行于 C 叫做 准线 , l 叫做 母线 . x y z o o 机动 目录 上页 下页 返回 结束 x z y 2l 一般地 ,在三维空间 柱面 , 柱面 , 平行于 x 轴 ; 平行于 y 轴 ; 平行于 z 轴 ; 准线 xoz 面上的曲线 l3. 母线 柱面 , 准线 xoy 面上的曲线 l1. 母线 准线 yoz 面上
8、的曲线 l2. 母线 表示方程 0),( yxF 表示方程 0),( zyG 表示方程 0),( xzH x y z 3l 机动 目录 上页 下页 返回 结束 x y z 1l 四、二次曲面 三元二次方程 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程 , 下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 . 研究二次曲面特性的基本方法 : 截痕法 其基本类型有 : 椭球面、抛物面、双曲面、锥面 的图形通常为 二次曲面 . F z xE y xD x yCzByAx 222 0 JIzHyGx (二次项系数不全为 0 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 椭球面 ),(12 2 2 2 2 2 为正数cb
9、aczbyax (1)范围： czbyax , (2)与坐标面的交线：椭圆 , 0 12 2 2 2 z b y a x , 0 12 2 2 2 x c z b y 0 12 2 2 2 y c z a x 机动 目录 上页 下页 返回 结束 12 2 2 2 2 2 czbyax 与 )( 11 czzz 的交线为椭圆： 1zz (4) 当 a b 时为 旋转椭球面 ; 同样 )( 11 byyy 的截痕 及 也为椭圆 . 当 a b c 时为 球面 . (3) 截痕 : 1 )()( 212 2 2 1 2 2 2 2 2 2 zc y zc x c b c a cba ,( 为正数 )
10、 机动 目录 上页 下页 返回 结束 z 2. 抛物面 zqypx 22 22 (1) 椭圆抛物面 ( p , q 同号 ) (2) 双曲抛物面（鞍形曲面） zqypx 22 22 z yx特别 ,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面 . ( p , q 同号 ) z yx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 双曲面 (1)单叶双曲面 by 1)1 上的截痕为平面 1zz 椭圆 . 时 , 截痕为 2 2 1 2 2 2 2 1 b y c z a x (实轴平行于 x 轴； 虚轴平行于 z 轴） 1yy z x y ),(12 2 2 2 2 2 为正数cbaczbyax 1yy
11、 平面 上的截痕情况 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束 双曲线 : 虚轴平行于 x 轴） by 1)2 时 , 截痕为 0 czax )( bby 或 by 1)3 时 , 截痕为 2 2 1 2 2 2 2 1 b y c z a x (实轴平行于 z 轴 ; 1yy z x y z x y 机动 目录 上页 下页 返回 结束 相交直线 : 双曲线 : 0 (2) 双叶双曲面 ),(12 2 2 2 2 2 为正数cbaczbyax 上的截痕为平面 1yy 双曲线 上的截痕为平面 1xx 上的截痕为平面 )( 11 czzz 椭圆 注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别 : 双曲线 z x
12、yo 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 单叶双曲面 1 1 双叶双曲面 P18 目录 上页 下页 返回 结束 图形 4. 椭圆锥面 ),(22 2 2 2 为正数bazbyax 上的截痕为在平面 tz 椭圆 在平面 x 0 或 y 0 上的截痕为过原点的两直线 . z x yo 1 )()( 2 2 2 2 tb y ta x tz , 可以证明 , 椭圆上任一点与原点的连线均在曲面上 . (椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换 得到 ) x y z 机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 1. 空间曲面 三元方程 0),( zyxF 球面 2202020 )
13、()()( Rzzyyxx 旋转曲面 如 , 曲线 0 0),(x zyf 绕 z 轴的旋转曲面 : 0),( 22 zyxf 柱面 如 ,曲面 0),( yxF 表示母线平行 z 轴的柱面 . 又如 ,椭圆柱面 , 双曲柱面 , 抛物柱面等 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 二次曲面 三元二次方程 ),( 同号qp 椭球面 抛物面 : 椭圆抛物面 双曲抛物面 zqypx 22 22 双曲面 : 单叶双曲面 2 2 2 2 b y a x 1 双叶双曲面 2 2 2 2 b y a x 1 椭圆锥面 : 22 2 2 2 z b y a x 机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业 请按时完成练习册上相关作业 并上交。请以课本和练习册为本， 认真复习迎接期末考试，谢谢。 第四节 目录 上页 下页 返回 结束
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