《D83平面方程》PPT课件.ppt

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1、第三节 一、 平面的点法式方程 二、平面的一般方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 平面及其方程 第八章 三、平面的截距式方程 四、特殊的平面方程 z yx o 0M n 一、平面的点法式方程 0 0 0 0( , , )M x y z 设一平面通过已知点 且垂直于非零 0 0 0( ) ( ) ( ) 0A x x B y y C z z M 称 式 为平面 的 点法式方程 , 求该平面 的 方程 . ,),( zyxM任取点 法向量 . 向 量 ( , , ) ,n A B C 0M M n 0 0M M n 则有 故 的为平面称 n 机动 目录 上页 下页 返回 结束 i j k 例

2、 1.求过三点 1 ,M 又 ( 1 4 , 9 , 1 ) 即 1M 2M 3M 解 : 取该平面 的法向量为 的平面 的方程 . 得平面 的方程 3 4 6 2 3 1 n n 1 2 1 3M M M M 机动 目录 上页 下页 返回 结束 0 0 0 0( , , ) ,M x y z 点 0 0 0( ) ( ) ( ) 0A x x B y y C z z 法向量 ( , , ) ,n A B C 二、平面的一般方程 设有三元一次方程 以上两式相减 , 得平面的点法式方程 此方程称为 平面的一般 0A x B y C z D 任取一组满足上述方程的数 0 0 0, , ,x y z

3、则 0 0 0 0A x B y C z D 显然方程 与此点法式方程等价 , 2 2 2( 0 )A B C ( , , )n A B C 的平面 , 因此方程 的图形是 法向量为 方程 . 平面的一般式方程 : 注： 0A x B y C z D 该平面的法向量为 ( , , )n A B C ),1,1,1(1 n )12,2,3(2 n 21 nnn ),1,3,2(5)5,15,10( ,0)1(1)1(3)1(2 zyx 即 .0632 zyx 所求平面方程为 解 法向量可取为 例 2 求通过点 ) 1 , 1 , 1 ( ,且垂直于平面 7 z y x 和 0 5 12 2 3

4、z y x 的平面方程 . n 1n 2n 0 0 0 0( , , ) ,M x y z 点 0 0 0( ) ( ) ( ) 0A x x B y y C z z 法向量 ( , , ) ,n A B C 0,A x B y C z D ( , , )n A B C法向量 平面 222 000 CBA DzCyBxAd 法向量 1 1 1 1( , , )P x y z 在平面上取一点 ,则 P0 到平面的距离为 ,),( CBAn 10d P r j n PP n nPP 01 222 101010 )()()( CBA zzCyyBxxA 222 000 CBA DzCyBxA 证 0

5、P 1P n d 点 ) , , ( 0 0 0 0 z y x P 到平面 By Ax 0 D Cz 的距离 定理 222 000 CBA DzCyBxAd 点 ) , , ( 0 0 0 0 z y x P ,平面 By Ax 0 D Cz 例 3 求点 (1, 2, 1) 到平面 2 6 0 x y z 的距离 解 2 2 2 1 2 2 ( 1 ) 6d 1 ( 1 ) 2 9 6 ,0: 11111 DzCyBxA ,0: 22222 DzCyBxA ),( 1111 CBAn ),( 2222 CBAn 设 则 1 2 2n 1n 21 21 nn 1 2 2n 1n 12/ 12

6、/nn 例 4 研究以下各组平面的位置关系： ; 01 ,01)1( zyyx ( 2 ) 2 1 0 , 4 2 2 1 0 ;x y z x y z . 02,012)3( zyxzyx 解 (1) 12 1 ,nn 1 ( 1 , 1 , 0 ) ,n 2 ( 0 , 1 , 1 ) .n 12,nn 12 nn 故两平面斜交 )2( ),1,1,2(1 n ).2,2,4(2 n 故两平面平行 . 1n / 2 ,n (3) ),1,1,2(1 n ).1,1,1(2 n 故两平面垂直 . 0, 2 1 n n 三、 平面的 截距式方程 此平面就是过点 P(a,0,0),Q(0,b,0

7、), R(0,0,c)的平面 . (其中 a、 b、 c称为 1x y za b c 平面在 x、 y、 z 轴上的截距 .) 注 : 利用截距式方程可方便地画出平面的图形 . 推导： PQ ( , , 0) ,ab PR ( , 0 , )ac 法向量 n= PQ PR 0 0 i j k ab ac ,ac( ),bc ( ) ( 0) ( 0) 0b c x a a c y a b z 此平面方程为 1x y za b c 即 0 0 0 0( , , ) ,M x y z点 0 0 0( ) ( ) ( ) 0A x x B y y C z z 法向量 ( , , ) ,n A B C

8、 例 5 求平行于平面 6x+y+6z+5=0 且与三个坐标 面围成的四面体体积为 1 的平面方程 . 设所求平面方程为 x y z o 解 066 Dzyx 即 1 66 x y z DDD 由题设 ,得 31 - - | | ( - ) 1 , 6 6 6 21 6 D D DD 于是 , 6.D 6 6 6 0 .x y z 故所求平面方程为 四、 特殊平面的方程 A x + B y + C z = 0 1.通过原点的平面 B y + C z + D = 0 2.平行于坐标轴的平面 A x+C z+D = 0 0A x B y C z D 222( 0 )A B C ( , , ) ,n

9、 A B C i 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (D = 0): x轴的平面 (A = 0): y轴的平面 (B = 0): z轴的平面 (c = 0): Ax+B y+D = 0 A=0 x y z o i 问：过三条坐标轴的平面方程分别是？ C z + D = 0 0A x B y C z D 222( 0 )A B C 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.平行于坐标面的平面 平行于 xoy 面的平面 : 平行于 yoz 面的平面 : Ax + D =0 平行于 xoz 面的平面 : By + D =0 x y z o ( 0 , 0 , - )DM C 特别地： yoz面 :

10、x = 0 xoy面 : z = 0 xoz面 : y = 0 例 6. 求通过 x 轴和点 M( 4, 3, 1) 的平面方程 . 解 : 法一：因平面通过 x 轴 , 0 DA故 设所求平面方程为 0B y C z 代入已知点 )1,3,4( 得 化简 ,得所求平面方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 所求平面的法向量可取为 故所求平面方程为 : , )3,1,0()1,3,4()0,0,1( OMin 法二： x y z o i M 0 ( 4 ) 1 ( 3 ) ( 3 ) ( 1 ) 0 x y z 即 小 结 一、平面方程 2.一般式 1.点法式 3.截距式 0 DCzByAx

11、 1 czbyax )0( abc n = ( A, B, C) 二、平面一般式方程的几种特殊情形 2.在 的前提下 ,方程中缺哪一个变量 ,平面就平行于 相应的那根坐标轴 . 0 D 3.在 的前提下 ,方程中缺哪一个变量 ,平面就通过 相应的那根坐标轴 . 0 D 4.在 的前提下 ,方程中缺哪两个变量 ,平面就平行于 相应的那个坐标面 . 0 D 1.常数项 D=0,则平面通过原点 . 121 . 0212121 CCBBAA21 nn 1 2 1 22 . / ( ) 或21 / nn 2 1 2 1 2 1 CCBBAA 四、点到平面的距离公式 三、平面与平面之间的位置关系 平面 平

12、面 ,0: 22222 DzCyBxA ),( 2222 CBAn ,0: 11111 DzCyBxA ),( 1111 CAn 222 000 CBA DzCyBxAd 习题 P25 1, 2 , 3, 8 (1) (3), 9. 因此有 例 1. 一平面通过两点 垂直于平面 : x + y + z = 0, 求其方程 . 解 : 设所求平面的法向量为 0 2 0 ,A B C 即 的法向量 0,A B C 2 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 0 ( 0 )C x C y C z C 约去 C , 得 2 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 0 x y z 即 20 x y z ( 1

13、) ( 1 ) ( 1 ) 0A x B y C z 1 ( 1 , 1 , 1 )M 2 ( 0 , 1 , 1 ) ,M 和 则所求平面 故 方程为 n 12n M M 且 机动 目录 上页 下页 返回 结束 备用题 例 2. 求平行于 y 轴且经过点 A(1,2,3)与 B(2,0,-1) 解 所求平面的法向量可取为 故所求平面方程为 即 x y z o A B j 的平面方程 . ( 0 , 1 , 0) ( 1 , 2 , 4) n j A B ( 4 , 0 , 1 ) , 0 0 0 0( , , ) ,M x y z 点 0 0 0( ) ( ) ( ) 0A x x B y

14、y C z z 法向量 ( , , ) ,n A B C 五、两平面的夹角 (不讲 ) 两平面法向量的夹角 ( 为锐角 )， 1 2 2n1 n 称为 两平面的夹角 ,0: 11111 DzCyBxA ,0: 22222 DzCyBxA ),( 1111 CBAn ),( 2222 CBAn 设 则 12 12 c os | | | nn nn 21 21 nn 12/ 12/nn 特别地 , 例 8 研究以下各组平面的位置关系： ; 01 ,01)1( zyyx ( 2 ) 2 1 0 , 4 2 2 1 0 ;x y z x y z . 02,012)3( zyxzyx 解 (1) ,21 )1(10011 |)1(01101| c o s 22222221 21 nn nn 故两平面相交 , 夹角为 .3 )2( 1 ( 1 , 1 , 0 ) ,n 2 ( 0 , 1 , 1 ) .n ),1,1,2(1 n ).2,2,4(2 n 故两平面平行 . 1n / 2 ,n (3) ),1,1,2(1 n ).1,1,1(2 n 故两平面垂直 . 0, 2 1 n n 12 12 c os | | | nn nn 1 1 1 1( , , ) ,n A B C ),( 2222 CBAn 平面夹角 ,