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1、目录 上页 下页 返回 结束 第二节 一、 偏导数概念及其计算 二 、高阶偏导数 偏 导 数 第九章 目录 上页 下页 返回 结束 一、 偏导数定义及其计算法 引例 : 研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度 , 就是 ),( txu 0 xO x u 中的 x 固定于 x0 处 , 求 一阶导数与二阶导数 . ),( 0 txu 关于 t 的 将振幅 目录 上页 下页 返回 结束 定义 1. ),( yxfz 在点 存在 , xyxyxfz 对在点 ),(),( 00 的偏导数，记为 ),( 00 yx 的某邻域内 ;),( 00 yxx f xx 0 0 x 则称此极限为函数 极限 设函数
2、 )( 0 xf )()( 00 xfxxf x0 limx x ;),( 00 yxxz 0d d xxx y .),( 001 yxf x yxfyxxf x ),(),(lim 0000 0),( 00 yxf x 注意 : 目录 上页 下页 返回 结束 同样可定义对 y 的偏导数 lim 0 y),( 00 yxf y 若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x 则该偏导数称为偏导函数 , 也简称为 偏导数 , ),(,),( 2 yxfyxf y ) ,( 0 xf ),( 0 xf y 记为 yy 0 0y 或 y 偏导数存在 , ,
3、yzyfyz 目录 上页 下页 返回 结束 例如 , 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的 偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 . x xx ?),( zyxf y ?),( zyxf z x 偏导数定义为 (请自己写出 ) 目录 上页 下页 返回 结束 二元函数偏导数的几何意义 : 0 0 ),(d d 0 0 xxyxfxx f xx yy 0 ),( yy yxfz xTM0 0 0 ),(d d 0 0 yyyxfyy f xx yy 是曲线 yTM0 在点 M0 处的切线 对 x 轴的斜率 . 在点 M0 处的切线 斜率 . 是曲
4、线 0 x yT y x z O xT 0y 对 y 轴的 0M ),( 00 yx 目录 上页 下页 返回 结束 函数在某点各偏导数都存在 , 显然 例如 , 0,0 0, ),( 22 22 22 yx yx yx yx yxfz 0 0 注意： 但在该点 不一定连续 . 上节例 在上节已证 f (x , y) 在点 (0 , 0)并不连续 ! 目录 上页 下页 返回 结束 例 1 . 求 22 3 yyxxz 解法 1 xz )2,1(x z 解法 2 )2,1(x z 在点 (1 , 2) 处的偏导数 . )2,1(y z ,32 yx yz yx 23 )2,1(y z 462 xx
5、 1xz 231 yy 2yz 先求后代 先代后求 目录 上页 下页 返回 结束 例 2. 设 ，）且 1,0( xxxz y zyzxxzyx 2ln 1 证 : y z xx z y x ln 1 例 3. 求 的偏导数 . 解 : xr 求证 z2 2222 zyx x2 r x r z z r 目录 上页 下页 返回 结束 偏导数记号是一个 例 4. 已知理想气体的状态方程 求证 : 1 p T T V V p 证 : ,VTRp ,pTRV pTTVVp 说明 : (R 为常数 ) , Vp 2VTR TV pR Vp TR 1 不能看作 分子与分母的商 ! 此例表明 , 整体记号
6、, 目录 上页 下页 返回 结束 二、高阶偏导数 设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数 ),(,),( yxfyzyxfxz yx 若这两个偏导数仍存在偏导数， )( xz )( yzx )( xzy ),()( 2 2 yxf y z y z y yy 则称它们是 z = f ( x , y ) 的 二阶偏导数 . 按求导顺序不同 , 有下列四个二阶偏导 2 2 x z );,( yxf xx yx z 2 ),( yxf yx );,( 2 yxfxy z xy x 数 : 目录 上页 下页 返回 结束 类似可以定义更高阶的偏导数 . 例如， z = f (x , y
7、) 关于 x 的三阶偏导数为 z = f (x , y) 关于 x 的 n 1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶 ) (y yx z n n 1 偏导数为 目录 上页 下页 返回 结束 22 e xy 例 5. 求函数 2e xyz .2 3 xy z 解 : xz 2 2 x z ) ( 2 2 3 xy z xxy z yz xy z 2 yx z 2 2 2 y z 注意 :此处 , 22 xy z yx z 但这一结论并不总成立 . 2exy 22 e xy 2exy 22exy 22exy 24 e xy 的二阶偏导数及 目录 上页 下页 返回 结束 0, )( 4 22 222 4
8、224 yx yx yyxxx y fyf xx y )0,0(),0(lim 0 ),( yxf y 例如 , ),( yxf x )0,0(yxf x fxff yy xxy )0,0()0,(lim)0,0( 0 二 者 不 等 y y y 0 l i m 1 x x x 0 lim 1 ),( yxf 0,0 22 yx 0,0 22 yx 0, 2222 22 yxyx yxyx 0,0 22 yx 目录 上页 下页 返回 结束 定理 如果函数 ),( yxfz 的两个二阶混合偏导数 xy z 2 及 yx z 2 在区域 D 内连续，那末在该区域内这 两个二阶混合偏导数必相等 问题
9、： 具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？ 目录 上页 下页 返回 结束 例如 , 对三元函数 u = f (x , y , z) , 说明 : 函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶导 数可以选择方便的求导顺序 . 因为初等函数的偏导数仍为初等函数 , 当三阶混合偏导数 在点 (x , y , z) 连续 时 , 有 而初等 证明 目录 上页 下页 返回 结束 ,22 yx xxu ,22 yx yyu ,)()( 2)( 222 22 222 22 2 2 yx xy yx xxyx x u .)()( 2)( 222 22 222 22 2 2 yx yx yx yyyx y
10、u 2 2 2 2 y u x u .0 222 22 22 22 )()( yx yx yx xy 证毕 例 9 验证函数 22ln),( yxyxu 满足拉普拉 斯方程 .02 2 2 2 yux u ),l n(21ln 2222 yxyx 解 目录 上页 下页 返回 结束 例 6. 证明函数 满足拉普拉斯 02 2 2 2 2 2 z u y u x u 证： 2 2 x u 利用对称性 , 有 ,31 5 2 32 2 r y ry u 2 2 2 2 2 2 z u y u x u u方程 3 1 r x r r x 4 3 5 2 3 31 r x r 5 2 32 2 31 r
11、 z rz u 5 222 3 )(33 r zyx r 2r 0 目录 上页 下页 返回 结束 例如 , 对三元函数 u = f (x , y , z) , 说明 : 函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶导 数可以选择方便的求导顺序 . 因为初等函数的偏导数仍为初等函数 , 当三阶混合偏导数 在点 (x , y , z) 连续 时 , 有 而初等 证明 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 1. 偏导数的概念及有关结论 定义 ; 记号 ; 几何意义 函数在一点偏导数存在 函数在此点连续 混合偏导数连续 与求导顺序无关 2. 偏导数的计算方法 求一点处偏导数的方法 先代后求 先
12、求后代 利用定义 求高阶偏导数的方法 逐次求导法 (与求导顺序无关时 , 应选择方便的求导顺序 ) 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习 解答提示 : P129 题 5 ，时当 022 yx 22 2 ),( yx yx xyxf x 22 2 ),( yx yx yyxf y 0)0,(d d)0,0( xxfxf x 0),0(d d)0,0( yyfyf y P129 题 5 , 6 222 222 )( )( yx yxx 即 x y 0 时 , 目录 上页 下页 返回 结束 P129 题 6 (1) ,1 2yxxz 22 yx yyz , )( 1 222 2 yxx z , )( 2 22 2 yx y yx z 22 2 2 2 )( )(2 yx yx y z (2) ,1 yxyxz xxyz y ln ,)1( 2.2 2 yxyy x z xxyx yx z yy ln1.12 xx y z y 2 2 2 ln 目录 上页 下页 返回 结束 作业 P18 6（ 2） ,（ 3） , 7； 8； 9（ 2） 第三节 目录 上页 下页 返回 结束 备用题 设 方程 确定 u 是 x , y 的函数 , 连续 , 且 求 解 :
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