《《D75平面方程》PPT课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《D75平面方程》PPT课件.ppt（17页珍藏版）》请在装配图网上搜索。
1、目录 上页 下页 返回 结束 第五节 一、 平面的点法式方程 二、平面的一般方程 三、两平面的夹角 平面及其方程 第 八 章 目录 上页 下页 返回 结束 O z yx 0M n 一、平面的点法式方程 ),( 0000 zyxM设一平面通过已知点 且垂直于非零向 0)()()( 000 zzCyyBxxA M 称 式 为平面 的 点法式方程 , 求该平面 的 方程 . ,),( zyxM任取点 法向量 . 量 ,),( CBAn nMM 0 00 nMM 则有 故 的为平面称 n 目录 上页 下页 返回 结束 kji 例 1.求过三点 ,1 M又 )1,9,14( 即 1M 2M 3M 解 :
2、 取该平面 的法向量为 的平面 的方程 . 利用点法式得平面 的方程 3 4 6 2 3 1 n n 3121 MMMM 目录 上页 下页 返回 结束 此平面的 三点式方程 也可写成 0 132 643 412 zyx 一般情况 : 过三点 )3,2,1(),( kzyxM kkkk 的平面方程为 说明 : 目录 上页 下页 返回 结束 特别 ,当平面与三坐标轴的交点分别为 此式称为平面的 截距式方程 . 1 czbyax 时 , )0,( cba bcax )( cay )( 0 baz ab cbzaac ybc x 平面方程为 分析 : 利用三点式 按第一行展开得 即 0ax y z a
3、 b 0 a 0 c 目录 上页 下页 返回 结束 二、平面的一般方程 设有三元一次方程 以上两式相减 , 得平面的点法式方程 此方程称为 平面的一般 0 DzCyBxA 任取一组满足上述方程的数 , 000 zyx 则 0000 DzCyBxA 显然方程 与此点法式方程等价 , )0( 222 CBA ),( CBAn 的平面 , 因此方程 的图形是 法向量为 方程 . 目录 上页 下页 返回 结束 特殊情形 当 D = 0 时 , A x + B y + C z = 0 表示 通过原点 的平面 ; 当 A = 0 时 , B y + C z + D = 0 的法向量 平面平行于 x 轴 ;
4、 A x+C z+D = 0 表示 A x+B y+D = 0 表示 C z + D = 0 表示 A x + D =0 表示 B y + D = 0 表示 0 DCzByAx )0( 222 CBA 平行于 y 轴 的平面 ; 平行于 z 轴 的平面 ; 平行于 xOy 面 的平面 ; 平行于 yOz 面 的平面； 平行于 zOx 面 的平面 . ,),0( iCBn 目录 上页 下页 返回 结束 例 2. 求通过 x 轴和点 ( 4, 3, 1) 的平面方程 . 例 3.用平面的一般式方程导出平面的截距式方程 . 解 : 因平面通过 x 轴 , 0 DA故 设所求平面方程为 0 zCyB
5、代入已知点 )1,3,4( 得 化简 ,得所求平面方程 (P327例 4 , 自己练习 ) 目录 上页 下页 返回 结束 三、两平面的夹角 设平面 1的法向量为 平面 2的法向量为 则两平面夹角 的余弦为 c o s 即 212121 CCBBAA 222222 CBA 212121 CBA 两平面法向量的夹角 (常指锐角 )称为 两平面的夹角 . 1 2 2n1 n ),( 1111 CBAn ),( 2222 CBAn 21 21c o s nn nn 目录 上页 下页 返回 结束 2 特别有下列结论： 21)1( 0212121 CCBBAA 21 /)2( 2 1 2 1 2 1 C
6、C B B A A 1 1 2 21 21c o s nn nn 21 nn 21 / nn 2n 1n 2n 1n ),(: ),(: 22222 11111 CBAn CBAn 目录 上页 下页 返回 结束 因此有 例 4. 一平面通过两点 垂直于平面 : x + y + z = 0, 求其方程 . 解 : 设所求平面的法向量为 ,020 CBA 即 的法向量 ,0 CBA )0(0)1()1()1(2 CzCyCxC 约去 C , 得 0)1()1()1(2 zyx 即 02 zyx 0)1()1()1( zCyBxA )1,1,1(1M ,)1,1,0(2 M和 则所求平面 故 方程为
7、 n 21 MMn 且 目录 上页 下页 返回 结束 外一点 ,求 例 5. 设 222 101010 )()()( CBA zzCyyBxxA 222 000 CBA DzCyBxAd 解 :设平面法向量为 ),( 1111 zyxP 在平面上取一点 是平面 到平面的距离 d . 0P ,则 P0 到平面的距离为 01P rj PPd n n nPP 01 0P 1P n d ,),( CBAn (点到平面的距离公式 ) 目录 上页 下页 返回 结束 y x z O 例 6. 解 : 设球心为 求内切于平面 x + y + z = 1 与三个坐标面所构成 则它位于第一卦限 ,且 222 00
8、0 111 1zyx 00 331 xx ,1000 zyx 因此所求球面方程为 000 zyx ,),( 0000 zyxM 四面体的球面方程 . 故 )(半径R 0M 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 1.平面 基本方程 : 一般式 点法式 截距式 0 DCzByAx )0( 222 CBA 1 czbyax 三点式 0 131313 121212 111 zzyyxx zzyyxx zzyyxx )0( abc 目录 上页 下页 返回 结束 0212121 CCBBAA 2 1 2 1 2 1 C C B B A A 2.平 面 与平面 之间的关系 平面 平面 垂直 : 平行 :
9、夹角公式 : 21 21c o s nn nn 021 nn ,0: 22222 DzCyBxA ),( 222 CBAn ,0: 11111 DzCyBxA ),( 1111 CBAn 点到平面的距离公式 : 222 000 CBA DzCyBxAd 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习 P330 题 4 , 5, 8 第六节 作业 P330 2 , 6 , 7 , 8, 9 目录 上页 下页 返回 结束 )5,15,10( 0)1(5)1(15)1(10 zyx 0632 zyx 备用题 求过点 且垂直于 二 平面 和 的平面方程 . )1,1,1( 解 : 已知二平面的法向量为 取所求平面的法向量 则所求平面方程为 化简得 ),1,1,1(1 n )12,2,3(2 n 21 nnn
《D75平面方程》PPT课件.ppt
