导数解题策略

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1、导数高中数学不可或缺的解题工具商南县高级中学 王育生 726200数学学科的系统性和严密性决定数学知识的内在联系，包括各部分知识的纵 向联系和横行联系，要善于从本质上抓住这些联系，进而通过分类、梳理、综合， 构建数学试卷的结构框架。导数是高中数学的工具，学习导数的目的是用导数解决数学问题，高中数学中有很多问 题都是其他知识与导数相结合命制的，下面我们就一起来探究一下这类问题的求解策略。热点一、在导数与函数性质的交汇点命题：主要考查导数的简单应用，包括求函数的极 值，求函数的单调区间，证明函数的单调性等。命题的热点：三次函数求导后为二次函数 结合一元二次方程根的分布，考查代数推理能力、语言转化能

2、力和待定系数法等数学思想。例 1. (2009 江西卷文)设函数f (x)二X3 (1)对于任意实数X, f(x) m恒成立，求m的最大值;(2)若方程f (x)二0有且仅有一个实根，求a的取值范围.解析 (1) f(x)二 3x2 9x + 6 二 3(x 1)(x 2),因为 x g (一。+Q,f(x) m,即 3x2 9 x + (6 m) 0 恒成立，3 3所以A二81 12(6 m) 0,得m，即m的最大值为丁4 4(2)因为当 x 0；当 1 x 2 时，f(x) 2 时，f(x) 0；所以当x二1时,f(x)取极大值f二2 a;当x二2时,f (x)取极小值f (2)二2 a;

3、故当f 0或f (1) 0时，方程f (x)二0仅有一个实根.解得a 热点二、在导数与含参数函数的交汇点命题：主要考查含参数函数的极值问题，分类讨 论思想及解不等式的能力，利用分离变量法求参数的取值范围等问题。例 2.(2008 年全国一)已知函数f (x) = x3 + ax2 + x +1, a g R .(I) 讨论函数f (x)的单调区间；(2 1)(II) 设函数f (x)在区间厅,-内是减函数，求a的取值范围. 33丿解析()f(x)二x3 + ax2 + x +1 求导：f，(x)二3x2 + 2ax +1当 a 2 W 3 时，A W 0, f(x) 2 0, f (x)在 R

4、 上递增f( x)二 0 求得两根为x =_a 土駅-33(即 f (x)在g，_a _ a2 33递增，递减，2)递增a 、; a2 3233a + J a 2 3 三 1 3且a 23解得:a2热点三、 导数与不等式的证明交汇命题导数与不等式的的交汇命题解决的关键是构建适当的辅助函数，即设法利用导数方法来 研究函数的单调性，从而研究不等式的问题.例 3.证明： X3 x2 + x +1 sin x(x 0, x g R).分析：左边是多项式，右边是三角函数，可以考虑利用三角函数的有界性，证明左边的 最小值恒大于右边即可。证明：构造f (x) = x3 x2 + x +1，则f( x)= 3

5、x 2x+ .1该二次式的判别式A = 4 12 0，f(x)0，.f(x)是 R 上的增函数. T x0，A f (x)f (0) = 1，而 sin x W 1，x3 一 x2 + x +1sin x .点评：本题并没有千篇一律的将不等式右边也纳入到所构造函数中，而是具体问题具体 分析，考虑三角函数的有界性，用f (0) = 1架桥铺路，使问题得解.热点四、在导数与向量问题交汇点命题：依托向量把函数单调性，奇偶性，解不等式 等知识融合在一起。即考查了向量的有关知识，又考查了函数性质及解不等式等内容。1 ax2例 4.已知 a0，函数 f (x) =, x g (0,+g).设0 x ，记曲

6、线 y = f (x)x1 a在点M (xf (x1)处的切线为l .求l的方程；1 1 1(2)设l与x轴交点为(x ,0).证明：0 x ； 若x ，则x x .22 a1 a 12 a1解：求f (x)的导数：f(x)=，由此得切线l的方程：x2(xx).11 ax1y (1)=xx 21证明：依题意，切线方程中令y=0,2x = x (1 一 ax ) + x = x (2 一 ax )，其中0 x .2111111 a2 由 0 x , x = x (2 一 ax ),有.1 a 211110x ，当且仅当x =2a11 当x 时，ax 1,1a1i 所以x x 0, 及x = a(

7、x 丄)2 + 221 a a=1a=x (2 一 ax ) x，且由，x1 1 1 2则f1,因此 f(x)= -sin x + cos x,例5 (2009苏北四市联考)已知函数fx)=f (2)sinx+cosx,则解析：由已知，得 f (x) =f (2)cos x - sin x.=0.C兀例6 .(湖北)若0 x 3sin x B. 2x 3sin x C. 2x = 3sin xD. 与x 的取值有关解析：令f (x)= 2x 3sinx，由 f/(x)= (2x 3sinx)/ 二 2 3cosx,在x e 0,上的正负可知与x的取值有关。故答案应选D.热点六、导数与线性规划的

8、交汇命题线性规划与不等式是一家，导数又是解决不等式的有利武器，这充分说明导数与线性规 划的联姻是符合命题规律的。1例6已知函数f (x) = ax3 bx2 + (2 b)x +1，在x = x处取得极大值，在x = x处312取得极小值，且0 xi 1 x2 0 ；求Z = a + 2b的取值范围分析：由题意可以借助导数找到 a,b 的不等关系从而确定可行域，进而能够求得z = a + 2b的取值范围。解:求函数 f (x)的导数 f(x)二 ax2 - 2bx + 2-b .(I)由函数f (x)在x = x1处取得极大值，在x = x2处取得极小值，知咛“是广(x) = 0的两个根所以广

9、(x) = a(x - x1)( x - x2)，当x 0，由x x 0 , x x 0 . 12了(0) 02 - b 0 即 a 一 2b + 2 一 b 02 b 0化简得 a - 3b + 2 0此不等式组表示的区域为平面 aOb 上三条直线：2 b 0 a 3b + 2 =，04 一 b + 2 .二所围成的厶ABC的内部，其三个顶点分别为:z在这三点的值依次为16,6,8.所以z的取值范围为耳6，.k7丿(II)在题设下，0 XV1 x 2等价于f(l)0点评：本题的命题立意较新，借助导数中的极值来确定a,b的不等关系范围，与线性规 划结合求得z a + 2b的范围，使得导数与线性

10、规划建立起了联系。热点七、导数与函数模型构建交汇点命题导数是探讨数学乃至自然科学的重要的、最有效的工具，它也给出了我们生活中很多问 题的答案，诸如用料最省、容量最大、亮度最强等。例7要建一个圆柱形无盖的粮仓，要求它的容积为500m3，问如何选择它的直径和高, 才能使所用材料最省？分析：根据题意分清楚各个量之间的关系，建立函数关系式，借助导数问题求得最优化 的解。h 500，得 h 2000d 2 n解：欲使材料最省，实际上是使表面积最小，设直径为d高为h表面积为S,由2nd 22000 古 “ nd 2000n + dnh + ，而 S 一4 d2d2人c,门切nd 2000 /曰7小门00口

11、 n斗7500令S 0，即0，得d 23，此时h 書2d 2 n n/ 0 d 23：500 时，S 23：500 时，S 0，nn所以，当d 2浮，h -，500时，用料最省.n n点评：用料最省、造价最低一般都是与表面积有关，此类问题的求解思路是找到变量之 间的关系，再借助关系列出函数式，然后通过导数予以求解.热点八、导数与解析几何的交汇命题例8设F是抛物线G: x2二4y的焦点.(I)过点P(0,-4)作抛物线G的切线，求切线 方程；(II)略分析：借助导数的几何意义解决本题的切线问题,先设出切点然后写出切线方程,代入 点即可解决。解：设切点Q x.由y=，知抛物线在Q点处的切线斜率为爭

12、，故所求切线 (o 4 丿22x 2x方程为y-才=屮x xo)x x 2即y =于-才-因为点P(0，T在切线上.所以-4 =严,x2二16, x二4 .所求切线方程为y = 2x 4 .400点评：导数的几何意义为导数与解析几何的结合奠定了坚实的基础，从这个意义上讲导数也是数形结合的桥梁。热点九、导数与数列的交汇命题例9已知xM0, xM l,求数列1, 2x, 3x2 , , nxn-1，的前n项和.分析：在1+ 2x + 3x2+ + nxn-1与1 + x + x2 + x3 + xn之间发现联系，借助导数即可解决。1 xn -1解：当xM0, xM 1时，1 + x + x2 +

13、x3+ xn =，两边都是关于x的函1 - x/1 - xn-1、 1 - (n + 1)xn + nxn 1数，求导得：1+ 2x + 3x2 + + nxn-1 =()=.1 - x(1 - x )2点评: 这样的问题可以通过错位相加(减)求和,但运用导数运算更加简明通过对数列 的通项进行联想，合理运用逆向思维，由求导公式(xn)Z =nxn，可联想到它们是另外一个 和式的导数,关键要抓住数列通项的形式结构,培养考生的思维的灵活性。总之，在平时教学中，老师要引导学生善于“回归”课本，浓缩所学的知识，夯实基础， 熟练掌握解题的通性、通法的基础上，灵活运用导数这个数学工具以提高解题效率。达到事 半功倍的效果。