《《D75b常系数非齐次》PPT课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《D75b常系数非齐次》PPT课件.ppt（20页珍藏版）》请在装配图网上搜索。
1、常系数非齐次线性微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五节 型)()( xPexf mx xxPexf lx c o s)()( 型s in)( xxP n 一、 二、 第七章 )( xfyqypy ),( 为常数qp 二阶常系数线性非齐次微分方程 : 根据解的结构定理 , 其通解为 Yy *y 非齐次方程特解 齐次方程通解 求特解的方法 根据 f (x) 的特殊形式 , 的待定形式 , 代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . 待定系数法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 )( xQe x )()2( xQp )()( 2 xQqp )( xPe mx 一、 型)()( xPe
2、xf mx 为实数 , )(xPm 设特解为 ,)(* xQey x 其中 为待定多项式 , )(x )()(* xQxQey x )()(2)(* 2 xQxQxQey x 代入原方程 , 得 (1) 若 不是特征方程的根 , 则取 从而得到特解 形式为 .)(* xQey mx 为 m 次多项式 . Q (x) 为 m 次待定系数多项式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 若 是特征方程的 单根 , 为 m 次多项式 , 故特解形式为 (3) 若 是特征方程的 重根 , ,02 p )( xQ 则 是 m 次多项式 , 故特解形式为 xm exQxy )(* 2 小结 对方程 ,
3、)2,1,0()(* kexQxy xmk 此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 . )(xQ )( xPm )()( 2 xQqp 即 即 当 是特征方程的 k 重根 时 , 可设 特解 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 1. 的一个特解 . 解 : 本题 而特征方程为 不是特征方程的根 . 设所求特解为 代入方程 : 比较系数 , 得 3 1,1 10 bb 于是所求特解为 0 ,0 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 2. 的通解 . 解 : 本题 特征方程为 ,0652 rr 其根为 对应齐次方程的通解为 设非齐次方程特解为 xebxbxy 210 )(* 比较系数 , 得
4、1,21 10 bb 因此特解为 .)1(* 221 xexxy 代入方程得 xbbxb 010 22 所求通解为 .)( 2221 xexx ,2 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 3. 求解定解问题 0)0()0()0( 123 yyy yyy 解 : 本题 特征方程为 其 根为 设非齐次方程特解为 代入方程得 故 2132 2 CC 故对应齐次方程通解为 1CY xeC 2 xeC 23 原方程通解为 1Cy xeC 2 xeC 23 由初始条件得 ,0 机动 目录 上页 下页 返回 结束 于是所求解为 xeey xx 214143 2 解得 4 1 1 4 3 3 2 1 C C
5、 C 机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxPxxPe nlx s in)(c o s)( 对非齐次方程 yqypy ),( 为常数qp xRxRexy mmxk s inc o s* 则可设特解 : 其中 为特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), i 上述结论也可推广到高阶方程的情形 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、 型xxPxxPexf nlx s in)(c o s)()( 例 4. 的一个特解 . 解 : 本题 特征方程 ,2,0 故设特解为 不是特征方程的根 , 代入方程得 xxxadxcxcbxa 2c o s2s in)433(2c o s)433( 012
6、 r ,)( xxPl ,0)( xPn 比较系数 , 得 9431 , da 于是求得一个特解 13 a 043 cb 03 c 043 ad 0 cb 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 5. 的通解 . 解 : 特征方程为 ,092 r 其根为 对应齐次方程的通解为 比较系数 , 得 因此特解为 )3s in33c o s5(* xxxy 代入方程 : xaxb 3s i n63c o s6 所求通解为 为特征方程的单根 , )3s in33c o s5( xxx 因此设非齐次方程特解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 6. 解 : (1) 特征方程 有二重根 所以设非齐次方
7、程特解为 (2) 特征方程 有根 xexyy x s i n3)2( )4( 利用叠加原理 , 可设非齐次方程特解为 )s inc o s( xkxdx 设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 7. 求物体的运动规律 . 解 : 问题归结为求解无阻尼强迫振动方程 tphxk t x s i n d d 2 2 2 当 p k 时 , 齐次通解 : tkCtkCX c o ss in 21 )(s in tkA tpbtpax c o ss in 非齐次特解形式 : 0,22 bpk ha 因此原方程之解为 例 5.12 (P325)中若设物体只受弹
8、性恢复力 f ,s in 的作用ptHF 和铅直干扰力 x o x 代入可得 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束 当干扰力的角频率 p 固有频率 k 时 , )(s in tkAx tppk h s i n22 自由振动 强迫振动 !22 将很大振幅 pk h 当 p = k 时 , )c o ss in( tkbtkatx 非齐次特解形式 : 代入可得 : khba 2,0 方程的解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 若要利用共振现象 , 应使 p 与 k 尽量靠近 , 或使 )(s in tkAx tktkh c o s2 随着 t 的增大 , 强迫振动的振幅 这时产生共振现象 .
9、 可无限增大 , 若要避免共振现象 , 应使 p 远离固有频率 k ; p = k . 自由振动 强迫振动 x o x 对机械来说 , 共振可能引起破坏作用 , 如桥梁被破坏 , 电机机座被破坏等 , 但对电磁振荡来说 , 共振可能起有 利作用 , 如收音机的调频放大即是利用共振原理 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 xm exPyqypy )(.1 为特征方程的 k ( 0, 1, 2) 重根 , xmk exQxy )(* 则设特解为 s in)(c o s)(.2 xxPxxPeyqypy nlx 为特征方程的 k ( 0, 1 )重根 , i xk exy * 则设特解
10、为 s in)(c o s)( xxRxxR mm 3. 上述结论也可推广到高阶方程的情形 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习 时可设特解为 xy * xbxa c o s)( *y xdxcxbxa 2s in)(2c o s)( xek 2 时可设特解为 提示 : xdcx s in)( 1 . (填空 ) 设 s in)(c o s)( xxRxxR mm 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 求微分方程 xeyyy 44 的通解 (其中 为实数 ) . 解 : 特征方程 ,0442 rr 特征根 : 221 rr 对应齐次方程通解 : 2 时 , ,xeAy 令 代
11、入原方程得 ,2 )2( 1 A 故原方程通解为 2 时 , ,2 xexBy 令 代入原方程得 ,21B 故原方程通解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 已知二阶常微分方程 xecybyay 有特解 ,)1( 2 xx exey 求微分方程的通解 . 解 : 将特解代入方程得恒等式 xxxx ecexbaeaeba )1()2()1( 比较系数得 01 ba ca 2 01 ba 0a 1b 2c 故原方程为 对应齐次方程通解 : xx eCeCY 21 xx exey 原方程通解为 xx eCeCy 21 xex 机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业 P328 A类 : 1 (3,5); 2(3,5); 3(3,4) ; 4(3); 5(1); B类 : 1(3); 4 习题课 2 目录 上页 下页 返回 结束
《D75b常系数非齐次》PPT课件.ppt
