平面向量的概念与线性运算

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1、考点 34 平面向量的概念与线性运算命题解读】平面向量是高考考查的重点、热点.往往以选择题或填空题的形式出现.常以平面图形为载体，考查线性 运算、数量积、夹角、垂直的条件等问题【基础知识回顾】1. 向量的有关概念(1) 零向量：长度为0的向量叫零向量，其方向是不确定的.(2) 平行(共线)向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.我们规定零向量与任一向量平行.(3) 单位向量：长度等于1个单位长度的向量.(4) 相等向量：长度相等且方向相同的向量.(5) 相反向量：与向量a长度相等，方向相反的向量叫做a的相反向量.2. 向量的线性运算(1) 向量加法满足交换律a+b=b+a，结合律(a+b)

2、+c = a+(b+c).向量加法可以使用三角形法则，平行四边形法则.(2) 向量的数乘：实数久与向量a的积是一个向量，记作久a，它的长度和方向规定如下： | 入 a| = |久|a|； 当久0时，入a与a方向相同;当久0时，入a与a方向相反:当a=0时，入a=0；当九=0时，入a=Q.(3) 实数与向量的运算律：设入，uR，a，b是向量，则有： 入a) = (久“)a； (久+)a=久a+a: 入(a+b)=Aa+Ab.3. 向量共线定理：如果有一个实数入，使b=Aa(a0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(aM0)是共线向量，那 么有且只有一个实数入，使b=2a.1、已知下列各式：

3、/E+EC+C/； AB+MB+BO+OM； OA + OB+BO+CO； UAB-AC+BD-CD,其中结果为零向量的个数为()A. 1 B.2 C.3 D.42、 设a, b是非零向量，则a=2b是磊=#|成立的()A. 充要条件B.充分不必要条件3、 已知MfP=4e1+2e2，PQ=2e1 + te2，若 M、P、Q 三点共线，则 t=（）A. 1 B. 2 C. 4D. 14、（2019秋如皋市期末）（多选题）在梯形ABCD中，AB/CD , AB = 2CD , E , F分别是AB , CD的中点，ac与bd交于m，设AB = a，AD = b，则下列结论正确的是（） 1- -

4、- 1一 一 1- 2- 1-A. AC = a + bB. BC = a + bC. BM = a + b D. EF = a + b223345、 （多选题）设点M是UABC所在平面内一点，则下列说法正确的是（）A. 若AM=2AB+2AC，则点M是边BC的中点B. 若AM=2AB AC,则点M在边BC的延长线上C. 若aM=-BM-CM，则点M是ABC的重心D. 若AM=xAB+yAC，且 x+y=g，贝V UMBC 的面积是DABC 面积的*6、 在厶ABC 中，IAJBI = IAX?I = IAb-A：CI 则ZBAC=.金典线剖也考向一平面向量的有关概念例 1、（2019 年徐州

5、开学初考试）给出下列四个命题： 若|a| = |b|,则 a=b； 若A，B，C，D是不共线的四点，则AB = DC”是四边形ABCD为平行四边形”的充要条件； 若 a=b，b=c，贝9 a=c； a=b的充要条件是|a| = |b|且ab.其中正确命题的序号是（）A.B.C.D.变式 1、（多选）给出下列命题，不正确的有（）a.若两个向量相等，贝y它们的起点相同，终点相同B. 若A，B，C，D是不共线的四点，且AB=DC,则ABCD为平行四边形C. a=b的充要条件是|a| = |b|且anbD. 已知儿“为实数，若Xa=b，则a与b共线变式 2、给出下列命题：两个具有公共终点的向量，一定是

6、共线向量； 久a=OQ为实数)，则久必为零； 久，“为实数，若2a=b，则a与b共线.其中错误的命题的个数为()A0B1C2D3变式 3、(山东泰安一中2019 届高三模拟)给出下列命题两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；Aa = 0(A为实数)，则入必为零；儿“为实数，若Aa=b，则a与b共线.其中错误的命题的个数为()A0B.1C2D3aOb变式4、如图所示，已知正六边形ABCDEF，O是它的中心.(1) 与AB相等的向量有；(2) 与CB相等的向量有；(3) 与BC共线的向量有.答案：(1) ED，FO，0C； OA，EF，DO(3)CB,OA,AO,OD,DO,AD,DA,EF,F

7、E 方法总结：向量有关概念的关键点(1) 向量定义的关键是方向和长度(2) 非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制(3) 相等向量的关键是方向相同且长度相等(4) 单位向量的关键是长度都是一个单位长度(5) 零向量的关键是长度是0，规定零向量与任意向量共线考向二 向量的线性运算例 2、(l)(2019安徽合肥二模)在ABC 中，BD =3BC，若久=a，AC =b，则iK=()C.a-|b2 1D-3a-3b=-=-=-A. OA =12 AB +3 ACB. OA =12 AB -3 AC=-=-=-C. OA =-12 AB +3 ACD. OA =-12 AB -3 AC变式1

8、、（山西平遥中学2019届期末）在A4BC中，aB = c, AC = b, 若点D满足朮=22，则*等=c，于（）2 1A.gb+jc52B-3c-3b2 1C-3b-3c1 2D. 3b+3c变式2、（2019衡水中学五调）如图所示，在正方形ABCD中，E为BC的中点，尸为AE的中点，则DF=（）A.B.BD变式3、1.在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB等于（）a.|ab-4ACb.AB-4ACC2.如图，在等腰梯形ABCD中，DC=1AB，BC=CD=DA，DEAC于点E,则DE等于（）（一题多解）（2020广东一模）已知A，C三点不共线，且点O满足16 OA -1

9、2 OBB-3 OCC=0，则（）变式4、（2019无锡区期末）如图，在平行四边形ABCD中，下列计算错误的是（）A AB + AD = ACB AC + CD + DO = OAC AB + AC + CD = ADD AC + BA + DA = 0变式5、（2019宿迁期末）如图所示，四边形ABCD为梯形，其中AB / CD , AB = 2CD , M , N分别为AB,CD的中点，则下列结论正确的是（） 1 1 1 -1 1A. AC = AD + 一 AB B MC 二一 AC + BC C MN = AD + AB D BC = AD AB2 2 2 4 2方法总结：向量的线性运

10、算，即用几个已知向量表示某个向量，基本技巧为：一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则.考向三 共线定理的应用例3、如图，在厶ABO中，OC=11OA，Od=2oB，AD与BC相交于点M，设OA=a，试用a和b表示OM变式1、（2019河南郑州第一次质量预测）已知A, B, C是直线l上不同的三个点，点O不在直线l上，则使 等式x2OA+xdB+BC=0成立的实数x的取值集合为（）A.0B.C. 1D.0，1变式2、（2019秋清远期末）等边三角形ABC中，BD = DC，EC = 2AE，AD与BE交于F，则下列结论 正确的是（）121-A. A

11、D 二一（AB + AC）B BE 二一BC + 一BA233111 一C AF 二ADD BF 二BA + BC223变式3、设两个非零向量a与b不共线.(1) 力B=a+b, BC =2a+8b, CD =3(a-b)，求证:A, B, D 三点共线;(2) 试确定实数匕使ka+b和a+kb共线.方法总结：利用共线向量定理解题的方法(1) aboa=b(bH0)是判断两个向量共线的主要依据注意待定系数法和方程思想的运用.(2) 证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量 共线且有公共点时，才能得出三点共线即A，B，C三点共线o?，2共线.(3)

12、若a与b不共线且Aa=b，则A=0.(4) O2 =A OOB+“ o2 (入，“为实数)，若 A，B，C 三点共线，则 A+ = 1.金优世提升实战演练1、在口ABC 中，点 G 满足GA + GB+GC=0.若存在点 O，使得(9G=6BC，且OA=mOB+nOC，则 m_n 等 于()A. 2 B2 C 1 D12、A, B，C是圆O上不同的三点，线段CO与线段AB交于点D(点O与点D不重合)，若OC=OA+OBB(1，+)(久，R)，则久+的取值范围是()z -;A. (0,1)D. (1,0)C. (1，迈3、【2018年高考全国I卷理数】在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的

13、中点，则EB二A.4 AB - 4 ACB.4 AB - 4 ACD. - AB + 3 AC44C. 3AB +1 AC444、.在口/BC中，下列命题正确的是（）a.AB-ac=:bCB.AB+BC+CA=Oc. 若（ab+Ac）-（aB-Ac）=o,则dabc为等腰三角形d. 若ACABo,则dabc为锐角三角形 5、（2020届山东省泰安市高三上期末）如图，在四边形ABCD中，ABCD, AB丄AD, AB=2AD=2DC, E为BC边上一点，且BC = 3EC , F为AE的中点，贝1（）Be 二-AB+AD2AF 二1AB+1AD33C.丽二-3AB+3ADD.CF=6 AB - 3 AD6、【江苏卷】在ABC中，AB二4, AC二3,ZBAC=90,D在边BC上，延长AD到F,使得AP=9,若3PA二mPB + （- - m）PC （m为常数），则CD的长度是27、在四边形ABCD 中, AB=DC=(1,1), 士BA+士BC=23BD,则四边形ABCD的面积为.|BA| |BC| |BD|8、已知向量a=2e 3e2，A=2e1+3e2，其中e1，e2不共线，向量c=2e1 9e2，问是否存在这样的实数久,，使向量d=Xa+b与c共线?