平面与空间直线

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1、平面与空间直线平面及其方程我们把与一平面垂直的任一直线称为此平面的法线设给定点为Po(x0,y0,z0),给定法线n的一组方向数为A,B,CA2+B2+C2H0,则过此定点且以 n为法线的平面方程可表示为：-咄-o)+ C(s-sa) = 0,卫債 +b2 + c2 0注意：此种形式的方程称为平面方程的点法式例题：设直线L的方向数为3, -4, 8，求通过点(2,1,-4)且垂直于直线L的平面方程.解答：应用上面的公式得所求的平面方程为：3匕-刀-盹-1)+檢+4) =0即-4+&+別=(我们把形式为：Ax+By+Cz+D=0.称为平面方程的一般式。其中x,y,z的系数A, B, C是平面的法

2、线的一组方向数。几种特殊位置平面的方程1、通过原点其平面方程的一般形式为：Ax+By+Cz=0.2、平行于坐标轴平行于x轴的平面方程的一般形式为：By+Cz+D=0.平行于y轴的平面方程的一般形式为：Ax+Cz+D=0平行于z轴的平面方程的一般形式为：Ax+By+D=0.3、通过坐标轴通过X轴的平面方程的一般形式为:By+Cz=O.通过y轴和z轴的平面方程的一般形式为：Ax+Cz=O, Ax+By=O.4、垂直于坐标轴垂直于x、y、z轴的平面方程的一般形式为：Ax+D=O, By+D=O, Cz+D=0.直线及其方程任一给定的直线都有着确定的方位但是，具有某一确定方位的直线可以有无穷多条，它们

3、 相互平行如果要求直线再通过某一定点，则直线便被唯一确定，因而此直线的方程就可由通过它 的方向数和定点的坐标表示出来。设已知直线L的方向数为l,m,n，又知L上一点Po(x ,y ,z ),则直线L的方程可表示为: 0 0 0上式就是直线L的方程，这种方程的形式被称为直线方程的对称式直线方程也有一般式，它是有两个平面方程联立得到的，如下：曲齐十旧卩十q吕十Q = o a护曲+匚加+巧=这就是直线方程的一般式平面、直线间的平行垂直关系对于一个给定的平面，它的法线也就可以知道了。因此平面间的平行与垂直关系，也就转 化为直线间的平行与垂直关系。平面与直线间的平行与垂直关系，也就是平面的法线与直线的平

4、 行与垂直关系。总的来说，平面、直线间的垂直与平行关系，最终都转化为直线与直线的平行与垂直关系。在此我们就不列举例题了。第六节 空间直线及其方程教学目的：介绍空间曲线中最常用的直线，与平面同为本章的重点 教学重点：1.直线方程2.直线与平面的综合题 教学难点：1.直线的几种表达式2.直线与平面的综合题教学内容： 一空间直线的一般方程空间直线可以看成是两个平面的交线.故其一般方程为：Ax + B y + Cz + D = 02 iiiiA x + B y + C z + D = 02222一 一 空间直线的对称式方程与参数方程 平行于一条已知直线的非零向量叫做这条直线的方向向量.已知直线上的一点

5、M0（xo yoz0）和它的一方向向量s二m,n, p,设直线上任一点为M （x, y, z），那么M0M与S平行，由平行的坐标表示式有：x - x y - y z - z0 =O 二0-m n p此即空间直线的对称式方程（或称为点向式方程）.（写时参照书上注释） 如设x-xy-y z-z二O 二O 二 tm n p就可将对称式方程变成参数方程（t为参数）x = x + mt0-l) + S(z+4) =0即-4+&+引=0我们把形式为：Ax+By+Cz+D=0.称为平面方程的一般式。其中x,y,z的系数A, B，C是平面的法线的一组方向数。几种特殊位置平面的方程1、通过原点其平面方程的一般形

6、式为：Ax+By+Cz=0.2、平行于坐标轴平行于x轴的平面方程的一般形式为：By+Cz+D=0.平行于y轴的平面方程的一般形式为：Ax+Cz+D=0平行于z轴的平面方程的一般形式为：Ax+By+D=0.3、通过坐标轴通过x轴的平面方程的一般形式为:By+Cz=0. 通过y轴和z轴的平面方程的一般形式为：Ax+Cz=O, Ax+By=O.4、垂直于坐标轴垂直于x、y、z轴的平面方程的一般形式为：Ax+D=O, By+D=O, Cz+D=0.直线及其方程任一给定的直线都有着确定的方位但是，具有某一确定方位的直线可以有无穷多条，它们 相互平行如果要求直线再通过某一定点，则直线便被唯一确定，因而此直

7、线的方程就可由通过它 的方向数和定点的坐标表示出来。设已知直线L的方向数为l,m,n，又知L上一点Po(x0,y0,z0),则直线L的方程可表示为:I m n上式就是直线L的方程，这种方程的形式被称为直线方程的对称式直线方程也有一般式，它是有两个平面方程联立得到的，如下：如片十0卩十Qs十功=0 切!呵+亡加4比=0这就是直线方程的一般式平面、直线间的平行垂直关系对于一个给定的平面，它的法线也就可以知道了。因此平面间的平行与垂直关系，也就转 化为直线间的平行与垂直关系。平面与直线间的平行与垂直关系，也就是平面的法线与直线的平 行与垂直关系。总的来说，平面、直线间的垂直与平行关系，最终都转化为直线与直线的平行与垂直关系。在此我们就不列举例题了。