大学课件高等数学下学期82二重积分的计算

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1、1/46二重积分的几何意义二重积分的几何意义在直角坐标系下计算二重积分在直角坐标系下计算二重积分在极坐标系下计算二重积分在极坐标系下计算二重积分二重积分的换元法二重积分的换元法小结小结2/46(,)Df x yD 若若几几何何形形体体 是是平平面面有有界界闭闭区区域域 时时，二二元元函函数数在在 上上的的积积分分称称为为二二重重积积分分，记记为为：d(,)Df x y d(,)0(,)(,).Df x yf x yf x y 当当时时，的的物物理理意意义义表表示示以以为为面面密密度度的的非非均均匀匀薄薄片片的的质质量量一、二重积分的几何意义一、二重积分的几何意义曲顶柱体曲顶柱体 以以xOy面上

2、的闭区域面上的闭区域D为底为底,侧面以侧面以D的的3/46),(yxfz 曲顶柱体体积曲顶柱体体积=特点特点D困难困难0),(yxf),(yxfz 边界曲线为准线而母线平行于边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面轴的柱面,顶是顶是曲面曲面且在且在D上连续上连续).oyxz曲顶曲顶顶是曲的顶是曲的柱体体积柱体体积=特点特点 分析分析平顶平顶 底面积底面积高高4/46 解决问题的思路、步骤与解决问题的思路、步骤与曲边梯形面积的求曲边梯形面积的求法类似：法类似：化整为零、化整为零、近似代替、近似代替、积零为整、积零为整、无限趋近无限趋近.D),(yxfz xzyO),(ii ),(iif i 5/46

3、(1)化整为零化整为零分为分为n个小曲顶柱体个小曲顶柱体.n ,21(用用 表示第表示第i个子域的面积个子域的面积).i 将域将域D任意分为任意分为n个子域个子域相应地曲顶柱体相应地曲顶柱体(2)近似代替近似代替iii ),(第第i个小曲顶柱体的体积的近似式个小曲顶柱体的体积的近似式iV 在每个子域内任取一点在每个子域内任取一点ni,3,2,1 iiif ),(6/46(3)积零为整积零为整(4)无限趋近无限趋近)趋于零趋于零,lim(,)01niiiiVf (,)1niiiiVf 求曲顶柱体体积的近似值求曲顶柱体体积的近似值令令n个子域的直径中的最大值个子域的直径中的最大值(记作记作上述和式

4、的极限即为上述和式的极限即为曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积.7/46(2)二重积分的几何意义二重积分的几何意义(3)(1)在在D上的上的二重积分就等于二重积分就等于二重积分是二重积分是二重积分是二重积分是而在其它的部分区域上是负的而在其它的部分区域上是负的.这些这些部分区域上的部分区域上的柱体体积的代数和柱体体积的代数和.那末那末,),(yxf,0),(时时当当 yxf,0),(时时当当 yxf柱体体积的负值柱体体积的负值;柱体体积柱体体积;在在D上的若干部分区域上是正的上的若干部分区域上是正的,),(yxf当当8/46例例 设设D为圆域为圆域222Ryx 二重积分二重积分 DyxR d222=

5、解解 222yxRz 上述积分等于上述积分等于 DyxR d222332R 由由二重积分的几何意义二重积分的几何意义可知，可知，是上半球面是上半球面上半球体的体积：上半球体的体积：RyxzOD9/46二、在直角坐标系下计算二重积分二、在直角坐标系下计算二重积分(1)积分区域积分区域为：为：,bxa ).()(21xyx 其中函数其中函数 、)(1x)(2x b)(2xy )(1xy aDX型型,ba在区间在区间 上连续上连续.xOyxOy)(1xy )(2xy Dba10/46的值等于的值等于)0),(d),(yxfyxfD 计算截面面积计算截面面积),(yxfz (红色部分即红色部分即A(x

6、0)以以D为底为底,以曲面以曲面为顶的曲顶柱体的体积为顶的曲顶柱体的体积.应用计算应用计算“平平行截面面积为行截面面积为已知的立体求已知的立体求体积体积”的方法的方法.用二重积分的几何意义说明其计算法用二重积分的几何意义说明其计算法是区间是区间)(),(0201xx 为曲边的曲边梯形为曲边的曲边梯形.),(0yxfz 为底为底,曲线曲线 xyzO),(yxfz D)(2xy )(0 xA1()yx ab0 x11/46是区间是区间 为底为底,)(),(0201xx 曲线曲线 为曲边为曲边 的曲边梯形的曲边梯形.),(0yxfz )(01x,bax yyxfxAxxd),()()()(21 有有

7、:DyxfV d),(baxxAd)(xbad )d),()()(21 xxyyxf )(02x yyxfxAd),()(00 先对先对y后对后对x的二次积分的二次积分称为称为累次积分累次积分.Dyxf d),(baxxyyxfx)()(21d),(d xyzO),(yxfz D)(1xy )(2xy ab0 x)(0 xA12/46(2)积分区域积分区域为：为：,dyc )()(21yxy D)(2yx cd)(1yx Y型型 Dyxf d),(先对先对x后对后对y的二次积分的二次积分也即也即 dcyyxyxfy)()(21d),(d Dyxf d),(其中函数其中函数 、)(1y)(2y,

8、dc在区间在区间 上连续上连续.xOyxOyD)(2yx cd)(1yx dcyd)d),(xyxf)(1y)(2y 13/46abdc 计算结果一样计算结果一样.又是又是Y型型:(3)积分区域积分区域D既是既是X型型:,bxa )()(21xyx ,dyc )()(21yxy 但可作出但可作出适当选择适当选择.xyO(4)若区域如图若区域如图,在分割后的三个区域上分别在分割后的三个区域上分别使用积分公式使用积分公式.D(用积分区域的可加性质用积分区域的可加性质)D1、D2、D3都是都是X型区域型区域则则必须分割必须分割.321DDDxyO3D2D1D14/46 例例1 1解解1d22Dxy

9、d2211xxxxy 9.4 1:12,Dxyxxd22xyy d21x d22,2,DxDxyxy 求其中 是由直线和求其中 是由直线和1.xy 双曲线围成的闭区域双曲线围成的闭区域将将D看成看成X型区域型区域1xxxyOyx 1x 1xy )d231(xxx 15/46 例例1 1解解2d22Dxy 9.4 111:1,22Dyxyd22xxy d112y d22,2,DxDxyxy 求其中 是由直线和求其中 是由直线和1.xy 双曲线围成的闭区域双曲线围成的闭区域将将D看成看成Y型区域型区域1y2xyOyx 1x 1xy D1D22:12,2Dyyxdd122222DDxxyy d22x

10、xy d21y y2第第一一种种方方法法计计算算量量小小16/46 例例4dd21120yxIxxey e-y2 对对y的积分的积分而它对而它对x的积分的积分交换积分次序交换积分次序的方法是的方法是:改写改写D为为:oxy 分析分析所以将所以将二次积分二次积分先先将所给的积分域将所给的积分域(1)(2)画出积分域的草图画出积分域的草图(3)计算二次积分计算二次积分不能用基本积分法算出不能用基本积分法算出,xy )1,1(可用基本积分法算出可用基本积分法算出.交换积分次序交换积分次序.用联立不等式表示用联立不等式表示 D:,10 x1 yx,10 yyx 017/46dd21120yxIxxey

11、 d213013yy ey 212016yy de 1163ed20yxx d210yey oxyxy )1,1(,10:yDyx 022yDx ed 18/46例例 交换积分次序：交换积分次序：解解 积分区域积分区域:xxxyyxfxyyxfx20212010d),(dd),(d2原式原式=10dyy 2 xyxfd),(211y 22xxy xy 2xyO1219/46又是能否进行计算的问题又是能否进行计算的问题.计算二重积分时计算二重积分时,恰当的选取积分次序恰当的选取积分次序十分重要十分重要,它不仅涉及到计算繁简问题它不仅涉及到计算繁简问题,而且而且凡遇如下形式积分凡遇如下形式积分:,

12、dsinxxx,d2xex,lnd xx等等等等,一定要放在一定要放在后面积分后面积分.,dsin2xx,dcos2xx,d2xex ,dxexy 20/462xy 解解(1)先去掉绝对值符号先去掉绝对值符号,如图如图 d)(12 Dxy 12112d)(dxyxyx1115 例例5 d2 Dxydd21210()xxxyy d)(22 Dyx先对先对y积分简单积分简单DD1D2xyO11 11 d2.:11,11.DyxDxy 计算其中计算其中(1):11,01Dxy 所确定的范围；所确定的范围；(2):22,01Dxy 所确定的范围；所确定的范围；D221/462xy 解解(2)仿照仿照(

13、1)的方法，同时充分利用可加性的方法，同时充分利用可加性 d)(12 Dxydd211212()xxyxy 225 例例5 d2 Dxydd21220()xxyy d)(22 Dyx先对先对y积分简单积分简单DD1D2xyO22 1d2.:11,11.DyxDxy 计算其中计算其中(2):22,01Dxy 所确定的范围；所确定的范围；D2D1d122()Dyx d212()DDxy 22/46设设区域区域D关于关于x轴对称轴对称,如果函数如果函数 f(x,y)关于坐标关于坐标y为偶为偶函数函数.Dyxf d),(oxyD1性质性质1 1）即即),(),(yxfyxf 则则D1为为D在第在第 一

14、象一象限中的部分限中的部分,1d),(2Dyxf 坐标坐标y为奇函数为奇函数0d),(Dyxf),(),(yxfyxf 即即则则设设区域区域D关于关于x轴对称轴对称,如果函数如果函数 f(x,y)关于关于二重积分的对称性质二重积分的对称性质23/46 Dyxf d),(如果函数如果函数 f(x,y)关于坐标关于坐标x为奇函数为奇函数0d),(Dyxf oxyD1如果函数如果函数 f(x,y)关于坐标关于坐标x为偶为偶则则,),(),(）即即yxfyxf 函数函数,),(),(）即即yxfyxf 则则设设区域区域D关于关于y轴对称轴对称,且且D1为为D在第一在第一象限中的部分象限中的部分,1d)

15、,(2Dyxf 性质性质2 224/46 Dyxf d),(如果函数如果函数 f(x,y)关于关于x和和y为奇函数为奇函数0d),(Dyxf 如果函数如果函数 f(x,y)关于关于x和和y为为则则偶函数偶函数则则设设区域区域D关于原点对称关于原点对称,将将D分为关于原点分为关于原点对称的两部分对称的两部分D3+D4，d32(,)Df x y 性质性质3 325/46设设D为圆域为圆域(如图如图)d2Dy d212 Dy d3Dy0 d2Dx d222 Dx d3Dx0D1为上半圆域为上半圆域D2为右半圆域为右半圆域yxOyxO26/46 ).(ddsincos等于等于则则yxyxxyD 为顶点

16、的三角形区域为顶点的三角形区域,(A).ddsincos21yxyxD(B).dd21yxxyD (C).ddsincos41yxyxxyD (D)0.A研究生考题研究生考题,选择选择,3分分)1,1()1,1(),1,1(和和平面上以平面上以是是设设xOyDD1是是D在第一象限的部分在第一象限的部分,27/46 yxyxxyDddsincos D1D2D3D4记记 I=则则I=I1+I2,其中其中I1=yxxyDdd I2=yxyxDddsincos 而而 I1=yxxyDdd yxxyDDdd21 yxxyDDdd43 D1与与D2关于关于y轴对称轴对称D3与与D4关于关于x轴对称轴对称x

17、y关于关于x和关于和关于y都是奇函数都是奇函数000 )1,1()1,1()1,1(xyO28/46而而 I2 =yxyxDddsincos yxyxDDddsincos21 yxyxDDddsincos43 是是关于关于x的偶函数的偶函数,yxyxDddsincos21 关于关于y的奇函数的奇函数.所以所以 yxyxDddsincos21 yxyxDddsincos21 21III 0 yxsincosD1D2D3D4)1,1()1,1(xyO )1,1(29/46三、在极坐标系下计算二重积分三、在极坐标系下计算二重积分irr iirrr i 21()2iiiir rriiir rOADi

18、ii i (,)iir 21()2iiirr212iircos,iiir siniiir,)ii i i则(则(30/46iiinif ),(lim10即即 Dyxf d),(Dyxyxfdd),(也即也即d dr r 极坐标系中的面积元素极坐标系中的面积元素 d d(cos,sin)rDf rrr r d d(cos,sin)rDf rrr r nif1(cos,iir iiir sin)iir 0lim 31/46 1()r 2()r d d(cos,sin)Df rrr r(1)积分区域积分区域D:,12()()r AO1()r 2()r D d)(1 d(cos,sin)f rrr r

19、)(2 OAD32/46D dd()0(cos,sin)f rrr r (2)积分区域积分区域D(曲边扇形曲边扇形):,0()r d d(cos,sin)Df rrr r AOAO D()r ()r 33/46d d(cos,sin)Df rrr r dd2()00(cos,sin)f rrr r 极坐标系极坐标系下区域的下区域的面积面积d dDr r (3)积分区域积分区域D:,20 0()r DoA()r 注注一般一般,在极坐标系下计算在极坐标系下计算:r 先对 再对 积分先对 再对 积分34/46解解cossinxryr Dyxyxfdd),(dd(cos,sin)f rrr r 例例

20、写出积分写出积分的的极坐标二次积分极坐标二次积分 Dyxyxfdd),(其中积分区域其中积分区域形式形式,10,11),(2 xxyxyxD在极坐标系下在极坐标系下圆方程为圆方程为1r 直线方程为直线方程为1cossinr 1 cossin1 02 yxO11122 yx1 yxD35/46解解yxeDyxdd22 dd2200arer r )1(2ae a例例 计算计算,dd22yxeDyx 其中其中D是由中心在原点是由中心在原点,半径为半径为a的圆周所围成的闭区域的圆周所围成的闭区域.在极坐标系下在极坐标系下:D,20 0raxOy36/46R2解解0,0,|),(2221 yxRyxyx

21、D0,0,2|),(2222 yxRyxyxD0,0|),(RyRxyxS 022 yxed d22xySex y d d222xyDex y 求反常积分求反常积分.d02xex 例例显然有显然有21DSD 122ddDyxyxeR1DS2DyxO37/46 Rxxe0d220)d(2 Rxxe)1(2Re yxeDyxdd22 )1(2ae 222:ayxD 又又yxeISyxdd22 yxeIDyxdd1221 yxeIDyxdd2222 )1(422Re 4 Ryye0d2 0,0,|),(2221 yxRyxyxD0,0,2|),(2222 yxRyxyxD对称性对称性质质0,0|),

22、(RyRxyxS 38/46,41 I42 I,4 I21III )1(4)d()1(4222220RRxRexee 概率积分概率积分夹逼定理夹逼定理,时时当当 R,时时故当故当 R即即4)d(202 Rxxe所求反常积分所求反常积分2d02 xex),1(421ReI )1(4222ReI ,)d(202 RxxeI39/4603 yx解解32 61 4sinr 2sinr yxyxDdd)(22 dd2rr r)32(15 03 xy计算计算,dd)(22yxyxD 为由圆为由圆其中其中D所围成的平面闭区域所围成的平面闭区域.例例yyxyyx4,22222 及直线及直线,03 yx03 x

23、y sin4 sin26 3 xOyyyx222 yyx422 40/46四、四、二重积分的换元法二重积分的换元法设被积函数设被积函数),(yxf在区域在区域D上连续上连续,若变换若变换),(),(vuyyvuxx 满足如下条件满足如下条件:(1)uOvD将平面上的区域的点将平面上的区域的点一对一地变为一对一地变为D上的点上的点;(2),(),(vuyvuxD在上在上有连续的一阶偏导数有连续的一阶偏导数,且雅可比行列式且雅可比行列式 ),(),(vuyxJvyuyvxux Dyxf d),(0 f D),(vux),(vuy|Jvudd41/46例例1515解解,dd12222yxbyaxD

24、计计算算0,0,0,02abr其中其中cossinxarybr 在这变换下在这变换下所围成的闭区域所围成的闭区域.12222 byaxD(,)01,02 DrrDxyO其中其中D为椭圆为椭圆作作广义极坐标广义极坐标变换变换42/46 ),(),(yxJ0,JDr 在在 内内仅仅当当处处为为零零 yxbyaxDdd12222ab 32 abr cossinxarybr xxryyr 故换元公式仍成立故换元公式仍成立,d dd d(,)(,),(,)DDf x yx yf x u vy u vJu v 21r abrd dr Ddd212001abrrr 极坐标极坐标 DxyO43/46五、小结五、小结二重积分在直角坐标系下的计算二重积分在直角坐标系下的计算二重积分在极坐标系下的计算公式二重积分在极坐标系下的计算公式(注意使用对称性注意使用对称性)(注意正确选择积分次序注意正确选择积分次序,掌握交换积分次序掌握交换积分次序的方法的方法)恰当选择坐标系计算二重积分恰当选择坐标系计算二重积分(注意选择的原则注意选择的原则)