微积分x14-5积分与路径无关条件.ppt

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1、 14-5 一、曲线积分与路径无关的条件 x y z o ( , , )r O P x y z 0 23( ) ( ) k m r k mf P f P r r r r r P 3 3 3( ) ( , , ) k m k m k mf P x y z r r r R3的原点 O处有一质量为 m的质点对到 P的单位质量质点的引力为 质点在引力作用下从点 A移动到点 B时，引力所做的功 3()A B A B x d x y d y z d zW f P d r k m r () 2 2 2 2 2()| ( ) | ( , ) rb ra drr r t k m r x y z r d r x

2、d x y d y z d z r 11() ( ) ( ) km r b r a 例 3 ).1,1(),0,1( )0,0(,)3( ;)1,1()0,0()2( ;)1,1()0,0()1( ,2 2 2 2 依次是点，这里有向折线 的一段弧到上从抛物线 的一段弧到上从抛物线 为其中计算 BAOOAB BOyx BOxy Ldyxx y d x L 2xy )0,1(A )1,1(B解 .)1( 的积分化为对 x ,10,: 2 变到从xxyL 10 22 )22( dxxxxx原式 10 34 dxx .1 )0,1(A )1,1(B 2yx .)2( 的积分化为对 y ,10,: 2

3、 变到从yyxL 10 42 )22( dyyyyy原式 .1 )0,1(A )1,1(B )3( ,上在 OA ,10,0 变到从xy 10 22 )002(2 dxxxdyxx y d xOA .0 ,上在 AB ,10,1 变到从yx 102 )102(2 dyydyxx y d xAB .1 10 原式 .1 场论 物理学中把物理量在某个区域内的分布称为场， 如： 温度场、速度场、电磁场等。 如果量的变化与时间无关，则称此场为稳定场。 若对平面区域或空间区域 内每一个点 M， 都有一个数量（向量）与之对应，则称在 该区域上给定了 一个数量场 （ 向量场） ()fM ()fM 引力做功

4、W只与质点的起点和终点有关，而与路径无 关，在物理学中称这样的场为 保守场（位势场） 。 1 12L f d x f d y则称曲线积分 12 L f d x f d y 曲线积分与路径无关的定义 2 12L f d x f d y 如果对于区域 G 内任意指定的两点 A、 B 以及 G 内 从点 A 到点 B 的任意两条曲线 L1， L2 有 称向量场 为保守场 . 12( ) ( ( , ), ( , )f P f x y f x y G y x o B A 1L 2L 在 G 内 与路径无关 , 向量场 为保守场 充要条件 . 12( ) ( ( , ), ( , )f P f x y

5、f x y G y x o B A 1L 2L 12 0.L L f d r f d x f d y 沿场内光滑或逐段光滑的任意简单闭合曲线 L 二 、位势函数 设开区域 G 是一个单连通域 , 函数 1 ( , ) ,f x y 2 ( , )f x y 在 G 内具有一阶连续偏导数 , 则 为保守场充要条件： 在 G 内 存在 某一 标量 函数 ),( yxu 使 12 ( , ) ( , ) ( , )d u x y f x y d x f x y d y 12 ( ) ( ( , ), ( , )f P f x y f x y 定理 14-1 向量场 为保守场， u (x, y)称为保

6、守场的（位）势函数，根 据这一定理，保守场也称位势场。 12( ) ( ( , ) , ( , ) )f P f x y f x y ( , ) 12( , )( , ) ( , ) ( , ) oo xy xy u x y f x y d x f x y d y设 下证 12( , ) , ( , ) uuf x y f x y xy 0 ( , ) 12( , )( , ) o x x y xyu x x y f d x f d y oy y 证明 12( ) ( ( ) , ( ) )f P f P f P 为保守场 ),( 000 yxM ),( yxM ),( yxxN 0 ( ,

7、) ( , )l im x u u x x y u x y xx 0 1 2 1 2 MN MM f d x f d y f d x f d y 1 0 ( , )l im x f y x x 1 ( , )f x y 同理可证 2 ( , ) u f x y y 12( , ) ( , )d u f x y d x f x y d y 反之若 存在 12( , ) ( , )d u f x y d x f x y d y 则对 D内光猾或逐段光滑的任意简单闭合曲线 : ( ) ( ) ( ) l r r t t r r 12 .L L f d r f d x f d y ( ( ) )du

8、r t dt dt ( ( ) ) ( ( ) ) 0u r u r .L du ( , ) 12( , )( , ) ( , ) ( , ) oo xy xy u x y f x y d x f x y d y 12( , ) ( , )d u f x y d x f x y d y 保守场 ， 势函数 u (x, y)称为保守场的原函数 12 () BB B B A A A A f d r f d x f d y d u u P ( ) ( )u B u A ( ) ( ) ( ) , ( ) ( )b a f x d x F a F b F x f x 12( ) ( ( , ) , (

9、 , ) )f P f x y f x y 设开区域 G 是一个单连通域 , 函数 1 ( , ) ,f x y 2 ( , )f x y 在 G 内具有一阶连续偏导数 , 则 12 ( ) ( ( , ) , ( , ) )f P f x y f x y 为保守场充要条件： 定理 14-2 21ff xy 满足格林公式的条件 21 12 ()L D fff d x f d y d x d y xy 0 ;LD任意闭曲线 21ff xy 12( ) ( ( , ) , ( , ) )f P f x y f x y 为保守场 ： 充分性：因 必要性： 设存在某一函数 ( , )u x y ，使

10、12( , ) ( , )d u f x y d x f x y d y 则必有 12( , ) , ( , ) uuf x y f x y xy 从而 22 12,ffuu y x y x y x 由于 12,ff 在 G内有连续的偏导数，故有 21ff xy 证毕 12( ) ( ( , ) , ( , ) )f P f x y f x y 为保守场 与 路 径 无 关 的 五 个 等 价 命 题 条 件 在单连通开区域 D 上 12( , ) , ( , )f x y f x y 具有 连 12 ( 4 ) ( , ) D U x y d u f d x f d y在 中存在位势函数 使

11、 12( 5 ) ff yx 等 价 命 题 续的一阶偏导数 , 则以下 五 个命题 等 价 . （ 1）在 D内曲线积分 与路径无关 L f d r （ 2）沿 D内任意闭曲线的曲线积分 0L f d r 在 D内成立 12( ) ( ( , ) , ( , ) ) , ( , )drfP d x d yf x y f x y 123 ( ) ( ( ) , ( ) )f P f P f P（ ） 为保守场 12 ,ff yx 若 11 00 ( , ) 12( , ) B x y A x y f d x f d y 11 00 1 0 2 1( , ) ( , ) xyf x y d x

12、f x y d y 11 00 2 0 1 1( , ) ( , ) yxf x y d y f x y d x或 12 L f d x f d y CBAC ),( 01 yxC ),( 11 yxB ),( 00 yxA x y o L ),( 10 yxD DBAD 与路径无关 例 1 计算 L dyyxdxxyx )()2( 422 . 其中 L 为由点 )0,0(o 到点 )1,1(B 的曲线弧 2 si n x y . 解 因此，积分与路径无关。 12 2ff x yx o x y 1 1 2 2 412 f ( , ) 2 , f ( , ) .x y x x y x y x y

13、 则 在 单连通域 全平面上有连续 的一阶偏导数，且 12,ff 10 10 422 )1()02( dyydxxx .1523 L dyyxdxxyx )()2( 422 例 2 设曲线积分 L dyxydxxy )(2 与路径无关 , 其中 具有连续的导数 , 且 0)0( , 计算 )1,1( )0,0( 2 )( dyxydxxy . 积分与路径无关 ， 解 21 ( ) 2 ,f x y x y yy 2 ( ) ( ) ,f y x y x xx 21 ( , ) ,f x y x y 2 ( , ) ( ) ,f x y y x 由 0)0( ， 知 0c 2)( xx . 故

14、)1,1( )0,0( 2 )( dyxydxxy 由 xyxy 2)( cxx 2)( 1010 0 yd ydx .21 O B12ffyx 2 2 2 2 22 22 3 , ( , 0 ) 1 ( , 0 ) L x y x y d x d y L A a x y x y xy Ba ab 例 求 其中 是从点 经上半椭圆周 到点 的弧段。 22 21 2 2 2 2 ( , ) (0 , 0 ) () ff y x y x xy x y x y 解： 积分与路径无关 dyQPd xI A F B 即 daaaaaaa c os)s inc os(s in)s inc os(1 02

15、A B F .0,s i nc o s 到从 ay ax ( , 1 ) ( 1 , ) ( 0 , 0 ) ( 0 , 0 ) ( , ) 2 ( , ) 2 ( , ) 2 ( , ) , ( , ) . L tt Q x y x oy x y dx Q x y dy t x y dx Q x y dy x y dx Q x y dy Q x y 例4 设函数 在 平面上具有一阶连续偏导数， 曲线积分 与路径无关，且对任意 恒 有求 与路径无关解： yxyx yxQ )2(),( x2 )(),( 2 ycxyxQ 则 )1,( )0,0( ),(2t dyyxQxy dx又 )1,(t

16、t dyytQdxx0 10 ),(02 1 2 0 ()t c y d y ),1( t ),1( )0,0( ),(2t dyyxQxy dx 10 0 ),1(02 dyyQdxx t 0 () tt c y d y 102 )( dyyct t dyyct 0 )( t2即 )(1 tc 12)( ttc 12)(),( 22 yxycxyxQ 00 ( , ) 12( , )( , ) ( , ) ( , ) xy xy u x y f x y d x f x y d y 00 1 0 2( , ) ( , ) xyf x y d x f x y d y 00 2 0 1( , )

17、( , ) yxf x y d y f x y d x 位势函数的求法 一 .变上限求积分法 . 0( , )C x y ( , )B x y ),( 00 yxA x y o L 二 . 偏积分法 1 ( , ) u f x y x 11( , ) ( , ) ( , ) ( ) .u x y f x y d x F x y C y 2 ( , ) u f x y y 即 ,1 2( ) ( , ) F C y f x y y 从而可求出 C(y) 11 00 ( , ) 12 ( , ) 1 1 0 0 ( ) ( ) ( , ) ( , ) B x y A x y f dx f dy u

18、 B u A u x y u x y 并且 例 . 验证 22 dd yx xyyx 在右半平面 ( x 0 ) 内存在原函 数 , 并求出它 . 证 : x x1 d0 o x y y yx yx 0 22 d )0,(x)0,1( ),( yx 12ff yx 解 因此向量场是保守场。 12 22ff xy yx 2 2 2 2 f ( , ) 2 , 2 .x y x x y y x x y y 例1 向量场 f1,f2在 单连通域 全平面上有连续的一阶偏导数， 且 12 ( , ) d u fD d x d yy fUx 在 中存在 使 是不是保守场 ,求 U(x,y) 2 2 3 2

19、 21( , ) ( 2 ) ( ) 3 uu x y d x x x y y d x x x y x y C y x 3 2 2 21( ( ) ) 2 ( ) 3 y u x x y x y C y x x y C y y 2 2 22 ( ) 2x x y C y x x y y 2( )yy 31 () 3 y y C 3 3 2 21( , ) 33 y u x y x x y x y C 12 ( , ) d u fD d x d yy fUx 在 中存在 使 2 2 2 2f ( , ) 2 , 2 x y x x y y x x y y o x y 1 1 2 1L 2L 解

20、.272 e 0 00 ( , ) ( ) ( 2 )xy yu x y e x d x x e y d y 例 2 验证 L yy dyyxedxxe )2()( . 与路径无关， 并求之。 L 为过 )0,0(o )1,0(A )2,1(B 的曲线弧 . 1 yf e y 2f x ( 1 , 2 )( 1 , 2 ) 22 ( 0 , 0 ) ( 0 , 0 ) 1 2 yI f d r x x e y 2 2( , ) 2 yxu x y x e y o x y 1 1 2 1L 2L .10: ,0 :1 xyL .20: ,1 :2 yxL L yy dyyxedxxe )2()(

21、 2010 0 )21()( dyyedxxe y.272 e 解 例 2 验证 L yy dyyxedxxe )2()( . 与路径无关， 并求之。 L 为过 )0,0(o )1,0(A )2,1(B 的圆周，由 )0,0(o 到 )2,1(B 的曲线弧 . 1 yf e y 2f x 21( , ) ( ) ( ) 2 yyuu x y d x e x d x e x x y x ( ) 2yy 2()y y C 12 ( , ) d u fD d x d yy fUx 在 中存在 使 12 f ( , ) , f ( , ) 2 .yyx y e x x y x e y 21( ( )

22、) 2 y y u e x x y y ( ) 2yyu e x y e x yy 221( , ) 2 yu x y e x x y C ( 1 , 2 ) 12( 0 , 0 ) ( 1 , 2 ) ( 0 , 0 )f d x f d y u u .272 e 判别 : P, Q 在某单连通域 D内有连续一阶偏导数 , 为全微分方程 则 求解步骤 : 方法 1 凑微分法 ; 方法 2 利用积分与路径无关的条件 . 1. 求原函数 u (x, y) 2. 由 d u = 0 知通解为 u (x, y) = C . 全微分方程 使若存在 ),( yxu yyxQxyxPyxu d),(d),

23、(),(d 则称 0d),(d),( yyxQxyxP 为全微分方程 ( 又叫做恰当方程 ) . ),( yxy xo 例 1. 求解 0d)33(d)35( 222324 yyyxyxxyyxx 解 : 因为 yP 236 yyx ,xQ 故这是全微分方程 . ,0,0 00 yx取 则有 xxyxu x d5),( 0 4 yyyxyxy d)33(0 222 5x 2223 yx 3yx 331 y 因此方程的通解为 Cyyxyxx 33225 3123 )0,(x 例 2. 求解 解 : 21xyP 这是一个全微分方程 . 用凑微分法求通解 . 将方程改写为 0ddd 2 x xyyx

24、xx 即 ,0d21d 2 xyx 故原方程的通解为 021d 2 xyx或 Cxyx 221 ,xQ 积分因子法 思考 : 如何解方程 这不是一个全微分方程 , ,12x 就化成例 2 的方程 . ,0),( yx 使 为全微分方程 , ),( yx则称 在简单情况下 , 可凭观察和经验根据微分倒推式得到 为原方程的积分因子 . 但若在方程两边同乘 若存在连续可微函数 积分因子 . 常用微分倒推公式 : )(ddd)1 yx yx )(ddd)2 xyyx yx )(ddd)3 yyxx )( 2221 yx )(ddd)4 2 y yxxy yx )(ddd)5 2 x yxxy x y

25、)(ddd)6 yx yxxy yxln )(ddd)7 22 yx yxxy y xarctan )(ddd)8 22 yx yyxx 22 yx 积分因子不一定唯一 . 0dd yxxy例如 , 对 可取 三、空间中曲线积分与路径无关的条件 与路径无关的五个等价命题 条 件 函数 1 2 3( , , ) , ( , , ) , ( , , )f x y z f x y z f x y z 在单连通区域 内具有一阶连 续偏导数 等 价 命 题 （ 1）曲线积分 L f d r 在 内与路径无关 （ 2）沿 内任意闭曲线的曲线积分 0L f d r （ 4）在 内存在函数 U使 d u f

26、d r （ 5） 332 1 2 1,fff f f f y z z x x y 内成立 1 2 3( , , ) , ( , , )f f f f d r d x d y d z 1 2 33 ( ) ( ( ) , ( ) , ( ) )f P f P f P f P（ ） 为保守场 0 ( , , ) 1 2 3( , , )( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) oo x y z x y zu x y z f x y z d x f x y z d y f x y z d z 0 1 ( , , ) x oox f x y z dx 20( , , ) o y

27、y f x y z d y 3 ( , , ) o z z f x y z d z ( , , )o o oA x y z 为 内任取点。 空间保守场势函数计算方法 一 .变上限求积分法 . O y0 y y z z z0 x0 x x ( , , )B x y z ( , , )o o oA x y z 二 . 偏积分法 . 1 ( , , ) u f x y z x 11( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , ) .u x y z f x y z d x F x y z C y z 23( , , ) , ( , , ) uu f x y z f x y z yz 1 2

28、( , , ) F C f x y z yy 1 3, ( , , ) F C f x y z zz 即 从而可求出 ( , ) .C y z 1 1 1 0 0 0 ( , , ) 1 2 3 ( , , ) 1 1 1 0 0 1 ( ) ( ) ( , , ) ( , , ) B x y z A x y z f d x f d y f d z u B u A u x y z u x y z 求曲线积分 332 1 2 1,fff f f f y z z x x y 1 1 1 0 ( , , ) 1 2 3( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) oo x y z

29、x y z f x y z d x f x y z d y f x y z d z 1 0 1 ( , , ) x oox f x y z d x 1 120( , , ) o y y f x y z dy 1 13 1( , , ) o z z f x y z dz ( , , )o o oA x y z 为 内任取点。 O y0 y1 y z z1 z0 x0 x1 x 1 1 1( , , )B x y z ( , , )o o oA x y z zyxyxzxzy d)(d)(d)( 与路径无关 , 并求函数 zyxyxzxzyzyxu zyx d)(d)(d)(),( ),( )0,

30、0,0( 解 : 令 yxRxzQzyP , ,1 xQyP ,1 yRzQ yPxR 1 积分与路径无关 , zyxxy )( yx y d 0 zyx z d)( 0 zxyzxy x z yo ),( zyx )0,( yx)0,0,(x 因此 例 . 验证曲线积分 ( ( 2 ) , ( 2 ) , ( 2 ) )f y z x y z z x x y z x y x y z 例设向量场 （ 1）证明它是保守场 （ 2）求出它的位势函数 U（ x,y,z) (3)计算： ( 1 , 2 , 3 ) 1 2 3( 0 , 0 , 0 ) f d x f d y f d z 23 2 23

31、1 221 22 22 22 f f x x y y z yz ff x y y y z zx ff x z y z z xy 为保守场。 1 2 3 ( , , ) ( 2 ) ( , , ) ( 2 ) ( , , ) ( 2 ) u f x y z y z x y z x u f x y z zx x y z y u f x y z x y x y z z 2 2 2 ( , )uu d x y zx y zx y z x y z x 22 2 ( , ) ( 2 ) ( , ) 0 ( , ) ( ) y y x z y z x x z y z z x x y z y z y z z

32、2 ( ) ( , ) ( 2 )u y z x y x z x y z z x x y zy 2 ( ) ( , ) ( 2 )u y z x y x z x y z z x x y z y 2 2 2u y z x y z x y z x C 2 2 2 22 () 2 ( ) ( 2 ) ( ) 0 u u dx y zx y zx y z x z x u y x y x zx y z x y x y z z z ()zC ( 1 , 2 , 3 ) 1 2 3( 0 , 0 , 0 ) ( 1 , 2 , 3 ) ( 0 , 0 , 0 ) 3 6f d x f d y f d z U

33、 U 定义 设 1 2 3( , , ) ( , , ) , ( , , ) , ( , , )f x y z f x y z f x y z f x y z 为空间区域 上的向量场。对 上每一点 ( , , ) ,M x y z 定义向量函数 33 2 1 2 1( , , ) , ,ff f f f fF x y z y z z x x y 称它 为向量场 f 中点 M处的旋度，记作 .rotf 1 2 3 i j k ro tf x y z f f f 四：旋度 定义 设 f 为空间 内的向量场， L为场内任意封闭 曲线，称 L L f d r 为 f 沿场内有向闭曲线 L指 定方向的环

34、流量，简称环量。 注 : L f d r 表示流速为 f 的流体在单位时间沿有向 闭曲线 L的流量。反映了流体沿 L流动的旋 转的强弱程 度。 注 : 由上述定义， Stokes公式可以写成如下的向量形式 () oL L S f d r r o tf n d S () oLS L S f d r r o tf n d S 上式说明：向量场 f 沿有向闭曲线 L的环流量等于向量场 f 的旋度场通过 L所张的曲面 S的通量 。 注 对于空间区域 内的向量场 ,f 当 0ro tf 时，沿 场内任意有向闭曲线的环流量为零。即流体流动时不成旋 涡，此时称此向量场为无旋场。 定义 对于空间区域 内的向量

35、场 ,f 若存在定义在 上的函数 u，使 ,d u f d r 则称向量场 f 为有势场。 并称函数 u为此向量场的势函数。 注 对于一个单连通区域内的连续向量场 ,f f 是无旋 场、保守场、有势场三者是等价的。 例 验证函数 2 2 2( , , )u x y z x y z x y z x y z 的梯度场 ( , , )g r a d u x y z 为保守场 .并求出 解： ( , , ) ( ( 2 ) , ( 2 ) , ( 2 ) )g r a d u x y z y z x y z z x x y z x y x y z ( ( , , ) )r o t g r a d u

36、x y z 令 1 2 3 ( , , ) ( 2 ) ( , , ) ( 2 ) ( , , ) ( 2 ) f x y z y z x y z f x y z zx x y z f x y z x y x y z 23 2 231 221 22 22 22 f f x x y y z yz ff x y y y z zx ff x z y z z xy 则有 故梯度场 ( , , )g r a d u x y z 为保守场。并且 33 2 1 2 1( ( , , ) ) ( , , ) ( 0 , 0 , 0 ) 0 ff f f f f r o t g r a d u x y z y z z x x y 例 ,222 zyxr 设 则 .)ra dg(ro t;)ra dg(d iv rr 解 : rradg rzryrx , )( rxx 2r r rxx ,3 22r xr )( ryy 3 22 r yr )( rzz 3 22r zr )0,0,0( r2 )r a dg(r o t r 三式相加即得 )r a dg(d iv r r z r y r x zyx kji 0