《CH因子分析》PPT课件.ppt

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1、1 第九章 因子分析 Factor Analysis 2 1 引言 因子分析 (factor analysis)是一种数据简化的技术 。 它通过研究众多变量之间的内部依赖关系 ， 探求观测数据 中的基本结构 ， 并用少数几个假想变量来表示其基本的数 据结构 。 这几个假想变量能够反映原来众多变量的主要信 息 。 原始的变量是可观测的显在变量 ， 而假想变量是不可 观测的潜在变量 ， 称为因子 。 例如 ， 在企业形象或品牌形象的研究中 ， 消费者可以 通过一个有 24个指标构成的评价体系 ， 评价百货商场的 24 个方面的优劣 。 3 但消费者主要关心的是三个方面，即商店的环境 、商店的服务和

2、商品的价格。因子分析方法可以通过 24 个变量，找出反映商店环境、商店服务水平和商品价格 的三个潜在的因子，对商店进行综合评价。 而这三个公 共因子可以表示为： iiiiii FFFx 33221124,1 i 称 是不可观测的潜在因子 。 24个变量 共享这三个因子 ， 但是每个变量又有自己的个性 ， 不被 包含的部分 ， 称为特殊因子 。 321 FFF 、 i 4 注： 因子分析与回归分析不同，因子分析中的因 子是一个比较抽象的概念，而回归因子有非常明 确的实际意义； 主成分分析分析与因子分析也有不同，主成 分分析仅仅是变量变换，而因子分析需要构造因 子模型。 主成分分析 :原始变量的线

3、性组合表示新的 综合变量，即主成分； 因子分析：潜在的假想变量和随机影响变 量的线性组合表示原始变量。 5 2 因子分析模型 一 、 数学模型 设 个变量 ， 如果表示为 iX ),2,1( pi p 11i i i im m iX a F a F )( pm 1 1 1 1 1 2 1 11 2 2 2 1 2 2 2 22 12 m m p p p p p m pm X F X F X F 或 X AF或 6 称为 公共因子 ， 是不可观测的变量 ， 他们的系数称为因子载荷 。 是特殊因子 ， 是不能被 前 m个公共因子包含的部分 。 并且满足： mFFF , 21 i IFD 1 1 1

4、 )( c o v ( , ) 0 ,F ,F 即不相关； mFFF , 21 即 互不相关，方差为 1。 7 2 2 2 2 1 )( p D 即互不相关 ， 方差不一定相等 ， 。 ),0( 2ii N 8 用矩阵的表达方式 X- = AF + ()E F0 ()E 0 ()V ar FI 2 2 212( ) ( , , , )pVa r diag 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 12 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c ov ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p p p p p p E F E F E F E F E F E F E E F E F E F

5、 F, F 0 9 二、因子分析模型的性质 1、原始变量 X的协方差矩阵的分解 X- = A F + ( ) ( ) ( )V a r V a r V a r X- = A F A + x = A A + D A 是 因 子 模 型 的 系 数 2 2 212( ) ( , , , )pVa r diag D D的主对角线上的元素值越小，则公共因子共享的成 分越多。 10 2、模型不受计量单位的影响 将原始变量 X做变换 X*=CX,这里 C diag(c1,c2,c n),ci0。 )C ( X - ) = C ( A F + C X C + C A F + C * XC + C A F +

6、 C * * * * *X + A F + * FF 11 *()E F0 *()E 0 *()V a r FI * 2 2 212( ) ( , , , )pV ar diag * * * *c ov ( ) ( )E F, F 0 12 3、因子载荷不是惟一的 设 T为一个 p p的正交矩阵，令 A*=AT， F*=TF，则模型可以表示为 * * *X + A F + ()E T F 0()E 0 *( ) ( ) ( )V a r V a r V a r F T F T F T I 2 2 212( ) ( , , , )pVa r diag *c ov ( ) ( )E F, F 0

7、且满足条件因子模型的条件 13 三 、 因子载荷矩阵中的几个统计特征 1、 因子载荷 a ij的统计意义 因子载荷 是第 i个变量与第 j个公共因子的相关系数 ija 模型为 imimii FaFaX 11 在上式的左右两边乘以 jF ,再求数学期望 )()()()()( 11 jijmimjjijjiji FEFFEaFFEFFEaFXE 根据公共因子的模型性质 ， 有 ijFx ji （ 载荷矩阵中第 i行 ， 第 j列的元素 ） 反映了 第 i个变量与第 j个公共因子的相关重要性 。 绝对值越 大 ， 相关的密切程度越高 。 14 2、 变量共同度的统计意义 定义： 变量 的共同度是因子

8、载荷矩阵的第 i行的元 素的平方和 。 记为 iX 统计意义 ： imimii FaFaX 11两边求方差 )()()()( 2112 imimii VarFVaraFVaraXVar m j iij a 1 221 所有的公共因子和特殊因子对变量 的贡献为 1。 如果 非常 靠近 1， 非常小 ， 则因子分析的效果好 ， 从原变量空间到公共因 子空间的转化性质好 。 iX m j ij a 1 2 2i 。 mj iji ah 1 22 15 3、 公共因子 方差贡献的统计意义 jF 因子载荷矩阵中各列元素的平方和 称为所有的 对 的方差贡献和 。 衡量 的相对重要性 。 pi ijj aS

9、 1 2 ),1( mj jFiXjF 16 3 因子载荷矩阵的估计方法 设随机向量 的均值为 ，协方差 为 , 为 的特征根， 为对应 的 标准化特征向量，则 pxxx , 21 x 021 p p21 u,u,u 1 2 p = U U A A + D （一）主成分分析法 17 上式给出的 表达式是精确的，然而，它实际上是毫 无价值的，因为我们的目的是寻求用少数几个公共因子 解释，故略去后面的 p-m项的贡献，有 2 11 11mmm m m m p 1 1 2 2 ppu u u u u u u u u u p 2 u u u uuu p pp 2 11 2211 1 1 0 0 p 2

10、 1 2 p p u u u u u u 18 12 mmm 1 1 2 2 A A + D u u u u u u D 11 2 1 1 2 2 mm pm pm mp 2 u u u u u D A A D u 上式有一个假定，模型中的特殊因子是不重要的，因 而从 的分解中忽略了特殊因子的方差。 2 2 212 ( , , , )pdiag D其 中 22 1 m i ii ij j sa 19 注：残差矩阵 S A A D 其中 S为样本的协方差矩阵。 20 （二）主因子法 主因子方法是对主成分方法的修正，假定我 们首先对变量进行标准化变换。则 R=AA+D R*=AA=R-D 称 R*

11、为约相关矩阵， R*对角线上的元素是 , 而不是 1。 2ih 21 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 2 12 p p p p p h r r r h r R r r h R - D 直接求 R*的前 p个特征根和对应的正交特征向量。得如下 的矩阵： * * * * * * 1 1 2 2 pp A u u u * * *1 0p R 特 征 根 ： * * *12, , , pu u u正 交 特 征 向 量 ： 22 2 1 2 2 2 p RR 当特殊因子 的方差不为且 已知的 ， 问题非常好解决 。 i * 11 * * * * * * * 22 1 1 2 2 * pp pp

12、 u u u u u u 23 * * * * * * 1 1 2 2 mm A u u u2 1 2 1 1 0 0 p h h D 24 在实际的应用中 ， 个性方差矩阵一般都是未知的 ， 可以通过一组样本来估计 。 估计的 方法有如下几种 ： 首先，求 的初始估计值，构造出 2ih *R 1） 取 ，在这个情况下主因子解与主成分解等 价； 2）取 ， 为 xi与其他所有的原始变量 xj的复 相关系数的平方，即 xi对其余的 p-1个 xj的回归方程的 判定系数，这是因为 xi 与公共因子的关系是通过其余 的 p-1个 xj 的线性组合联系起来的； 12 ih 22 ii Rh 2iR 2

13、5 2） 取 ， 这意味着取 xi与其余的 xj 的简单相关系数的绝对值最大者； )(|m a x 2 ijrh iji 4） 取 ， 其中要求该值为正数 。 p jij iji rph ,1 2 1 1 5） 取 ， 其中 是 的对角元素 。 iii rh /12 iir 1R 28 例 假定某地固定资产投资率 ，通货膨胀率 ， 失业率 ，相关系数矩阵为 试用主成分分析法求因子分析模型。 1x 2x 3x 15/25/1 5/215/1 5/15/11 29 特征根为 ： 55.11 85.02 6.03 6.07 0 7.085.03 3 1.055.16 2 9.0 6.07 0 7.0

14、85.03 3 1.055.16 2 9.0 085.08 8 3.055.14 7 5.0 A 7 0 7.03 3 1.06 2 9.0 7 0 7.03 3 1.06 2 9.0 08 8 3.04 7 5.0 U 5 4 8.03 0 5.07 8 3.0 5 4 8.03 0 5.07 8 3.0 08 1 4.05 6 9.0 30 可取前两个因子 F1和 F2为公共因子，第一公因子 F1物价就业因子，对 X的贡献为 1.55。第一公因子 F2 为投资因子，对 X的贡献为 0.85。共同度分别为 1， 0.706， 0.706。 211 8 1 4.05 6 9.0 FFx 321

15、2 5 4 8.03 0 5.07 8 3.0 FFFx 3213 548.0305.0783.0 FFFx 31 假定某地固定资产投资率 ，通货膨胀率 ，失业率 ， 相关系数矩阵为 试用主因子分析法求因子分析模型。假定用 代替初始的 。 。 1x 2x 3x 15/25/1 5/215/1 5/15/11 )(|m a x 2 ijrh iji 2ih 52,1,51 232221 hhh 221 251 111 5 1 5/25/25/1 5/215/1 5/15/15/1 *R 32 特征根为 ： 9123.01 0 8 7 7.02 03 对应的非零特征向量为： 261.0657.0

16、261.0657.0 929.0369.0 0 8 7 7.02 6 1.09 1 2 3.06 5 7.0 0 8 7 7.02 6 1.09 1 2 3.06 5 7.0 0 8 7 7.09 2 9.09 1 2 3.03 6 9.0 0 7 7.06 2 8.0 0 7 7.06 2 8.0 2 7 5.03 5 2.0 33 1211 275.0352.0 FFx 2212 077.0625.0 FFx 3211 0 7 7.06 8 2.0 FFx 新的共同度为： 18 12 9.027 5.35 2.0 2221 oh 39 66.007 7.062 5.0 2222 h 4 7

17、1 0.00 77.06 82.0 2223 h 34 4 因子旋转（正交变换） 建立了因子分析数学目的不仅仅要找出公共因子以 及对变量进行分组 ， 更重要的要知道每个公共因子的 意义 ， 以便进行进一步的分析 ， 如果每个公共因子的 含义不清 ， 则不便于进行实际背景的解释 。 由于因子 载荷阵是不惟一的 ， 所以应该对因子载荷阵进行旋转 。 目的是使因子载荷阵的结构简化 ， 使载荷矩阵每列或 行的元素平方值向 0和 1两极分化 。 有三种主要的正交 旋转法 。 四次方最大法 、 方差最大法 和等量最大法 。 （一）为什么要旋转因子 35 百米跑成绩 跳远成绩 铅球成绩 跳高成绩 400米跑

18、成绩 百米跨栏 铁饼成绩 撑杆跳远成绩 标枪成绩 1500米跑成绩 1X 2X 3X 4X 5X 6X 7X 8X 9X 10X 奥运会十项全能运动项目 得分数据的因子分析 36 102.017.002.001.039.018.008.009.007.0 124.034.018.013.017.044.021.011.0 124.033.023.039.024.036.020.0 132.017.027.073.031.028.0 134.046.036.052.040.0 129.019.049.063.0 138.051.034.0 142.035.0 159.0 1 37 变量 共同度

19、0. 691 0 . 2 1 7 - 0 . 5 8 - 0 . 2 0 6 0 . 8 4 0. 789 0 . 1 8 4 - 0 . 1 9 3 0 . 0 9 2 0 . 7 0. 702 0 . 5 3 5 0 . 0 4 7 - 0 . 1 7 5 0 . 8 0. 674 0 . 1 3 4 0 . 1 3 9 0 . 3 9 6 0 . 6 5 0. 62 0 . 5 5 1 - 0 . 0 8 4 - 0 . 4 1 9 0 . 8 7 0. 687 0 . 0 4 2 - 0 . 1 6 1 0 . 3 4 5 0 . 6 2 0. 621 - 0 . 5 2 1 0 .

20、1 0 9 - 0 . 2 3 4 0 . 7 2 0. 538 0 . 0 8 7 0 . 4 1 1 0 . 4 4 0 . 6 6 0 . 4 3 4 - 0 . 4 3 9 0 . 3 7 2 - 0 . 2 3 5 0 . 5 7 0 . 1 4 7 0 . 5 9 6 0 . 6 5 8 - 0 . 2 7 9 0 . 8 9 1 F 2 F 3 F 4 F 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 7 X 8 X 9 X 10 X 因子载荷矩阵可以看出，除第一因子在所有的变量在公共因子 上有较大的正载荷，可以称为一般运动因子。其他的 3个因子不太 容易解释。似乎是跑和投掷的

21、能力对比，似乎是长跑耐力和短跑速 度的对比。于是考虑旋转因子，得下表 38 变量 共同度 0. 844 * 0 . 1 3 6 0 . 1 5 6 - 0 . 1 1 3 0 . 8 4 0. 631 * 0 . 1 9 4 0 . 5 1 5 * - 0 . 0 0 6 0 . 7 0. 243 0 . 8 2 5 * 0 . 2 2 3 - 0 . 1 4 8 0 . 8 1 0. 239 0 . 1 5 0 . 7 5 0 * 0 . 0 7 6 0 . 6 5 0. 797 * 0 . 0 7 5 0 . 1 0 2 0 . 4 6 8 0 . 8 7 0. 404 0 . 1 5 3

22、 0 . 6 3 5 * - 0 . 1 7 0 . 6 2 0. 186 0 . 8 1 4 * 0 . 1 4 7 - 0 . 0 7 9 0 . 7 2 - 0. 036 0 . 1 7 6 0 . 7 6 2 * 0 . 2 1 7 0 . 6 6 - 0 . 0 4 8 0 . 7 3 5 * 0 . 1 1 0 . 1 4 1 0 . 5 7 0 . 0 4 5 - 0 . 0 4 1 0 . 1 1 2 0 . 9 3 4 * 0 . 8 9 1 F 2 F 3 F 4 F 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 7 X 8 X 9 X 10 X 39 通过旋转 ， 因子

23、有了较为明确的含义 。 百米跑 ， 跳远和 400米跑 ， 需要爆发力的项目在 有较大的 载荷 ， 可以称为短跑速度因子； 铅球 ， 铁饼和 标枪在 上有较大的载荷 ， 可以 称为爆发性臂力因子； 百米跨栏 ， 撑杆跳远 ， 跳远和为 跳高在 上 有较大的载荷 ， 爆发腿力因子； 长跑耐力因子 。 2X 5X 1F 1F 3X 7X 9X 2F 6X 8X 2X 4X 3F 3F 4F 1X 40 变换后因子的共同度 设 正交矩阵，做正交变换 AB )()( 1 ml ljilppij ab B mj mj ml ljiliji abh 1 1 1 222 )()( B m j m l m j

24、 m l m lj t tjljitilljil aaa 1 1 1 1 1 22 )(21 1 1 222 Aiml mj ml illjil haa 变换后因子的共同度没有发生变化！ （二）旋转方法 41 变换后因子贡献 设 正交矩阵，做正交变换 AB )()( 1 ql ljilppij ab B pi pi ql ljilijj abS 1 1 1 222 )()( B p i q l p i q l q lt t tjljitilljil aaa 1 1 1 1 1 22 pi ql ql ljjljil Sa1 1 1 2222 )( A 变换后因子的贡献发生了变化！ 42 1、方

25、差最大法 方差最大法从简化因子载荷矩阵的每一列出发，使和每个因子 有关的载荷的平方的方差最大。当只有少数几个变量在某个因子 上又较高的载荷时，对因子的解释最简单。 方差最大的直观意义 是希望通过因子旋转后，使每个因子上的载荷尽量拉开距离，一 部分的载荷趋于 1，另一部分趋于 0。 21 2221 1211 pp aa aa aa A 2211 2221212 2121111 FaFaX FaFaX FaFaX ppp 43 c o ss i n s i nc o sT设旋转矩阵为： coss i n s i ncosAATB则 c o ss i ns i nc o s c o ss i ns

26、i nc o s 1121 12111211 pppp aaaa aaaa * 2 * 1 * 12 * 11 pp aa aa 44 1 , 2 , , ; 1 , 2ijij i ad i p j h 令 2 1 1 (p j ij i ddp 这 是 列 和 ） m a x)()( 1 21 2 mj pi jij ddV 简化准则为： 00 V 令 ， 则 可 以 解 出 00 00 c o ss i n s i nc o s T旋转矩阵为： m a x ( 8.4 .2)1 2 3 m即 ： V +V +V +V 45 1 0 0 0 c o s sin 0 sin c o s T

27、1 0 0 0 c os sin 0 sin c os T 1 1 1 TT 49 5 因子得分 （一）因子得分的概念 前面我们主要解决了用公共因子的线性组合来表示一 组观测变量的有关问题 。 如果我们要使用这些因子做其他 的研究 ， 比如把得到的因子作为自变量来做回归分析 ， 对 样本进行分类或评价 ， 这就需要我们对公共因子进行测度 ， 即给出公共因子的值 。 50 人均要素变量因子分析 。 对我国 32个省市自治区的要素状 况作因子分析 。 指标体系中有如下指标： X1 ：人口（万人） X2 ：面积（万平方公里） X3 ： GDP（亿元） X4 ：人均水资源（立方米 /人） X5：人均生

28、物量（吨 /人） X6：万人拥有的大学生数（人） X7：万人拥有科学家、工程师数（人） Rotated Factor Pattern FACTOR1 FACTOR2 FACTOR3 X1 -0.21522 -0.27397 0.89092 X2 0.63973 -0.28739 -0.28755 X3 -0.15791 0.06334 0.94855 X4 0.95898 -0.01501 -0.07556 X5 0.97224 -0.06778 -0.17535 X6 -0.11416 0.98328 -0.08300 X7 -0.11041 0.97851 -0.07246 51 高载荷指

29、标 因子命名 因子 1 X2；面积 （ 万平方公里 ） X4:人均水资源 （ 立方米 /人 ） X5:人均生物量 （ 吨 /人 ） 自然资源因子 因子 2 X6：万人拥有的大学生数 （ 人 ） X7：万人拥有的科学家 、 工程师数 （ 人 ） 人力资源因子 因子 3 X1;人口 （ 万人 ） X3:GDP(亿元 ) 经济发展总量因子 X1=-0.21522F1-0.27397F2+0.89092F3 X2=0.63973F1-0.28739F2-0.28755F3 X3=-0.15791F1+0.06334F2+0.94855F3 X4=0.95898F1-0.01501F2-0.07556F

30、3 X5=0.97224F1-0.06778F2-0.17535F3 X6=-0.11416F1+0.98328F2-0.08300F3 X7=-0.11041F1+0.97851F2-0.07246F3 52 Standardized Scoring Coefficients FACTOR1 FACTOR2 FACTOR3 X1 0.05764 -0.06098 0.50391 X2 0.22724 -0.09901 -0.07713 X3 0.14635 0.12957 0.59715 X4 0.47920 0.11228 0.17062 X5 0.45583 0.07419 0.1012

31、9 X6 0.05416 0.48629 0.04099 X7 0.05790 0.48562 0.04822 F1=0.05764X1+0.22724X2+0.14635X3+0.47920X4+0.45583X5+0.05416X6+0.05790X7 F2=-0.06098X1-0.09901X2+0.12957X3+0.11228X4+0.07419X5+0.48629X6+0.48562X7 F3=0.50391X1-0.07713X2+0.59715X3+0.17062X4+0.10129X5+0.04099X6+0.04822X7 53 REGION FACTOR1 FACTOR

32、2 FACTOR3 beijing -0.08169 4.23473 -0.37983 tianjin -0.47422 1.31789 -0.87891 hebei -0.22192 -0.35802 0.86263 shanxi1 -0.48214 -0.32643 -0.54219 neimeng 0.54446 -0.66668 -0.92621 liaoning -0.20511 0.46377 0.34087 jilin -0.21499 0.10608 -0.57431 heilongj 0.10839 -0.11717 -0.02219 shanghai -0.20069 2.

33、38962 -0.04259 前三个因子得分 54 因子分析的数学模型为： mpmpp m m n F F F X X X 2 1 21 22221 11211 2 1 原变量被表示为公共因子的线性组合，当载荷矩阵旋 转之后，公共因子可以做出解释，通常的情况下，我们还 想反过来把公共因子表示为原变量的线性组合。 因子得分函数： pjpjj XXF 11 mj ,1 可见 ， 要求得每个因子的得分 ， 必须求得分函数的系数 ， 而由于 pm， 所以不能得到精确的得分 ， 只能通过估计 。 55 1、 巴特莱特因子得分 (加权最小二乘法） 把 看作因变量；把因子载荷矩阵 看成自变量的观测；把某个个

34、案的得分 看着最小二乘 法需要求的系数 。 iix pmpp m m 21 22221 11211 ijF 1) 巴特莱特因子得分计算方法的思想 56 mmpmpppip mmi mmi fafafax fafafax fafafax 2211 2222212122 1121211111 由于特殊因子的方差相异 ， 所以用加权最小二乘法求 得分 ， 每个各案作一次 ， 要求出所有样品的得分 ， 需 要作 n次 。 pj imimiiiij fafafax1 222211 /)()( 1 , mff使 上 式 最 小 的 是 相 应 个 案 的 因 子 得 分 。 57 用矩阵表达： x- =

35、A F + 1( ) ( ) m in x- A F D x - AF 满足上式的 F是相应个案的因子得分。 2 1 1 2 2 0 0 D其 中 58 1 1 1 D ( x - ) = D A F + D 1 - 1 - 1A D ( x - ) = A D A F + A D - 1 - 1A D ( x - ) = A D A F 1 - 1 - 1A D A A D ( x - ) = F 1( ) ( ) 0 x- A F D x - AFF 12 ( ) 0 A D x - AF 1 ( ) 0AD 59 2）得分估计的无偏性 如果将 f和 不相关的假定加强为相互独立，则 1 (

36、E - 1 - 1A D A A D A F + /F ) 1 ) / )EE - 1 - 1( F /F A D A A D ( x - )F 1 - 1 - 1A D A A D A F 11 -1A D A A D A FF 60 3） F 的 估 计 精 度 1 ()FF - 1 - 1A D A A D A F + F 1 - 1 - 1A D A A D ()E F - F ) ( F - F 11E - 1 - 1 - 1 - 1A D A A D D A A D A 11 - 1 - 1 - 1 - 1A D A A D D D A A D A 1 -1A D A 61 2、回

37、归 方法 nmnmnn m m n F F F X X X 2 1 2 1 21 22221 11211 2 1 pjpjj XbXbF 11 mj ,1 mmpmm p p bbb bbb bbb b b b 2 1 21 22221 11211 1) 思想 62 )( jiFxij FXEji )( 11 pjpji XbXbXE ipjpij bb 11 jp j j ipii b b b rrr 2 1 21 则 ， 我们有如下的方程组： 63 pj j j jp j j pppp p p a a a b b b 2 1 2 1 21 22221 11211 j=1,2, ,m 矩阵为

38、原始变量的相关系数 pppp p p 21 22221 11211 64 个因子得分函数的系数为第 j b b b jp j j 2 1 列为载荷矩阵的第 j a a a pj j j 2 1 注：共需要解 m次才能解 出 所有的得分函数的系数。 65 矩阵表示方法 在因子模型中，假设 服从（ m+p) 元的正态分布，有 F () () EE E F F 0 xx VE FF F x - x x - 66 ( ) ( ) () EE EE F F F x - x- F x - x- () () IE E F x - x- F () () IE E F A F + A F + F IA A 67

39、 ()E - 1 - 1 2F /x - A +A x 21xx这 是 一 个 对 于 给 定 的 的 多 元 回 归 模 型 。 1 ()A x 1 2 2( ) (E - 1 - 11 1 2 2 2 1 2 2 2 2x /x - )+ x 1 F A ( A A + D ) ( x - )可 见 68 2）估计的有偏性 11 ( ) ( )E F - F ) ( F - F I + A D A 3）平均预报误差 11()E F /F F - ( I + A D A ) F 69 国民生活质量的因素分析 国家发展的最终目标 ， 是为了全面提高全体国民的生活 质量 ， 满足广大国民日益增长

40、的物质和文化的合理需求 。 在 可持续发展消费的统一理念下 ， 增加社会财富 ， 创自更多的 物质文明和精神文明 ， 保持人类的健康延续和生生不息 ， 在 人类与自然协同进化的基础上 ， 维系人类与自然的平衡 ， 达 到完整的代际公平和区际公平 (即时间过程的最大合理性与空 间分布的最大合理化 )。 从 1990年开始 ， 联合国开发计划署 (UYNP)首次采用 “ 人文 发展系数 ” 指标对于国民生活质量进行测度 。 人文发展系数 利用三类内涵丰富的指标组合 ， 即人的健康状况 (使用出生时 的人均预期寿命表达 )、 人的智力程度 (使用组合的教育成就 表达 )、 人的福利水平 (使用人均国

41、民收入或人均 GDP表达 )， 并且特别强调三类指标组合的整体表达内涵 ， 去衡量一个国 家或地区的社会发展总体状况以及国民生活质量的总水平 。 70 在这个指标体系中有如下的指标： X1预期寿命 X2成人识字率 X3综合入学率 X4人均 GDP（ 美圆 ） X5预期寿命指数 X6教育成就指数 X7人均 GDP指数 71 旋转后的因子结构 Rotated Factor Pattern FACTOR1 FACTOR2 FACTOR3 X1 0.38129 0.41765 0.81714 X2 0.12166 0.84828 0.45981 X3 0.64803 0.61822 0.22398 X

42、4 0.90410 0.20531 0.34100 X5 0.38854 0.43295 0.80848 X6 0.28207 0.85325 0.43289 X7 0.90091 0.20612 0.35052 FACTOR1为经济发展因子 FACTOR2为教育成就因子 FACTOR3为健康水平因子 72 被每个因子解释的方差和共同度 Variance explained by each factor FACTOR1 FACTOR2 FACTOR3 2.439700 2.276317 2.009490 Final Communality Estimates: Total = 6.725507

43、 X1 X2 X3 X4 X5 0.987530 0.945796 0.852306 0.975830 0.992050 X6 X7 0.994995 0.976999 73 Standardized Scoring Coefficients标准化得分系数 FACTOR1 FACTOR2 FACTOR3 X1 -0.18875 -0.34397 0.85077 X2 -0.24109 0.60335 -0.10234 X3 0.35462 0.50232 -0.59895 X4 0.53990 -0.17336 -0.10355 X5 -0.17918 -0.31604 0.81490 X6

44、-0.09230 0.62258 -0.24876 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 0 9 2 3 0.01 7 9 1 8.05 3 9 9.0 3 5 4 6 2.02 4 1 0 9.01 8 8 7 5.01 xxx xxxf * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 6 2 2 5 8.03 1 6 0 4.01 7 3 3 6.0 5 0 2 3 2.06 0 3 3 5.03 4 3 9 7.02 xxx xxxf * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 24876.081490.010335.0 59895.010234.085077.03 xxx

45、 xxxf 74 生育率的影响因素分析 生育率受社会、经济、文化、计划生育政策等很多 因素影响，但这些因素对生育率的影响并不是完全独立 的，而是交织在一起，如果直接用选定的变量对生育率 进行多元回归分析，最终结果往往只能保留两三个变量， 其他变量的信息就损失了。因此，考虑用因子分析的方 法，找出变量间的数据结构，在信息损失最少的情况下 用新生成的因子对生育率进行分析。 选择的变量有：多子率、综合节育率、初中以上文化 程度比例、城镇人口比例、人均国民收入。下表是 1990 年中国 30个省、自治区、直辖市的数据。 75 多子率（ % ） 综合节育率（ % ） 初中以上文化程度比例（ % ） 人均

46、国民收入（元） 城镇人口比例（ % ） 0.94 89.89 64.51 3577 73.08 2.58 92.32 55.41 2981 68.65 13.46 90.71 38.2 1148 19.08 12.46 90.04 45.12 1124 27.68 8.94 90.46 41.83 1080 36.12 2.8 90.17 50.64 2011 50.86 8.91 91.43 46.32 1383 42.65 8.82 90.78 47.33 1628 47.17 0.8 91.47 62.36 4822 66.23 5.94 90.31 40.85 1696 21.24 2

47、.6 92.42 35.14 1717 32.81 7.07 87.97 29.51 933 17.9 14.44 88.71 29.04 1313 21.36 15.24 89.43 31.05 943 20.4 3.16 90.21 37.85 1372 27.34 9.04 88.76 39.71 880 15.52 12.02 87.28 38.76 1248 28.91 11.15 89.13 36.33 976 18.23 22.46 87.72 38.38 1845 36.77 24.34 84.86 31.07 798 15.1 33.21 83.79 39.44 1193 2

48、4.05 4.78 90.57 31.26 903 20.25 21.56 86 22.38 654 19.93 14.09 80.86 21.49 956 14.72 32.31 87.6 7.7 865 12.59 11.18 89.71 41.01 930 21.49 13.8 86.33 29.69 938 22.04 25.34 81.56 31.3 1100 27.35 20.84 81.45 34.59 1024 25.82 39.6 64.9 38.47 1374 31.91 76 Eigenvalue Difference Proportion Cumulative 3.24

49、917597 2.03464291 0.6498 0.6498 1.21453306 0.96296800 0.2429 0.8927 0.25156507 0.06743397 0.0503 0.9431 0.18413109 0.08353629 0.0368 0.9799 0.10059480 0.0201 1.0000 特征根与各因子的贡献 77 Factor1 Factor2 x1 -0.76062 0.55316 x2 0.56898 -0.76662 x3 0.89184 0.25374 x4 0.87066 0.34618 x5 0.89076 0.36962 没有旋转的因子结

50、构 78 Factor1可解释方差 Factor2可解释方差 2.9975429 2.1642615 各旋转后的共同度 0.88454023 0.91143998 0.85977061 0.87789453 0.93006369 79 在这个例子中我们得到了两个因子，第一个因子是社会经济 发展水平因子，第二个是计划生育因子。有了因子得分值后，则 可以利用因子得分为变量，进行其他的统计分析。 Factor1 Factor2 x1 -0.35310 -0.87170 x2 0.07757 0.95154 x3 0.89114 0.25621 x4 0.92204 0.16655 x5 0.9514

51、9 0.15728 Factor1 Factor2 x1 -0.05897 -0.49252 x2 -0.05805 0.58056 x3 0.33042 0.03497 x4 0.35108 -0.02506 x5 0.36366 -0.03493 方差最大旋转后的因子结构 标准化得分函数 80 6 因子分析的步骤、展望和建议 计算所选原始变量的相关系数矩阵 相关系数矩阵描述了原始变量之间的相关关系。可以 帮助判断原始变量之间是否存在相关关系，这对因子分析 是非常重要的，因为如果所选变量之间无关系，做因子分 析是不恰当的。并且相关系数矩阵是估计因子结构的基础。 选择分析的变量 用定性分析和定

52、量分析的方法选择变量，因子分析的前 提条件是观测变量间有较强的相关性，因为如果变量之间 无相关性或相关性较小的话，他们不会有共享因子 ,所以 原始变量间应该有较强的相关性。 一、 因子分析通常包括以下五个步骤 81 提取公共因子 这一步要确定因子求解的方法和因子的个数。需要 根据研究者的设计方案或有关的经验或知识事先确 定。因子个数的确定可以根据因子方差的大小。只 取方差大于 1(或特征值大于 1)的那些因子，因为方 差小于 1的因子其贡献可能很小；按照因子的累计方 差贡献率来确定，一般认为要达到 60才能符合要 求； 因子旋转 通过坐标变换使每个原始变量在尽可能少的因子之 间有密切的关系，这

53、样因子解的实际意义更容易解 释 ,并为每个潜在因子赋予有实际意义的名字。 82 计算因子得分 求出各样本的因子得分，有了因子得分值， 则可以在许多分析中使用这些因子，例如以 因子的得分做聚类分析的变量，做回归分析 中的回归因子。 83 因子分析是十分主观的，在许多出版的资料 中，因子分析模型都用少数可阐述因子提供了 合理解释。实际上，绝大多数因子分析并没有 产生如此明确的结果。不幸的是，评价因子分 析质量的法则尚未很好量化，质量问题只好依 赖一个 “哇！”准则 如果在仔细检查因子分析的时候，研究人员 能够喊出“哇，我明白这些因子”的时候，就可 看着是成功运用了因子分析方法。 84 补充：变量聚

54、类分析 一 、 简介 在实际工作中 ， 变量聚类的应用也十分重要 。 在系统分析或评估过程中 ， 为了避免某些重要 因素的遗漏 ， 人们往往在一开始选取指标时 ， 尽可能多地考虑所有的相关因素 。 而这样做的 结果 ， 则是变量过多 ， 变量相关度高 ， 给系统 分析与建模带来很大的不便 。 因此 ， 人们常常 希望能研究变量间的相似关系 ， 按照变量的相 关关系把他们聚合为若干类 ， 从而观察和解释 影响系统的主要原因 。 85 SAS/VARCLUS过程试图把一组变量 分为不重叠的一些类 ， 所以 VARCLUS过 程可以用来压缩变量 ， 用信息损失很少 的类分量来代替含有很多变量的变量集

55、 。 例如 ， 一种教育情况的检查可能包括有 50项指标 ， VARCLUS分析将这些项分为 几类 ， 比如 5个类 ， 每类做部分检查 ， 检 查类分量的得分 。 86 二 、 变量聚类的步骤 VARCLUS过程开始把所有变量看为一个类 ,然后重复下 面的步骤 : 1、 首先挑选一个将被分裂的类 VARCLUS过程首先找出该大类的第一和第二公共因子 ， 这两个公共因子经过正交坐标变换 ， 即因子分析中常用 的 Quartimax（ 四次方最大方法 ， 按行简化因子载荷矩阵 每行的结构 ） 旋转 ， 让原始变量仅仅在一个公共因子上有 高载荷 。 变量被指定归入一个与其相关系数的平方较高的 公共因子 。 如此原有的大类被分裂为二 。 87 2、变量重新归类 两个（或两个以上的）之中的一个类被选中，照 第一步的方法再分裂为二。这个被选中的类通常拥有 最大的第二特征根，或者是拥有最小的可被类向量解 释的变异数百分比。 3、第一步和第二步不停的交互进行， 直至类内 变量之间的第二特征根或可被类向量解释的变异数百 分比达到预设定的标准为止。