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1、导数的几何意义 回顾 平均变化率 f x 1 21 ) ( ) fx xx 2f(x 函数 y=f(x)的定义域为 D,x1.x2D,f(x) 从 x1到 x2 平均变化率为 : 割线的斜率 O A B x y Y=f(x) x1 x2 f(x1) f(x2) x2-x1= x f(x2)-f(x1)= y f k x 1 21 ) ( ) fx xx 2f(x 回顾 (3)函数 y=f(x)在 x=x0处的瞬时变化率是 函数 y=f(x)在 x= 处的 导数 00 0 00 ( ) ( )( ) ,l i m l i m xx f x f ff xx xxx 0 x 由导数的意义可知 ,求函
2、数 y=f(x)在点 x0处的 导数的基本步骤是 : 00( 1 ) ( ) ( ) ;y f x x f x 求 函 数 的 增 量 00( ) ( )( 2 ) ;f x x f xy xx 求 平 均 变 化 率 0 0( 3 ) ( ) l im .x yfx x 取 极 限 ， 得 导 数 注意 :这里的增量不是一般意义上的增量 ,它可正也可负 . 自变量的增量 x的形式是多样的 ,但不论 x选择 哪种形式 , y也必须选择与之相对应的形式 . 回 顾 平面几何中我们是怎 样判断直线是否是圆 的切线的呢 ？ l2 l1 A B 0 x y 直线 l1与曲线 C有唯一公共点 B， 但我
3、们不能说 l1与曲线 C相切 直线 l2与曲线 C有不止一个公共点 A，我们能说 l2是曲线 C在点 A处 的切线 、 如图直线 是曲线的切线吗？ 那么对于一般的曲线， 曲线切线该如何寻找 呢？ y=f(x) P Q M x y O x y 如图 ,曲线 C是函数 y=f(x) 的图象 ,P(x0,y0)是曲线 C上的 任意一点 ,Q(x0+ x,y0+ y) 为 P邻近一点 ,PQ为 C的割线 , PM/x轴 ,QM/y轴 ,为 PQ的 倾斜角 . .t an ,: x y yMQxMP则 y x 请 问 ： 是 割 线 PQ 的 什 么 ? 斜率 ! P Q o x y y=f(x) 割
4、线 切线 T 请看当点 Q沿着曲线逐渐向点 P接近时 ,割线 PQ绕着 点 P逐渐转动的情况 . 我们发现 ,当点 Q沿着曲线无限接近点 P即 x 0时 ,割线 PQ如果有一个极限位置 PT.则我 们把直线 PT称为曲线在点 P处的 切线 . 导数的几何意义 : 函数在 x0处的导数的几何意义 : 曲线 y=f(x)在 (x0,f(x0) )点处的导数等于切线的斜率 即 : 00 0 00 ( ) ( ) ( ) l im l im xx f x x f xy k f x xx 切 线 这个概念 : 提供了求曲线上某点切线的斜率的一 种方法 ; 切线斜率的本质 函数在 x=x0处的导数 . 例
5、 1:求曲线 y=f(x)=x2+1在点 P(1,2)处的切线方程 . Q P y = x 2 +1 x y - 1 1 1 O j M y x .2 )(2 lim )11(1)1( lim )1(: 2 0 2 0 x xx x x fk x x 解 因此 ,切线方程为 y-2=2(x-1), 即 y=2x. 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤 : 求出 P点的坐标 ; 利用切线斜率的定义求 出切线的斜率 ; 利用点斜式求切线方程 . 练习 求函数 在 x=1处的切线方程 。 32)( xxf 例 2.在曲线 y=x2上过哪一点的切线 1.平行于直线 y=4x-5 2.垂直于直线 2x-6y+5=0 练习 2、 曲线 上哪一点的切 线与直线 平行 ？ 2 2 3 xy 13 xy ： （ 1）求出函数在点 x0处的 得到曲线 在点 (x0,f(x0)的切线的斜率。 （ 2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即 ).)()( 000 xxxfxfy 2.求切线方程的步骤： 小结 : )( 0 xf 即 : 00 0 00 ( ) ( )( ) l im l im xx f x x f xyk f x xx 切 线 1.函数在 处的导数的几何意义 : 0 x
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