实数讲义

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1、 暑期讲义-实数第一讲：平方根与立方根【知识要点】平方根立方根n次方根定义 及表示方法若，则就叫做的平方根（也叫做二次方根）记为，其中表示正的平方根，叫做的算术平方根，读作“根号”；表示负的平方根。 若，则就叫做的立方根（也叫做三次方根）记为“”，读作“三次根号”。 如果一个数的次方等于，即，那么这个数x就叫做的次方根.当为偶数时，记为；当为奇数时，记为 ，读作“次根号”。基本性质一个正数有两个平方根，它们互为相反数；负数的没有平方根；零有一个平方根，它是零本身。任意数都只有一个立方根；正数有一个正的立方根；负数有一个负的立方根；零的立方根是零1 正数的偶次方根有两个，它们互为相反数；负数没有

2、偶次方根；任何实数的奇次根有且只有一个，且与同正负。0的任何次方根都为0。求次方根及其小数点移动规律求一个数的平方根的运算，叫做开平方，如果被开方数的小数点向左（向右）移动两位，则它的平方根小数点就相应地向右（或向左）移动一位。 求一个数的立方根的运算叫开立方，如果被开方数的小数点向左（或向右）移动三位，则立方根的小数点向右（或向左）移动一位。 求一个数的次方根的运算叫开次方，如果被开方数的小数点向左（或向右）移动n位，则立方根的小数点向右（或向左）移动一位。【典例解析】知识点一：平方根和算术平方根的求法例：求下列各数的平方根与算术平方根；变式训练：.知识点二：平方根性质的应用例：下列各数有平

3、方根吗？如果有，求出它们的平方根；如果没有，说明理由。（1）； （2）； （3）0； （4）变式训练：某数的平方根是和，求这个数。知识点三：立方根定义的识别和立方根的求法例：求下列各数的立方根（1）； （2）； 变式训练：求的立方根。知识点四：平方根与立方根的综合应用例：已知的立方根是3，求的平方根与算术平方根变式训练：1、已知是的立方根，而是的算术平方根，求 的平方根。2、已知，。 （1）求、的值。 （2）若，求，的值。知识点五：算术平方根的非负性质的应用例：为何值时，下列各式有意义（1） （2）变式训练：1、已知实数、满足，求的值2、已知x、y为实数，且，求的平方根【课堂练习】 1一个自然

4、数的算术平方根为a，则下一个自然数的平方根为 。 2如果的平方根是等于2，则= 。 3如果，那么a的取值范围为 。 4= ，若则= . 5若且,则的值是（ ）A、-2 B、4 C、-1或-5 D、2或4 7若a是的平方根，则=( )A、-3 B、 C、 D、3 8.若则xy的值等于（ ）A、-6 B、-2 C、2 D、69.求下列各式中的取值范围。（1） （2）10.是的整数部分，是的整数部分，则_。11.与互为相反数，求ab的值12.已知，且求的值。13.求值： 28、求值：【巩固练习】1计算下列各题： （1）； （2）2已知=45，求的算术平方根。3.解方程 （1） （2） 4已知=， 求

5、（1）、的值 （2）若，求x、y、z的值。5已知，求的值。6.甲乙二人计算+的值，当的时候，得到下面不同的答案：甲的解答：a+=+=乙的解答：a+=+=哪一个解答是正确的？错误的解答错在哪里？为什么？第二讲：实数【知识要点】一、实数：有理数和无理数统称为实数。1、实数有以下两种分类方法： （1）按定义分类 （2）按大小分类2、实数中的倒数、相反数、绝对值概念和有理数一样，例如的相反数为，倒数为，的绝对值为。3、实数与数轴上点的关系： 实数和数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都可以用一个实数表示。4、实数的运算： （1）关于有理数的运算律和

6、运算性质，在实数范围内仍适用。 （2）涉及无理数的计算，可根据问题的要求取其近似值，转化为有理数进行计算。二、二次根式：一般地，式子叫做二次根式，其中叫做被开方数。1、二次根式的性质： （1）；（2）； 2、最简二次根式： （1）被开方数的因数是整数，因式是整式。即被开方数不含有分母。 （2）被开方数中不含有能开尽方的因数或因式。即被开方数中每个因数或因式的指数都小于根指数2。3、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式。4、二次根式的运算：（1）二次根式的运算法则： ； ； ； ；（2）分母有理化（3）二次根式的混合运算三、非负性及应

7、用：1、非负数包括正数和零2、常见的非负数有实数的绝对值，实数的偶次方，非负实数的算术平方根等，用符号表示如下： 若a是实数，则； 若a是实数，则（n为正整数），当n=1时，a20； （n为正整数）在实数范围内有意义，则，此时；3、非负数有如下性质： 有限个非负数之和是非负数；有限个非负数之和是零，则每一个非负数是零。【典例解析】知识点一：无理数的识别与估算方法例：实数3.14，0.10110111011110，中，哪些是有理数，哪些是无理数？变式训练：1、估算的值（ ）A在5和6之间 B.在6和7之间 C.在7和8之间 D.在8和9之间知识点二：实数的大小比较方法例：较大小：7_（填“”“”

8、或“” ）变式训练：1、已知，则、的大小关系为_2、比较大小：当实数时，_.（填“”或“” ）知识点三：实数有数轴的关系例：右图：数轴上点A表示的数为x，则x213的立方根是（ ）A.13 B.13 C.2 D.2知识点四：数的运算例：；变式训练：1、。2、；3、； 知识点五：实数性质的使用例：化简： ；变式训练：1、 实数a，b在数轴上所对应的点的位置如图所示，则2a_0；ab_0；ba_0；2aab_。 变式训练：1、已知，求的值。2、已知的整数部分为，小数部分为，则=_【课堂检测】1、在中，属于有理数的是 _属于无理数的是 _2、（1） ； 。 （2） 。 （3）若= 。 （4）计算 。

9、3、比较大小（1） （2） 。 4、下列语句中正确的是（ ） A无理数是带根号的数，其根号下的数字开方开不尽； B8的立方根是2； C绝对值等于的实数是； D每一个实数都有数轴上的一个点与它对应。 5、与相乘，结果为1的数是（ ） ABCD6、下列计算正确的是（ ） A B C.D7、数轴上表示实数的点在表示的点的左边，则式子的值是（ ） A正数B-1C小于-1D大于-18、化简，甲、乙两同学的解法如下：甲：； 乙：，对于他们的解法，正确的是（ ） A甲、乙的解法都正确B甲正确、乙不正确C甲、乙的解都错误 D.正确、甲不正确 9、计算或化简：（1）； （2）； （3）；（4）； （5）已知，求

10、（6）已知的值。10、已知y=+18,求代数式的值。11、细心观察右图和认真分析下列各式，然后解答问题：， ；， ；， ；（1）请用含的（为正整数）的等式表示上述变化的规律；（2）推算出 ， ； ， ；（3）求出的值。常用平方、立方表常用平方、立方表原数平方立方原数平方立方111111211331248121441728392713169219741664141962744525125152253375636216162564096749343172894913864512183245832981729193616859101001000204008000内容总结（1）第一讲：平方根与立方根【知识要点】【典例解析】知识点一：平方根和算术平方根的求法例：求下列各数的平方根与算术平方根（2）1、实数有以下两种分类方法： （1）按定义分类 （2）按大小分类2、实数中的倒数、相反数、绝对值概念和有理数一样，例如的相反数为，倒数为，的绝对值为10