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1、导数求函数的单调区间1 设函数 f (x ) = sin x 一 cos x + x + 1, 0 x 2n , 求函数f (x)的单调区间。n 解：由 f (x)=sinxcosx+x+l,0x2n ,知 f (x) = 1 + + 2sin (x + ).4n3n令f (x) = 0,从面 sin (x +)=,得x = n,或x =-422当x变化时，f (x), f (x)变化情况如下表:x(0, n )n(3)、n， 2 n 丿兀3 一 2(2 n，2 n )f (x)+00+f(x)单调递增n +2单调递减32 n单调递增/3n因此，由上表知f(x)的单调递增区间是(0, n)与(
2、，2n)，23n3n3n单调递增区间是(n，)，极小值为f()=，极大值为f(n ) = n+ 2 2 222已知 f ( x) =x3 - 6ax 2 + 9a2x ( a e R ). 求函数f (x)的单调递减区间; 解：f (x) = 3x2 - 12 ax + 9 a2 = 3( x - a)(x - 3 a) 0，不成立.(2) 当a 3a，即a 0时，单调减区间为(3a, a) (3) 当a 0时，单调减区间为(a, 3a) 3.已知函数 f(x) = x2 - ax - a ln( x -1)(a e R) 求函数 f(x) 的单调区间；a+22 x (x -)2x-1解：函数
3、 f(X)=Xaxaln(x-l)(aR)的定义域是(l,+8),af (x) = 2 x 一 a 一x-1a+2+ 22 x (x )若a0时，则 0在(1,+呵恒成立，所以只x)的增区间2x -1为(1, +8).若a0,贝U 1,故当X G1,f(x)=+s时，/(兀) 丿所以a0时/(x)的减区间为a + 21,， f(x) 的增区间为a + 2,+S1 2L 2 丿4 (2010 湖南文数 21).已知函数 f (x) = + x + (a - 1) ln x + 15 a,其中 aV0且 aH-1讨x论函数f (x)的单调性；解(I )珀的定义域为(0,+).1“ R 呼+ 1十
4、=书 Azll.(1) 当Ocxu 口时,/*(x)0； S - o jc I Bl, /*(x)0：当I时.故分别在(山-町* (U + )单调递增，在上单调递减+(2) 若仿 0,故fx)在(0,+s )单调增加；当aW1时，八x) V0,故f(x)在(0,+ s )单调减少;当一 1a 0;)单调增加，在(+S )时，广(x) 0 ；当 x e (-1,0)时，f (x) 0。故 f (x)在(-8 , -1)，(0, +x)单调增加，在(-1, 0)单调减少。2. 已知函数f(x) = x3 - 3ax - 1, a丰0，求f (x)的单调区间。解：f(x) = 3x2 - 3a =
5、3(x2 - a),当a 0, 当a 0 时，由 f(x) 0 解得x a ；由f(x) 0解得-a x 0时，f (x)的单调增区间为 (-g，- a ), ( Ja , +8 ) ； f (x)的单调减区间为(-Ua 八a )。1 - a3. (2010 山东文数 21)已知函数 f (x) = In x ax + 1(a e R)x(I)当a = -1时，求曲线y = f (x)在点(2, f (2)处的切线方程；(H)当a 1时，讨论f (x)的单调性.2M：cl)窗 d ,0八 A .nx专 JP 4-寻】Jt E (0. 4-所谀 / Cx： -e Oh囲此 /7- g 往点A的切
6、躱斜率为I.X= In2+2P所農曲线潭盂点处的切线片択惭y灯威卡朗亠乃-监 郎 * 1十 LnP 6 *+小心+” *f 兀S3 为 4)b liri 口工斗”眸以 亍(x) = a +爭 x (0 wj.专 ax1 xd- 1工 E 0,此时/(x) 0.函数/CO单灣递减；ze 时 gGO V0.此时 /(X) 0.函散 /0ffl 成立此时V/ l0re 0.此时rx)Q,函数/(工单调递减$x6 0.函败 g 承调暹增)X G +8)B、tz*A 0此时/z) V 0函散 缶卓谓逶|VT) . 当V0时抽于占TQ0.：三1)时时9) V0曲敖八工单调递减；x6 (U + oo)时tg(xX0.ft时/ 0函数/(x)单调递塩 张上所述：当a 0时函数/(x)在(0,1)上单调递滅)函敖/x)在(l.+co)上单诃递堆；当-y时函/ a函数/(X)在(1-1.+oo)上单调递吃a
导数单调区间
