正项级数都是正项级数ppt课件

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1、 正项级数正项级数教学内容：教学内容：1.正项级数收敛性的一般判别原则 以及比较判别法2.正项级数敛散性的比式判别法和 根式判别法3.正项级数敛散性的积分判别法教学重点：教学重点：正项级数敛散性的比式判别法和根式判别法定理定理12.512.5正项级数收敛.有界部分和所成的数列ns定义定义:，中各项均有中各项均有如果级数如果级数01 nnnuu这种级数称为这种级数称为正项级数正项级数.一、正项级数收敛性的一般判别原则一、正项级数收敛性的一般判别原则1.正项级数的定义正项级数的定义2.正项级数收敛性的一般判别原则3.正项级数敛散性的比较判别法（比较原则）均均为为正正项项级级数数，和和设设 11nn

2、nnvu定理定理12.6（比较原则）（比较原则）nnvuNnN有时当若,注意：注意：(1)定理指出：大收敛则小收敛；小发散则大发散定理指出：大收敛则小收敛；小发散则大发散(4)比较原则的缺点比较原则的缺点:须有参考级数须有参考级数(2)定理条件可以改为：定理条件可以改为：nnvun有,(3)利用定理判别时利用定理判别时,充分利用一些已知级数的敛散性充分利用一些已知级数的敛散性;等如naqnn211:的敛散性考察例11:12nn例例 2 2 证明级数证明级数 1)1(1nnn是发散的是发散的.证明证明,11)1(1 nnn,111 nn发散发散而级数而级数.)1(11 nnn发散发散级数级数4.

3、比较判别法（比较原则）的极限形式设设 1nnu与与 1nnv都是正项级数都是正项级数,如果如果,limlvunnn 则则(1)(1)当当时时,二级数有相同的敛散性二级数有相同的敛散性;l0 (3)(3)当当时时,若若 1nnv发散发散,则则 1nnu发散发散;l (2)(2)当当时，若时，若收敛收敛,则则收敛收敛;0 l 1nnv 1nnu注意：注意：的常数。非而且要使极限是解题的关键是找0,nv如例如例121n找例例2n1找n1sin)1(nn21)2(二、比式判别法和根式判别法二、比式判别法和根式判别法以等比级数为研究对象以等比级数为研究对象1.比式判别法的不等式形式比式判别法的不等式形式

4、定理12.7（比式判别法）设nu为正项级数，若存在某正整数0N及常数)10(qq（1）若对一切0Nn，成立不等式quunn1则级数nu收敛；（2）若对一切0Nn，成立不等式11nnuu则级数nu发散。注意：注意：(1)定理的条件充分非必要定理的条件充分非必要收敛nu11quunn发散nu11nnuun1如(2)定理条件可以改为：定理条件可以改为：不等式成立,n(3)判别法（判别法（1）中）中,q不能缺不能缺收敛nu11nnuun1如2.比式判别法的极限形式比式判别法的极限形式设设 1nnu是是正正项项级级数数,如如果果)(lim1 数数或或nnnuu则则1 时时级级数数收收敛敛;1 时时级级数

5、数发发散散;1 时时失失效效.(1)比式判别法的优点比式判别法的优点:不必找参考级数不必找参考级数.,11发散发散级数级数例例 nn,112收敛收敛级数级数 nn注意：注意：收敛nu1lim1nnnuu发散nu1lim1nnnuu如上例)1(41 951)1(32852nn)0(1xnxn定理12.8（根式判别法）设nu为正项级数，且存在某正整数0N及常数)10(qq（1）若对一切0Nn，成立不等式则级数nu收敛；1 qunn（2）若对一切0Nn，成立不等式则级数nu发散。1nnu3.根式判别法的不等式形式根式判别法的不等式形式注意：注意：(1)定理的条件充分非必要定理的条件充分非必要收敛nu

6、1 qunn发散nu1nnu(2)定理条件可以改为：定理条件可以改为：不等式成立,n(3)判别法（判别法（1）中）中,q不能缺不能缺则则1 时时级级数数收收敛敛;1 时时级级数数发发散散;1 时时失失效效.设设 1nnu是正项级数是正项级数,如果如果 )(lim数或nnnu4.根式判别法的极限形式根式判别法的极限形式注意：注意：,11发散发散级数级数例例 nn,112收敛收敛级数级数 nn例7 研究级数nn2)1(2的敛散性。解：由于212)1(2limlimnnnnnnu所以级数收敛。5.比式与根式判别法的比较比式与根式判别法的比较共同点共同点:极限小于极限小于1时为收敛时为收敛;极限大于极

7、限大于1时为发散时为发散;极限等于极限等于1时均不能判别时均不能判别不同点不同点:比式判别法借助两项比式判别法借助两项;根式判别法借助一项根式判别法借助一项根式判别法比比式判别法更有效根式判别法比比式判别法更有效注：此时比式判别法失效。因为：23limlim1222123122mmmmmmuu61limlim2122321212mmmmmmuu即即:比式判别法可以判别的比式判别法可以判别的,根式判别法一定可以判别根式判别法一定可以判别;但根式判别法能判别的但根式判别法能判别的,比式判别法不一定能判别比式判别法不一定能判别.例7 研究级数nn2)1(2的敛散性。原因原因:luunnn1limlu

8、nnnlim三、积分判别法定理 12.9 设f为),1 上非负减函数，那么正项级数)(nf与反常积分1)(dxxf同时收敛或同时发散。证：由假设f为),1 上非负减函数，对任何正数fA,在,1 A上可积，从而有,3,2,)1()()(1nnfdxxfnfnn依次相加可得)1()()1()()(11212mnmnmmnnfnfdxxfnf若反常积分收敛，则由上式左边，对任何正整数m有：111)()1()()1()(dxxffdxxffnfSmmnm根据定理12.5，级数)(nf收敛。反之，若)(nf为收敛级数，则由（1）式右边，对任一正整数)1(m有)2()()(11SnfSdxxfmm因为f为

9、非负减函数，故对任何正数A，都有1,)(01nAnSSdxxfnA结合（2）式及定理11.2得反常积分1)(dxxf收敛。同理可证它们同时发散。例6 讨论P级数pn1的敛散性。解：函数pxxf1)(，当0p时在),1 上是非负减函数，由第十一章知反常积分1pxdx在1p时收敛，1p时发散。故由定理12.9得pn1当1p时收敛，当10 p时发散，至于0p的情形，则可由定理12.1推论知它发散.例7 讨论下列级数的的敛散性的敛散性32)ln)(ln(ln1)2()(ln1)1(npnpnnnnn.解:研究反常积分2)(lnpxxdx,由于2)(lnpxxdx2)(ln)(lnpxxd2lnpudu当1p时收敛，1p时发散。故由定理12.9得(1)在1p时收敛，1p时发散.对于(2),考察反常积分3)ln)(ln(lnpxxxdx,同样可推得级数(2)在1p时收敛，1p时发散。思考题思考题 设设正正项项级级数数 1nnu收收敛敛,能能否否推推得得 12nnu收收敛敛?反反之之是是否否成成立立?思考题解答思考题解答由由正正项项级级数数 1nnu收收敛敛，可可以以推推得得 12nnu收收敛敛,nnnuu2lim nnu lim0 由比较原则知由比较原则知 收敛收敛.12nnu反之不成立反之不成立.例如：例如：121nn收敛收敛,11nn发散发散.