奶制品的生产与销售2

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1、奶制品的生产与销售一、问题提出问题一：加工厂用牛奶生产 A、A 两种奶制品，1 桶牛奶可以在设备甲上用 12 小时加工成3公斤A，或者在设备乙上用8小时加工成4公斤A。根据市 场需求，生产的A、A能全部售出，且每公斤A获利24元，每公斤A获利 1 2 1 216 元。现在加工厂每天能得到 50 桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时 间为480小时，并且设备甲每天至多能加工100公斤A，设备乙的加工能 力没有限制。试为该厂制定一个生产计划，使每天获利最大，并进一步讨 论以下3 个附加问题：1）若用 35 元可以购买到1 桶牛奶，应否作这项投资？若投资，每天 最多购买多少桶牛奶？2）若可以聘用临时

2、工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是 每小时几元？3）由于市场需求变化，每公斤A的获利增加到30元，应否改变生产 计划？ 1问题二：问题1 给出的 A1,A2 两种奶制品的生产条件、利润，及工厂的“资源” 限制全都不变。为增加工厂的获利，开发了奶制品的深加工技术：用2 小时和3 元加工费，可将1公斤A加工成0.8公斤高级奶制品B ,也可以将1公斤A加工1 1 2成 0.75 公斤高级奶制品 B ，每公斤 B 能获利 44 元，每公斤 B 能获利 32 元。试2 1 2 为该厂制定一个生产销售计划，使每天的净利润最大，并讨论一下问题（1）若投资30元可以增加供应一桶牛奶，投资3 元可以增

3、加 1 小时劳动时间， 应否做这些投资？若每天投资150元，可赚回多少？（2）每公斤高级奶制品 B,B 的获利经常有 10%的波动，对制定的生产销售计 划有无影响？若每公斤 B 获利下降 10%，计划应该变化吗？1二、模型假设和符号说明2.1 模型假设（1）假设 A,A 两种奶制品每公斤的获利是与它们各自产量无关的常数，每桶牛 奶加工出 A,1A 2的数量和所需的时间是与它们各自的产量无关的常数；12（2）假设 A,A 每公斤的获利是与它们相互间产量无关的常数，每桶牛奶加工出A,A的数1量2和所需的时间是与它们相互间产量无关的常数；(3) 假设加工A,A的牛奶的桶数可以是任意常数。122.2

4、符号说明A,A :牛奶的两种类型12X :每天用于生产A1的牛奶的桶数X1：每天用于生产A2的牛奶的桶数2三、问题分析与模型建立问题一：数学模型 设每天用 x 桶牛奶生产 A1 ，用 x 桶牛奶生产 A2 12目标函数 设每天获利为z元。x桶牛奶可生产3x公斤Al,获利24*3x， x桶牛奶可生产4x公斤A2,获利16*4x，故z=72x +64x2 2 2 1 2约束条件原料供应 生产A、A的原料(牛奶)总量不超过每天的供应50桶，即12x +x W5012劳动时间 生产A、A的总加工时间不超过每天正式工人总的劳动时间48012小时，即12x+8x 480设备能力 A 的产量不1 得2超过设

5、备甲每天的加工能力100小时，即13x 1001非负约束X、x均不能为负值，即x三0, x三01 2 1 2综上所述可得Max z=72x+64x(1)12s.t. x+x 50(2)1212x+8x480(3)123x 100(4)1x 三0, x 三0(5)12问题二：数学模型：设每天销售X公斤A ,X公斤A ,X公斤B ,X公斤B ,用X公斤112231425A 加工 B,X 公斤 A 加工 B (增设 X,X 可使模型简单)。1162256目标函数：设每天净利润为z,容易写出目标函数： z=24X+16X+44X+32X-3X-3X123456约束条件：原料供应：A每天生产X+X公斤，

6、用牛奶(X+X ) /3桶，A每天生产X+X1 1 5 1 5 2 2 6 公斤，用牛奶(X+X)/4桶，二者之和不得超过每天的供应量50桶。26即(X+X ) /3+(X+X)/4W50劳动时间：每天生产A ,A的时间分别为4 (X+X )和2(X +X )，加工B ,B的时间分别12152612为2X和2X，两者之和不得超过总的劳动时间480小时。56设备能力：A的产量X+X不能超过甲类设备每天的加工能力100公斤。115非负约束：X,X均为负。1 2 6附加约束：1公斤A加工成0.8公斤B ,故X =0.8X ,类似的X =0.75X113546综上所述有：Max z=24 x +16

7、x +44 x +32 x -3 x -3 x (6)1 2 3 4 5 6s.t.(xl+x5)/3+(x2+x6)/4W50(7)4(xl+x5)+2(x2+x6)+2x5+2x6W480(8)xl+x5W100(9)x3=0.8x5(10)x4=0.75x6(11)xl,x2,x3,x4,x5,x60(12)四、模型求解问题一：用鼠标单击菜单中的求解命令(SOLVE )就可以得到解答，结果窗口显示如 下：LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2OBJECTIVE FUNCTION VALUE1)3360.000VARIABLEVALUEREDUCED COSX120.0000

8、000.000000X230.0000000.000000ROWSLACK OR SURPLUSDUAL PRICES2)0.00000048.0000003)0.0000002.0000004)40.0000000.000000NO. ITERATIONS=2计算结果分析：“LP OPTIMUM FOUND AT STEP2 ”表示单纯形法在两次迭代（旋转）后得到 最优解。“OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1） 3360.000”表示最优目标值为 3360.000（LINDO中将目标函数自动看作第1行，从第二行开始才是真正的约束条件）。 “VALUE ”给出最优解中各变量（

9、VARIABLE ）的值：x=20.000000， x =30.000000 。“Reduced cost”的含义是（对max型问题）：基变量的reduced cost值为 0，对于非基变量，相应的 REDUCED COST 值表示当非基变量增加一个单位时（其 它非基变量保持不变）目标函数减少的量。本例中两个变量都是基变量。“SLACK OR SURPLUS”给出松弛（或剩余）变量的值，表示约束是否取等式 约束；第 2、第 3行松弛变量均为0，说明对于最优解而言，两个约束均取等式 约束；第4行松弛变量为40.000000，说明对于最优解而言，这个约束取不等式 约束。DUAL PRICES”给出

10、约束的影子价格（也称为对偶价格）的值：第2、第3、 第 4 行（约束）对应的影子价格分别 48.000000， 2.000000， 0.000000。 敏感性分析：RANGES IN WHIcH THE BASIS IS UNcHANGED:OBJ cOEFFIcIENT RANGESVARIABLEcURRENTALLOWABLEALLOWABLEcOEFINcREASEDEcREASEx172.00000024.0000008.000000x264.0000008.00000016.000000RIGHTHAND SIDE RANGESROWcURRENTALLOWABLEALLOWABL

11、ERHSINcREASEDEcREASE250.00000010.0000006.6666673480.00000053.33333280.0000004100.000000INFINITY40.000000GURRENT cOEF“（敏感性分析）的“ALLOWABLE INcREASE”（允许的增加量）和“ALLOWABLEDEcREASE” （允许的减少量）给出了最优解不变条件下目标函数系数 的允许变化范围：x1 的系数为（72-8， 72+24）即（64， 96）。并且， x1 系数的允许范围需要 x2 的系数保持 64 不变。x2 的系数为（64-16， 64+8）即（48， 72）。

12、同理， x2 系数的允许范围需要 x1的系数保持 72 不变。CURRENT RHS ”则是对“影子价格”的进一步约束。牛奶的需求量满足（50-6， 50+10）即（44， 60）。并且，牛奶的允许范围需要劳 动时间保持480 小时不变。劳动时间的需求量满足（480-80，480+53）即（400,533）。同理，劳动时间的允 许范围需要牛奶的用量保持 50桶不变。对附加问题的回答：（1） 因为一桶牛奶的影子价格为 48，3548，所以应该进行这个投资。另外， 在敏感性分析中对“影子价格”的进一步分析表明，每天最多购买 10 桶 牛奶。（2） 因为一个小时的劳动时间的影子价格为 2，所以付给临

13、时工人的工资最多 是每小时 2。另外，在敏感性分析中对“影子价格”的进一步分析表明， 每天最多增加劳动时间 53 小时。（3）若每公斤A的获利增加到三十元，则X系数变为90,根据计算结果分析, X 的允许范围为（ 64， 96）在允许范围内，所以不应该改变生产计划1问题二：用鼠标单击菜单中的求解命令（SOLVE）就可以得到解答，结果窗口显示如 下：LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2OBJECTIVE FUNCTION VALUE1)3460.800VARIABLEVALUEREDUCED COSTX10.0000001.680000X2168.0000000.000000X3

14、19.2000010.000000X40.0000000.000000X524.0000000.000000X60.0000001.520000ROWSLACK OR SURPLUSDUAL PRICES2)0.0000003.1600003)0.0000003.2600004)76.0000000.0000005)0.00000044.0000006)0.00000032.000000NO. ITERATIONS=2附件 1 模型源代码max 72x1+64x2 st2) x1+x2503) 12x1+8x24804) 3x1100附件 2.模型答案LP OPTIMUM FOUND AT S

15、TEP 2OBJECTIVE FUNCTION VALUE1)3360.000VARIABLEVALUEREDUCED COSTX120.0000000.000000X230.0000000.000000ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES2) 0.00000048.0000003) 0.0000002.0000004) 40.0000000.000000NO. ITERATIONS= 2RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:OBJ COEFFICIENT RANGESVARIABLECURRENTALLOWABLEALLOWABLECOEFINCREASEDECREASEX172.00000024.0000008.000000X264.0000008.00000016.000000RIGHTHAND SIDE RANGESROWCURRENTALLOWABLEALLOWABLERHSINCREASEDECREASE250.0000003480.0000004100.00000010.00000053.333332INFINITY6.66666780.00000040.000000