(精品)立几专题二空间位置关系与距离

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1、立几专题二 空间位置关系与距离高考在考什么【考题回放】1已知平面外不共线的三点A,B,C到的距离都相等,则正确的结论是( )A.平面ABC必平行于 B. 存在ABC的一条中位线平行于或在内C. 平面ABC必与相交 D. 平面ABC必不垂直于2如图，过平行六面体ABCD-A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线,其中与平面DBB1D1平行的直线共有( )A.4条 B.6条 C.8条 D.12条3设三棱柱ABCA1B1C1的体积为V，P、Q分别是侧棱AA1、 CC1 上的点，且PA=QC1，则四棱锥BAPQC的体积为（ ）A B C D4已知m、n是两条不重合的直线，、是三个两两不重合的平面，给出下

2、列四个命题：若； 若若；若m、n是异面直线，其中真命题是A和B和 C和 D和 （ ）5在正方形中，过对角线的一个平面交于E，交于F，则( ) 四边形一定是平行四边形 四边形有可能是正方形 四边形在底面ABCD内的投影一定是正方形 四边形有可能垂直于平面以上结论正确的为 。（写出所有正确结论的编号）_A_B_M_D_EO_C6如图，四面体ABCD中，O、E分别BD、BC的中点, （）求证：AO平面BCD；（）求异面直线AB与CD所成角的大小；（）求点E到平面ACD的距离.高考要考什么【考点透视】判断线线、线面、面面的平行与垂直，求点到平面的距离及多面体的体积。【热点透析】 1 转化思想： ； 异

3、面直线间的距离转化为平行线面之间的距离，平行线面、平行面面之间的距离转化为点与面的距离。2空间距离则主要是求点到面的距离主要方法：体积法； 直接法,找出点在平面内的射影高考将考什么【范例1】如图，在五面体中，点是矩形的对角线的交点，面是等边三角形，棱（1）证明/平面；M（2）设，证明平面. 【范例2】如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD 为矩形，AB=8，AD=4，侧面PAD为等边三角形，并且与底面所成二面角为60.（）求四棱锥PABCD的体积；（）证明PABD. 【范例3】如图，所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=

4、1.（）求BF的长；（）求点C到平面AEC1F的距离.【点晴】求空间距离注意三点：1常规遵循一作二证三计算的步骤；2多用转化的思想求线面和面面距离；3体积法是一种很好的求空间距离的方法【范例4】如图，在长方体AC1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动.（1）证明：D1EA1D；（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；（3）AE等于何值时，二面角D1ECD的大小为.自我提升1设、 为两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，且l，m，有如下的两个命题：若，则lm；若lm，则那么（ ）(A) 是真命题，是假命题 (B) 是假命题，是真命题(C) 都是真命题 (D) 都是假命

5、题ABDC2设A、B、C、D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的 （ ）（A）若AC与BD共面，则AD与BC共面（B）若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线(C) 若AB=AC，DB=DC，则AD=BC(D) 若AB=AC，DB=DC，则AD BC3一平面截一球得到直径是6cm的圆面，球心到这个平面的距离是4cm，则该球的体积是（ ） (A) (B) (C) (D) 4在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是（ ） （A）BC/平面PDF （B）DF平面PA E（C）平面PDF平面ABC （D）平面PAE平面 ABC5是空间两条不同直

6、线，是两个不同平面，下面有四个命题： 其中真命题的编号是 ;（写出所有真命题的编号）6已知平面a与平面b交于直线l，P是空间一点，PAa，垂足为A，PBb，垂足为B，且PA=1，PB=2，若点A在b内的射影与点B在a内的射影重合，则点P到l的距离 .ABCA1B1C1MN7如图，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为a，M是BC的中点，N是CC1上一点，满足MNAB1。（1） 试确定点N的位置；（2） 求点C1到平面AMN的距离。.8.如图，直二面角DABE中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF平面ACE.（）求证AE平面BCE；（）求二面角BACE的大小；

7、 （）求点D到平面ACE的距离.专题15 空间位置关系与距离高考在考什么【考题回放】1已知平面外不共线的三点A,B,C到的距离都相等,则正确的结论是( B)A.平面ABC必平行于 B. 存在ABC的一条中位线平行于或在内C. 平面ABC必与相交 D. 平面ABC必不垂直于2如图，过平行六面体ABCD-A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线,其中与平面DBB1D1平行的直线共有( D )A.4条 B.6条 C.8条 D.12条3设三棱柱ABCA1B1C1的体积为V，P、Q分别是侧棱AA1、 CC1 上的点，且PA=QC1，则四棱锥BAPQC的体积为（ C ）A B C D4已知m、n是两条不重合

8、的直线，、是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：若； 若若；若m、n是异面直线，其中真命题是（ D）A和B和C和 D和5在正方形中，过对角线的一个平面交于E，交于F，则( ) 四边形一定是平行四边形 四边形有可能是正方形 四边形在底面ABCD内的投影一定是正方形 四边形有可能垂直于平面以上结论正确的为 。（写出所有正确结论的编号）_A_B_M_D_EO_C6如图，四面体ABCD中，O、E分别BD、BC的中点, （）求证：AO平面BCD；（）求异面直线AB与CD所成角的大小；（）求点E到平面ACD的距离.【专家解答】（I）证明：连结OC在中，由已知得而即 平面（II）取AC的中点M，连结OM

9、、ME、OE，由E为BC的中点知直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角在中，是直角斜边AC上的中线，异面直线AB与CD所成角的大小为（III）设点E到平面ACD的距离为 在中, 而点E到平面ACD的距离为高考要考什么【考点透视】判断线线、线面、面面的平行与垂直，求点到平面的距离及多面体的体积。【热点透析】 2 转化思想： ； 异面直线间的距离转化为平行线面之间的距离，平行线面、平行面面之间的距离转化为点与面的距离。2空间距离则主要是求点到面的距离主要方法：体积法； 直接法,找出点在平面内的射影高考将考什么【范例1】如图，在五面体中，点是矩形的对角线的交点，面是等边三角形，棱（1

10、）证明/平面；M（2）设，证明平面解析：（）取CD中点M，连结OM.在矩形ABCD中，又，则，连结EM，于是四边形EFOM为平行四边形. 又平面CDE， EM平面CDE， FO平面CDE（）证明：连结FM，由（）和已知条件，在等边CDE中，且.因此平行四边形EFOM为菱形，从而EOFM而FMCD=M，CD平面EOM，从而CDEO. 而，所以EO平面CDF. 【点晴】本小题考查直线与平面平行、直线与平面垂直等基础知识，注意线面平行和线面垂直判定定理的使用，考查空间想象能力和推理论证能力。【文】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形,ADBC，BAD=90，PA底面ABCD，且PAAD=AB

11、=2BC，M、N分别为PC、PB的中点。()求证：PBDM;()求CD与平面ADMN所成的角解析：方法一：（I）因为是的中点，所以.因为平面，所以，从而平面.因为平面，所以.（II）取的中点，连结、，则，所以与平面所成的角和与平面所成的角相等.因为平面，所以是与平面所成的角.在中，.故与平面所成的角是.方法二：以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，则.（I） 因为，所以（II） 因为，所以，又因为，所以平面因此的余角即是与平面所成的角.因为，所以与平面所成的角为.【点晴】注意线线垂直常使用线面垂直得到解决，线面角关键是找到射影，遵循一作二证三计算的步骤。同时使用空间向量能降低对空间想象能力的要求

12、。【范例2】如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD 为矩形，AB=8，AD=4，侧面PAD为等边三角形，并且与底面所成二面角为60.（）求四棱锥PABCD的体积；（）证明PABD. 解析：（）如图，取AD的中点E，连结PE，则PEAD.作PO平面在ABCD，垂足为O，连结OE.根据三垂线定理的逆定理得OEAD，所以PEO为侧面PAD与底面所成的二面角的平面角，由已知条件可知PEO=60，PE=6，所以PO=3，四棱锥PABCD的体积VPABCD=（）法1 如图，以O为原点建立空间直角坐标系.通过计算可得P(0，0，3)，A(2，3，0)，B(2，5，0)，D(2，3，0) 所以因为 所以PAB

13、D. 法2：连结AO，延长AO交BD于点F.通过计算可得EO=3，AE=2，又知AD=4，AB=8，得所以RtAEORtBAD.得EAO=ABD. 所以EAO+ADF=90 所以 AFBD.因为 直线AF为直线PA在平面ABCD 内的身影，所以PABD.【点晴】本小题主要考查棱锥的体积、二面角、异面直线所成的角等知识和空间想象能力、分析问题能力，解题的关键是二面角的使用。使用空间向量能降低对空间想象能力的要求，但坐标系的位置不规则，注意点坐标的表示。【文】在直三棱柱中，. （1）求异面直线与所成的角的大小；（2）若与平面所成角为，求三棱锥的体积。解析 (1) BCB1C1, ACB为异面直线B

14、1C1与AC所成角(或它的补角) ABC=90, AB=BC=1, ACB=45, 异面直线B1C1与AC所成角为45. (2) AA1平面ABC,ACA1是A1C与平面ABC所成的角, ACA =45. ABC=90, AB=BC=1, AC=,AA1=. 三棱锥A1-ABC的体积V=SABCAA1=. 【点晴】画图是学好立体几何的基本要求，本题考查了线线角和体积等立几知识。【范例3】如图，所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1.（）求BF的长；（）求点C到平面AEC1F的距离.解法1：（）过E作EH/BC交CC1于

15、H，则CH=BE=1，EH/AD，且EH=AD.AFEC1，FAD=C1EH. RtADFRtEHC1.DF=C1H=2. （）延长C1E与CB交于G，连AG，则平面AEC1F与平面ABCD相交于AG.过C作CMAG，垂足为M，连C1M，由三垂线定理可知AGC1M.由于AG面C1MC，且AG面AEC1F，所以平面AEC1F面C1MC.在RtC1CM中，作CQMC1，垂足为Q，则CQ的长即为C到面AEC1F的距离.解法2：（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），B（2，4，0），A（2，0，0），C（0，4，0），E（2，4，1），C1（0，4，3）.设F（0，0，z）.AEC1

16、F为平行四边形，（II）设为面AEC1F的法向量，的夹角为a，则C到平面AEC1F的距离为【点晴】本小题主要考查线面关系和空间距离的求法等基础知识，空间距离也遵循一作二证三计算的步骤，但体积法是一种很好的求空间距离的方法，同学们不妨一试。【文】正三棱柱的底面边长为8，对角线，D是AC的中点。（1）求点到直线AC的距离.（2）求直线到平面的距离解：（1）连结BD，由三垂线定理可得：，所以就是点到直线AC的距离。BACD在中（2）因为AC与平面BD交于的中点，设，则/DE，所以/平面，所以到平面BD的距离等于点到平面BD的距离，等于点到平面BD的距离，也就等于三棱锥的高， ，即直线到平面BD的距离

17、是【点晴】求空间距离注意三点：1常规遵循一作二证三计算的步骤；2多用转化的思想求线面和面面距离；3体积法是一种很好的求空间距离的方法【范例4】如图，在长方体AC1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动.（1）证明：D1EA1D；（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；（3）AE等于何值时，二面角D1ECD的大小为.解析：法1（1）AE面AA1DD1，A1DAD1，A1DD1E（2）设点E到面ACD1的距离为h，在ACD1中，AC=CD1=，AD1=，故（3）过D作DHCE于H，连D1H、DE，则D1HCE， DHD1为二面角D1ECD的平面角. 设AE=x，则BE=2x

18、法2：以D为坐标原点，直线DA、DC、DD1分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A1(1，0，1)，D1(0，0，1)，E(1，x，0)，A(1，0，0), C(0，2，0).（1）（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），从而，设平面ACD1的法向量为，则也即，得，从而，所以点E到平面AD1C的距离为（3）设平面D1EC的法向量，由 令b=1, c=2, a=2x，依题意（不合，舍去）， .AE=时，二面角D1ECD的大小为.【点晴】由线线、线面、面面的位置寻找满足某些条件的点的位置，是一种新型题目，它能考查学生分析问题、解决问题的能力，应引起重视，解决这类问题，常用分

19、析法寻找思路。【文】如图，已知长方体，直线与平面所成的角为，垂直于为的中点（）求异面直线与所成的角；（）求平面与平面所成二面角（锐角）的大小；（）求点到平面的距离解（）连结，过F作的垂线，垂足为K，与两底面ABCD，都垂直，又因此为异面直线与所成的角连结BK，由FK面得，从而为在 和中，由得又， 异面直线与所成的角为（）由于面由作的垂线，垂足为，连结，则即为平面与平面所成二面角的平面角。且，在平面中，延长与；交于点。为的中点、分别为、的中点，即。 为等腰直角三角形，垂足点实为斜边的中点F，即F、G重合。易得，在中，。，即平面于平面所成二面角（锐角）的大小为。（）由（）知平面是平面与平面所成二面

20、角的平面角所在的平面面在中，由作AHDF于H，则AH即为点A到平面BDF的距离.由AHDF=ADAF，得所以点A到平面BDF的距离为【点晴】本题综合考查了立体几何的知识，异面直线之间的夹角，面面夹角及点与面的距离，考查学生的空间想象能力。自我提升1设、 为两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，且l，m，有如下的两个命题：若，则lm；若lm，则那么（ D ）(A) 是真命题，是假命题 (B) 是假命题，是真命题(C) 都是真命题 (D) 都是假命题ABDC2设A、B、C、D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的 （C）（A）若AC与BD共面，则AD与BC共面（B）若AC与BD是异面直线，则

21、AD与BC是异面直线(C) 若AB=AC，DB=DC，则AD=BC(D) 若AB=AC，DB=DC，则AD BC3一平面截一球得到直径是6cm的圆面，球心到这个平面的距离是4cm，则该球的体积是（ C ） (A) (B) (C) (D) 4在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是（C） （A）BC/平面PDF （B）DF平面PA E（C）平面PDF平面ABC （D）平面PAE平面 ABC5是空间两条不同直线，是两个不同平面，下面有四个命题： 其中真命题的编号是 、 ;（写出所有真命题的编号）6已知平面a与平面b交于直线l，P是空间一点，PAa，垂足

22、为A，PBb，垂足为B，且PA=1，PB=2，若点A在b内的射影与点B在a内的射影重合，则点P到l的距离.ABCA1B1C1MN7如图，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为a，M是BC的中点，N是CC1上一点，满足MNAB1。（3） 试确定点N的位置；（4） 求点C1到平面AMN的距离。解 （1）M是BC中点，ABCA1B1C1为正三棱柱，AM平面B1BCC1， AMMN，MNAB1， MN平面B1AM， MNB1N，设NC=x，在RtB1BM中，,在RtNCM中，,在RtB1C1N中，, 在RtB1MN中，, , N在CC1的处。（2）点C1到平面AMN的距离，即为三棱锥C1AMN的高，

23、设为h，则, ,AM=,MN=, , .8.如图，直二面角DABE中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF平面ACE.（）求证AE平面BCE；（）求二面角BACE的大小； （）求点D到平面ACE的距离.解：（I） （II）连结AC、BD交于G，连结FG，ABCD为正方形，BDAC， BF平面ACE，FGAC，FGB为二面角B-AC-E的平面角，由(I)可知，AE平面BCE，AEEB，又AE=EB，AB=2，AE=BE=，在直角三角形BCE中，CE=在正方形中，BG=，在直角三角形BFG中，二面角B-AC-E为（III）由（II）可知，在正方形ABCD中，BG=D

24、G，D到平面ACB的距离等于B到平面ACE的距离，BF平面ACE，线段BF的长度就是点B到平面ACE的距离，即为D到平面ACE的距离.故D到平面的距离为.另法：过点E作交AB于点O. OE=1.二面角DABE为直二面角，EO平面ABCD.设D到平面ACE的距离为h， 平面BCE， 点D到平面ACE的距离为解法二：（）同解法一.（）以线段AB的中点为原点O，OE所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，过O点平行于AD的直线为z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，如图.面BCE，BE面BCE， ，在的中点， 设平面AEC的一个法向量为，则解得令得是平面AEC的一个法向量.又平面BAC的一个法向量为，二面角BACE的大小为（III）AD/z轴，AD=2，点D到平面ACE的距离15