h习题课(空间解析)g.ppt

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1、第七部分 矢量代数与空间解析几何 本章以矢量代数为工具，运用 形数结合 的方法，研究空间的曲面 和曲线，同时重点研究了平面和直线。 一 基本要求： 1. 正确理解 矢量概念 ，熟练掌握矢量的坐标表示式、其代数运算 及两个矢量相互平行、垂直的条件或其夹角的求法。 2. 平面 方程四形式 3. 直线 方程四形式 4. 点、直线、平面间的位置关系 5. 平面与平面的位置关系 6. 直线与直线的位置关系 7. 掌握空间曲线及曲面知识；会建立 旋转曲面方程 及 空间曲线在 坐标面上的投影方程。 二 课堂练习 : 1. 填空 2. 建立平面或直线方程 第七部分 矢量代数与空间解析几何 矢量 坐标表示 既有

2、大小又有方向的量 模及方向角 方向余弦 , zyx aaaa ,：方向角 ,|cos axa ba a , zzyyxx bababa , zyx aaa )c o s ( ba,baba | ba aPrj| zzyyxx bababa ba cba )s in (| ba,bac | ,ac yx yx xz xz zy zy bb aa bb aa bb aa ,c cbaa b c )( zyx zyx zyx ccc bbb aaa abc ,| 222 zyx aaa a ,|cos aya |cos aza ab bPrj| , zyx bbbb , zyx cccc ,bc 成

3、右手系且 )( cb,a, 一 基本要求 1. 矢量运算及坐标表示 x z y n=A,B,C M(a,b,d) A(x a)+B(y b)+C(zd)=0 1 czbyax Ax+By+Cz+D=0 ),(),( ),( 333222 321 zyxCzyxB zyxA已知三点 0 131313 121212 111 zzyyxx zzyyxx zzyyxx b c a (1) 点法式 : (2) 一般式 . (3) 截距式： (4) 三点式： 0 其中 D= Aa Bb Cd 2. 平面方程 (1)标准式： S=m,n,p M(a.,b,c) L p cz n by m ax 0 0 22

4、22 1111 DzCyBxA DzCyBxA S (2) 参数式 : x = a+m t y = b+n t z = c+p t (4) 两点式 : A B ),(),( 222111 zyxBzyxA已知 12 1 12 1 12 1 zz zz yy yy xx xx . (3) 一般式 L . L 3. 直线方程 p zz n yy m xxl 111 ：直线 | s s d NM 222 000 | CBA DCzByAxd (1) 点到平面的距离 (3) 直线平行于平面 ),( 000 zyxM已知点 ,0 DCzByAx ：平面 . (2) 点到直线的距离 M d N l M d

5、 l N 0 CpBnAm . 记 , CBAn , pnms ),( 111 zyxN点 . 0 111 DCzByAx且 4. 点、直线、平面的位置关系 （用解析法判断） n s s (4) 直线在平面内 0 CpBnAm (5) 直线垂直于平面 p C n B m A (6) 直线与平面的夹角 | | sn sn s in l l l . 且 0111 DCzByAx . . . N 4. 点、直线、平面的位置关系 （用解析法判断） . p zz n yy m xxl 111 ：直线),( 000 zyxM已知点 ,0 DCzByAx ：平面 s s s n n n 011111 DzC

6、yBxA ： (1) 两个平面垂直 0212121 CCBBAA (2) 两个平面平行 2 1 2 1 2 1 2 1 DDCCBBAA (3) 两个平面重合 2 1 2 1 2 1 2 1 D D C C B B A A 已知两个平面 0 22222 DzCyBxA ： . . 5. 平面与平面的位置关系 (4) 两个平面夹角为 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 212121c o s CBACBA CCBBAA (5) 两个平行平面间的距离为 d 222 12 | CBA DDd 011111 DzCyBxA ：已知两个平面 0 22222 DzCyBxA ： d . 5.

7、平面与平面的位置关系 . 1 2 n1 n2 . . 已知两条直线 1 1 1 1 1 11 ，： p zzn yym xxl (1) 两条直线共面 (2) 两条直线的夹角 (3) 两条平行直线的距离 d A B 0 21 ABss | 21 1 ss ss 2c o s d | s s d AB A B 2 2 2 2 2 22 p zzn yym xxl ： . s 6. 直线与直线的位置关系 . . 。和两条对角线的长为 确定的平行四边形与投影为 上的在则其夹角矢量 。因为位置关系是 则两矢量的矢量 的坐标是则矢量 点已知 的方向是的模是 依次为在三个坐标轴上的投影矢量 _ _ _ ,

8、_ ,1 ,0 ,1,0 ,1 ,1 )4( _ _ , ,1 , 2 1 ,2,3 ,2 ,1 )3( _ _ _ , )2( _ _, _ _, 3 ,2 ,1 )1( 21 22221111 ba baba ba MM zyxMzyxM aa a 1, 2, 3 14 143c o s ,142c o s ,141c o s 垂直 0ba 3 2 1 |P r j b baa b 6| ba 2| ba . . . , 121212 zzyyxx . . . . . 二 课堂练习： 1. 填空 ._ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ) 0 ,1, 0( )2 ,1

9、,3( )6( 的平面方程是及轴，且过点平行于 QPx _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _| , , , , )5( cba bacacbcbacba 则 均为非零矢量，且设 ._ _ _ _ _ _2 12 31 2:)0,0,0( )7( 的距离为到直线原点 zyxLM 3 . 知：它们两两垂直。由 , , , bacacbcba | | | | caccbcba 又： 1 | c 1. | 1, | | ba同理， y + z = 1 10 . 解： . M 解： l N(2, 3,1) d 2,2,1 s .| | s sNMd . ._ 12 2 2

10、1 3 4 1 1 )12( ._ _ 0132 011423 )11( ._083 11 )10( 1)1()1( 1 )9( ._ _ _ 0 8 )8( 222222 222 间夹角为和直线 的标准式为 直线 间夹角为和 两个平面 平面上的投影为之交线在 与两个球面 方程为则，平面垂直于使其母线 ，作柱面：过曲线 zyxzyx zyx zyx xyx xO y zyxzyx SxO z S zyx zyx L 422 xzzx . 0220 22 yyx z 4 1 1 17 2 10 1 zyx 4 . . . . . . _ _ _ _ _ _ _ 1 _ _ 0 _ _ 1 _ _

11、 1 )15( ._ _ _ _ _ 0 0),( )14( ._ _062 2 4 1 3 1 2 )13( 2222 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 。：；： ； ； 说出曲面名称： 轴旋转，得旋转面绕 轴旋转，得旋转面绕曲线 的位置是和平面直线 z q y p x z q y p x c z b y a x c z b y a x c z b y a x c z b y a x y z x zyf zyx zyx (p, q 同号 ) (p, q 同号 ) 椭球面 双叶双曲面 二次锥面 单叶双曲面 双曲抛物面 椭圆抛物面 相

12、交 0) ,( 22 zyxf 0) ,( 22 zxyf . . . 0 8 0 7 0 6 0 5 0 4 1 3 1 2 1 1 o 2o 22o 222o 22o 2o 22o 222o xy z x yx zyx yx x yx zyx 球面 圆柱面 (母线平行于 z轴 ) 两平行平面 两相交平面 原点 z轴 yOz平 面 三个坐标面 (16) 指出下列方程表示哪种曲面 ？ . yx y x yx xz yy xx zy 4 15 1 9 14 1 94 13 1 12 034 11 01 10 13 9 2o 2 2o 22 o 22o 2o 2o o 平面 (平行于 x轴 ) 虚

13、轨迹 虚轨迹 两平行平面 椭圆柱面 双曲柱面 抛物柱面 . 0 7 04 04 6 2 34 5 0 0 4 3 2 1 222 o 22 o 222 o o oo o x zyx y xzy z zyx y x cz by ax by ax ax 平面 直线 z轴 一点 双曲线 抛物线 两相交直线 (17) 指出下列方程表示哪种图形 ？ . . 21 3 3 1 : , 01043: )4,0,1( )3( 21 0 L zyx L zyxM 相交的直线方程又与直线 平行且与平面求过点 . 11 1 2 2 : )1,2,1( ( 1) 10 的方程相交的直线 垂直且与直线求过点 L zyx

14、 LM 2. 建立直线或平面方程 . . 2 4 1 3 4 2 : 31 1 2 1 : )2( 21 d zyx L zyx L 距离之间的 与求直线 谢 谢 使 用 返 回 首 页 . . 11 1 2 2: )1,2,1( 1 ) 10 的方程垂直相交的直线 且与直线求过点 L zyxLM L1 解： 2. 解答： M0 1o 过 M0作 L1 的垂面， M0 M 垂面方程为 0)1()2()1(2 zyx 012 zyx即： 2o 求出 L1与此平面的交点 M： 11 12 2 zyx 012 zyx 3 2t )32 ,31 ,32( M交点 . .35 ,35 ,35 0 MM

15、, 1 ,1 ,1 3 o S取 得所求直线为： . 1 1 1 2 1 1: zyxL . L = t 解： L1 . 11 1 2 2: )1,2,1( 1 ) 10 的方程垂直相交的直线 且与直线求过点 L zyxLM 2. 解答： 1o 过 M0作 L1 的垂面， d L1 L2 方法 I 思路： 1o 过 L1做平面 ，使 / L2. 2o 点 M L2,点 M 到平面 的距 离即为 d. M . 2 4 1 3 4 2 : 31 1 2 1 : 21 d zyx L zyx L 距离之间的 与求直线 (2) 解： 1s 2s . . 先求平面 的法矢量： 21 ssn 2,1,43

16、,1,2 6 ,16 ,1 06)1(16)1(: zyx 015616: zyx即 取点 M(2,3,4) L2, 222 6161 |15)4(63162| d有 . 293 11 . n 方法 II 思路： . 2 4 1 3 4 2 : 31 1 2 1 : 21 d zyx L zyx L 距离之间的 与求直线 . 解： L1 L2 1s 2s M N 利用混合积的几何意义： 所求的 d 就是三矢量构成的 平行六面体的高 . | | 21 21 ss NMssd . . |2,1,43,1,2| |4,2,32,1,43,1,2| . 293 11 . (2) (3) 思路 I： .

17、 221 L 的交线即为所求直线与平面 因为： (1) 它们共面 . (2) 它们不平行 . ( L2平行于已知平面 ，但显然 L 1 不平行 于 . ) 相交。 问题 ： L2与 L1 相交吗？ 求直线的一般式方程 . 2 1 2n L1 L2 . 21 3 3 1 : , 01043: )4,0,1( 21 0 L zyx L zyxM 相交的直线方程又与直线 平行且与平面求过点 ：的平面且平行于平面先求过 10 M .1可求出 . 210 LM 的平面过已知直线且再求过 . M0 .2可求出 具体解答如下： n M1 2n L1 L2 ；的平面且平行于平面求出过 10 M 0143 :1

18、 zyx ：的平面过已知直线且再求过 210 LMM0 , )031( 1M, 为记点 2法矢量则平面 .2,1,31 sL 的方向数： M1 sMMn 102 2,1,34,3,0 9,12,10 解： .04691210 :2 zyx 04691210 0143: 2 zyx zyxL所求直线 . 思路 I： 求直线的一般式方程 . s n . 21 3 3 1 : , 01043: )4,0,1( 21 0 L zyx L zyxM 相交的直线方程又与直线 平行且与平面求过点 2 1 (3) . 思路 II： . 4 43748 1: zyxl 为所求直线 1,4,32,1,34,3,0 1,4,39,12,10 求直线的标准式方程 . L1 1n 2n 从思路 I 的分析知： nnn 12 4,37,48 . 22 nL 的方向矢为设 . . L2 如图： . n . 21 3 3 1 : , 01043: )4,0,1( 21 0 L zyx L zyxM 相交的直线方程又与直线 平行且与平面求过点 2 1 解： (3) .