主章节杨先林教授

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1、主讲：杨先林主讲：杨先林 教授教授高等数学基础一元函数微分学高等数学基础一元函数微分学重难点讲解重难点讲解一、函数一、函数1.函数的定义域2.复合函数3.函数的属性4.建立函数关系举例一、函数的概念一、函数的概念 1.1.函数的定义域函数的定义域定义定义设设 D 为一个非空实数集合为一个非空实数集合，若存在确定的若存在确定的对应规则对应规则 f，使得对于数使得对于数集集 D 中的任意一个数中的任意一个数 x,按照按照 f 都有都有唯唯一确定的一确定的实数实数 y 与之对应与之对应，则称则称 f 是定是定义在集合义在集合 D 上的函数上的函数.D:f 的定义域的定义域的定义域的定义域.解解该函数

2、的定义域应为满足不等式组该函数的定义域应为满足不等式组解此不等式组，得其定义域解此不等式组，得其定义域用集合表示为用集合表示为.3,2(|xxD的的 x 值的全体，值的全体，确定函数确定函数例例 1)2ln(23)(2 xxxxf 02,0232xxx.3,2(32，即，即x 基本初等函数基本初等函数;1)且且 a);1,0(aa且且三角函数三角函数反三角函数反三角函数 y=arc sinx,y=arc cos x,y=arc tan x,y=arc cot x；等五类函数统称为等五类函数统称为基本初等函数基本初等函数.y=sinx,y=cos x,y=tan x,y=cot x,y=sec

3、x,y=csc x；xyalog,0 aayx(;)(为任意实数为任意实数axya 幂函数幂函数指数函数指数函数对数函数对数函数2.复合函数若函数若函数 y=F(u),定义域为定义域为 U1,函数函数 u=j j(x)的值的值域为域为 U2,12UU 其中其中则则 y 通过变量通过变量 u 成为成为 x 的函数的函数,这个函数称为由函数这个函数称为由函数 y=F(u)和函数和函数 u=j j(x)构成的构成的复合函数复合函数,)(xFyj j 其中变量其中变量 u 称为中间变量称为中间变量.记为记为例例 2,)1(2xxf 设设).12(xf求求解解 方法一方法一 令令 u=x 1,得得 f(

4、u)=(u 1)2,再将再将u=2x 1 代入代入,即得复合函数即得复合函数.)1(41)12()12(22 xxxf例例 2,)1(2xxf 设设).12(xf求求方法二方法二 因为因为 f(x 1)=x2=(x 1)+12,于是于是问题转化为问题转化为 求求 y=f(x)=(x 1)2 与与 j j(x)=2x 1 的的复合函数复合函数 f j j(x),因此因此.)1(41)12()12(22 xxxf3.函数的属性设设函数函数 y=f(x)的定义域关于原点对称，如的定义域关于原点对称，如果对于定义域中的任何果对于定义域中的任何 x，都有，都有 f(x)=f(-x)，则称则称 y=f(x

5、)为偶函数；如果有为偶函数；如果有 f(-x)=-f(x)，则称则称 f(x)为奇函数为奇函数.不是偶函数也不是奇函数的不是偶函数也不是奇函数的函数，称为非奇非偶函数函数，称为非奇非偶函数.（1）奇偶性）奇偶性（2）周期性）周期性设设函数函数 y=f(x)的定义域为的定义域为(-,+)，若，若存在正数存在正数 T，使得对于一切实数，使得对于一切实数 x，都有：，都有：则称则称 y=f(x)为周期函数为周期函数.f(x+T)=f(x).设设 x1 和和 x2 为区间为区间(a,b)内的任意两个数内的任意两个数，若当若当 x1 x2 时，有时，有),()(21xfxf 则称该函数在区间则称该函数在

6、区间(a,b)内内单调增加单调增加，或或称称递增递增；若当若当 x1 x2 时，有时，有),()(21xfxf 则称该函数在区间则称该函数在区间(a,b)内内单调减少单调减少，或称递减或称递减；（3）单调性）单调性函数的递增、递减统称函数是单调的函数的递增、递减统称函数是单调的.从几从几何直观来看，何直观来看，递增，就是当递增，就是当 x 自左向右变化时，函数自左向右变化时，函数的图形上升；的图形上升；递减，就是递减，就是当当 x 自左向自左向右变化时，右变化时，函数的图形函数的图形下降下降.aabbxyOxyOy=f(x)y=f(x)设函数设函数 f(x)在区间在区间 I 上有定义上有定义，

7、若存在一个若存在一个正数正数 M，当当 x I 时时，恒有恒有成立成立，则称函数则称函数 f(x)为在为在 I 上的有界函数，上的有界函数，Mxf)(4)有界性有界性 如果如果不存在这样的正数不存在这样的正数 M，则称则称函数函数 f(x)为在为在 I 上的上的无界函数无界函数.例例 3 由直线由直线 y=x，y=2 x 及及 x 轴所围的等轴所围的等腰三角形腰三角形 OBC，xy=xyxO12y=2 xCB 在 底 边在 底 边上任取一点上任取一点 x 0,2.过过 x 作垂直作垂直 x 轴的直线，轴的直线，将图上阴影部分的面积将图上阴影部分的面积表示成表示成 x 的的函数函数.解解 设阴影

8、部分的面积为设阴影部分的面积为 A，.212xA 当当 x 0,1)时，时，4.4.建立函数关系举例建立函数关系举例当当 x 1,2 时时，.)2(2112xA 所以所以.2,1 ,1212)1,02122xxxxxA，xy=xyxO12y=2 xCB二、极限与连续二、极限与连续1.1.函数的极限函数的极限2.2.极限的运算极限的运算3.3.两个重要极限两个重要极限4.4.函数的连续性函数的连续性一般地，当一般地，当 x 无限接近于无限接近于 x0 时，函数时，函数 f(x)趋向于趋向于 A 的定义如下：的定义如下：定义定义如果当如果当 x 无限接近于无限接近于 x0 时，时，恒有恒有|f(x

9、)-A|e e(e e 是任意小的正数是任意小的正数)，则则称当自称当自变量变量 x 趋向于趋向于 x0 时时，函数函数 f(x)趋向于趋向于 A，记作记作).)(,(0Axfxx时时或或当当Axfxx)(lim01.1.函数的极限函数的极限A A e e f(x)A e e几何解释几何解释 :，Axfxx)(lim0AA e eA A e ey=f(x)x0 d dx0+d dx0yxO 不管它们之不管它们之间的距离有多么小间的距离有多么小.只要只要 x 进入进入 U(,0 x 是指：当是指：当 0|x x0|d d 时，时，恒有恒有|f(x)A|e e.即即作两条直线作两条直线 y=A e

10、 e 与与 y=A e e.d d)内，曲内，曲线线 y=f(x)就会落在这就会落在这两条直线之间两条直线之间.例例 4试求函数试求函数 1,1.10 10,0,1)(2xxxxxxxxf处处的的极极限限和和在在解解 (1)因为因为.1)1(lim)(lim00 xxfxx.0lim)(lim200 xxfxx函数函数 f(x)在在 x=0 处左、右极限存在但不相等，处左、右极限存在但不相等，所以当所以当 x 0 时，时，f(x)的极限不存在的极限不存在.(2)因为因为,1lim)(lim211 xxfxx.11lim)(lim11 xxxf函数函数 f(x)在在 x=1 处左、右极限存在而且

11、相等，处左、右极限存在而且相等，所以当所以当 x 1 时，时，f(x)的极限存在且的极限存在且.1)(lim1 xfx2.2.极限的运算极限的运算，)(lim)(lim)()(lim)1(xgxfxgxf ,)(lim)(lim)()(lim)2(xgxfxgxf ).0)(lim,)(lim)(lim)()(lim)3(xgxgxfxgxf)2)(1()2)(1(lim2 xxxxx223lim222 xxxxx11lim2 xxx)1(lim)1(lim22 xxxx1212 .31 解解.223lim222 xxxxx求求例例53.3.两个重要极限两个重要极限第一个重要极限第一个重要极限

12、.1sinlim0 xxx第二个重要极限第二个重要极限.e11lim xxx.35sinlim0 xxx计计算算解解例例 6xxxxxx5535sinlim35sinlim00 .3513555sinlim3505 xxx.11lim2xxx 计计算算解解因为因为，1111212 xxxx，且且e11lim xxx所以，有所以，有21211lim11lim xxxxxx.e11lim2121 xxx例例 74.函数的连续性定义定义 设函数设函数 y=f(x)在在 x0 的一个邻域内有的一个邻域内有定义定义，.)()(lim00 xfxfxx 则称函数则称函数 y =f(x)在在 x0 处处连续

13、连续，或称或称 x0 为函数为函数 y=f(x)的连续点的连续点.且且若函数若函数 y=f(x)在点在点 x0 处有处有：，或或)()(lim )()(lim0000 xfxfxfxfxxxx 则分别称函数则分别称函数 y=f(x)在在 x0 处是处是左连续或右连续左连续或右连续.由此可知，函数由此可知，函数 y=f(x)在在 x0 处连续的充要处连续的充要条件可表示为条件可表示为：.)(lim)()(lim000 xfxfxfxxxx 即函数在某点连续的充要条件为函数在该点处左、即函数在某点连续的充要条件为函数在该点处左、右连续右连续例例 8证证因为因为，1coslim)(lim00 xxf

14、xx.1)12(lim)(lim00 xxfxx且且 f(0)=1，即，即 f(x)在在 x=0 处左，右连续，所以它在处左，右连续，所以它在 x=0 处连续处连续.0 0 cos 0 12)(处处连连续续在在，试试证证明明 xxxxxxf三、导数与微分1.导数的概念2.求导法3.微分法定义定义设函数设函数 y=f(x)在点在点 x0 的一个邻域内的一个邻域内有定义有定义.在在 x0 处处给给 x 以增量以增量 x(x0+x 仍在上仍在上述邻域内述邻域内)，函数函数 y 相应地有增量相应地有增量 y=f(x0 +x)-f(x0)，1.导数的概念.)()(lim)(0000 xxfxxfxfx

15、存在，存在，如果如果xyx 0lim 则称此极限值为则称此极限值为函数函数y=f(x)在点在点 x0 处的导数处的导数.dd,|,000 xxxxxyyxf 或或或或）（记作记作即即此时也称此时也称函数函数 f(x)在点在点 x0 处可导处可导.如果上述极限不如果上述极限不存在存在，则称则称 f(x)在在 x0 处不可导处不可导.函数函数 y=f(x)在点在点 x0 处的导数的几何意义处的导数的几何意义就是曲线就是曲线 y=f(x)在点在点(x0，f(x0)处的处的切线的斜切线的斜率率,即即 tan =f (x0 0).yOxy=f(x)x0 0P导数的几何意义导数的几何意义例例 9求曲线求曲

16、线 y=x2 在点在点(1,1)处的切线和处的切线和法线方程法线方程.解解(x2)|x=1=2,即点即点(1,1)处的切线斜率处的切线斜率为为 2，所以所以,切线方程为切线方程为:y 1=2(x-1).即即y=2 x-1.法线方程为法线方程为).1(211 xy即即.2321 xy定义定义 存 在存 在，则则称此极限值为称此极限值为 f(x)在点在点 x0 处的处的左导数左导数，记作记作 f (x0)；则称此极限值为则称此极限值为 f(x)在点在点 x0 处的处的右导数右导数，记作记作 f +(x0).显然，显然，f(x)在在 x0 处可导的处可导的充要条件是充要条件是 f -(x0)及及 f

17、 +(x0)存在且相等存在且相等.xxfxxfx )()(lim000如果如果，)()(lim000存存在在如如果果xxfxxfx 同样同样，定理定理如果函数如果函数 y=f(x)在点在点 x0 处可导处可导,则则 f(x)在点在点 x0 处连续处连续，其逆不真其逆不真.可导与连续的关系可导与连续的关系在在 x=1 处的连续性与可导性处的连续性与可导性.解解先求在先求在 x=1 时的时的 y.当当 x 0 时，时，y=f(1+x)-f(1)=2(1+x)3-2=6 x+6(x)2+2(x)3，xxxxxy 32)(2)(66=6+6 x+2(x)2.,3)3(limlim00 xxyxx从而知

18、从而知 .0lim0 yx.6)(266limlim200 xxxyxx因此因此.limlim00 xyxyxx 所以函数在所以函数在 x=1 处连续，但不可导处连续，但不可导.0lim,0lim00 yyxx容易算出容易算出又又(u(x)v(x)=u(x)v (x);(u(x)v(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x);.)()()()()()()(2xuxvxuxvxuxuxv 2.求导法定理定理 设函数设函数 y=f(u)，u=j j(x)均可导均可导，则复合函数则复合函数 y=f(j j(x)也可导也可导.且且，)()(xufyxj j .ddddddxuuyxy ，xuxuyy 或

19、或或或例例 11设设 y=(2x+1 1)5，求，求 y .解解把把 2x+1 看成中间变量看成中间变量 u，y=u5，u=2x+1复合而成，复合而成，,5)(45uuyu .2)12(xux所以所以.)12(102544 xuuyyxux 将将 y=(2x+1)5看成是看成是由于由于定义定义设函数设函数 y=f(x)在点在点 x 的一个邻域的一个邻域内有定义，内有定义，y=A x+，其中其中 A 与与 x 无关无关，是是 x 的高阶无穷小量，的高阶无穷小量，则称则称 A x 为函数为函数 y=f(x)在在 x 处的微分，记作处的微分，记作 dy，即即 dy=A x.也称函数也称函数 y=f(

20、x)在点在点 x 处处可微可微.如果函数如果函数 f(x)在点在点 x 处的增量处的增量 y=f(x+x)-f(x)可以表示为可以表示为3.3.微分法微分法解解因为因为，12xy 所以所以，d2dxxy .d2d2|d11xxxyxx 例例 12求函数求函数 y=2ln x在在x 处的微分，并求处的微分，并求当当 x=1 时的微分时的微分(记作记作dy|x=1).微分的四则运算微分的四则运算定理定理 设函数设函数 u、v 可微，可微，则则d(u v)=du dv.d(uv)=udv+vdu.)0(ddd2 uuuvvuuv例例 13设设 y=excos x，求，求 dy.解解dy =d(exc

21、os x)=ex dcos x+cos xdex=ex(cos x-sin x)dx.复合函数的微分复合函数的微分定理定理 设函数设函数 y=f(u)，u=j j(x)均可微，均可微，dy=f (u)j j (x)dx.则则 y=f(j j(x)也可微，也可微，且且由于由于du=j j (x)dx，所以上式可写为所以上式可写为dy=f (u)du.从上式的形式看，从上式的形式看，它与它与 y=f(x)的微分的微分 dy=f (x)dx 形式一样，这叫一阶微分形式不变性形式一样，这叫一阶微分形式不变性.其意义是：不管其意义是：不管 u 是自变量还是中间变量，函是自变量还是中间变量，函数数 y=f

22、(u)的微分形式总是的微分形式总是 dy=f (u)du.例例 14设设 y=sin(2x)，求微分，求微分 dy.解解利用微分形式不变，利用微分形式不变，有有dy=cos 2x d(2x)=2cos 2xdx.隐函数的微分法隐函数的微分法例例 15 设方程设方程 x2+y2=R2(R 为常数为常数)确定函确定函数数 y=y(x)，.ddxy求求解解 在方程两边求微分，在方程两边求微分，d(x2+y2)=dR2，即即2xdx+2ydy=0.由此，当由此，当 y 0 时解得时解得，yxxy dd或或.yxyx 四、导数的应用1.中值定理2.洛必塔法则3.函数的单调性和极值4.函数的最大值和最小值

23、1.1.中值定理中值定理罗尔定理罗尔定理如果函数如果函数 y=f(x)在闭区间在闭区间 a,b 上连续上连续，那么至少存在一点那么至少存在一点 x x (a,b)，使使 f (x x )=0.且在区间端点处且在区间端点处的函数值相等的函数值相等，即即 f(a)=f(b)，在开区间在开区间(a,b)内可导内可导，x xyxOy=f(x)ba罗尔定理的几何意义是：如果连续曲线除端点罗尔定理的几何意义是：如果连续曲线除端点外处处都具有不垂直于外处处都具有不垂直于 Ox 轴的切线，轴的切线，那么其上至少有一条平行于那么其上至少有一条平行于 Ox 轴轴的切线的切线(如图所示如图所示).).且两端点处且两

24、端点处的纵坐标相等，的纵坐标相等，拉格朗日定理拉格朗日定理若函数若函数 f(x)在闭区间在闭区间 a,b 上上连续连续，在开区间在开区间(a,b)内可导内可导，使得使得)()()(x x fabafbf).)()()(abfafbf x x或或 则至少存在一点则至少存在一点 x x (a,b)，拉格朗日中值定理的几何意义：拉格朗日中值定理的几何意义：如果连续曲线除端点外处处都具有不垂直于如果连续曲线除端点外处处都具有不垂直于 Ox 轴的切线，轴的切线，那么该那么该曲线上至少有这样一曲线上至少有这样一点存在，点存在，y=f(x)bx xayxOCDAB在该点处曲在该点处曲线的切线平行于联结线的切

25、线平行于联结两端点的直线两端点的直线(如图如图所示所示).).2.2.洛必达法则洛必达法则定理定理设函数设函数 f(x)和和 j j(x)在在 x0 的某邻域的某邻域(或或|x|M，M 0)内可微内可微，且当且当 x x0(或或 x )时时，f(x)和和 j j(x)的极限为的极限为零零，如果如果 的极限存在的极限存在)()(xxf j j (或为或为)，则当则当 x x0(或或 x )时时，它们之比的极限存在且它们之比的极限存在且).()()(lim)()(lim)()(00 或为或为xxfxxfxxxxxxj jj jj j (x)0例例 16).1,0,1,0()1ln(lim 0bba

26、axbaxxx计算 )1ln()(lim)1ln(lim00 xbaxbaxxxxxxxbbaaxxx 11lnlnlim0.lnlnlnbaba 解解定理定理设函数设函数 y=f(x)在区间在区间(a,b)内可微内可微，(1)若当若当 x (a,b)时时，f (x)0，则则 f(x)在在(a,b)内内单调递增单调递增；(2)若当若当 x (a,b)时时，f (x)0，x (1,1)时，时，f (x)0，所以所以(,-1)和和(1,)是是 f(x)的递增区间，的递增区间，(-(-1,1)是是 f(x)的递减区间的递减区间.将上述讨论归纳为如下的表格：将上述讨论归纳为如下的表格：x(,-1)(-

27、(-1,1)(1,)f (x)f(x)定义定义 设函数设函数 y=f(x)在在 x0 的一个邻域内有定义的一个邻域内有定义，若对于该邻域内异于若对于该邻域内异于 x0 的的 x 恒有恒有(1)f(x0)f(x)，则称则称 f(x0)为函数为函数 f(x)的极大值的极大值，x0 称为称为 f(x)的极大值点的极大值点；(2)f(x0)0 时时，则则 x0 为极小值点为极小值点，f(x0)为极小值为极小值；(2)当当 f (x0)0；,57,1时时当当 x,2,57时时当当 xf (x)0；当当 x (2,+)时，时，f (x)0.因此，由定理因此，由定理 可知，可知，x=1 为极大为极大值点，值

28、点，,57为为极极小小值值点点 x x=2 不是极值点不是极值点(因为在因为在 x=2 的两侧的两侧 f (x)同为正号同为正号).;0)(xf(3)计算极值计算极值极大值极大值 f(1)=(1 1)2(1 2)3=0，.31251083257215757 f极小值极小值有时，可以将整个解题过程以表格形式表示：有时，可以将整个解题过程以表格形式表示：x(-(-,1)f (x)1 57,157 2,572(2,+)+0-0+0+f(x)极大值极大值03125108 极小值极小值无极值无极值4.函数的最大值和最小值例例 19试求函数试求函数 f(x)=3x4-16x3+30 x2 24x+4在区间在区间 0,3 上的最大值和最小值上的最大值和最小值.解解f (x)=12x3 -48x2 +60 x 24 令令 f (x)=0，得驻点，得驻点 x=1，x=2，它们为它们为 f(x)可可能的极值点，能的极值点，算出这些点及区间端点处的函数值：算出这些点及区间端点处的函数值：=12(x-1)2(x-2)，f(0)=4，f(1)=-3，f(2)=-4，f(3)=13，将它们加以比较将它们加以比较 可知在区间可知在区间 0,3 上上 f(x)的最大值的最大值为为 f(3)=13，最小值为最小值为 f(2)=-4.谢谢大家