基于课程标准的数学表征考查研究

《基于课程标准的数学表征考查研究》由会员分享，可在线阅读，更多相关《基于课程标准的数学表征考查研究（24页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、基于课程标准的数学表征考查研究一、对学生在学习实践中出现错误或解题偏差即一、对学生在学习实践中出现错误或解题偏差即“会而不对，会而不对，对而不全对而不全”现象进行案例分析。现象进行案例分析。例1 函数的 的零点个数（）A、0；B、1；C、2；D、3某同学解答：选（B）分析：函数有关问题必须先求定义域，通过作图可以知道图像不是连续不断的，所以在这里选（B），是错误地使用了零点存在定义。正确解答：选（A）。因为()在定于域为 ，当 时，,当 时，所以函数没有零点。（一）（一）数学概数学概念的念的错误错误表征分析表征分析0 x x 0 x()0f x 0 x()0f x 1()f xxx 例2 函数

2、 值为零时，自变量 的值是_。某同学解答是 。分析：该问题解决时忽略考虑问题中函数本身定义域是 。说明学生在求该函数值为0时，忽略先考虑函数定义域。函数概念关键的定义域没有给予表征，数学中函数的基本知识没有理解到位，也就没有掌握解题基本条件。233()1xfxxx1x 1x x （一）（一）数学概数学概念的念的错误错误表征分析表征分析（二）（二）数学数学公式中、公式中、数数字、字母理解字、字母理解错误错误表征分析。表征分析。例1 的，在初学完全平方时，很大一部分成绩中下学生会这么认识。错误分析：这是对数学公式的表征出现障碍，难以将公式的符号与文中内容一一对应。数学符号高度的简洁性、抽象性、概括

3、性，没有亲身实践体验，是很难正确理解，达到认识。所以初中数学八年级课本很详细地用图形讲授、拼图或将图形分割，利用面积法，将公式的抽象记忆转化为直观联系，建立在学生亲身体验的基础上牢固记忆。22(1)1aa例2 对初中完全平方公式错误运用。（1）_ 是完全平方公式，答案：4（2）_是完全平方公式，答案：4（3）是完全平方公式，答案：2 这三题中，某生第（1）、（3）出现错误，属于“对而不全”现象，原因是对完全平方公式中的符号表征出现偏差，是信息储存加工过程出差错，缺乏分类思想，没有考虑两种答案可能。由此可见，正确的表征对解题产生重要影响。2x 4x24xx24xx2（）（二）（二）数学数学公式中

4、、公式中、数数字、字母理解字、字母理解错误错误表征分析。表征分析。（三）（三）数学问题数学问题中，深中，深层层次的信息次的信息没没能表征分析。能表征分析。这种现象往往是考虑不周或条件隐含太深，没能挖掘、发现。例，若函数 是定义在 上的偶函数，求 、的值。错解：，为非零实数。分析：这里隐含的条件是具有奇偶性函数，定义域必须关于原点对称，即 ，得 ，然后根据偶函数可直接得 。命题编制时，故意隐去相关数学条件，大多学生不会用“偶函数”本身的性质去表征问题解答关键，从而不会进行模式识别和解题迁移。2()3f xaxbxab1,2aaab0b a120aba13a 0b（四）思路（四）思路选选取（即解取

5、（即解题题方法）出方法）出现现差差异异思思维维量量长长短或短或错误错误的表征分析。的表征分析。例 如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，过A点作y轴的垂线交y轴于E，F为x轴负半轴上一点，G在EF的延长线上，以EG为直角边作等腰 ,过A作x轴垂线交EH于M点，连FM，等式 是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由。分析：针对 这个式子进行变式AMFM=OF即AM=OF+FM，这样复杂的问题就简化多了，从线段的和差联想到“补短截长”的方法。方法1：可以在AM线段上截取AN=OF，先证明 ，再证 即可以解决。方法2：可以在x轴负半轴上截取ON=AM。先证明 ，再证明 从而解决问题。AOB

6、(4,4)ARt EGH1A MF MO F1AMFMOFAENOEFFEMNEMOENAEMFENFEM 然而比较方法1和方法2，方法2相对图形表征线条更清晰。表征更明显，显然思维长度相差不多，但更优化。但是受方法“补短截长”的影响，延长MF在射线MF上截取 的就已知条件不够而证明不出来。由此可见，同一数学问题的表征方式不同，使得问题解决的难易程度及效果也不同，适宜的问题表征可以缩短思维过程，优化解题过程，甚至避免错误。所以对图形理解要有预测性。受原有知识记忆的干扰，作为知识迁移、重一般性、忽视特殊性，说明图形表征能力不准确，特殊性表征不到位。FNOF 总结一下总结一下（五）建（五）建构过构

7、过程程与与原有原有认认知知链链接出接出错错的表征分析。的表征分析。例1 某种笔记本每本5元，买x本，笔记本的钱数记为y元，试写出y关于x的函数解析式并画出函数的图像。错解：曲题意得：正确解：由题意得 ，1,2,3,4x如图：5yx5yx1,2,3,4x 错图分析：解决此类问题要特别注意函数的定义域，本题解答忽略这一问题表征，从而改变问题的题意，易画成线段或直线。即受函数已有认知的干扰，对问题“定义域”这一“关键”内容不予以考虑；关键表征被隐掉，从而出现“会而不对”现象，思维不严谨，表征不够深度，与固有知识链接不当。由此，学生对概念问题表征正确与否对解题时“对”与“错”至关重要。学生问题表征能力

8、的强弱，对学习能力，特别是自主学习能力的形成也至关重要，是学生数学思维活动的一种能力体现；培养学生问题表征能力也成为培养学生创新能力的必要，是新课程教学要求的一项重要任务。分析一下分析一下 数学问题表征是解决问题的关键，根据课标要求，中学教师应注重课堂教学，将“数学表征能力”的培养植根于课堂。二、教师教学过程应努力的目标。二、教师教学过程应努力的目标。教师在课堂讲授知识的过程中，应注重自身对教材基本知识的表述，尤其是概念的内涵、外延的描述，正确地表征概念。初中学生在对概念的描述还缺乏数学语言的组织。从小学升到初中，数学的内容，抽象性、概括性、逻辑性等发生了巨大变化，所以教师在课堂上应着力于培养

9、学习数学规范书写，数学规范用语，注重数学语言的组织和阐述，首先让学生明白数学是来自生活的一门无声的科学，是用无声的语言表达展现的。而高中生随着思维能力的发展和知识量的增加，应注重问题的外部表征能力的培养，即会用符号表达，文字语言表达，会用直观图表阐明等三种语言的转化。同一种概念可从不同方面表述。（一）（一）训练学训练学生生对数学概对数学概念的正确表念的正确表达达，提高，提高问题问题表征的表征的准确性。准确性。例1 对函数概念的正确表达：（1）是描述变量之间的依赖关系是一种特殊的映射；（2）函数的定义域、值域；（3）函数的表示法有图像法、列表法、解析法，培养 学生“以形解数，以数示形”的思维能力

10、。例2 用图像展示函数的奇偶性；阐述在整个定义域 上是偶函数，组织学生进行图形语言和符号表征训练，从提升问题表征能力。2()1f xx(,)想一想想一想 对数学概念表征的认识，引发教师对数学教学的进一步思考。学生作为学习的主体，教师要预测性地看到初学者将碰到的难点和疑点，然后以初学者最可以理解的方式来理解概念，要创设适当的情景使问题表征尽可能与数学概念原型相吻合，帮助学生加深对数学概念的理解。（二）（二）创设创设思思维场维场的情景，促的情景，促进进基本知基本知识识的建的建构构，深化，深化问题问题表征。表征。例 进行“向量”概念表征：根据课标要求，教师让学生对“向量”正确的物理背景和几何背景入手

11、，通过力的分析等实例，建立在学生熟悉的矢量等概念与向量练习，引出向量的概念。（1）将向量与数量比较，使学生更深刻地把握向量的概念。（2）通过向量的平移来说明向量相等与起点无关。（3）通过与平面几何中的直线、线段的平行概念比较，使学生知道两个共线向量不一定在同一直线上，但两个向量平行就是共线向量，零向量与任意向量平行。总结提高总结提高梳理提高梳理提高 让学生正确了解向量实际背景，会用字母表示向量、理解零向量、单位向量、相等向量及向量的模，会用几何知识进行表征比较，由此可见高中数学学习不再是单纯的记忆、接受、模仿；发挥学生的主体作用、主动学习、不断探索，而创设问题情景可以激发学生思维，提高解决问题

12、能力，从而拓展元认知的开发。在初中教材中，这一点的训练优为重要。初中学生，不管是学习的内容或思考问题上，相比小学阶段大大跨越了一步，教师应循循善诱，注重章节之间知识点的区别联系，让学生简化内容的记忆、模仿、激发概括、推理，转化的思维方式。（三）把握基本知（三）把握基本知识识之之间间的的网状关网状关系，提高系，提高问题问题表征表征迁迁移性。移性。例例1 1 初中几何网状图：初中几何网状图：性质判定的关系用这图形全部简化。性质判定的关系用这图形全部简化。例例2 2 小学数学小学数学“分数分数”延伸到初中延伸到初中“分式分式”的概念性质比较，有助于的概念性质比较，有助于记忆。记忆。一般四边形平行四边

13、形矩形菱形正方形中各图形的定义例3“非负数”联想到“绝对值”、“完全平分数（式）”、“二次根式”等等这种网状概述有利于培养学生归纳、总结能力，建立知识的结构系统。动一动动一动 在复杂、在陌生数学问题面前，学生有在复杂、在陌生数学问题面前，学生有时会困惑，教师应鼓励学生增强学习信心，时会困惑，教师应鼓励学生增强学习信心，尝试将困难问题通俗化，帮助学生认真审题、尝试将困难问题通俗化，帮助学生认真审题、理清思路、化复杂为简单，将陌生问题表征理清思路、化复杂为简单，将陌生问题表征与原有知识相联系，深入浅出地把问题剖析。与原有知识相联系，深入浅出地把问题剖析。（四）（四）帮帮助理助理清问题清问题的思路，

14、提高的思路，提高问题问题表征的表征的条条理性、理性、灵灵活性。活性。例例 2015 2015年全国卷，文年全国卷，文1111，理，理1111（文理同题）（文理同题）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图的正视图和俯视图如下图所示。若该几何体的表面积为 ，则r=（）1620做一做做一做分析一下分析一下分析：本题是考查学生的空间想象能力和推分析：本题是考查学生的空间想象能力和推理论证能力，而三视图是考查空间想象能力理论证能力，而三视图是考查空间想象能力的很好载体。全国卷加强三视图的考查，且的很好载体。全国卷加强三视图的考查，且达到一定的深度，难度大大增加，对这类

15、复达到一定的深度，难度大大增加，对这类复杂图形，将问题转化为平面几何，并运用原杂图形，将问题转化为平面几何，并运用原有几何的知识去表征，从而解决问题。有几何的知识去表征，从而解决问题。总之，学生解题的质量，与学生数学问题表征能力是紧密相关的，对问题进行合理、正确、适宜的表征，会减少解题思路偏差。通过严密的数学问题表征训练，培养学生严谨的数学语言表达能力，提高思考的条理性和灵活性，才能保证教与学的质量，这也是数学课程标准要求的重要任务。探索提高探索提高【1 1】福建省普通高中新课程教学要求（试行）数学】福建省普通高中新课程教学要求（试行）数学20082008年年6 6月第一版月第一版【2 2】中

16、华人民共和国教育部】中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）普通高中数学课程标准（实验）M.M.北京：人民教育出版社，北京：人民教育出版社，2003.2003.【3 3】文萍】文萍.高中生数学概念表征的研究高中生数学概念表征的研究J.J.玉溪师范学院学报，玉溪师范学院学报，20082008，（，（8 8）：）：61-65.61-65.【4 4】郭秀玲，李忠海】郭秀玲，李忠海.学生数学问题表征能力分析学生数学问题表征能力分析J.J.中国数学教育，中国数学教育，2008.9.2008.9.【5 5】李善良】李善良.现代认知观下的数学概念学习与数学现代认知观下的数学概念学习与数学M.M.南京：江苏教育出版社，南京：江苏教育出版社，20052005：55”55”参考文献参考文献