等差数列及其通项公式

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1、 等差数列及其通项公式等差数列及其通项公式一般地，如果一个数列 a a1 1,a,a2 2,a,a3 3，a an n 从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数d，a a2 2 a a1 1=a a3 3-a-a2 2=a=an n-a-an-1 n-1=d=d 那么这个数列就叫做等差数列。常数d叫做等差数列的公差。知识回顾知识回顾an+1-an=d(nN*)通通 项项 公公 式式 的的 推推 导导1 1（归纳猜想）（归纳猜想）设一个等差数列设一个等差数列 an n 的首项是的首项是a1 1,公差是公差是d,d,则有：则有：a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,所以有：所以有

2、：所以等差数列的通项公式是：所以等差数列的通项公式是：an=a1+(n-1)d（nN*）问问an=?=?通过观察：通过观察：a2，a3，a4都可都可以用以用a1与与d 表示出来表示出来；a1与与d的的系数有什么特点？系数有什么特点？a1 1、an n、n、d知三知三求一求一a2=a1+d,a3=a1+2d,a4=a1+3d,an=a1+(n-1)da2=a1+d,a3=a2+d =(a1+d)+d=a1+2da4=a3+d =(a1+2d)+d=a1+3d21aad32aad43aad12nnaad1nnaad叠加得叠加得1(1)naand等差数列的通项公式推导等差数列的通项公式推导2（叠加）

3、（叠加）dnaan)1(1例第一届现代奥运会于例第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每年在希腊雅典举行，此后每4年年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算。举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算。（1）试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式）试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式 （2）2008年北京奥运会是第几届？年北京奥运会是第几届？2050年举行奥运会吗？年举行奥运会吗？解解:（1）由题意知，举行奥运会的年份构成的数列是一个以）由题意知，举行奥运会的年份构成的数列是一个以1896为首项，为首项，4为公差的等差数列。这个数列的通项公式为为公差的等差数列。这个数列

4、的通项公式为 an=1896+4(n-1)=1892+4n(nN*)(2)假设假设an=2008,由由 2008=1892+4n,得得 n=29.假设假设an=2050,2050=1892+4n 无正整数解无正整数解答：所求通项公式为答：所求通项公式为 an=1892+4n(nN*)，2008年北京奥运会是第年北京奥运会是第29届，届，2050年不举行奥运会年不举行奥运会例例.在等差数列在等差数列an中中,已知已知a3=10,a9=28,求求a12。推广：推广：等差数列等差数列an中中，am,an(nm)等差数列的通项公式一般形式等差数列的通项公式一般形式:an=am+(nm)d.解：由题意得

5、解：由题意得a1+2d=10a1+8d=28所以所以a12=4+(12-1)3=37注注:a12=a1+11d=+(12-3)d=+(12-3)d =+(12-9)d=+(12-9)d解得：解得：a1=4 d=3练一练练一练：已知：已知a5=11,a8=5,求等差数列求等差数列an的通项公的通项公式式.练练习习1 1、填空题：、填空题：(1)(1)已知等差数列已知等差数列3 3，7 7，1111，则，则a11=(2)(2)已知等差数列已知等差数列1111，6 6，1 1，则，则an =(3)(3)已知等差数列已知等差数列1010，8 8，6 6，中，中，-10是第（是第（）项项43-5n+16

6、11练习练习2.已知等差数列已知等差数列an的通项公式为的通项公式为an=2n 1.求首项求首项a1和公差和公差d.变式引申变式引申:如果一个数列如果一个数列an的通项公式的通项公式an=kn+d,其中其中k,b都是常数都是常数,那么这个数列一定是等差数列吗那么这个数列一定是等差数列吗?语言描述这种现象语言描述这种现象想一想！想一想！1a111(1)(1)2(2)mnaaamdandamndmnpq mnpqaaaa d na Nqpnm,qpnmqpnmaaaa 在等差数列在等差数列中，中，为公差，若为公差，若且且求证：求证：证明：证明：设首项为设首项为，则，则例例2.111(1)(1)2(

7、2)pqaaapdaqdapqd等差数列的性质等差数列的性质 若p=q呢?2,2mnpmnpaaa若则有练习练习.在在等差数列等差数列an中中(1)已知已知 a6+a9+a12+a15=20，求，求a1+a20(2）已知）已知 a3+a11=10，求，求 a6+a7+a8分析：由分析：由 a1+a20=a6+a15=a9+a12 及及 a6+a9+a12+a15=20，可得可得a1+a20=10分析：分析：a3+a11=a6+a8=2a7，又已知又已知 a3+a11=10，a6+a7+a8=（a3+a11）=1523例题分析例题分析1591317315(3)117,naaaaaa已知数列是等差

8、数列，且求a+a 的值1 1.等差数列等差数列 an 的前三项依次为的前三项依次为 a-6-6，2 2a-5-5，-3-3a+2 2，则则 a 等于（等于（)A.-.-1 1 B.1 1 C.-2 -2 D.2B2.在在数列数列an中中a1=1，an=an+1+4，则，则a10=2(2a-5)=(-3a+2)+(a-6-6)提示提示1:提示：提示：d=an+1an=4-353.在在等差数列等差数列an中中 (1)若若a59=70，a80=112，求，求a101；(2)若若ap=q，aq=p(pq)，求，求ap+qd=2,a101=154d=-1,ap+q=0课堂练习课堂练习 13746211,

9、101252,12,4.(3)9418nnadaaaaaa 练习题（）等差数列第项大于，求公差 的范围（）已知等差数列满足求数列的通项公式四个数成等差数列，其中四个数的平方和为，第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积少，求这四个数。15253533,66,aaa在等差数列中，求的值(4)例31121,2nnnnnaaaaa已知数列的各项均为正数，且满足a，求练习练习已知已知 ，求，求 的值。的值。)(21)(2)1(,2)1(*Nnnfnff)2007(f100523200721)2007(2321)(212)(21)()1(1)(2)1(2fnnfnfnfnfnfnf即的等差数列，公

10、差为是首项为解解:小结小结掌握等差数列的通项公式，并能运用公掌握等差数列的通项公式，并能运用公式解决一些简单的问题式解决一些简单的问题an=a1+(n1)d 提高观察、归纳、猜想、推理等数学能力提高观察、归纳、猜想、推理等数学能力a amm+a an n=a ap p+a aq q上面的命题中的等式两边有上面的命题中的等式两边有 相相 同同 数数 目目 的项，否则不成立。如的项，否则不成立。如a a1 1+a a2 2=a a3 3 成立吗？成立吗？【说明说明】3.3.更一般的情形，更一般的情形，a an n=，d d=1.1.a an n 为等差数列为等差数列 2.2.a a、b b、c c

11、成等差数列成等差数列 a an n+1+1-a an n=d=da an n+1+1=a=an n+d+da an n=a a1 1+(n-n-1)1)d da an n=kn +bkn +b（k k、b b为常数）为常数）a amm+(n n-mm)d dmnaamnb b为为a a、c c 的等差中项的等差中项2cab 2 2b=a+cb=a+c4.4.在在等差数列等差数列 a an n 中，由中，由 m+n=p+q m+n=p+q 注意：注意：上面的命题的逆命题上面的命题的逆命题 是不一定成立是不一定成立 的；的；等差数列的性质等差数列的性质5 5.在等差数列在等差数列 a an n 中中a a1 1+a an n a a2 2+a an-n-1 1 a a3 3+a an-n-2 2 =作业作业书上书上39页，第页，第3题（题（2），第），第4题题谢谢 谢！谢！