数学命题及其教学

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1、 数学命题概述数学命题概述数学命题概述数学命题概述数学命题概述数学命题概述 数学命题学习的心理分析数学命题学习的心理分析数学命题学习的心理分析数学命题学习的心理分析数学命题学习的心理分析数学命题学习的心理分析 命题教学的基本要求和教法探讨命题教学的基本要求和教法探讨命题教学的基本要求和教法探讨命题教学的基本要求和教法探讨命题教学的基本要求和教法探讨命题教学的基本要求和教法探讨数学命题概述数学命题概述判断的意义和种类判断的意义和种类1.数学判断数学判断 对思维对象有所肯定或否定的思维形式叫做对思维对象有所肯定或否定的思维形式叫做“判断判断”。数学判断是关于数学对象及其属性的判断。数学判断是关于数

2、学对象及其属性的判断。按照思维对象的按照思维对象的量量，判断可分为：全称判断、，判断可分为：全称判断、特称判断、单称判断；特称判断、单称判断；按判断的按判断的质质来分有：肯定判断、否定判断；来分有：肯定判断、否定判断；按判断的按判断的关系关系来分有：定言判断、选言判断和来分有：定言判断、选言判断和假言判断。假言判断。2.2.常用的判断形式及其之间的关系常用的判断形式及其之间的关系 如果用如果用S表示判断的对象，表示判断的对象，P表示性质表示性质（1）全称肯定判断）全称肯定判断 “所有的所有的S是是P”（2）全称否定判断）全称否定判断 “所有的所有的S都不是都不是P”（3）特称肯定判断）特称肯定

3、判断 “有的有的S是是P”（4）特称否定判断）特称否定判断 “有的有的S不是不是P”S也叫做判断的也叫做判断的“主项主项”，P也叫做也叫做“谓项谓项”，“所有的所有的”或或“有的有的”表示主项的数量，叫做表示主项的数量，叫做“量量词词”，在全称判断中量词常常省略不写；，在全称判断中量词常常省略不写；“是是”或或“不是不是”称为称为联结词联结词，表示肯定或否定。，表示肯定或否定。SAPSIPSOPSEP反反 对对 关关 系系矛矛盾盾关关系系下下 反反 对对 关关 系系差等关系差等关系差等关系差等关系系系关关矛矛盾盾数学命题的意义数学命题的意义 在数学中，用来表示数学判断的陈述句或符号的组在数学中

4、，用来表示数学判断的陈述句或符号的组合叫做合叫做“数学命题数学命题”。通常用。通常用“p,q,r,s,t”来表示，来表示，并且称为并且称为命题变量命题变量（变项）。（变项）。对于对于无法判断无法判断其真假的语句，称为其真假的语句，称为开（语）句开（语）句。注注：形式逻辑专门研究判断的形式，而不管判断的内：形式逻辑专门研究判断的形式，而不管判断的内容，只从真值的角度研究命题的形式及各种命题之容，只从真值的角度研究命题的形式及各种命题之间的关系。但在数学中，间的关系。但在数学中，既既研究命题的内容，研究命题的内容，又又研研究命题的形式，把内容和形式统一起来研究数学命究命题的形式，把内容和形式统一起

5、来研究数学命题。题。如如在形式逻辑中，命题在形式逻辑中，命题“如果如果13,那么那么1+23+2.”但在数学中但在数学中请大家判断以下语句是否是数学命题：请大家判断以下语句是否是数学命题：（1）数学是一门科学；）数学是一门科学；（2）；（3）67;（6）你在干什么？）你在干什么？（7）禁止吸烟！）禁止吸烟！（8）2比比3大吗？大吗？（9）哎呀！那还得了！）哎呀！那还得了！12 复合命题与逻辑联结词复合命题与逻辑联结词 数学命题一般可分为数学命题一般可分为简单命题简单命题和和复合命题复合命题两大类。两大类。简单命题就是不包含其他命题的命题，又可分为简单命题就是不包含其他命题的命题，又可分为性性质

6、命题质命题和和关系命题关系命题两种。两种。象象“一切矩形都是平行四边形一切矩形都是平行四边形”、“自然数不是无自然数不是无理数理数”、“有些奇数是素数有些奇数是素数”等都是等都是性质性质命题；命题；象象“一切正数都大于零一切正数都大于零”、“直线直线a平行于直线平行于直线b”等等都是都是关系关系命题。命题。复合命题是由两个或两个以上简单命题通过复合命题是由两个或两个以上简单命题通过逻辑联逻辑联结词结词结合起来而构成的命题。结合起来而构成的命题。常用的逻辑联结词有以下五种：常用的逻辑联结词有以下五种：否定、合取、析取、蕴涵、等价否定、合取、析取、蕴涵、等价1.否定（非）否定（非），其真值表如下：

7、，其真值表如下：pp和不是直角是直角ApAp:0 1 1 0pp5:5:xqxq2.合取（与，且）合取（与，且）qp合取qp 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0pqqp P:ABC是等腰三角形是等腰三角形q:ABC是直角三角形是直角三角形pq:ABC是等腰直是等腰直角三角形角三角形.p:ABCDq:AB=CDpq:AB CD3.析取（或）析取（或）qp 或qp 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0pqqpp:x2q:x=2pq:x 2P:ABC是等腰三角形是等腰三角形q:ABC是直角三角形是直角三角形Pq:ABC是等腰三角形或是等腰三角形或直角三角形直角三角形.4.蕴涵（

8、如果蕴涵（如果，则，则）.qp，则如果qp 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1pqqp P:a和和b都是偶数，都是偶数，Q:a+b也是偶数。也是偶数。5.等价（当且仅当）等价（当且仅当）qp当且仅当qp 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0pqqp)24/8()522()35()62()2054()835(：判断下列等值式的真假复合命题的值复合命题的值 求复合命题的值，可先求复合命题的值，可先穷尽穷尽地列出地列出p、q取值可能，然后再根据联结词的强弱顺取值可能，然后再根据联结词的强弱顺序，逐步得出各层复合命题的值，直到序，逐步得出各层复合命题的值，直到最后求出整个复合命题

9、的值。最后求出整个复合命题的值。联结词的联结词的强弱顺序强弱顺序：,减弱pqqqp 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0qp pqp的真值表如下：和命题pqpqp恒真命题恒真命题111100001010101011001100p qrqp rq rp)()(rqqp)()()(rprqqp 用真值表验证用真值表验证)()()(rprqqp是恒真命题是恒真命题逻辑等价逻辑等价如果两个复合命题如果两个复合命题A、B的的真值表相同真值表相同，我，我们就称们就称A、B逻辑等价逻辑等价。记为记为“”BA 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1

10、 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0pqpqqp qp)(qp结果相同结果相同可以验证下列逻辑等价式：可以验证下列逻辑等价式：幂等律幂等律pppppppqqppqqp)()()()(rqprqprqprqp)()()()()()(rpqprqprpqprqpqpqpqpqp)()(pp qpqp双重否定律双重否定律交换律交换律结合律结合律分配律分配律德德摩根律摩根律pqpppqpp)()(ffpttppfpptp;fpptpp余补律余补律同一律同一律吸收律吸收律假言命题的四种形式及其之间的关系假言命题的四种形式及其之间的关系qppqqppq原命题原命题逆命题逆命

11、题否命题否命题逆否命题逆否命题互互 逆逆互互 逆逆互互 否否 互互 否否 逆否（等价）逆否（等价）例子：例子：1.原原命题：如果两个三角形全等，则这两个三角命题：如果两个三角形全等，则这两个三角形等积。形等积。逆逆命题：如果两个三角形等积，则这两个三角命题：如果两个三角形等积，则这两个三角形全等。形全等。否否命题：如果两个三角形不全等，则这两个三命题：如果两个三角形不全等，则这两个三角形不等积。角形不等积。逆否逆否命题：如果两个三角形不等积，则这两个命题：如果两个三角形不等积，则这两个三角形不全等。三角形不全等。真真假假假假真真2.原原命题：如果一个四边形是平行四边形，则它命题：如果一个四边形

12、是平行四边形，则它的对角线互相平分。的对角线互相平分。逆逆命题：如果一个四边形的对角线互相平分，则它命题：如果一个四边形的对角线互相平分，则它是平行四边形。是平行四边形。否否命题：如果一个四边形不是平行四边形，则它的命题：如果一个四边形不是平行四边形，则它的对角线不互相平分。对角线不互相平分。逆否逆否命题：如果一个四边形的对角线不互相平分，命题：如果一个四边形的对角线不互相平分，则它不是平行四边形。则它不是平行四边形。真真真真3.原原命题：如果一个四边形是平行四边形，则命题：如果一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相垂直。它的对角线互相垂直。逆否逆否命题：如果一个四边形的对角线不互相命题：如

13、果一个四边形的对角线不互相垂直，则它不是平行四边形。垂直，则它不是平行四边形。逆逆命题：如果一个四边形的对角线互相垂直，命题：如果一个四边形的对角线互相垂直，则它是平行四边形。则它是平行四边形。否否命题：如果一个四边形不是平行四边形，命题：如果一个四边形不是平行四边形，则它的对角线不互相垂直。则它的对角线不互相垂直。假假假假它们之间的关系可以用真值表来证明：它们之间的关系可以用真值表来证明：1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 110101100p qpqqp pq qppq结果相同结果相同偏逆命题及其否命题偏逆命题及其否命题把原命题中数目

14、相同的把原命题中数目相同的部分部分前提和结论互换后前提和结论互换后得到的命题称为原命题的得到的命题称为原命题的偏逆命题偏逆命题。例如例如原原命题：如果命题：如果a和和b都是偶数，则都是偶数，则a+b也是也是偶数。偶数。真真(a是偶数是偶数)(b是偶数是偶数)(a+b是偶数是偶数)偏逆偏逆1：(a是偶数是偶数)(a+b是偶数是偶数)(b是偶数是偶数)偏逆偏逆2：(a+b是偶数是偶数)(b是偶数是偶数)(a是偶数是偶数)请大家作出下面这个命题的偏逆命题：请大家作出下面这个命题的偏逆命题：如果四边形如果四边形ABCD是平行四边形，则它的对边是平行四边形，则它的对边相等。相等。(ABCD)(BCAD)

15、(AB=CD)(BC=AD)(ABCD)(AB=CD)(BCAD)(BC=AD)(AB=CD)(BCAD)(ABCD)(BC=AD)(ABCD)(BC=AD)(AB=CD)(BCAD)(BC=AD)(BCAD)(AB=CD)(ABCD)充分条件和必要条件充分条件和必要条件如果命题如果命题“pq”为真，那么，为真，那么，p就称为使就称为使q成成立的立的充分条件充分条件，q就称为使就称为使p成立的成立的必要条件必要条件。充分而非必要条件：充分而非必要条件：pq真但真但qp假假.必要而非充分条件：必要而非充分条件：pq假但假但qp真真.充分必要条件：充分必要条件：pq和和qp均真，简称充要均真，简称

16、充要条件条件.公理和定理公理和定理公理公理：作为证明其他一切命题的基础，而不加：作为证明其他一切命题的基础，而不加证明就承认其真实性的一组命题。证明就承认其真实性的一组命题。公理化方法公理化方法：从尽可能少的原始概念和公理出：从尽可能少的原始概念和公理出发，应用形式逻辑的演绎推理，建立数学各分发，应用形式逻辑的演绎推理，建立数学各分支理论体系的一种方法。支理论体系的一种方法。如：欧氏几何公理体系如：欧氏几何公理体系 公理的选取必须满足：公理的选取必须满足：相容性相容性、独立性独立性、完完 备性备性定理定理：根据已知概念和真命题，遵照逻辑规律，运：根据已知概念和真命题，遵照逻辑规律，运用正确逻辑

17、方法来证明其真实性的命题。用正确逻辑方法来证明其真实性的命题。逆定理逆定理：一个定理的逆命题若为真，则称其为该定：一个定理的逆命题若为真，则称其为该定理的逆定理。理的逆定理。判定定理判定定理：用来确定某个对象存在的充分条件的定：用来确定某个对象存在的充分条件的定理。理。性质定理性质定理：确定某个对象存在的必要条件的定理。：确定某个对象存在的必要条件的定理。引理引理：为证明一个主要定理作准备，先证明的一个：为证明一个主要定理作准备，先证明的一个或几个或几个“小定理小定理”。推论推论（或系）：从公理或定理直接推出来的定理。（或系）：从公理或定理直接推出来的定理。证明题证明题：在教材中通常列入例题或

18、习题，作为推理：在教材中通常列入例题或习题，作为推理 论证的练习。论证的练习。分断式命题和配套定理分断式命题和配套定理在在ABC中，中，如果如果ABAC，那么，那么CB；如果如果ABAC，那么，那么CB；如果如果ABAC，那么，那么CB.象上例，一个命题是由几个命题总合而成，而象上例，一个命题是由几个命题总合而成，而它们的条件和结论有相同的它们的条件和结论有相同的特点特点：所含事项互：所含事项互不相容，又包括了一切可能的情形，则把这样不相容，又包括了一切可能的情形，则把这样的命题称为的命题称为“分断式命题分断式命题”.分命题学生学习数学命题的心理分析学生学习数学命题的心理分析对公理、定理、公式

19、的学习很大程度上对公理、定理、公式的学习很大程度上依赖于直接感知依赖于直接感知难以从条件与结论的关系上把握条件命难以从条件与结论的关系上把握条件命题题孤立地学习定理、公式孤立地学习定理、公式公理、定理、公式的教法探讨公理、定理、公式的教法探讨公理的教法公理的教法 采用学生熟知的具体事例或生活经验出采用学生熟知的具体事例或生活经验出发发定理、公式的引入方法定理、公式的引入方法 (1)通过对具体事物观察和实验与实践活通过对具体事物观察和实验与实践活动，做出猜想动，做出猜想（2）通过推理直接发现结论）通过推理直接发现结论（3）通过命题间的关系，对一个命题做）通过命题间的关系，对一个命题做出变形（逆命题、偏逆命题等）出变形（逆命题、偏逆命题等）使学生明确公理的意义使学生明确公理的意义由学生探索定理、公式等由学生探索定理、公式等先发现、猜想，后教师归纳和逻辑证明先发现、猜想，后教师归纳和逻辑证明注意命题间的关系，渗透必要的逻辑知识注意命题间的关系，渗透必要的逻辑知识