矩阵论简明教程(整理全)课件

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1、1、数集R实数集，C复数集2、矩阵的记号111212122212nnijm nmmmnaaaaaaAaaaa 1 ;m nmnR所有实矩阵集合记为 2 ;m nmnC所有复矩阵集合记为 3 ;nnR所有 维实列向量集合记为 4 ;nnC所有 维复列向量集合记为1、加法，减法,ijijm nm nijijm nAaBbABab若则2、数乘,ijijm nm nAaAaC若则 3、乘法1 1221,ijijm rr nrijijijijirrjikkjm nkAaBbABcca ba ba ba b若则其中4、转置与共轭转置111211121121222122221212 =nmnmTmmmnnn

2、mnijjim nn maaaaaaaaaaaaAAaaaaaaaa设，则112111222212,mmHijijijm nnnmnaaaaaaAaaaaaa其中是复数 的共轭.111211112121222212221212,rrrrsssrsssrAAABBBAAABBBABAAABBB设1、加法，减法111112121121212222221122,rrrrsssssrsrABABABABABABABABABAB则2、数乘111211112121222212221212rrrrsssrsssrAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA设，则3、乘法111211112121222212221

3、212,trtrsssttttrAAABBBAAABBBABAAABBB设1112121222112,1,2,;1,2,rtrijikkjksssrCCCCCCABCA BCCCis jr则其中4、转置与共轭转置111211121121222122221212,TTTrsTTTrTsTTTsssrrrsrAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA设则112111222212HHHsHHHHsHHHrrsrAAAAAAAAAA1112121222121 detnnnnnnaaaaaaAAaaa、1 11 211111121211(1)(1).(1)nnnaaaMMM1111111(1)(1)nnj

4、jjjjjjaa AM212,12,12313,13,1311,1,1 (1,2,)jjnjjnjnn jn jnnaaaaaaaaaaaajnM其中1 2121 2122 det(1)nnnj jjjjnjj jjAaaaA、1 ,00100m mm nn mn nABCDAABAA DDDCDCCCC、设则 211mnmnABCDBACDABDC 3mABABCDCD 00300 nnEEEAEBABABIICDCDCDABECD0000 mmABFABIAB ICDFCDFCDFABFCD 040 mnmnIABABEICEADEBCDIABABABAFEICDCDCDCF即某行左乘一个

5、矩阵加到另一行，值不变；某列右乘一个矩阵加到另一列，值不变。,n nABA BAB ABBAC设证明0 ABABABBBABAABABAB AB,n nA B C DAACCAABADCBCDC设且 可逆，证明110ABABA DCA BCDDCA B111A DCA BADACA BADCAA BADCB,m nn mnmmnABIABIBACC设证明=000mnmnmmmmnnnnIABAIABIIAIIAIBIBIBIBI左边=000mmnnmmmmnnnnIAIBAIBAIIAIIABIBIBIBI右边左边122221211112111 nnnnnnnxxxDxxxxxx1()jii

6、j nxx 1、秩的定义 1 rank ArA的行向量组的极大线性无关组中向量的个数 2 rank ArA的列向量组的极大线性无关组中向量的个数 3 rank ArA的最高阶非零子式的阶数23823rank 21222,0,212131238 21220.131例如 因为但2、基本性质（1）初等变换不改变矩阵秩；2,P QBPAQrank Arank B 若可逆，且则 3,0,m nnAWxAxrank Adim WnCC 设则 1THrank Arank Arank A 2Hrank A Arank A 0100AACrank Arank BrankrankBB 0020AArank Ara

7、nk BrankrankBDB 300rank Arank Arank ABAArank ArankrankB 40;0rank Arank Arank AABrank ABBBrank Brankrankrank ABAB 1,;m nA Brank ABrank Arank BC设则 2,min,m nn kABrank Arank Bnrank ABrank Arank BCC设,则 ,0,m nn kABABrank Arank BnCC设,且则1、零矩阵，单位矩阵2、对角矩阵11221122,nnnnaaDdiag aaaa3、三角矩阵11121222.0.00.nnnnaaaaaa

8、上三角矩阵112122120.0.0;.nnnnaaaaaa下三角矩阵,n nHHAAA AAAAC设若 满足则称 为正规矩阵.以下矩阵都是正规矩阵：1,;n nTAAAR实对称阵：2,;n nTAAA R实反对称阵：3,;n nTTAA AAAIR实正交矩阵：4,;n nHAAACHermite矩阵：5,;n nHAAA C反Hermite矩阵：6,;n nHHAA AAAIC酉矩阵：,n nHHAAA AAAIAC设若 满足则称 为酉矩阵.I单位矩阵 经一次初等变换而得到的矩阵称为初等矩阵.有以下三类初等矩阵：10111 ,1101E i jRow iRow j 11 211E i kk

9、11 3,11kE i j k,nHnu vE u vIuvCC设记 则 10111,1101E i j 1011111110 0 00 000njiijIeeee0 01 0 01 00njiIee,1HnjijiijijIeeeeE ee ee 11 211E i kk1010111010k001001001001niniHni iIekIkeIkee,1iiE e ek 11 3,11kE i j k10101010k000000100,niniHnijijIkeIkeIk eeE e ek det,detdet 11HHnHE u vIuvv uv u(nmmnIABIBA由得到）1

10、0,:;kAk幂零矩阵：某正整数 22;AA幂等矩阵：3,0,0n nTTnAAA x Axxx RR实对称正定矩阵：且 4,0,0n nHHnAAA x Axxx CCHermite正定矩阵：且1、定义、定义,0n nnAxxAxxAxACCC设若存在数和使得 则称 是 的特征值，称为 属于 的特征向量。2、特征多项式、特征多项式,0n nnnnAIAAIAAIAAC设称为 的特征矩阵，称det为 的特征多项式,称det为 的特征方程。1 AA的特征值就是 的特征方程的根；2 nAn阶方阵 在复数范围内一定有 个特征值。3、特征值与特征向量的求法、特征值与特征向量的求法 21det0,n n

11、nnAIAnA C1设求的 个根它们即为 的全部特征值；20,iniIA xA求解齐次方程组其非零解向量即为的对应特征值 的特征向量；122224,242AA 设求 的特征值与特征向量 2122det22427242AIA的特征多项式为12327.A 所以 的特征值为，12220.1221222244000244000IA xIA当时，解方程组由12221,001xx 得基础解系 121 122122,0.k xk xk k所以对应的全部特征向量为 其中不同时为3770.822100.57254011245000IA xIA 当时，解方程组由3333312,720.xk xk 得基础解系 故对

12、应的全部特征向量为，11221122,tr,tr.n nijnnn nnnAaaaaAAAaaaC设称为 的迹，记为即 12121122121212,1 =tr;2det;3,ijnn nnnnnTHnnnAaaaaAAAA 设阶方阵的特征值为，则+的特征值是，而的特征值是，.n niiiiiiiiiiArrsssrC设 是的 重特征值 称 为特征值 的代数重数，对应 有 个线性无关的特征向量(称 为特征值 的几何重数），则1 11101110 ,ssssn nssssffaaaaAfAa AaAa Aa IfAAC设是 的多项式对于规定称为矩阵 的多项式.12121212,.n nnnnnA

13、Anx xxffAfffxxxC设的 个特征值为，对应的特征向量为又设为一多项式，则的特征值为对应的特征向量仍为121212,sssAx xxx xx设，是方阵 的互不相同的特征值，是分别与之对应的特征向量，则线性无关.,detdetm nn mnmmnABIABIBACC1 设,则 ,detdetnnmnIABIBA特别地，若则,detdet,n mnmnmIBAIABABBA若则即比多的特征值为0,其余相等.1、定义、定义1,.n nn nA BPP APBABABCC设若存在可逆矩阵使得 则称 与 相似，记为2、性质、性质 ,;2,;3,.n nA B CAAABBAAB BCACC设,

14、则1若则若则 ,;2 detdet,;3.n nA BAB frank Arank BIAIBABfAf BC设,是一多项式，则1即 与 有相同的特征多项式，从而有相同的特征值1,ABPP APB可逆阵 使得111 .IBIP APPIA PPIA PIA因此1、定义、定义,.n nAAAC设若 与一个对角矩阵相似，则称 可对角化2、相似对角化的条件、相似对角化的条件,.n nAAAnC设则 可对角化的充分必要条件是 有 个线性无关的特征向量12112 ,nnAdiagPP APAPPP 若则存在可逆阵使得即令故,212121nnnA ,1,2,.iiiiiAinA 即因此是 对应特征值 的特

15、征向量12,.nP 由于 是可逆的 因此是线性无关12 ,nAn 若 有个线性无关的特征向量则,2,1,niAiii12,nPP 令则是可逆的，且112212112,nnnnAPPdiagP APdiagA 即也就是 可对角化.,n nAAnAC设如果 有 个不同的特征值，则 可对角化.212,ssiinAr rrrrA 1i设是 阶方阵 的所有互不相同的特征值其重数分别为,.若对应 重特征值 有 个线性无关的特征向量，则 可对角化.1Whether the following matrices are similar to a digonalmatrix,if yes,find a nons

16、ingular matrix such that PP AP 110211 1 430;2 234102112AA 2123row elementary operations 1 121,2and210210 420101 .101000EAEA12,thus the dimension of eigenspace 31multiplicity 2 of the eigenvaule 1.Therefore is not diagonalizable.r EAVr EAA 123 2 113 1,1,3,thus,is diagonalizable.EAA 1233020 xxxx1For 1

17、,sovle the equation 0,111111224002,that is113000EA xEA 111from which we obtain an eigenvector 1 of 1.0220Similarly,for 1,we have an eigenvector 1.1 332for 3,we have an eigenvector 3.1 1102Let 113 ,then 1,1,3.011PP APdiag100142 If 034,find.043AA5,5,1251 3212AE123123Similar to example 2,we get the cor

18、responding eigenvectors 1,0,0,2,1,2,1,2,1 of,.TTT 11211Let 012 ,then 5.0215PP AP 10010011111001001100100Thus,1051050.005AP PP PP PP PPP1、定义、定义1 Jordan1iiiiiiir rJr形如的矩阵称为 阶块，12Jordan JordansJJJJ由若干个块构成的分块对角阵 称为矩阵.JordanJordan对角矩阵是一个矩阵，它的每个块是一阶的；2、矩阵的、矩阵的Jordan分解定理分解定理1,Jordan ,JordanJordann nn nAAJP

19、P APJJACC设则 与一个矩阵 相似，即存在可逆矩阵使得这个矩阵 除块的排列次序外由 唯一确定.1、初等变换法、初等变换法 2.n nnnnnAIAAIAIAIA C设,是 的特征矩阵，其初等变换包括：1 交换的两行 列；的某一行 列 同乘以一个非零常数；3的某一行 列 同乘以多项式加到另一行 列 12Smith n nnnAIAddSdC设,则经过初等变换可化为如下标准形 11,2,1,2,1.iiidinddin其中是首一多项式 即最高次项系数为1的多项式，且 11 s.t.iiiiddfddf 2idA定理 中每个多项式称为 的不变因子.12SmithnnIAAddd1 用初等变换化

20、特征矩阵为标准形，求出的不变因子,.iAdA2 将 的每个次数大于零的不变因子分解为互不相同的一次因式方幂的乘积，这些一次因式的方幂称为 的初等因子.12121212 ,srrrsssArrrn 设 的全部初等因子为：其中可能有相同的，且,1,2,Jordan11,2,1iiiriiiiir risJis3 写出每个初等因子对应的块 12Jordan JordanJordansJJJJA以这些块构成的阵即为 的标准形.101120Jordan403A求矩阵的标准形101120403IA1331132001120100ccrr11312100021001rcc 23232212100001012

21、0ccrr 223121000100012rcc 123AdddA22可见 的不变因子为=1,=1,-1-2.而 的初等因子为-1，-2.Jordan110010002AJ故 的标准形为 2、行列式因子法、行列式因子法 1,2,.n nnkAIAkDAknkC设,的所有 阶子式首一最大公因式阶行列式因，子称为 的 1,2,.n nkkADAkdAknC设,是 的 阶行列式因子，是 的不变因子，则 111,2,3,.kkkdDdDDkn=12nnIAnDDD1 求的 个行列式因子,.121,2,.kkkkdDDAdkn由求 的不变因子，3JordanA求 的初等因子和标准形.311202Jord

22、an113A 求矩阵的标准形331122113IA 11AD的1阶行列式因子为.A的2阶子式如下：1,21,32,31:12,22,22 1,21,32,31:2,24,23 1,21,32,32:2,22,123 22AD故 的2阶行列式因子为.333311222113DIA 1231,2,2Addd2故 的不变因子为.2,2A2的初等因子为.Jordan210200020021002002AJJ所以 的标准形为 ，或JordanA2-11-122-1-1求矩阵的标准形12-12000342111221112120003IA432112211,121211221325122IA 可求得中的两

23、个三阶子式 332111DDDD因整除每个三阶子式，所以，从而。44321112211det1212000313DIA 12341,13Adddd3故 的不变因子为.3,1A3于是 的初等因子为.Jordan111113AJ所以 的标准形为 1、相似变换矩阵的求法、相似变换矩阵的求法101120Jordan403A求矩阵的标准形及所用的相似变换矩阵Jordan2111AJ由例1知 的标准形为 1123,Pp ppP APJAPPJ设相似变换矩阵由即得：1231232,111A p ppp pp11223232AppAppAppp1232200IA pIA pIA pp 即，1231200,01

24、;0 xIA xxxp 30-1解线性方程组，即-10040-1得123200,11;2xIA xxxp 20-1解线性方程组，即-1-1040-2得1223311,201;1xIA xpxxp 20-1解线性方程组，即-1-1040-2得12,11.1PP AP010所以，1-1-102122IA xpp 解线性方程组中所取的 要保证此方程有解.2、Jordan标准形的幂标准形的幂1Jordan1iiiiiiir rrJ对于 阶块 111122221111iiiiiirk rkkkikikikirk rkkikikikikkikirrCCCCCJC 有 121111!2!1!111!2!11

25、!iiirkkkkirkkkikkrr!ikkCiki其中1212Jordan skkkksJJJJJJJJ对于阵，有111,Jordan ,.n nn nkkAPP APJAPJPAPJ PCC设则由分解定理知存在可逆矩阵使得即则101120,.403kAA设求111,1.2PP APJ100可求得，-1-1121011112kkkkAPJ P100100故，-1-11-1-1121021021212212421kkkkkkkkk 001、定理、定理 det,0n nnAIAA C设,则1212,ssAsm mm 设是 的 个不同的特征值 其代数重数分别为则 1212detsmmmnsIA

26、则1211Jordan sJJAPJPPPJ由分解定理得11iiiiiimmJ其中1112iiiiimmiimimimisIAPIJPIJIJPPIJ于是0*00,1,2,.*0iimmiiIJis注意到200000000000aabb例如：3000000000000ab 1212smmmsAAIAIAI所以，21121221121120000ssmmmmssmsmsJIJIPJIJIJIJIP1、利用定理、利用定理1可以简化矩阵运算可以简化矩阵运算 754311104301021192864;2AAAAAAIA 已知矩阵，试计算 32det452IA 可求得 75431192864g令 43

27、22410323228gg 用除，得 2Hamilton-Cayley2116032286443019324Ag AAA 由定理知=0,于是 3224520,AAAAI由得2145,2AAAII123101454102311222AAAI故，2、可逆矩阵逆的多项式表示、可逆矩阵逆的多项式表示 111detn nnnnnnAIAaaa C设,111Hamilton-Cayley0nnnnAAa AaAa I由定理知=0,于是1211nnnnA Aa AaIa I 故11211det0,1nnnnAAAAa AaIa 若即 可逆，则1、零化多项式、零化多项式 0,n nAffAfAC设,是多项式，

28、如果则称为的零化多项式。1Hamilton-CayleyAA由定理知：的特征多项式就是的零化多项式。2 AA 的特征多项式任意乘一个多项式仍然是的零化多项式。2、最小多项式、最小多项式.n nAAAAmC设,在 的零化多项式中，次数最低的首一多项式称为 的最小多项式，记为 11det1 n nnnnAnAIADIAnmD C设,又设是的阶行列式因子，则3、零化多项式、零化多项式与与最小多项式的关系最小多项式的关系 n nAAAmAC设,则 的最小多项式整除 的任一零化多项式，且最小多项式是唯一的.AAfAmffqmr设是 的任一零化多项式，假设不能整除，则有 0,AAArmfAq A mr A

29、r AmA其中的次数低于的次数，于是由知这与是的最小多项式矛盾。121212,JordanJordansn nsmmmAsiiAAmmA C设,是 的所有互不相同的特征值，则其中是 的标准形J中含 的块的最高阶数.311202.113A 求矩阵的最小多项式 3det2IA Jordan2212AJ可求得 的标准形为 22Am故有定理4知 nC一、空间中向量的内积12121,.TTnnnnnHiiixx xxyy yyx yx yy xx yxyCC设令称为 与 的内积 ,;2,nx y zx yy xxy zx zy zx yx yxyx yCC设则满足1 酉对称性：线性性：,0,0,0.x

30、xxx x3 正定性：且当时才有1221,.TnnnHiixx xxxx xxx xxxC设,令称为 的长度 ,0,0,0,0;2;3nx yxxxxxxxyxyCC设则1 非负性：当时当时齐次性：三角不等式性：,nx yx yx yx yy xx xy yC对任意有即 2,0,0nx yxy xyx xy xx yy yCC设，则即222,0 xx yx yy或2222,0 x yx yxyy 取则,x yx y即nC二、空间中标准正交基12,nnnnnnx xxxCCCC容易验证，中任意 个线性无关的向量构成的一组基.例如设线性无关，为任意向量.121 12212,nnnnkkxk xk

31、xk xxx xxk令则11212,nnkkx xxxk故12,nxx xx即 可由线性表示.故12,nnx xxC是中一组基.,0,nx yx yxyC设,若则称 与 正交.nC 中两两正交的非零向量组线性无关.12,nsx xx C设是两两正交的非零向量组，令1 122110,0,1,2,ssssiijiijjjjiik xk xk xk x xkx xkxxjs则,0,0,1,2,jjjxxkjs而因此12,.sx xx故线性无关1212,0,1,nnijijnnx xxijx xijx xxCC设是的一组基,若则称是空间中的一组标准正交基.12112221133311322112211

32、,nnnnnnnnnx xxyxyxyyxyyyxyyyC设是空间中的一组基，令21221112121112121110,yyxy yxyy yxyy y 由得313311322131311132331132223232220,0,yyxyyyxyy yyyxyyyxyyy再由得313231321122,xyxyy yyy 121121112211,nnnnnnnnnnxyxyxyy yyyyy 类似可得112122111313233121122121121112211,nnnnnnnnnyxxyyxyy yxyxyyxyyy yyyxyxyxyyxyyyy yyyyy故12,0.nniy y

33、yy C就是空间中的一组正交基，且12,.niiniyzz zzyC令则就是空间中的一组标准正交基123110,0,0,Schmidt01xixxi 设用正交化方法将这组向量正交单位化.31111121,1 10 02,1 1001iiiyxy yiixyii 取则21221111211,102,20 xyiyxyiy yii 计算313233121122,12301010233210123xyxyyxyyy yyyiiiii 同理31212312312311111,1263021,.iyyyzizizyyyiz zz 再单位化，得即为正交单位向量,n nHHAAA AAAIAC设若 满足则称

34、 为酉矩阵.1,n nHHHHHAA AAAIA AIAAIA AC1 设则,n nAR2 当酉矩阵就是正交矩阵.1,1 detn nTHn nAAAAABABCC设是酉矩阵 则=1;2,仍为酉矩阵；3 若是酉矩阵,则也是酉矩阵.1212,.n nnnnAx xxAx xxCC设,则 是酉矩阵的充要条件是是中的一组标准正交基121111212212221212,nHHHHnHHHHHnnHHHHnnnnnAx xxxx xx xx xxx xx xx xIA Ax xxxx xx xx x则121,0,.HijjinnAijx xx xijx xxC可见 是酉矩阵的充要条件是即是中的标准正交基

35、1,n nHA BUUAUUAUBABC设若存在酉矩阵使得则称 与 酉相似.12112,*,n nn nHnnAUUAUUAUTAAT CC设若存在酉矩阵,使得其中是 的特征值，即 可酉相似于一个上三角矩阵.11111212,n nnnnn nAAPAPP PPPP PPPCCC设是 的一个特征值，为 的属于 的单位特征向量，将 扩充为中一组标准正交基 令则是一个酉矩阵，且11212,HHHnHnPPP APP APA P PPP111212122212HHHnHHHnHHHnnnnP APP APP APP APP APP APP APP APP AP1 11121121222112HHHn

36、HHHnHHHnnnnP PP APP APP PP APP APP PP APP AP1121222200HHnHHnHHnnnP APP APP APP APP APP AP从而由归纳法可以证明。从而由归纳法可以证明。,n nHHAAA AAAAC设若 满足则称 为正规矩阵.以下矩阵都是正规矩阵：1,;n nTAAAR实对称阵：2,;n nTAAA R实反对称阵：3,;n nTTAA AAAIR实正交矩阵：4,;n nHAAACHermite矩阵：5,;n nHAAA C反Hermite矩阵：6,;n nHHAA AAAIC酉矩阵：0110000iAi如是正规矩阵.,n nHHAAA AA

37、AAC设则 可以酉相似对角化的充要条件是即 为正规矩阵.121n nn nHnAUUAUUAUCC设可以酉相似对角化,即存在酉矩阵使得 12HHnUA U从而，21222HHHnHHHUA UUAUUAUUA U故，HHHHHHHHHHUA UUAUUA AUUAUUA UUAA U因此，HHA AAA即，HHA AAA设Schurn nUC由分解定理，存在酉矩阵使得11121222nnHnntttttUAUt11122212HHnnnntttUA Uttt则，1111121122222212nnnnnnnnHHHHHHHHttttttttttttUA UUAUUA AUUAUUA U于是，1

38、112111222122212nnnnnnnntttttttttttt2222111112122222122222232222212nnnnnnnnttttttttttttt11220,ijHnntijttUAUt故，即A也就是 可以酉相似对角化.Hermite2Hermite.n nHAAAAAAAAxAxC设是正规矩阵，则1是矩阵的特征值全是实数；是反矩阵的特征值是0或纯虚数；3是酉矩阵的特征值的模是1；4是 的特征值，是对应 的特征向量，则 是的特征值,对应 的特征向量仍为2n nnAAnU C1设是一个正规矩阵，,是 的个特征值，则存在酉矩阵 使得121HnUAUUAU Hermite

39、HAAA1是矩阵1122HHnnHAUUUUA1,2,1,2,iiiinR inA=,即 的特征值全是实数；HermiteHAAA 2是矩阵1122HHnnHAUUUUA 1,2,Re0,1,2,iiiininA =,即 的特征值是0或纯虚数；HAA AI3是酉矩阵112221222HHHnnHnIA AUU UUUU2122221,1,2,.inIin 12HnUAU 4 由得12.HHnUA U12,1,2,nHjjjjjjUu uuAuuA uujn设则有.jjjjHjjAuAu可见是 的特征值且是对应 的特征向量，是的特征值,而对应的特征向量仍为 21212,.sssAAr rrrrr

40、n 11 求出 的全部特征值.设,是 的互不相同的特征值，其重数分别为且 121,2,1,2,.iiiiirisrpppisi2 对于特征值,求出对应的 个线性无关的特征向量 1212Schmidt,1,2,iiiiiriiirpppuuuis3 用正交化方法将正交化，再单位化得则酉矩阵12121112121121,ssrrssrrrHsrUuu uuuuIIUAUUAUI 使得100,01,.HiAiiAiUUAU 已知试问 是否是正规矩阵？若是，求酉矩阵使得为对角阵,HermiteHAAAA显然 满足即 是矩阵，从而是正规矩阵.123det112,1,1,2.IAA =的特征值为12311

41、1 2,0,011pippi 可求得对应的特征向量分别为它们是正交的，单位化得：3121231231116322=,=0,=63111263pppiiuuuppp 1116232063111623iiU 于是酉矩阵100010.002HUAU使得Hermite 0,0,Hermite 0,Hermiten nHnHnAx AxxxAx AxxA CCC设是一个矩阵,如果则称 是一个正定的矩阵，如果则称 是一个非负定 半正定 的矩阵.HermiteHermite;4.n nHAAAPAP PAC设是矩阵,则下述条件等价1是正定的矩阵2的特征值全为正数；3 存在可逆矩阵 使得的顺序主子式全为正 H

42、ermiteHermiten nHAAAPAP PC设是矩阵,则下述条件等价1是非负定的矩阵2的特征值全为非负数；3 存在矩阵 使得 rankrankrankm nHHHHHHAA AAAA AAAA AAAAC设,则1和的特征值全为非负实数；2与的非零特征值相同；3一、向量的范数一、向量的范数Recall：向量的长度的性质1 1.范数的定义范数的定义(1)0=00;(2)=(3)+.xxxxxx yxy正定性 且次性；三角不等式 齐定义定义1 设 是 上一个泛函，满足n(1),0=00;(2),=(3),+.nnnxxxxxxxx yx yxy 正定性 且次性；三角不等式 齐则称 是 上一个范数.n2.常用的向量范数常用的向量范数设12,.Tnnxx xx1112221111,1niiniinppipiii nxxxxxxpxxmax 可以验证 均是 上向量范数，分别12,pn称为1-范数，2-范数，p-范数和-范数.例如，验证 满足三角不等式.1