圆锥曲线离心率问题

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1、圆锥曲线的离心率问题离心率是圆锥曲线的一个重要几何性质，一方面刻画了椭圆，双曲线的形状，另一方 面也体现了参数a, c之间的联系。一、基础知识：1、离心率公式：e =-(其中c为圆锥曲线的半焦距)a(1) 椭圆：e e (0,1)(2) 双曲线：e e(1,+a)2、圆锥曲线中a,b,c的几何性质及联系(1) 椭圆：a2 = b2 + c2， 2a :长轴长，也是同一点的焦半径的和：PF + PF二2a12 2b ：短轴长) 2c : 椭圆的焦距(2) 双曲线：c2 = b2 + a2 2a :实轴长，也是同一点的焦半径差的绝对值：|PF - PF | = 2a 2b ：虚轴长 2c : 椭圆

2、的焦距3、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数a,b,c的比例关系(只需 找出其中两个参数的关系即可)，方法通常有两个方向：(1) 利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形(曲线上的点与两焦点连线组成的三角形)， 那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与a有关，另一条边为焦距。 从而可求解(2) 利用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用a,b,c 进行表示，再利用条件列出等式求解 2、离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑：(1)题目中某点的横坐标(或纵坐标)是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范 围有要求

3、。如果问题围绕在“曲线上存在一点”则可考虑该点坐标用a，b,c表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口（2）若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数 的值域即可（3）通过一些不等关系得到关于a,b,c的不等式，进而解出离心率注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆：e e（0,1）， 双曲线：e e（1,+a）二、典型例题：例b设仆F2分别是椭圆C : f +養=1 （a b 0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段？的中点在y轴上，若肝号3,bC.1D. 6则椭圆的离心率为思路：本题存在焦点三角形PFF，12由线段?的中点在y轴上

4、，o为丁中点可得PFI:IPF : FF = 2:1r 121 22a = PF + |PF| ,2 c = |FF|c 2ce =-a 2aFF1 2PF + F|1 21答案：A 小炼有话说：在圆锥曲线中，要注意O为7中点是一个隐含条件，如果图中存 在其它中点，则有可能与O搭配形成三角形的中位线。例PF y轴，从而pf丄f.f，又因为zp%F2 = 30，则直角三角形 咋中,:椭圆寻+罟=1 b b 0)的右焦点为F，过F的直线l交双曲a 2 b 2线的渐近线于A,B两点，且直线l的倾斜角是渐近线OA倾斜角的2倍，若AF = 2FB，则该双曲线的离心率为(思路：本题没有焦半径的条件，考虑利

5、用点的坐标求解，则将所涉及的点坐标尽力用a, b, cJu.表示，再寻找一个等量关系解出a,b，c的关系。双b曲线的渐近线方程为y = x，由直线l的倾斜角是渐近线OA倾斜角的2倍可得：2ba丫a2abk =;， 确定直线 I 的方程为OAb2 a 2 - b21 a 2(x-c)，与渐近线联立方程得2aby= ra 2 b 22ab /y =x c 丿y a 2 b 22abc2abcn y二or y二将AF二2FB转化为坐标语言,b3a 2 b 2a 2 + b 2y = a小2abc 小 2abcr口小2 口则 y =-2 y ，即=2 -，解得 a : b : c = 3:1: 2，从

6、而 e =3A Ba 2 + b 23a 2 b 23答案：Bx2 y 2例4设f，f分别为双曲线-b-=“o,bo）的左、右焦点，双曲线上存在一点p 使得I PF I +1 PF I= 3b,l PF I -1 PF I= 9ab,则该双曲线的离心率为12124A./4B- 35B. 39C. 4思路：条件与焦半径相关，所以联想到PF - PF2=2a，进而与I PF I +1 PF 1= 3b,l PF I -1 PF 1= - ab,找到联系,1 2 1 2 4计算出a,b的比例，从而求得e解：|PF - PF = 2aq PF | +1 PF p - q PF | - |PF p 二

7、4 |PF| - |PF|即 9b2 - 4a2 二 9ab n 9b2 - 9ab - 4a2 二 0b解得：-a舍）b4或a=3a : b: c = 3: 4:5c5e = a 3答案： B例 5 ：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，x2 y 2A A?, B B2为椭圆忘+厉=1(a b 0)的四个顶点，F为其右焦点直线AZ与直线普相交于点T线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为思路：本题涉及的条件多与坐标有关，很难联系到参数的几何意义，所以考虑将点的坐标用a, b, c进行表示，在利用条件求出离心。首先直线AiB2,普的方程含ab，c，联立方程后交点T的坐标可用

8、 a, b, c 进 行 表 示 （ T(2ac b (a + c )）， 则 OT 中 点，再利用M点在椭圆上即可求出离心率eae b (a + e)、a e 2 (a e )bx ay 二ab cy bx = be解：直线A/的方程为:xy直线Bif的方程为：e+-=1，联立方程可得:2ae b(a + e)、解得：T(,),a e a eae b(a + e)、亠x2 y2了 门、”则 M (,)在椭圆+ = l(a b 0)上,a e 2(a e)a2 b2-+ + e = 1,e 2 + 10ae - 3a 2 = 0, e 2 + 10e - 3 = 0(a e)24( a e)2

9、解得：e 二 2J7 - 5答案：e二2富5例6：已知F是双曲线-啟=1 (a 0,b 0)的左焦点，E是该双曲线的右顶点，过点F a2b2思路：从图中可观察到若ABE为锐角三角形，只需要ZAEB为锐角。由对称性可得只需EF屮刁J即可。且严，卩已均可用a, b, e表示,AF是通径的一半，得：AF =-aFE=a + e，所以 tanAEFAF -FEb2e 2 a 2e a() 1 n () 1 n 1 n e 匕 0)的左、右焦点分别为F1 (-c,0), f2 (c,0 )，若椭圆上存在点P使SinTPFF = SinTPFF，则该椭圆的离心率的取值范围为1 2 2 1A.1)B.C.D

10、. C2 -1,1)思路：ZPF1F2, ZPF2F1为焦点三角形PF2的内角，且对边为焦半径|PFJ,吃|,所以sin ZPF F c 利用正弦疋理对等式变形：SinzPFP - sin ZPF F = sin ZPFF - a1 2 2 1 1 2lPF|PFI 2再由 pF+ ?|=2a 解得：ipfj=2a2，再利用焦半径的范围为(a -c,a + c丿可得(由 a + c于依题意，P非左右顶点，所以焦半径取不到边界值a - c, a + c):2a 2a - c a + c n a + ca 2 - c2 2a 2n V2a 2 0a 2 -c2答案： D例8已知F F2是椭圆E :

11、宇+辛=1(a b 0)的左右焦点若椭圆上存在点P 使得花丄貯2,则椭圆离心率的取值范围是(A.B.C.思路一：考虑在椭圆上的点 P 与焦点连线所成的角中,当 P 位于椭圆短轴顶点位置时,ZF1PF2达到最大值。所以若椭圆上存在PFi丄PF2的点P，则短轴顶点与焦点连线所成的0OF2角0 90，考虑该角与a,b，c的关系由椭圆对称性可知“PF广2 45 所以tan ZOPF =2=c 1，即 c b n c2 b2 n c2 a2 - c2，进而 -即 e2 1, I OP ba 222解得e A#，再由e e（0,l）可得e e思路二：由PF丄PF可得ZFPF = 90，1 2 1 2ZFP

12、FS = b2 tan 12 = b2 ，另一方面：F1PF22进而想到焦点三角形 F1PF2 的面积SF1PF2-y=c - |y，从而b2二b2 n卜二b，因为P在椭圆上，所以yPe-b,b，即b2y = b n b b时才可有交点，所以c b，同思路一可解得ee 注：本题对P在圆上也可由花丄PF2判定出P在以丫为直径的圆上，进而写出圆方程 思路四：开始同思路三一样，得到P所在圆方程为x2 + y2 = c2，因为P在椭圆上，所以联b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2b 2(立圆和椭圆方程：1代入消去 x 可得：b 2 c 2 - y 2 J + a 2 y 2 = a 2b 2

13、，整理后可得：c2y2 = b4 n y2 =，由 y e -b , b可得：y2 = b，同思路一 c2c2即可解得：e J芈1-2丿答案：e再,1-2丿小炼有话说：本题的众多思路重点区别在：一是从条件中想到椭圆的哪些性质与结论，不 同的结论得到不同的突破口；二是在解决离心率时是选择用几何特点数形结合去解还是通过 坐标方程用代数方式计算求解 例9：设点A1，A2分别为椭圆卡+备=1（a b 0）的左右焦点，若在椭圆上存在异于点A1, A2的点P 使得PO丄聲其中0为坐标原点，则椭圆的离心率e的取值范围是（）A.B.C.D.思路：本题取值范围的突破口在“椭圆上存在点P ”，则P的横纵坐标分别位

14、于（-a,a ）, （-b, b）中，所以致力于计算P的坐标，设P （“,人），题目中J，0 ），由PO丄PA可得P也在以OA为直径的圆上。即22a2+ y2 =匸，所以联立方程:2a2+ y 2 =-4Vx 2y 2 = 1、a 2b2b 2、n 1 一一V a2 丿x2 一 ax + b2 = 0，即x2 一 ax + b2 = 0，由已知可得 a2a2b2ab2A2（a）也是圆与椭圆的一个交点，所以由韦达定理可得：a%=K n x0 =可，再根ab21据 x 的范围可得：一a a n b2 c2 n a2 - c2 0c22答案： D小炼有话说：本题运用到了一个求交点的模型：即已知一个交

15、点，可利用韦达定理求出另交点，熟练使用这种方法可以快速解决某些点的坐标x2y 2例10：如图，已知双曲线-一=l（a 0,b 0）上有一点A ,它关于原点的对称点为B , a2b2r兀兀r且以12,6，则该双曲线离心率e的取值范围为（）A. h3,2 + 訂b. &23+1C.空2,2 +、：3D.+1点F为双曲线的右焦点，且满足AF丄BF，设ZABF思路：本题与焦半径相关，所以考虑a,c的几何含义，AF丄B且 AB = 2 OF - 2c，结合 ZABF =a 可得 | AF = 2c sin a ,|BF| = 2c cosa，因为 A, B 关 于原点对称，所以| AF即为B的左焦半径。

16、所以有2a = |BF| |AF|仝2c (cosa sin a)，2c则e =-2a1cosa sin a/2cos a + I 4丿r兀兀r，即关于a的函数，在a e 右，求值域即12 6兀兀5兀a + en cose4L 3 121 4丿可6 -迈 1所以e e卜23+1答案： B三、历年好题精选、込1 ” 0）M N是双曲线上关于原点对称的两点是双曲线上的动点，直线PM，PN的斜率分别为k , （k - 丰0），若|k| +1|的最小值为1,则双曲线的离心率为（ ）/ABCD2、（2016，新余一中模拟）已知点A是抛物线x2 = 4y的对称轴与准线的交点，点B为抛 物线的焦点，P在抛物

17、线上且满足|PA| = m|PB|，当m取最大值时，点P恰好在以A,B为A.2+1B.b ）的左、右焦点，过点f且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若ABF2是钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是AD)C/2-1, +J C3+1,+JB(:2 +1,+x)C,1 +4、设F, F分别是双曲线-匚=1（a ,b 0）的左右焦点，若双曲线左支上存在一点12a 2 b 2M，使得FM -（9M1+ OF )=1V30 , 0为坐标原点，且MF =二- MF，则该双曲线的离心率为（）A.、沽 +1B.C.J6 +迈D. b x2y 2椭圆方程为7_ + 了 Vyma t2 Imb t2C

18、2D兀冷PF2 = I，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（A.4J3B.C. 3)D. 2=l（a b 0,m 1）若AC,BD的斜率之积为f，则椭圆的 16离心率为7、（2015,新课标II）已知A,B为双曲线E的左右顶点，点M在E上，ABM为等腰三角形，且顶角为120，则E的离心率为（）O_A.5B. 2C 0,b 0）的左、右焦点分别为F,耳，点M在双曲线的左支上，且MF = 7MF，则此双曲线离心率的最大值为（A9、（2015,山东）平面直角坐标系xOy中，双曲线J 02-=1 （a 0）的渐近线与抛物线C2： x 2 = 2 py 7 p 0）交于点O, A, B，若OAB

19、的垂心为C2的焦点，则C离心率为10、（2014，湖北）已知F,F是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且1211、（2014，浙江）设直线x 一 3y + m = 0（m丰0）与双曲线-琴=1（a 0,b 0）的两 a 2 b2条渐近线分别交于点A,B，若点P（m,0）满足|PA| = PB，则该双曲线的离心率是解得：习题答案：1、答案：B.p2q2s2 t 2解析：设 M (P,q), N(-P,-q), P(s，t)，则石-厉=1,石一厉=b两式相减得:a2b 2q t 2+j q -1q +11 p - sp + s=2q 2 12p 2 越=1 ,则a5J52b = a ,

20、4b2 - a2 n 4c2 4a2 = a2 n 5a2 = 4c2 n e2 = n e = 一422、答案：A解析：由抛物线方程可得：A（0,-1）,B（0,1），过P作准线的垂线，垂足为M，所以PB = |PM|，所以 m =lPAl lPBl1sin PAM可知m取得最大值时，ZPAM最小，数形结合可知当AP与抛物线相切时，ZPAM最小。设AP: y = kx 1，联立方程7,y = kx 1即 x 2 4kx + 4 = 0,则 A = 0 n k = 1，此时 P（2,1），则 |PA| = 2I,|PB| = 2，所以 452 2 2 2 1b 2即 AF FF， 2c n c

21、2 a2 2ac 011 2a即 e2 2e 1 0 n e 1 + 耳 2【答案： B 4、答案： A思路：已知条件与焦半径相关，先考虑焦点三角形MFF的特点，从FM -+ OF ）= 01 2 1 1入手，可得FM丄+ OF ），数形结合可得四边形OMPF为菱形，所以1可判定MF1F2 为 直 角 三 角 形MF : MF1=J3：3 n |MF| = J3k, |MF| = k，可得 |FF| = JMF 2 + MF 21二 2p 3k2ce =Iff4-2a |MF|-| MF 3k -5、答案：B解析：由椭圆与圆有四个不同的交点，则1bt小一 + 2c b2b + 2c 01b，平

22、方变形后可得： 1n 1+ 2c bI -a2 + 17c2 012I5e2 - 4e 01e2 -176、答案：亭4解析：设切线AC的方程为y = k(x - ma)，切线BD的方程为y = kx + mb，联立切线 y = k (x - ma)(bx 几(ay )2 = (ab )2，所以AC 与 内 层 椭 圆 方 程 ， 得 ：、b 212 + a 2k 2/x 2 - 2ma3k 2 x + m2 a 4 k 2 - a 2b 2 = 0，由 A = 0 可得：k 2 =-，同理1111 a 2 m 2 -1b 2 (b 4b 2 9-m2 -1 人所以 k2k2 =n kk = =

23、 n a : b : c = 4:3:1 2 a 41 2 a 2 167、答案： D解析：设双曲线方程为-壬-=1(a 0,b 0)，如a 2 b2图所示：BM| = AB = 2a, ZABM = 120，过点 M 作oMN丄x 轴于 N ， 在 Rt BMN 中,|BN| = a, MN =畧 3a，所以 M Ca, J3a )(2a )2 C3a F-=1可得：线方程可得：b2，代入双曲=1 n a : b : c = 1:1: x/2，从而 e = =、：2 ba8、答案：A所以- c - a, a即 3 c a ,9、答案：2解析：由 C1方程可得其渐近线方程为y = bx ,a与

24、抛物线联立可解得交点A(辿a2pb22pb 2 pb2)，B(一， )aa 2a2抛物线焦点八、八、坐标为2 pb 2kAFPab I 2 = 4b： -a2，由 AF 丄 OB及k 2pb 一 o4abobab，可得:a4b2 - a2 a4ab b 即 4b2 - a 2 = 4a 2 n b 2: a 2 = 5:4，从而 c 2: a 2 = 9:4，所以 e =10、答案： A，椭圆，双曲线离心率分别为e1, e2解析：设椭圆半长轴长为a 1,双曲线半实轴长为a2不妨设P在第一象限PF1+PF2=2a ,1PFPF2由双曲线与椭圆性质可得：=2a2由余弦定理可得：|FF |1+1 =

25、 |PF |2 +1PF 卩一 2PF |PF |cosFPF1 212121 2代入 lPF2+Ipf2|2 = 2 卩 pfJ + | ipfpf2i=4 ” 叫+i=lPFJ2 + Ipf2I2 - lPFJI pf2IP + (|PF I - |PF p = 2 CI) -( PF-|PF2| = a2 - a2 可得PF2：2 + a 2)12PFe22134c2 = 3a 2 + a 2 n 4 =+-12e 211由柯西不等式可得：4 =+e213 e2 e2e21123r 11 +x = 3 y - mby = 一 xamaa(3b + a / 3b + a 丿,B厂 ma bm *(3b - a ) 3b a 丿 AB中点D厂 ma 23mb 2 114朽+ e e 31211、答案:耳解析：双曲线的渐近线方程为：y = bx，分别联立方程:ax=3ymb 可解得y = 一一 xaPD 丄 AB3mb 20:：:k = 9b 2 - a 2=3 n 3b 2 = 3(2a 2 9b 2)PD ma 2ma2 = 4b2 n a = 2b9b2 a 2c 2 = a 2 + b 2 = 5b 2 n c = : 5b=c 活e 一 a2Ie e2 丿3