第五章流体力学

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1、第五章第五章 流体力学流体力学理想流体理想流体液体和气体统称为流体。液体和气体统称为流体。流体的基本特征是具有流体的基本特征是具有流动性流动性，即它的各个部，即它的各个部分之间很容易发生相对运动，没有固定的形状。分之间很容易发生相对运动，没有固定的形状。流体力学研究流体的宏观平衡和运动的规律以及流体力学研究流体的宏观平衡和运动的规律以及流体与相邻固体之间相互作用规律流体与相邻固体之间相互作用规律。流动性流动性 可压缩性可压缩性 粘滞性粘滞性流体的宏观物性流体的宏观物性5-1 流体运动的描述流体运动的描述流体静力学流体静力学:研究静止流体规律的学科，如阿研究静止流体规律的学科，如阿基米德原理、帕

2、斯卡原理等。基米德原理、帕斯卡原理等。流体动力学流体动力学:研究流体运动的学科，是水力学、研究流体运动的学科，是水力学、空气动力学、生物流体力学等学空气动力学、生物流体力学等学科的理论基础。科的理论基础。流体力学流体力学一、一、流体运动的描述方法流体运动的描述方法牛顿定律适用牛顿定律适用 考察每个考察每个的位置随时间的变化的位置随时间的变化 拉格朗日法拉格朗日法 000000000(,)(,)(,)xf xyztyg xyztzh xyzt 不同的（不同的（x0,y0,z0）代表了不同质元代表了不同质元 欧拉法欧拉法 考察经过空间某位置考察经过空间某位置(x,y,z)处质元的运动处质元的运动(

3、,)(,)(,)vv x y z taa x y z tpp x y z t 如：如：这种方法把流体看成一这种方法把流体看成一个场个场，考虑场中各点的考虑场中各点的各个物理量各个物理量。在流场中假想一组曲线，使曲线上每一点的切线方在流场中假想一组曲线，使曲线上每一点的切线方向与处在该点流体粒子的速度方向一致，此曲线称向与处在该点流体粒子的速度方向一致，此曲线称流线流线 二、二、流场、流线和流管流场、流线和流管 在流体流动过程中的任一瞬时，流体所占据的空在流体流动过程中的任一瞬时，流体所占据的空间每一点都具有一定的流速。间每一点都具有一定的流速。流速随空间的分布流速随空间的分布 流体速度场（流体

4、速度场（流场流场）流线流线流线不会相交流线不会相交(,)vv r t 引入流线只引入流线只是为了形象的是为了形象的描述流场，是描述流场，是假想曲线假想曲线注意：注意：在流动的流体中划出一个小截面，则通过其在流动的流体中划出一个小截面，则通过其周边各点的流线所围成的管状体称周边各点的流线所围成的管状体称流管流管流体不会穿过流线流入或流出流管流体不会穿过流线流入或流出流管!流线越密地方流速越大，越稀地方流速越小。流线越密地方流速越大，越稀地方流速越小。三、定常流动和不定常流动三、定常流动和不定常流动 流场中任一点的流速、压强和密度等都不随时间流场中任一点的流速、压强和密度等都不随时间变化变化 流线

5、的形状不变，和质元的运动轨迹重合流线的形状不变，和质元的运动轨迹重合 流体的各流层不相混合，只作相对滑动。流体的各流层不相混合，只作相对滑动。经过空间某处的质元速度随时间变化经过空间某处的质元速度随时间变化 不定常流动不定常流动(,)vv x y z t 定常流动定常流动(,)vv x y z 流线的形状随时间变化流线的形状随时间变化在定常流动的流场中任取在定常流动的流场中任取 一段细流管一段细流管 截面截面 S1 和和 S2 处：流速分别为处：流速分别为 v1 和和 v2，流体密度分别为流体密度分别为1 和和2。流管的任一横截面上各点的物理量看做均匀流管的任一横截面上各点的物理量看做均匀通过

6、截面通过截面S2 流出的流体质量：流出的流体质量：研究对象：研究对象：2222()mvt S 在在 t 时间时间内：时间时间内：1111()mvt S 通过截面通过截面S1进入的流体质量：进入的流体质量：5-2 5-2 定常流动的连续性方程定常流动的连续性方程定常流动，质量守恒定常流动，质量守恒m1=m 21 S1 v1t=2 S2 v2t1 S1 v1=2 S2 v2定常流动时的定常流动时的连续性方程连续性方程又称又称质量质量-流量守恒定律流量守恒定律S v=常量常量其中其中 -流体密度，流体密度，s-截面面积，截面面积，v-流速。流速。单位时间内通过任一截面单位时间内通过任一截面S的的流体

7、质量流体质量流体的连续性方程是质量守恒定律在定常流体的连续性方程是质量守恒定律在定常流动流体中的一个推论，它与流体是否存流动流体中的一个推论，它与流体是否存在粘性无关。在粘性无关。单位时间内通过任一截面单位时间内通过任一截面S的流体体积的流体体积对不可压缩流体对不可压缩流体,为常量，则为常量，则体积体积-流量守恒定律流量守恒定律 S v=常量常量例：例：水从龙头流下过程中，由于其水从龙头流下过程中，由于其速率增加，水流必定速率增加，水流必定“收缩下去收缩下去”。若若A A0 0处水流横截面为处水流横截面为1.2cm1.2cm2 2,A,A处为处为0.35cm0.35cm2 2，A A0 0,A

8、,A之间的竖直距离为之间的竖直距离为h=45mm,h=45mm,求龙头流出的体积流量。求龙头流出的体积流量。A A0 0A A解：解：两截面体积流量相等两截面体积流量相等AvvA00ghvv2202落体运动的速度关系落体运动的速度关系smAAghAv/.2860222020scmscmcmvARV/.32003462821流量为：流量为：经过时间经过时间t后，此段流后，此段流体的位置由体的位置由 xy移到了移到了 x y 5-3 理想流体的伯努利方程理想流体的伯努利方程定常流动定常流动在在y处：压强处：压强P2，速度，速度v2，高度，高度h2，截面积，截面积S2 取一细流管取一细流管截取一段流

9、体截取一段流体 xy考察考察tt时间内这段时间内这段流体流体机械能变化机械能变化X xh1P1S1h1P1S1h2h2P2S2P2S2xyyv1v1v2v2F1F2设流体在设流体在x处：压强处：压强P1，速度，速度v1，高度，高度h1，截面积，截面积S1一、理想流体的伯努利方程一、理想流体的伯努利方程外力：外力：其它流管中流体的压力对它其它流管中流体的压力对它不做功不做功流管中段外流体的压力流管中段外流体的压力F1 F2对它对它作功作功F1作正功，作正功，F2作负功。作负功。x截面的位移是截面的位移是 v1t，y截面的位移是截面的位移是 v2t总功：总功：1 122111222-WFvt F

10、vtP S vt P S vt 12-PVPV 机械能增量机械能增量2222111()21-()2Emvmghmvmgh X xh1P1S1h1P1S1h2h2P2S2P2S2xyyv1v1v2v2F2F1=m/V是流体的密度是流体的密度由得：WE 2212221111()-()22P VP Vmvmghmvmgh222221111122vghPvghP-伯努利方程伯努利方程212常量vghP由于对由于对x,yx,y点的选择没有限制，故上式对同一流管点的选择没有限制，故上式对同一流管的任一截面有：的任一截面有：单位体积单位体积流体的动流体的动能能单位体积单位体积流体的势流体的势能能单位体积单位

11、体积流体的静流体的静压能压能FF lWPSS lV 212vghP 常常量量单位体积单位体积流体的动流体的动能能单位体积单位体积流体的势流体的势能能单位体积单位体积流体的静流体的静压能压能说明说明：1）此方程实质上是能量守恒定律在理想流体做定常流动此方程实质上是能量守恒定律在理想流体做定常流动 中的具体表现中的具体表现。2）惯性系中成立惯性系中成立3 3）其中）其中p,v,hp,v,h对应于同一根流线对应于同一根流线,不同流线对应的常数不同。不同流线对应的常数不同。在在一般管道一般管道流动中，忽略各物理量在其横截面流动中，忽略各物理量在其横截面上的变化也可上的变化也可近似成立近似成立，式中各量

12、为管道截面上所，式中各量为管道截面上所取的取的平均值平均值。如果流体在水平管子中流动如果流体在水平管子中流动（h1=h2），），则流体的势能在流动过程中不变，则流体的势能在流动过程中不变，P+1/2v 2=常量常量 流速大的地方压强较小，流速小的地方压强较大流速大的地方压强较小，流速小的地方压强较大 (即流线相对靠近的地方，压强较小，反之亦然即流线相对靠近的地方，压强较小，反之亦然)v血压测量最早由英国牧师黑尔斯(R.S.Hales，1677-1761)在1733年完成的。v1896年意大利医生里瓦罗基(Riva-Rocci，1863-1937)发明了现在仍在使用的腕环血压计。（1）小孔流速）

13、小孔流速 一直立容器，截面积为一直立容器，截面积为S，在容器下部开一面积为，在容器下部开一面积为s的的小孔，小孔与液面的高度差为小孔，小孔与液面的高度差为h，求小孔处的流速。，求小孔处的流速。解：解：对对A、B流管，由伯努利方程得：流管，由伯努利方程得：，PA=PB由由SvA=svB,且且 Ss，故故vAvB，可将可将vA近似为零近似为零2Bvgh hvAB221122AABBPghvPv 小孔流速只与小孔流速只与 h 有关有关!二、伯努利方程的应用二、伯努利方程的应用如同一质点自由下落如同一质点自由下落 h 高度！高度！射出流体将做平抛运动射出流体将做平抛运动为什么？为什么？例例1 一直立圆

14、柱形容器，高一直立圆柱形容器，高0.2m，直径，直径0.1m，顶部开启，顶部开启，底部有一面积为底部有一面积为10-4 m2的小孔，水以每秒的小孔，水以每秒1.410-4 m3的快慢由水管自上面放入容器中。的快慢由水管自上面放入容器中。问问：容器内水面可上升的高度？容器内水面可上升的高度？若达到该高度时不再放若达到该高度时不再放水，求容器内的水流尽需多少时间。水，求容器内的水流尽需多少时间。解：解：（1）设容器内水面可上升的高度为）设容器内水面可上升的高度为H，此时，此时放入容器的水流量和从小孔流出的水流量相等，放入容器的水流量和从小孔流出的水流量相等，Q=S2 v2 22vgH 小孔处水流速

15、小孔处水流速v2为为：2222QS vSgH 221()2QHg S 42411.4 10()0.1()29.810m （2）设容器内水流尽需要的时间为）设容器内水流尽需要的时间为T22vgh t 时刻水的高度为时刻水的高度为h，小孔处流速为，小孔处流速为液面下降液面下降dh高度从小孔流出的水体积为高度从小孔流出的水体积为dV=S1dh，需要的时间需要的时间dt 为为 dV/Q 112222SdhSdhdtS vSgh 011022211.2()2THS dhSHTdtsSgSgh 小孔流速小孔流速2Bvgh 例2 如图，在一个桶的侧面不同的高度的两处开了两个小孔A,B。A孔距水面的高度为h1

16、,距地面的高度为h2.问：B孔在距地面什么高度处才可以保证两个孔喷出的水达到同样远的距离?若容器装满水，在什么高度开孔水的射程最远？解：解：AAARAtv孔水射程：2121222hhghghghhhhg33212)(2由由R相等可解得：相等可解得：h3=h1ABh2h1h3BBBRBtv孔水射程：求导对2221)(22hhHhhR2121222hhghghRA时，22hH 21hh H令解得：令0,R射程最远时，即21hh （2）虹吸作用虹吸作用 如图，一大容器中插入一弯管，若弯管最初充满液如图，一大容器中插入一弯管，若弯管最初充满液体，则随后液体从弯管下端体，则随后液体从弯管下端 e 源源流

17、出。试求源源流出。试求 a,b,c,d,e 各处的速率及压强大小。各处的速率及压强大小。d0PPPea0avgHve2edcbvvvv,gHPPebdcbeaPPPPP可见：解：解：)(hHgPPPedchHabce流线越密地方流速越大，流线越密地方流速越大，越稀地方流速越小。越稀地方流速越小。理想流体的条件：理想流体的条件：不可压缩不可压缩 无粘性无粘性 定常流动（稳流）定常流动（稳流）流流 线线 流体不会穿过流线流体不会穿过流线 流入或流出流管流入或流出流管!回顾：回顾：流管流管 流线不相交流线不相交特点？特点？伯努利方程伯努利方程：212常量vghP单位体积流单位体积流体的动能体的动能单

18、位体积流单位体积流体的势能体的势能实质实质为为能量守恒能量守恒;用于理想流体做定常流动时；用于理想流体做定常流动时；同一流管同一流管 在在一般管道一般管道流动中，忽略各物理量在其横截面上的变流动中，忽略各物理量在其横截面上的变化也可化也可近似成立近似成立，式中各量为管道截面上所取的，式中各量为管道截面上所取的平均值平均值。单位体积流体单位体积流体的静压能的静压能h1=h2时，时，流速大的地方压强小，流速大的地方压强小，212Pv 常常量量 流速小的地方压强大流速小的地方压强大S v=常量（质量流量守恒定律）常量（质量流量守恒定律）R RV V=Sv=Sv=常量（体积流量守恒定律）常量（体积流量

19、守恒定律）定常流动的定常流动的连续性方程连续性方程（）解：解：截面积相等，所以截面积相等，所以ghvvv2542高度相等，所以高度相等，所以atmpppp54253521,2AAghv代入,22253ghvv得：ghppvatm11,0由图可得：)(21232553vvpp由伯努利方程得：由伯努利方程得：由伯努利方程由伯努利方程：212vghP 常常量量考察考察2 2、4 4、5 5 点：点：ghpatm3（3）空吸作用空吸作用解：由图，解：由图，c,d 两截面处的中心线等高，两截面处的中心线等高，2201122ccdvpvp 由连续性方程：由连续性方程：ccddv Sv S 如图，在容器如图

20、，在容器A A的下部开口，与一水的下部开口，与一水平管道相接，管道中间平管道相接，管道中间c c处是收缩段，处是收缩段，水平管道水平管道d d端与外界相连。试求端与外界相连。试求c c处处压强；压强；B B容器中的液体在何条件下能容器中的液体在何条件下能流进水平管发生空吸作用？流进水平管发生空吸作用？由由伯努利方程得：伯努利方程得：20220)(1)(21cdcdcSSghPvvPpghSSvSSvcddcdc2得故当满足故当满足容器容器B中的液体就会被吸到水平管道中中的液体就会被吸到水平管道中空吸作用空吸作用联立得空吸作用的条件：联立得空吸作用的条件：0Bccbppppgh 1dbcShSh

21、0ppB抽气机抽气机水水水水+空气空气空吸作用应用空吸作用应用：水流抽气机、射流真水流抽气机、射流真空泵、喷雾器等空泵、喷雾器等接被抽容器接被抽容器1)(20cdcSSghppcd5)5)流速计流速计 皮托管皮托管212cdPvP 2vgh 221121221(1)2spppvs 111222122ghQS vS SSS p1，v1p2，v2（4）汾丘里流量计）汾丘里流量计2221212121PvPv2211vSvS由ghhkhk总压强总压强静压强静压强动压强动压强例例 水在截面不同的水平管中作稳定流动，出口处的截面水在截面不同的水平管中作稳定流动，出口处的截面积为管的最细处的积为管的最细处的

22、3倍。若出口处的流速为倍。若出口处的流速为2m/s，问问 最细处的压强为多少？若在此最细处开一小孔，水最细处的压强为多少？若在此最细处开一小孔，水会不会流出来？会不会流出来？2211221122PvPv解：由连续性方程解：由连续性方程 S1v1=S2v2，得得 v2=6（m/s）由伯努利方程在水平管中的应用得：由伯努利方程在水平管中的应用得：P2 P0，水不会流出来水不会流出来代入数据得：代入数据得：P2=85（kPa）飞机升力：飞机升力：流速小的地方压强较大，流速小的地方压强较大，流速大的地方压强较小流速大的地方压强较小2002200221212121vpvpvpvpbbaa2220()()

23、/2 /2LbaabFppAAVVA V生活中的流体力学：生活中的流体力学：实际流体在流动时，由于相邻部分发生相实际流体在流动时，由于相邻部分发生相对滑动，会产生沿切向的阻碍相对运动的粘滞力。对滑动，会产生沿切向的阻碍相对运动的粘滞力。这种流体称为这种流体称为粘性流体或非理想流体。粘性流体或非理想流体。5-45-4 实际流体的流动规律实际流体的流动规律 粘滞流体：粘滞流体：内摩擦力内摩擦力：相邻两层流体作相对滑动时的切向相互：相邻两层流体作相对滑动时的切向相互作用力，又称粘滞力。作用力，又称粘滞力。宏观宏观：作用类似于两接触物体间的：作用类似于两接触物体间的摩擦力（此时无静摩擦力），快层摩擦力

24、（此时无静摩擦力），快层对慢层有拉力，对慢层有拉力，慢层对快层有阻力。慢层对快层有阻力。Fff一、一、粘滞流体的能量方程粘滞流体的能量方程微观：微观：源于两层流分子间吸引力，源于两层流分子间吸引力，及热运动及热运动。流体中的粘滞力：流体中的粘滞力：平板间存在流速场平板间存在流速场V(y),并存在速度梯度并存在速度梯度dv/dydydvSf：1 1）流体的粘滞系数，反映流体的粘性。流体粘性的大小是对）流体的粘滞系数，反映流体的粘性。流体粘性的大小是对 流体流动受阻程度的一种量度。流体流动受阻程度的一种量度。3 3）粘滞系数非常依赖于温度：对气体，一般随温度升高而）粘滞系数非常依赖于温度：对气体，

25、一般随温度升高而 增大；对液体，一般随温度升高而减小。增大；对液体，一般随温度升高而减小。2 2）单位：帕斯卡）单位：帕斯卡.秒，秒，或或牛牛.秒秒/米米4 4）=0=0的体系：超流动性。的体系：超流动性。液氦液氦4 4HeHe温度低于温度低于2.172K2.172K时，粘度为零，会产生无阻尼流动。时，粘度为零，会产生无阻尼流动。粘滞定律：粘滞定律：流体粘性实验示意图流体粘性实验示意图(1686(1686年，牛顿年，牛顿)5 5）符合粘滞定律的流体，称牛顿流体。）符合粘滞定律的流体，称牛顿流体。dydvSf推导非理想流体的动力学方程：推导非理想流体的动力学方程：由功能原理，由功能原理，EW22

26、2211111)22Evghmvghm机械能变化222212112121ghvpghvp有粘滞力作功时：有粘滞力作功时：耗WEW对理想流体对理想流体：12w耗散能体密度耗散能体密度VpptvFtvFW)()2212211做功推导粘性流体伯努利方程推导粘性流体伯努利方程)(3223hhgwW12依赖于初态和末态依赖于初态和末态122112ppw理想流体理想流体 必须维持一定的必须维持一定的压强差压强差，才能使粘性流体作匀速运动才能使粘性流体作匀速运动12w耗散能体密度耗散能体密度222212112121ghvpghvp实际流体实际流体 主动脉的横截面积最小，为主动脉的横截面积最小，为3cm2，毛

27、细血管的总截面积最大，为毛细血管的总截面积最大，为900cm2二、湍流和雷诺数二、湍流和雷诺数层流：流体分层流动，相邻两层流体之间只作层流：流体分层流动，相邻两层流体之间只作相对滑动，流层间没有横向混杂。相对滑动，流层间没有横向混杂。湍流：当流体流动的速度超过一定数值时，流体将不湍流：当流体流动的速度超过一定数值时，流体将不再保持分层流动。外层的流体粒子不断卷入内再保持分层流动。外层的流体粒子不断卷入内层，形成旋涡，整个流动显得杂乱而不稳定。层，形成旋涡，整个流动显得杂乱而不稳定。雷诺数雷诺数（无量纲数）（无量纲数）R ev l,是流体的是流体的密度和粘度；密度和粘度；v,l 是物体的是物体的

28、特征速度和特征长度特征速度和特征长度层流向湍流过渡的判据：层流向湍流过渡的判据：2）Re1000时，流体作层流时，流体作层流Re1500时，流体作湍流时，流体作湍流1000Re1500时，流体可以作层流、湍流，或相互转化时，流体可以作层流、湍流，或相互转化 1）管道中的流动）管道中的流动：特征速度：流体在管道上的平均速度；特征速度：流体在管道上的平均速度；特征长度：管道半径特征长度：管道半径飞机飞机：特征速度：飞机速度；特征长度：机翼长度特征速度：飞机速度；特征长度：机翼长度 体系不同，体系不同，ReRe*不同不同 例例1 1水和甘油在内径相同的圆管道中以相同的流速水和甘油在内径相同的圆管道中

29、以相同的流速流动流动,试根据以下数据判断他们的流场形态。设圆管内试根据以下数据判断他们的流场形态。设圆管内径径r=0.1m,r=0.1m,流速为流速为v=0.5m/sv=0.5m/s。圆管道流场的临界雷诺。圆管道流场的临界雷诺数数ReRe*=2000=2000。甘油密度为。甘油密度为1300kg/m3,1300kg/m3,粘度为粘度为0.5Pa0.5Pa s.s.水的粘度约为水的粘度约为0.001 Pa0.001 Pa s s。对于水：对于水：10000.50.1Re500000.001vr湍流湍流对于甘油：对于甘油：13000.5 0.1Re1300.5vd层流层流粘性越小，越容易产生湍流。

30、粘性越小，越容易产生湍流。例例2 设主动脉的内半径为设主动脉的内半径为0.01m，血液的流速、粘滞，血液的流速、粘滞系数、密度分别为系数、密度分别为v=0.25m/s、=3.010-3 Pas、=1.05103kg/m3，求雷诺数并判断血液以何种形，求雷诺数并判断血液以何种形态流动。态流动。解：解：雷诺数为雷诺数为这一数值小于这一数值小于1000，所以血液在主动脉中为层流。，所以血液在主动脉中为层流。331.05 100.25 0.018753.0 10eRvR 雷诺相似准则：雷诺相似准则：雷诺数相等的流场具有雷诺数相等的流场具有相似的流动状态和性质。相似的流动状态和性质。相同的动力学性质，相

31、同的流动形态和流线分布相同的动力学性质，相同的流动形态和流线分布对于圆管道中的流场，对于圆管道中的流场，管径缩小一倍，流速增加一倍，雷诺数不变流动性质不变。管径缩小一倍，流速增加一倍，雷诺数不变流动性质不变。风洞的应用风洞的应用歼efvrRf压差粘滞速度小，粘滞力起主要作用，层流；速度小，粘滞力起主要作用，层流；速度大，压强差起主要作用，湍流速度大，压强差起主要作用，湍流。物体在流体中所受的阻力：物体在流体中所受的阻力：（）粘滞阻力：物体表面的（）粘滞阻力：物体表面的流体与物体一起运动，因此物流体与物体一起运动，因此物体表面流体与邻近流体有相对体表面流体与邻近流体有相对运动，因此产生粘滞阻力。

32、运动，因此产生粘滞阻力。vrf（）压差阻力（）压差阻力22rvf不同形状的物体压差阻力相差很大不同形状的物体压差阻力相差很大降低压差阻力，需流线型。降低压差阻力，需流线型。飞机、舰艇、磁悬浮列车等的造型飞机、舰艇、磁悬浮列车等的造型三、泊肃叶定律三、泊肃叶定律法国医生泊肃叶通过大量实验，总结出泊肃叶公式法国医生泊肃叶通过大量实验，总结出泊肃叶公式流量流量4218QRlpp:为流体的粘滞系数，为流体的粘滞系数，l：圆柱体的长度和半径圆柱体的长度和半径、R12pp：圆柱体两端的压强差圆柱体两端的压强差用于粘性流体在水平圆管中的定常流动时用于粘性流体在水平圆管中的定常流动时Qpz泊肃叶公式又可写成泊

33、肃叶公式又可写成12p=p,p其中其中48 lzR此时公式此时公式Qpz可与可与uIR类比类比（称流阻）（称流阻）流阻串联：流阻串联：流阻并联：流阻并联：12nzzzz121111nzzzz 半径的微小变化就会对流阻造成很大影响。半径的微小变化就会对流阻造成很大影响。血管可以收缩和舒张，其管径的变化对血液流量的影响血管可以收缩和舒张，其管径的变化对血液流量的影响是很显著的是很显著的。流量流量Q与管两端的压强差与管两端的压强差P成正比，与成正比，与Z成反比成反比 本章小结本章小结理想流体定常流动理想流体定常流动连续性方程连续性方程1 122S vS v 伯努利方程伯努利方程212常量vghP粘性流体的运动粘性流体的运动dvfSdx 粘滞定律粘滞定律22111222121122PvghPvghw 伯努利方程伯努利方程