第9章数学形态学原理第1讲2

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1、第第9 9章章 数学形态学原理数学形态学原理 (第一讲）第一讲）引入引入数学形态学（数学形态学（Mathematical MorphologyMathematical Morphology）应用应用于图像处理和模式识别领域的新的方法：于图像处理和模式识别领域的新的方法：把图像看把图像看成是点的集合，用集合论的各种观点来研究图的性成是点的集合，用集合论的各种观点来研究图的性质就是数学形态学。质就是数学形态学。其理论基础是集合论，在数学其理论基础是集合论，在数学形态学中用集合表示图像中的不同对象。形态学中用集合表示图像中的不同对象。形态学形态学通常代表生物学的一个分支，它是研究通常代表生物学的一个

2、分支，它是研究动植物的形态和结构的学科。动植物的形态和结构的学科。数学形态学图像处理数学形态学图像处理使用数学的方法，研究数字使用数学的方法，研究数字图像中的物体的形态和结构的图像处理方法。图像中的物体的形态和结构的图像处理方法。数学形态学中集合如何代表图像中物体的形状？数学形态学中集合如何代表图像中物体的形状？如：在二进制图像中所有黑色像素点的集合就是如：在二进制图像中所有黑色像素点的集合就是对这幅图像的完整描述，当前集合指二维整形空间的对这幅图像的完整描述，当前集合指二维整形空间的成员，集合中的每个元素都是一个二维变量，用成员，集合中的每个元素都是一个二维变量，用(x，y)表示。表示。灰度

3、数字图像可以用三维集合来表示。集合中每灰度数字图像可以用三维集合来表示。集合中每个元素的前两个变量用来表示像素点的坐标，第三个个元素的前两个变量用来表示像素点的坐标，第三个变量代表离散的灰度值。变量代表离散的灰度值。在更高维数的空间集合中可以包括其它的图像属在更高维数的空间集合中可以包括其它的图像属性，如颜色和时间。性，如颜色和时间。9.1 9.1 数学形态学的发展数学形态学的发展 “数学形态学数学形态学”的历史可追溯到十九世纪的的历史可追溯到十九世纪的Eular.steiner.CroftonEular.steiner.Crofton和本世纪的和本世纪的MinkowskiMinkowski。

4、19641964年法国学者年法国学者J.SerraJ.Serra对铁矿石的岩相进行了对铁矿石的岩相进行了定量分析以预测铁矿石的可轧性。同时定量分析以预测铁矿石的可轧性。同时G.MatherG.Matheronon研究了多孔介质的几何结构、渗透性及两者的研究了多孔介质的几何结构、渗透性及两者的关系，其研究成果直接导致关系，其研究成果直接导致“数学形态学数学形态学”雏形雏形的形成。的形成。J.SerraJ.Serra和和 G.MatheronG.Matheron在法国在法国(巴黎矿业学院巴黎矿业学院)共共同建立了枫丹白露（同建立了枫丹白露（FontainebleauFontainebleau）数学

5、形态学研究）数学形态学研究中心。此后，他们逐步建立并完善了中心。此后，他们逐步建立并完善了“数学形态学数学形态学”理论体系，研究了基于数学形态学的图像处理系统。理论体系，研究了基于数学形态学的图像处理系统。“数学形态学数学形态学”建立在严格的数学理论基础上。建立在严格的数学理论基础上。G.MatheronG.Matheron 于于19731973年出版的年出版的Ensembles Ensembles aleatoaleatoiresetireset geometriegeometrie integrate integrate一书严谨而详尽一书严谨而详尽地论证了随机集论和积分几何，为数学形态学奠

6、定地论证了随机集论和积分几何，为数学形态学奠定了理论基础。了理论基础。1982 1982年，年，J.SerraJ.Serra出版的专著出版的专著Image AnalysImage Analysis and Mathematical Morphologyis and Mathematical Morphology是数学形态是数学形态学发展的里程碑，它表明数学形态学在理论上已趋学发展的里程碑，它表明数学形态学在理论上已趋于完备，在实际应用中不断深入。于完备，在实际应用中不断深入。此后，经过科学工作者的不断努力，此后，经过科学工作者的不断努力，J.SerraJ.Serra主编的主编的Image An

7、alysis and Mathematical MorImage Analysis and Mathematical MorphologyphologyVolume2Volume2、Volume3Volume3相继出版，相继出版，19861986年，年，CVGIPCVGIP（Computer Vision Graphics and Image PComputer Vision Graphics and Image Processingrocessing）发表了数学形态学专辑，从而使得数）发表了数学形态学专辑，从而使得数学形态学的研究呈现了新的景象。同时，枫丹白学形态学的研究呈现了新的景象。同时

8、，枫丹白露研究中心的学者们又相继提出了基于数学形态露研究中心的学者们又相继提出了基于数学形态学方法的纹理分析模型系列，从而使数学形态学学方法的纹理分析模型系列，从而使数学形态学的研究前景更加光明。的研究前景更加光明。随着数学形态学逻辑基础的发展，其应用开始随着数学形态学逻辑基础的发展，其应用开始向边缘学科和工业技术方面发展。数学形态学的应向边缘学科和工业技术方面发展。数学形态学的应用领域已不限于传统的微生物学和材料学领域，用领域已不限于传统的微生物学和材料学领域，8080年代初又出现了几种新的应用领域年代初又出现了几种新的应用领域:如工业控制、放射医学、运动场景分析等。数如工业控制、放射医学、

9、运动场景分析等。数学形态学在我国的应用研究也很快，目前，已研制学形态学在我国的应用研究也很快，目前，已研制出一些以数学形态学为基础的实用图像处理系统，出一些以数学形态学为基础的实用图像处理系统，如：中国科学院生物物理研究所和计算机技术研究如：中国科学院生物物理研究所和计算机技术研究所负责，由软件研究所、电子研究所和自动化所参所负责，由软件研究所、电子研究所和自动化所参加研究的癌细胞自动识别系统等。加研究的癌细胞自动识别系统等。数学形态学综合了多学科知识，其数学形态学综合了多学科知识，其理论基础颇理论基础颇为艰深，但其基本观念却比较简单为艰深，但其基本观念却比较简单。它体现了逻辑。它体现了逻辑推

10、理与数学演绎的严谨性，又要求具备与实践密切推理与数学演绎的严谨性，又要求具备与实践密切相关的实验技术与计算技术。它涉及微分几何、积相关的实验技术与计算技术。它涉及微分几何、积分几何、测度论、泛函分析和随机过程等许多数学分几何、测度论、泛函分析和随机过程等许多数学理论。总之，数学形态学是建立在理论。总之，数学形态学是建立在严格的数学理论严格的数学理论基础上而又密切联系实际的科学基础上而又密切联系实际的科学。用于描述数学形态学的语言是用于描述数学形态学的语言是集合论集合论,它可以它可以提供一个统一而强大的工具来处理图像处理中所提供一个统一而强大的工具来处理图像处理中所遇到的问题。利用数学形态学对物

11、体几何结构的遇到的问题。利用数学形态学对物体几何结构的分析过程就是分析过程就是主客体相互逼近主客体相互逼近的过程。利用数学的过程。利用数学形态学的几个基本概念和运算，将结构元灵活地形态学的几个基本概念和运算，将结构元灵活地组合、分解，应用形态变换序列达到分析的目的。组合、分解，应用形态变换序列达到分析的目的。数学形态学的研究问题的方法是试探数学形态学的研究问题的方法是试探!?!?数学形态学图像处理的基本思想数学形态学图像处理的基本思想,是利用一是利用一个称作结构元个称作结构元(素素)的的“探针探针”在图像中不断在图像中不断移动移动,边移动边试探边移动边试探,从而获得图像的信息从而获得图像的信息

12、,并并做出相应的处理做出相应的处理.什么是结构元什么是结构元(素素)?)?试探什么试探什么?如何试探如何试探?一个集合一个集合图像上的点图像上的点由要处理的问题决定，测试合格由要处理的问题决定，测试合格的点并入结果集，否则舍弃该点。的点并入结果集，否则舍弃该点。利用数学形态学进行图像分析的基本步骤有：利用数学形态学进行图像分析的基本步骤有：1 1）提出所要描述的物体几何结构模式，即提取物体的）提出所要描述的物体几何结构模式，即提取物体的 几何结构特征；几何结构特征；2 2）根据该模式选择相应的结构元，结构元应该简单而）根据该模式选择相应的结构元，结构元应该简单而 对模式具有最强的表现力；对模式

13、具有最强的表现力；3 3）用选定的结构元对图像进行击中与否（）用选定的结构元对图像进行击中与否（HMTHMT）变换，）变换，便可得到比原始图像显著突出物体特征信息的图像。便可得到比原始图像显著突出物体特征信息的图像。如果赋予相应的变量则可得到该结构模式的定量描如果赋予相应的变量则可得到该结构模式的定量描 述；述；4 4）经过形态变换后的图像突出了我们需要的信息，此）经过形态变换后的图像突出了我们需要的信息，此 时，就可以方便地提取信息；时，就可以方便地提取信息；数学形态学的数学形态学的核心运算是击中与否变换（核心运算是击中与否变换（hit hit or miss transform,HMTor

14、 miss transform,HMT），），在定义了在定义了HMTHMT及其基及其基本运算本运算膨胀（膨胀（DilationDilation）和和腐蚀腐蚀(Erosion)(Erosion)后，再后，再从积分几何和体视学移植一些概念和理论，根据图从积分几何和体视学移植一些概念和理论，根据图像分析的各种要求，构造出统一的、相同的或变化像分析的各种要求，构造出统一的、相同的或变化很小的结构元素进行各种形态变换加以试探。在形很小的结构元素进行各种形态变换加以试探。在形态算法设计中，结构元的选择十分重要，其形状、态算法设计中，结构元的选择十分重要，其形状、尺寸的选择是能否有效地提取信息的关键。尺寸的

15、选择是能否有效地提取信息的关键。一般情况，结构元的选择本着如下几个原则进一般情况，结构元的选择本着如下几个原则进行：行：1 1）结构元必须在几何上比原图像简单，且有）结构元必须在几何上比原图像简单，且有界。当选择性质相同或相似的结构元时，以选择极界。当选择性质相同或相似的结构元时，以选择极限情况为益；限情况为益；2 2）结构元的凸性非常重要，对非凸子集，由）结构元的凸性非常重要，对非凸子集，由于连接两点的线段大部分位于集合的外面，故而用于连接两点的线段大部分位于集合的外面，故而用非凸子集作为结构元将得不到什么信息。非凸子集作为结构元将得不到什么信息。总之，数学形态学的基本思想和基本研究方总之，

16、数学形态学的基本思想和基本研究方法具有一些特殊性，掌握和运用好这些特性是取得法具有一些特殊性，掌握和运用好这些特性是取得良好结果的关键。良好结果的关键。9.2 9.2 数学形态学的基本概念和运算数学形态学的基本概念和运算 在数学意义上，我们用形态学来处理一些图像在数学意义上，我们用形态学来处理一些图像,用以描述某些区域的形状如边界曲线、骨架结构和用以描述某些区域的形状如边界曲线、骨架结构和凸形外壳等。另外凸形外壳等。另外,我们也用形态学技术来进行预我们也用形态学技术来进行预测和快速处理如形态过滤，形态细化，形态修饰等。测和快速处理如形态过滤，形态细化，形态修饰等。而这些处理都是基于一些基本运算

17、实现的。而这些处理都是基于一些基本运算实现的。9.2.1 9.2.1 数学形态学定量分析原则数学形态学定量分析原则 9.2.2 9.2.2 数学形态学的基本定义及数学形态学的基本定义及基本算法基本算法 形态运算的质量取决于所选取的结构元和形形态运算的质量取决于所选取的结构元和形态变换。结构元的选择要根据具体情况来确定，态变换。结构元的选择要根据具体情况来确定，而形态运算的选择必须满足一些基本约束条件。而形态运算的选择必须满足一些基本约束条件。这些约束条件称为图像定量分析的原则。这些约束条件称为图像定量分析的原则。平移兼容性：平移兼容性：设待分析图像为设待分析图像为 X，表示某种图像变换或运算，

18、表示某种图像变换或运算，(X)表示表示 X 经变换或运算后的新图像。设经变换或运算后的新图像。设 h为为一矢量，一矢量，Xh 表示将图像表示将图像X平移一个位移矢量后的平移一个位移矢量后的结果，平移兼容性原则可表示为：结果，平移兼容性原则可表示为：hhX)()(91)(91)此式说明图像此式说明图像 X 先平移然后变换的结果与图先平移然后变换的结果与图像先变换后平移的结果是一样的。像先变换后平移的结果是一样的。尺度变换兼容性：尺度变换兼容性：设缩放因子设缩放因子 是一个正的实常数，是一个正的实常数，X 表示对图像表示对图像 X 所做的相似变换，则尺度变换所做的相似变换，则尺度变换兼容性原则可表

19、示如下：兼容性原则可表示如下：)()1(92)(92)如果设图像运算如果设图像运算 为结构元为结构元 B 对对X 的腐的腐蚀蚀 ，则，则 为结构元为结构元 B 对对X 的腐蚀，的腐蚀，则上式可具体化为：则上式可具体化为：()XBBXBX)1(93)(93)局部知识原理：局部知识原理：如果如果 Z 是一个图形（是一个图形（“闭集闭集”），则相对于），则相对于 Z 存在另一个闭集存在另一个闭集Z，使得对于图形，使得对于图形 X 有下式成立：有下式成立：ZXZZX)()(94)(94)物理上可将物理上可将 Z 理解为一个理解为一个“掩模掩模”。在实际中观。在实际中观察某一对象时，每次只能观察一个局部

20、，即某一掩察某一对象时，每次只能观察一个局部，即某一掩模覆盖的部分模覆盖的部分XZ。该原则要求对每种确定的变换或运算该原则要求对每种确定的变换或运算，当掩模，当掩模 Z选定以后，都能找到一个相应的模板选定以后，都能找到一个相应的模板Z，使得通过，使得通过Z所观察到的局部性质，即所观察到的局部性质，即 与整与整体性质体性质 相一致。相一致。ZZX)(ZX)(半连续原理：半连续原理：在研究一幅图像时，常采用逐步逼近的方法，在研究一幅图像时，常采用逐步逼近的方法，即对图像即对图像 X 的研究往往需的研究往往需 要要 通通 过过 一一 系系 列列 图图 像像 的研究实现，其中诸个的研究实现，其中诸个X

21、n 逐步逼近逐步逼近 X 。半连续原理要求各种图像变换后应。半连续原理要求各种图像变换后应满足这样的性质：对真实图像满足这样的性质：对真实图像 X 的处理结果应包的处理结果应包含在对一系列图像含在对一系列图像 Xn 的处理结果内。的处理结果内。,21nXXX 形态运算的基本性质：形态运算的基本性质：除了一些特殊情况外，数学形态学处理一般都除了一些特殊情况外，数学形态学处理一般都是不可逆的。实际上，对图像进行重构的思想在该是不可逆的。实际上，对图像进行重构的思想在该情况下是不恰当的。任何形态处理的目的都是通过情况下是不恰当的。任何形态处理的目的都是通过变换去除不感兴趣的信息，保留感兴趣的信息。在

22、变换去除不感兴趣的信息，保留感兴趣的信息。在形态运算中的几个关键性质如下：形态运算中的几个关键性质如下：递增性：递增性：反扩展性：反扩展性：幂等性：幂等性：)(,),()(EYXYXYX)(,)(EXXX)(),()(EXXX(95)(95)(96)(96)(97)(97)(EE其中：其中：表示形态变换，表示形态变换，表示表示EuclideanEuclidean空空间间 的幂集。的幂集。9.2.1 9.2.1 数学形态学定量分析原则数学形态学定量分析原则 9.2.2 9.2.2 数学形态学的基本定义及数学形态学的基本定义及基本算法基本算法 一些基本的定义一些基本的定义 （1 1）集合：具有某种

23、性质的确定的有区别的事）集合：具有某种性质的确定的有区别的事物的全体。如果某种事物不存在称为空集。集合物的全体。如果某种事物不存在称为空集。集合常用大写字母常用大写字母 A,B,C,表示，空集用表示，空集用表示。表示。设设 为一自由空间，为一自由空间，是由集合空间是由集合空间 所构所构成的幂集，集合成的幂集，集合 ，则集合，则集合 和和 之间之间的关系只能有以下包含、击中、相离三种形式：的关系只能有以下包含、击中、相离三种形式：E)(EE)(,EBXXB、集合、集合B包含于包含于X（表示为（表示为 ）、集合、集合B击中击中X（表示为（表示为 ），即：），即：、集合、集合B相离于相离于X（表示为

24、（表示为 ），即：），即：XB XB XB XB 图图 91 91 击中击中X X，相离于相离于X X，包含于包含于X X 1B2B3BcBX （3 3）平移转换：）平移转换：设设A A和和B B是两个二维集合，是两个二维集合，A A和和B B中的元素分别是中的元素分别是 ),(),(2121bbbaaa定义定义 ，对集合的平移转换为，对集合的平移转换为:),(21xxx ,AaforxaccAx(98)(98)（2 2）元素：构成集合的每一个事物称之为元）元素：构成集合的每一个事物称之为元素，元素常用小写字母素，元素常用小写字母 表示，应注意的表示，应注意的是任何事物都不是空集的元素。是任何

25、事物都不是空集的元素。,cbaA12(,)x x(A)X （4 4）子集：当且仅当）子集：当且仅当A A集合的所有元素都属于集合的所有元素都属于B B时，称时，称A A为为B B的子集。的子集。（5 5）补集：定义集合）补集：定义集合A A的补集为的补集为:AxxAc(99)(99)（6 6）差集：定义集合）差集：定义集合A A和和B B的差集为的差集为 BAcBABxAxxBA,(910)(910)(911)(911)（7 7）映像：定义集合）映像：定义集合B B的映像为的映像为 ,Bx xb bB(912)(912)B （8 8）并集：由）并集：由A A和和B B的所有元素组成的集合称的所

26、有元素组成的集合称为为A A和和B B的并集。的并集。（9 9）交集：由）交集：由A A和和B B的公共元素组成的集合称的公共元素组成的集合称为为A A和和B B的交集。的交集。CABCAB 图图9292解释了刚才几个定义，图中的黑点为集解释了刚才几个定义，图中的黑点为集合的原点。图合的原点。图92(a)92(a)显示集合显示集合A A；图；图92(b)92(b)表示表示A A被被 平移，注意平移是在平移，注意平移是在A A的每个元素上加的每个元素上加上上 。图。图92(c)92(c)表示集合表示集合B B；图；图92(d)92(d)显显示了示了B B关于原点的反转。最后，图关于原点的反转。最

27、后，图92(e)92(e)显示了集显示了集合合A A及其补，图及其补，图92(f)92(f)显示了图显示了图92(e)92(e)的集合的集合A A与与图图92(f)92(f)中的集合中的集合B B的差。的差。),(21xxx),(21xxx 图图92 92(a)(a)集合集合A A；(b)(b)用用x x平移集合平移集合A A后的后的结果；结果；(c)(c)集合集合B B；(d)d)B B的反转；的反转；(e)(e)集合集合A A和它的补集；和它的补集；(f)(f)两个集合的差集两个集合的差集(如阴影所示如阴影所示)。前四幅图的黑点前四幅图的黑点表示了每个集合的起表示了每个集合的起点。点。补充

28、：二值图像的逻辑运算补充：二值图像的逻辑运算1.1.主要逻辑运算主要逻辑运算2.二值图像的基本逻辑运算 膨胀膨胀 为为 中的集合，中的集合，为空集，为空集，被被 的膨胀，的膨胀，记为记为 ，为膨胀算子，膨胀的定义为：为膨胀算子，膨胀的定义为：BA,2ZABBA=|()=|()BAxBxA(912)(912)膨胀过程膨胀过程:B首先做关于原点的映射，然后平移首先做关于原点的映射，然后平移x。A被被B的膨胀是的膨胀是 被所有被所有x平移后与平移后与A至少有至少有一个非零公共元素一个非零公共元素。B根据这个解释，公式重写如下：根据这个解释，公式重写如下：集合集合B在膨胀操作中通常被称为结构元素。在膨

29、胀操作中通常被称为结构元素。=|()=|()BABA(913)(913)xxA 公式公式(912)(912)不是现在形态学文献中膨胀的唯不是现在形态学文献中膨胀的唯一定义。然而，前面这个定义有一个明显的优势，一定义。然而，前面这个定义有一个明显的优势，因为当结构元素因为当结构元素B 被看为卷积模板时有更加直观的被看为卷积模板时有更加直观的概念。尽管膨胀是基于集合的运算，而卷积是基于概念。尽管膨胀是基于集合的运算，而卷积是基于算术运算，但是算术运算，但是B B关于原点的关于原点的“映射映射”及而后连续及而后连续的平移使它可以滑过集合的平移使它可以滑过集合(图像图像)A A 的基本过程类似的基本过

30、程类似于卷积过程。于卷积过程。图图93(a)93(a)表示一个简单的集合，图表示一个简单的集合，图93(b)93(b)表表示一个结构元素及其示一个结构元素及其“映射映射”。在此图情况下，因。在此图情况下，因为结构元素为结构元素B关于原点对称，所以，结构元素关于原点对称，所以，结构元素B及其及其映射映射 相同。图相同。图93(c)93(c)中的虚线表示作为参考的中的虚线表示作为参考的原始集合，实线示出若原始集合，实线示出若 的原点平移至的原点平移至x点超过此点超过此界限，则界限，则 与与A A的交集为空。的交集为空。BBB 实线内的所有实线内的所有点构成了点构成了A A被被B B的膨胀。图的膨胀

31、。图(d)(d)表示预先设计表示预先设计的结构元素，的结构元素，其目的是为了其目的是为了得到一个垂直得到一个垂直膨胀比水平膨膨胀比水平膨胀大的结果。胀大的结果。图图(e)(e)为用此构为用此构成元素膨胀后成元素膨胀后的结果。的结果。图图 93 93 膨胀操作的例子膨胀操作的例子 BA用下面的结构元素进行膨胀，结果是否相同？用下面的结构元素进行膨胀，结果是否相同？B4B1B2B1AA相同形状位置不同的结构元素，膨胀后的结果形状相同，但位置不同B2A不同形状的结构元素，膨胀后的结果形状不同。例题：例题：将裂缝桥接起来的形态学膨胀的应用将裂缝桥接起来的形态学膨胀的应用 膨胀最简单的应用之一是将裂缝桥

32、接起来。图膨胀最简单的应用之一是将裂缝桥接起来。图中显示了带有间断的图像，这与低通滤波器的使用中显示了带有间断的图像，这与低通滤波器的使用有关。已知间断的最大长度为两个像素。图有关。已知间断的最大长度为两个像素。图(b)b)显显示了能够修复这些间断的简单结构元素。图示了能够修复这些间断的简单结构元素。图(c)c)显显示了使用这个结构元素对原图进行膨胀后的结果。示了使用这个结构元素对原图进行膨胀后的结果。形态学方法优于低通滤波方法的一个直接优点形态学方法优于低通滤波方法的一个直接优点是这种方法在一幅二值图像中直接得到结果。是这种方法在一幅二值图像中直接得到结果。Matlab膨胀运算imdilat

33、eimdilate功能：对图像实现膨胀操作。功能：对图像实现膨胀操作。用法：用法：nSE=strel(square,6)%SE=strel(square,6)%创建创建6 6*6 6的正方形的正方形nSE=strel(line,10,45)%SE=strel(line,10,45)%创建直线长度创建直线长度1010，角，角度度4545nIM2=IM2=imdilate(IM,SEimdilate(IM,SE)膨胀灰度，二值，压缩二膨胀灰度，二值，压缩二值图像值图像IMIM，返回，返回IM2IM2。参数。参数SESE为由为由strelstrel函数返回的函数返回的结构元素或者结构元素对象组。结构

34、元素或者结构元素对象组。IM2=IM2=imdilate(IM,NHOODimdilate(IM,NHOOD)膨胀图像膨胀图像IMIM，这里，这里NHOODNHOOD是定义结构元素邻域是定义结构元素邻域0 0和和1 1的矩阵。的矩阵。IM2=IM2=imdilate(IM,SE,PACKOPTimdilate(IM,SE,PACKOPT)定义定义IMIM是否是一个是否是一个压缩的二值图像。压缩的二值图像。IM2=IM2=imdilateimdilate(.,PADOPT)(.,PADOPT)指出输出图像的大小。指出输出图像的大小。腐蚀腐蚀 BA,为为 中的集合，中的集合，被被 腐蚀，记腐蚀，记

35、为为 ，其定义为：，其定义为：2ZABBA)(ABxBAx(914)(914)也就是说也就是说 被被 的腐蚀的结果为所有使的腐蚀的结果为所有使 被被x平平移后包含于移后包含于 的点的点x的集合。与膨胀一样，公式的集合。与膨胀一样，公式(914)(914)也可以用相关的概念加以理解。也可以用相关的概念加以理解。ABBA图图 94 94 腐蚀操作的例子腐蚀操作的例子 集合集合A在图在图(c)(c)用虚线用虚线表示。实线表示若表示。实线表示若B的的原点平移至原点平移至x点超过此点超过此界限，则界限，则A不能完全包不能完全包含含B。在这个实线边界。在这个实线边界内的点构成了内的点构成了A被被B的的腐蚀

36、。腐蚀。图图(d)画出了伸画出了伸长的结构元素，图长的结构元素，图(e)显示了显示了A被此元素腐蚀被此元素腐蚀的结果。原来的集合的结果。原来的集合被腐蚀成一条线了。被腐蚀成一条线了。例题：例题：使用形态学腐蚀除去图像的某些部分使用形态学腐蚀除去图像的某些部分 腐蚀的一种简单用途是从二值图像中消除不相关腐蚀的一种简单用途是从二值图像中消除不相关的细节的细节 图图(a)a)显示的二值图像包含边长为显示的二值图像包含边长为1 1，3 3，5 5，7 7，9 9和和1515个像素的正方形。假设这里只留下最大的正个像素的正方形。假设这里只留下最大的正方形而除去其他的正方形，通过用比我们要保留方形而除去其

37、他的正方形，通过用比我们要保留的对象稍小的结构元素对图像进行腐蚀。我们选的对象稍小的结构元素对图像进行腐蚀。我们选择择13131313像素大小的结构元素。图像素大小的结构元素。图(b)b)显示了腐蚀显示了腐蚀后的结果。图后的结果。图(c),c),我们通过使用用来腐蚀的结构我们通过使用用来腐蚀的结构元素对这元素对这3 3个正方形进行膨胀恢复它们原来个正方形进行膨胀恢复它们原来15151515像素的尺寸。像素的尺寸。Matlab腐蚀运算imerodeimerode功能：对图像实现膨胀操作。功能：对图像实现膨胀操作。用法：用法：IM2=IM2=imerode(IM,SEimerode(IM,SE)I

38、M2=IM2=imerode(IM,NHOODimerode(IM,NHOOD)IM2=IM2=imerodeimerode(.,PACKOPT,M)(.,PACKOPT,M)IM2=IM2=imerodeimerode(.,SHAPE)(.,SHAPE)膨胀和腐蚀是关于集合补和反转的对偶膨胀和腐蚀是关于集合补和反转的对偶。也。也就是就是,BABAcc)(915)(915)关于上式的正确性可证明于下：关于上式的正确性可证明于下：从腐蚀的定义可知：从腐蚀的定义可知：cxcABxBA)()(c如果集合如果集合 包含于集合包含于集合 ，那莫，那莫 ，在这种情况下，上式变为在这种情况下，上式变为 ()

39、xBA()cxBA()()cccxA Bx BA但是满足但是满足 的集合的集合 的补集是的补集是使使 的的 集合。这样集合。这样 x()cxBA命题得证。命题得证。()()cccxA Bx BA()cxBAx()()cccxA Bx BAAB 膨胀和腐蚀运算的一些性质对设计形态学算法膨胀和腐蚀运算的一些性质对设计形态学算法进行图像处理和分析是非常有用的，下面列出几个进行图像处理和分析是非常有用的，下面列出几个较重要的性质：较重要的性质：、交换性：、交换性：(916)(916)、结合性：、结合性：(917)(917)、递增性：、递增性：(918)(918)ABBACBACBA)()(CBCABA

40、CBCABA、分配性：、分配性：(919)(919)(920)(920)(921)(921)(922)(922)()()(CBCACBA)()()(CABACBA)()()(CABACBA)()()(ACABACB 这些性质的重要性是显而易见的。如分配性，这些性质的重要性是显而易见的。如分配性，如果用一个复杂的结构元素对图像作膨胀运算，则如果用一个复杂的结构元素对图像作膨胀运算，则可以把这个复杂结构元分解为几个简单的结构元素可以把这个复杂结构元分解为几个简单的结构元素的并集，然后用几个简单的结构元素对图像分别进的并集，然后用几个简单的结构元素对图像分别进行膨胀运算，最后将结果再作并集运算，这样

41、一来行膨胀运算，最后将结果再作并集运算，这样一来就可以大大简化运算的复杂性。就可以大大简化运算的复杂性。开运算（开运算（OpeningOpening）和闭运算）和闭运算(Closing)(Closing)膨胀扩大图像，腐蚀收缩图像。另外两个重膨胀扩大图像，腐蚀收缩图像。另外两个重要的形态运算是开运算和闭运算。要的形态运算是开运算和闭运算。开运算一般能平滑图像的轮廓，削弱狭窄的开运算一般能平滑图像的轮廓，削弱狭窄的部分，去掉细的突出。部分，去掉细的突出。闭运算也是平滑图像的轮廓，与开运算相反，闭运算也是平滑图像的轮廓，与开运算相反，它一般熔合窄的缺口和细长的弯口，去掉小洞，它一般熔合窄的缺口和细

42、长的弯口，去掉小洞，填补轮廓上的缝隙。填补轮廓上的缝隙。设设A是原始图像，是原始图像，B是结构元素图像，则集合是结构元素图像，则集合A被结构元素被结构元素B作开运算，记为作开运算，记为AB，其定义为：，其定义为：()A BA BB(923)(923)A被被B 开运算就是开运算就是A 被被B腐蚀后的结果再被腐蚀后的结果再被B膨胀。膨胀。开运算：开运算：malabmalab指令指令-imopenimopen;设设A是原始图像，是原始图像，B是结构元素图像，则集合是结构元素图像，则集合 A 被结构元素被结构元素B 作闭运算，记为作闭运算，记为 ,其定义为：其定义为：AB()A BABBA 被被B开运

43、算就是开运算就是A被被B膨胀后的结果再被膨胀后的结果再被B腐蚀。腐蚀。(924)(924)闭运算：闭运算：malabmalab指令指令-imcloseimclose;图图9595图释了集合图释了集合A 被一个圆盘形结构元素作被一个圆盘形结构元素作开运算和闭运算的情况。图开运算和闭运算的情况。图95(a)95(a)是集合是集合 A，95(b)95(b)示出了在腐蚀过程中圆盘结构元素的各个示出了在腐蚀过程中圆盘结构元素的各个位置，当完成这一过程时，形成分开的两个图形示位置，当完成这一过程时，形成分开的两个图形示于图于图95(c)95(c)。A A 的两个主要部分之间的两个主要部分之间的桥梁被去掉了

44、。的桥梁被去掉了。“桥桥”的宽度小于结构元素的的宽度小于结构元素的直径；也就是结构元素直径；也就是结构元素不能完全包含于集合不能完全包含于集合 A A 的这一部分被切除掉了。的这一部分被切除掉了。图图95(d)95(d)画出了对腐画出了对腐蚀的结果进行膨胀的过蚀的结果进行膨胀的过程，而图程，而图95(e)95(e)示出示出了开运算的最后结果。了开运算的最后结果。图图(f)-(if)-(i)示出了用同样的结构元素对示出了用同样的结构元素对 A 作闭运算作闭运算的结果。结果是去掉了的结果。结果是去掉了A的左边对于的左边对于B来说较小的弯。来说较小的弯。注意，用一个圆形的结构元素对集合注意，用一个圆

45、形的结构元素对集合 A 作开运算作开运算和闭运算均使和闭运算均使A的一些部分平滑了。的一些部分平滑了。开运算和闭运算有一个简单的几何解释。假设开运算和闭运算有一个简单的几何解释。假设我们把圆盘形结构元素我们把圆盘形结构元素 看作一个（平面的）看作一个（平面的）“滚滚动球动球”。的边界为的边界为 在在 内滚动所能达到的内滚动所能达到的最远处的最远处的 的边界所构成。这个解释能从图的边界所构成。这个解释能从图95(a)95(a)得到图得到图95(e)95(e)。BBABAB 注意所有的朝外的突出角均被圆滑了，而朝内注意所有的朝外的突出角均被圆滑了，而朝内的则没有影响。突出的不能容下这球的部分被去掉

46、。的则没有影响。突出的不能容下这球的部分被去掉。这种开运算的几何拟合性得出了集合论的一个定理：这种开运算的几何拟合性得出了集合论的一个定理：被被 的开运算就是的开运算就是 在在 内内 的的 平平 移移 (保保 证证()()所得到的集合的并集。这样所得到的集合的并集。这样开运算可以被描述为拟合过程，即：开运算可以被描述为拟合过程，即：ABBABxA)()(ABBBAxx(925)(925)下面用图释这个概念，为了多样性这里我们下面用图释这个概念，为了多样性这里我们用了一个圆形和一个非圆形的结构元素。用了一个圆形和一个非圆形的结构元素。n开操作的几何解释：闭运算也有类似的几何解释。再次用滚动球的闭

47、运算也有类似的几何解释。再次用滚动球的例子，只不过我们在边界外边滚动该球（开运算和例子，只不过我们在边界外边滚动该球（开运算和闭运算是对偶的，所以让小球在外面滚动是合理闭运算是对偶的，所以让小球在外面滚动是合理的）。的）。注意所有的朝内的突出角均被圆滑了，而朝外的则注意所有的朝内的突出角均被圆滑了，而朝外的则保持不变。集合保持不变。集合 的最左边的凹入被大幅度减弱了。的最左边的凹入被大幅度减弱了。几何上，点几何上，点 为为 的一个元素的一个元素 ，当且仅当包含，当且仅当包含 的的 与与 的交集非空即，的交集非空即，。图。图9797解解释了这一性质。释了这一性质。AZBAZxB)(A ABx)(

48、图图 9 97 7 闭运算的几何解释闭运算的几何解释 像膨胀和腐蚀一样，开运算和闭运算是关于像膨胀和腐蚀一样，开运算和闭运算是关于集合补和反转的对偶。也就是集合补和反转的对偶。也就是 )()(BABAcc(926)开运算有下列性质开运算有下列性质 、是集合是集合 的子集的子集(子图子图)；、如果、如果 C 是是 D 的子集，则的子集，则 是是 的子集；的子集；、BAABC BD BABBA)(同样，闭运算有下列性质同样，闭运算有下列性质:、是集合是集合 的子集的子集(子图子图)；、如果、如果 C C 是是 D D 的子集，则的子集，则 是是 的的子集；子集；、ABABC BDBABBA)(这些

49、性质有助于对用开运算和闭运算构成的形这些性质有助于对用开运算和闭运算构成的形态滤波器时所得到的结果的理解。例如，用开运算态滤波器时所得到的结果的理解。例如，用开运算构造一个滤波器。我们参考上面的性质：构造一个滤波器。我们参考上面的性质：（i i）结果是输入的子集；结果是输入的子集；(ii)ii)单调性会被保持；单调性会被保持；(iii)iii)多次同样的开运算对结果没有影响。最后一条多次同样的开运算对结果没有影响。最后一条性质有时称为幂等性。同样的解释适合于闭运算。性质有时称为幂等性。同样的解释适合于闭运算。考虑图考虑图9 98(8(a)a)的简单的二值图像，它包含一个的简单的二值图像，它包含

50、一个被噪声影响的矩形目标。这里噪声用暗元素被噪声影响的矩形目标。这里噪声用暗元素(阴影阴影)在亮的背景表示，而光使暗目标为空的。注意集合在亮的背景表示，而光使暗目标为空的。注意集合 包含目标和背景噪声，而目标中的噪声构成了背景包含目标和背景噪声，而目标中的噪声构成了背景显示的内部边界。目的是去除噪声及其对目标的影显示的内部边界。目的是去除噪声及其对目标的影响，并对目标的影响越小越好响，并对目标的影响越小越好 。A图图 98 形态学滤波形态学滤波 形形 态态“滤滤 波波 器器”可以用来达可以用来达到此目的。图到此目的。图98(98(c)c)显示了用一个比所有噪声成显示了用一个比所有噪声成分都大的

51、圆盘形结构元素对分都大的圆盘形结构元素对 进行开放运算的进行开放运算的结果。注意这步运算考虑了背景噪声但对内部边结果。注意这步运算考虑了背景噪声但对内部边界没有影响。界没有影响。BBA)(A 在这个理想的例子中所有背景噪声成分的物在这个理想的例子中所有背景噪声成分的物理大小均小于结构元素，背景噪声在开运算的腐理大小均小于结构元素，背景噪声在开运算的腐蚀过程中被消除。而目标内的噪声成分的大小却蚀过程中被消除。而目标内的噪声成分的大小却变大了变大了(图图98(98(b)b)，原因目标中内部边界在腐蚀原因目标中内部边界在腐蚀中会变大。最后内部的边界在闭运算后的膨胀运中会变大。最后内部的边界在闭运算后

52、的膨胀运算中被消除了，如图算中被消除了，如图98(98(d)d)所示。所示。实际例子：形态学滤波的开操作和闭操作实际例子：形态学滤波的开操作和闭操作 图图(a)a)中的二值中的二值图像显示了受噪声图像显示了受噪声污染的部分指纹图污染的部分指纹图像。噪声表现为黑像。噪声表现为黑色背景上的亮元素色背景上的亮元素和亮指纹部分的暗和亮指纹部分的暗元素。由闭操作后元素。由闭操作后紧跟着开操作形成紧跟着开操作形成的形态学滤波器可的形态学滤波器可以消除噪声。图以消除噪声。图(b)b)显示了所使用的结显示了所使用的结构元素。构元素。图图(c)c)显示了使用显示了使用结构元素对结构元素对A A腐蚀腐蚀的结果。背

53、景噪声的结果。背景噪声在开操作的腐蚀过在开操作的腐蚀过程中消除了。而包程中消除了。而包含于指纹中的噪声含于指纹中的噪声元素的尺寸却增加元素的尺寸却增加了。了。图图(d)d)显示包含于显示包含于指纹噪声分量的尺指纹噪声分量的尺寸被减小。然而，寸被减小。然而，指纹纹路间产生了指纹纹路间产生了新的间断。新的间断。我们在开操作的基我们在开操作的基础上进行膨胀，如础上进行膨胀，如图图(e)e)所示。间断所示。间断被恢复，但纹路变被恢复，但纹路变粗了，可以通过腐粗了，可以通过腐蚀弥补。蚀弥补。图图(f)f)显示了对显示了对图图(d)d)中开操中开操作的闭操作。作的闭操作。击中（击中（Hit）击不中击不中(

54、Miss)变换（变换（HMT）形态学中击中（形态学中击中（HitHit）击不中击不中(Miss)Miss)变换是形状变换是形状检测的基本工具。我们通过图检测的基本工具。我们通过图9999引入这个概念。引入这个概念。图中集合图中集合A A包含三个部分（子集），记为包含三个部分（子集），记为 。图图99(99(a)-(c)a)-(c)中的图形为原始集合，而图中的图形为原始集合，而图99(99(d)d)和和(e)e)中的阴影为形态运算的结果。中的阴影为形态运算的结果。目标是找到一个目标是找到一个图形图形X X的位置。的位置。ZYX,图图 99 击中（击中（Hit）击不中击不中(Miss)变换图例变换

55、图例 让每个图形的原点位于它的重心。如果用一个让每个图形的原点位于它的重心。如果用一个小窗口小窗口W包含包含X，X关于关于W的本地背景是图的本地背景是图99(b)中中的集合差的集合差(W-X)。图图99(c)为集合为集合A的补。图的补。图99(d)示出示出A被被X腐蚀的结果。腐蚀的结果。A被被X的腐蚀在的腐蚀在X中只有中只有X的的原点，这样原点，这样X才能完全包含于才能完全包含于A。图图99(e)表示集合表示集合A的补被本地背景集合的补被本地背景集合(W-X)的腐蚀；外围阴影区域的腐蚀；外围阴影区域也是腐蚀结果的一部分。也是腐蚀结果的一部分。从图从图99(99(d)d)和和(e),e),可以看

56、出集合可以看出集合X X在集合在集合A A中的中的位置是位置是A A被被X X的腐蚀和的腐蚀和 被被(W-X)的腐蚀的交集，的腐蚀的交集，如图如图99(99(f)f)所示。这个交集正是我们所要找的。所示。这个交集正是我们所要找的。换句话说，如果换句话说，如果B B记为由记为由X X和其背景构成的集合，和其背景构成的集合，B B在在A A中的匹配，记为中的匹配，记为 ，则，则 cABA)()(XWAXABAc(9-27)9-27)可以这样来概括这种表示法可以这样来概括这种表示法,让让 ,其中其中 是由和目标相关的是由和目标相关的 B B 的元素形成的集合，的元素形成的集合，而而 是由和相应的背景

57、相关的是由和相应的背景相关的 B B 的元的元 素素 集集 合。合。根根 据据 前前 面面 的的 讨讨 论论 ，。用。用这种表示法，公式这种表示法，公式(927)(927)变为变为 ),(21BBB 1B2B)(,21XWBXB)()(21BABABAc(928)(928)用集合差的定义及膨胀和腐蚀的对偶关系，也可以用集合差的定义及膨胀和腐蚀的对偶关系，也可以把公式把公式(928)(928)写为写为 (929)(929)这样集合这样集合 包括所有的点，同时，包括所有的点，同时，在在A A中中找到了一个匹配找到了一个匹配“击中击中”，在在 中找到了匹配中找到了匹配“击中击中”。1B2BcA)()

58、(21BABABABA 数学形态学方法比其他空域或频域图像处理数学形态学方法比其他空域或频域图像处理和分析方法具有一些明显的优势。如：在图像和分析方法具有一些明显的优势。如：在图像恢复处理中，基于数学形态学的形态滤波器可恢复处理中，基于数学形态学的形态滤波器可借助于先验的几何特征信息利用形态学算子有借助于先验的几何特征信息利用形态学算子有效地滤除噪声，又可以保留图像中的原有信息；效地滤除噪声，又可以保留图像中的原有信息；另外，数学形态学算法易于用并行处理方法有效的另外，数学形态学算法易于用并行处理方法有效的实现，而且硬件实现容易；基于数学形态学的边缘实现，而且硬件实现容易；基于数学形态学的边缘

59、信息提取处理优于基于微分运算的边缘提取算法，信息提取处理优于基于微分运算的边缘提取算法，它不象微分算法对噪声那样敏感，同时，提取的边它不象微分算法对噪声那样敏感，同时，提取的边缘也比较光滑；利用数学形态学方法提取的图像骨缘也比较光滑；利用数学形态学方法提取的图像骨架也比较连续，断点少。架也比较连续，断点少。9.3 一些基本形态学算法一些基本形态学算法 在前面讨论的背景知识基础之上，我们可以探讨在前面讨论的背景知识基础之上，我们可以探讨形态学的一些实际应用。当处理二值图像时，形态形态学的一些实际应用。当处理二值图像时，形态学的主要应用是提取表示和描述图像形状的有用成学的主要应用是提取表示和描述图

60、像形状的有用成分。特别是用形态学方法提取某一区域的边界线、分。特别是用形态学方法提取某一区域的边界线、连接成分、骨骼、凸壳的算法是十分有效的。连接成分、骨骼、凸壳的算法是十分有效的。此外，区域填充、细化、加粗、裁剪等处理方法此外，区域填充、细化、加粗、裁剪等处理方法也经常与上述算法相结合在预处理和后处理中使也经常与上述算法相结合在预处理和后处理中使用。这些算法的讨论大部分采用的是二值的图像，用。这些算法的讨论大部分采用的是二值的图像，即只有黑和白两级灰度，即只有黑和白两级灰度，1 1表示黑，表示黑，0 0表示白。表示白。集合集合A A的边界记为的边界记为 (A)A)，可以通过下述算法可以通过下

61、述算法提取边缘：设提取边缘：设B B是一个合适的结构元素，首先令是一个合适的结构元素，首先令A A被被B B腐蚀，然后求集合腐蚀，然后求集合A A和它的腐蚀的差。如下式和它的腐蚀的差。如下式所示：所示：(9 (930)30)9.3.19.3.1边缘提取算法边缘提取算法)()(BAAA 图图910910解释了边缘提取的过程。它表示了一个简解释了边缘提取的过程。它表示了一个简单的二值图像，一个结构元素和用公式单的二值图像，一个结构元素和用公式(930)(930)得得出的结果。图出的结果。图910(910(b)b)中的结构元素是最常用的一中的结构元素是最常用的一种，但它决不是唯一的。如果采用一个种，

62、但它决不是唯一的。如果采用一个5 55 5全全“1”“1”的结构元素，可得到一个二到三个像素宽的边缘。的结构元素，可得到一个二到三个像素宽的边缘。应注意的是，当集合应注意的是，当集合B B的原点处在集合的边界时，的原点处在集合的边界时，结构元素的一部分位于集合之外。这种条件下的通结构元素的一部分位于集合之外。这种条件下的通常的处理是约定集合边界外的值为常的处理是约定集合边界外的值为0 0。图图910 边缘提取算法示意图边缘提取算法示意图 例题：使用形态学处理提取边界 图9.14(a)为一幅简单的二值图像，(b)为使用图9.13(b)中的结构元素进行处理的结果。9.3.2 区域填充算法区域填充算

63、法 下面讨论的是一种基于集合膨胀，取补和下面讨论的是一种基于集合膨胀，取补和取交的区域填充的简单的算法。在图取交的区域填充的简单的算法。在图9 91111中，中，A A表示一个包含一个子集的集合，子集的元素为表示一个包含一个子集的集合，子集的元素为8 8字形的连接边界的区域。从边界内的一点字形的连接边界的区域。从边界内的一点P P开开始，目标是用始，目标是用1 1去填充整个区域。去填充整个区域。假定所有的非边界元素均标为假定所有的非边界元素均标为0 0，我们把一个，我们把一个值值1 1赋给赋给P P开始这个过程。下述过程将把这个区域开始这个过程。下述过程将把这个区域用用1 1来填充：来填充：(

64、9 (931)31)其中，其中，B B为对称结构元素，如图为对称结构元素，如图9911(11(c)c)所示。当所示。当 k 迭代到迭代到 时，算法时，算法终止。集合终止。集合 和和 A 的并集包括填充的集合和的并集包括填充的集合和边界。边界。3,2,1)(1kABXXckkPX01kkXXkX 如果公式如果公式(9(931)31)的膨胀过程一直进行，它将的膨胀过程一直进行，它将填满整个区域。然而，每一步与填满整个区域。然而，每一步与A AC C的交把结果限制的交把结果限制在我们感兴趣的区域内（这种限制过程有时称为在我们感兴趣的区域内（这种限制过程有时称为条件膨胀）。图条件膨胀）。图911911

65、剩下的部分解释了公式剩下的部分解释了公式(9(931)31)的进一步技巧。尽管这个例子只有一个子集，的进一步技巧。尽管这个例子只有一个子集，只要每个边界内给一个点，这个概念可清楚地用只要每个边界内给一个点，这个概念可清楚地用在任何有限个这样的子集中。在任何有限个这样的子集中。图图 911 区域填充算法区域填充算法 9.3.3 连接部分提取算法连接部分提取算法 在实际应用中，在二值图像中提取相连接部在实际应用中，在二值图像中提取相连接部分是许多自动图像分析应用所关注的问题。分是许多自动图像分析应用所关注的问题。Y Y表示表示一个包含于集合一个包含于集合A A相连接部分，假设相连接部分，假设Y Y

66、内的一个点内的一个点P P已知。那么下述迭代表达式可得到已知。那么下述迭代表达式可得到Y Y中的所有元素：中的所有元素：(9 (932)32)其中其中 ，B为一合适的结构元素，如图为一合适的结构元素，如图9 91212所示。如果所示。如果 则算法收敛，并则算法收敛，并使使 。,3,2,1)(1kABXXkkPX01kkXXkXY 公式公式(9(932)32)在形式上与在形式上与(931)(931)相似。唯一相似。唯一的不同是用的不同是用A A代替了代替了A AC C ，这是因为所提取的全部，这是因为所提取的全部元素（也就是，相连组成部分的元素）均标记为元素（也就是，相连组成部分的元素）均标记为1 1。每一迭代步和每一迭代步和A A求交集可除去以标记为求交集可除去以标记为0 0的元素为的元素为中心的膨胀。图中心的膨胀。图912912图释了公式图释了公式(932)(932)的操作的操作技巧。这里，结构元素的形状是技巧。这里，结构元素的形状是8 8连接的，与区域连接的，与区域填充算法一样，以上讨论的结果可以应用于任何填充算法一样，以上讨论的结果可以应用于任何有限的包含在集合有限的包含在集合A