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1、第三讲两个平面的位置关系一、知识点1. 两个平面平行的判定定理：如果一个平面的两条相交直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平 行.2两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面都与第三个平面相交，那么交线平行3. 两个平面垂直的定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直4. 两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直5. 两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么过其中一个平面内的一点作它的交线的垂线与 另一个平面垂直.二、典型例题例1.下列命题中，正确的是A. 经过不同的三点有且只有一个平面B. 分别在两个平面内的两条直线一定是异面直
2、线C. 垂直于同一个平面的两条直线是平行直线D. 垂直于同一个平面的两个平面平行例2.设a、b是两条互不垂直的异面直线，过a、b分别作平面a、B,对于下面四种情况：方 a， b丄a,aB，a丄B.其中可能的情况有A.1种B.2种C.3种D.4种例3. a、B是两个不重合的平面,a、b是两条不同直线，在下列条件下，可判定B的是A. a、B都平行于直线a、bB. a内有三个不共线点到B的距离相等C. a、b是a内两条直线，且aB , bBD. a、b是两条异面直线且all a， b a， all B， b B例4.a、b、c为三条不重合的直线，a、B、Y为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出六
3、个 命题：a c b / ca Y n ab； b/l Y_a c n P/ cns 卩; c a/ca y 刊卩;a/Yn a / a.其中正确的命题是.（将正确的序号都填上）例5设平面a 平面B, AB、CD是两条异面直线，M、N分别是AB、CD的中点，且A、Ce a，b、 DE B，求证：MN平面a.例6如下图，在空间六边形（即六个顶点没有任何五点共面）ABCC1DA1 中,每相邻的两边互相垂直, 边长均等于a,并且AA1/CC1.求证：平面ABC平面ACD1.C i例7如下图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、P分别是C&、B1C1 C1D1的中点，求证:(1) APLMN；
4、(2) 平面 MNP平面A1BD.例8下列命题中，错误的是则第三边也平行于这个平面A. 三角形的两条边平行于一个平面,B. 平面a平面B, a u a,过B内的一点B有唯一的一条直线b使baC. aB, Y，a、B、Y、的交线为 a、 b c、d 则 a 方 cdD. 条直线与两个平面成等角是这两个平面平行的充要条件例9在四棱锥PABCD中，ABCD是矩形，PA丄平面ABCD, M、N分别是AB、PC的中点.PA(1) 求证：MN平面PAD；(2) 当MN丄平面PCD时，求二面角PCDB的大小.例10.在三棱锥ABCD中，若AD丄BC, BD丄AD，ABCD是锐角三角形，那么必有A.平面ABD
5、丄平面ADCB.平面ABD丄平面ABCC.平面ADC丄平面BCDD.平面ABC丄平面BCD例11.直三棱柱ABCA1B1C1中，ZACB=90, AC=AA=a,则点A到平面A1BC的距离是A.aB. v2 aC. aD. v3 a2例12设两个平面a、B,直线l,下列三个条件：l丄a；lB ；3a丄B.若以其中两个作为前 提，另一个作为结论，则可构成三个命题，这三个命题中正确的个数为A.3B.2C.1D.0例13在正方体ABCDA1B1C1D1中，截面ABD与底面ABCD所成的二面角ABDA的正切值为例14夹在互相垂直的两个平面之间长为2a的线段和这两个平面所成的角分别为45和30,过这条
6、线段的两个端点分别向这两个平面的交线作垂线，则两垂足间的距离.例15如下图，过S引三条长度相等但不共面的线段A、SB、SC,且zS4SB=ZASC=60,ZBSC=90, 求证：平面ABC丄平面BSC.C例16如下图，在三棱锥SABC中，SA丄平面ABC,平面SAB丄平面SBC.(1)求证：AB丄BC；C(2)若设二面角SBCA为45, SA=BC,求二面角ASCB的大小.例17已知正三棱柱ABCA1B1C1，若过面对角线AB1与另一面对角线BC平行的平面交上底面AQC 的一边A1C1于点D.1(1) 确定D的位置，并证明你的结论;(2) 证明：平面AB丄平面AA1D；(3)若AB : AA1
7、-;2，求平面AB1D与平面ABAy所成角的大小.三、练习题1. 在下列条件中，可判断平面a与B平行的是A. a、B都垂直于平面YB. a内存在不共线的三点到B的距离相等C. l、m是a内两条直线，且lB, mil BD. l、m是两条异面直线，且la, mi a， lB, mi B2. 设平面 aB, A、CG a , B、dg B，直线 AB 与 CD 交于 S,若 AS=18, BS=9, CD= 3 4，贝CS=3如图甲，在透明塑料制成的长方体ABCDA1B1C1D1容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC于 地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个命题：1甲 水的部分始终呈棱
8、柱状； 水面四边形EFGH的面积不改变； 棱A1D1始终与水面EFGH平行； 当容器倾斜如图乙时，EFBF是定值. 其中正确命题的序号是4.如下图，两条线段AB、CD所在的直线是异面直线，CD u平面a, ABi a , M、N分别是AC、BD 的中点，且AC是AB、CD的公垂线段.D(1)求证：MN a ；(2)若 AB=CD=a, AC=b, BD=c，求线段 MN 的长.5.如下图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB=a.(1) 求证：平面AD1B1 平面CDB；(2) 求证:A1C丄平面AD1B1；(3) 求平面AB1D1与平面BCD之间的距离.6P为ABC所在平面外的一点，则点
9、P在此三角形所在平面上的射影是AABC垂心的充分必要条件 是A.PA=PB=PCB. P4丄BC，PB丄ACC. 点P到ABC三边所在直线距离相等D. 平面PAB、平面PBC、平面PAC与AABC所在的平面所成的角相等7m、n表示直线，a、B、Y表示平面，给出下列四个命题，其中正确命题为 anB =m， n u a， n 丄 m,贝a丄B a丄B, anY =m， BPIY =n，贝V m 丄n a丄B, a丄y，BnY =m，贝V m丄a m丄a， n丄B， m丄n，则a丄BA.B.C.D.8设a、b是异面直线，a、B是两个平面，且a丄a , b丄B , aU B , bU a ,则当 (填
10、上一种条件即可)时，有a丄B.9三个平面两两互相垂直，它们的三条交线交于一点O, P到三个平面的距离分别是3、4、5,则OP 的长为.10.在长方体ABCDA1B1C1D1 中,底面ABCD是边长为込的正方形，侧棱长为占,E、F分别是AB1， CB1的中点，求证：平面D1EF丄平面ABC.11如下图，正四棱柱ABCDAlB1C1D1中，底面边长为2込，侧棱长为4, E、F分别为棱AB、BC 的中点，EFPBD=G.(1)：平面BEF丄平面BDDB；(2) 求点D1到平面B1EF的距离d；(3) 求三棱锥B1EFD1的体积V.12如下图，正方体ABCDA1B1ClDl中，棱长为a.求：C iC(1) AB与B1C所成的角；(2) AB与B1C间的距离；(3) AB与BD间的距离.
第三讲两个平面的位置关系
