第9章回归分析方法

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1、第九章回归分析方法回归分析方法是统计分析的重要组成部分，用回归分析方法来研究建模问题是一种常用的 有效方法。什么是回归分析呢？大家知道：数学分析（或高等数学）是研究连续变量之间的关 系，泛函分析是研究函数集之间的关系，而回归分析是研究随机变量之间的关系。回归分析方 法一般与实际联系比较密切，因为随机变量的取值是随机的，大多数是通过试验得到的，这种 模型的准确度（可信度）如何，需通过进一步的统计试验来判断模型中的随机变量（回归变量） 的显著性，经过反复地修改模型，直到得到最佳的结果，最后应用于实际中去。 回归分析的主要容是：（1）从一组数据出发，确定这些变量间的定量关系（回归模型）；（2）对模型

2、的可信度进行统计检验；（3）从有关的许多变量中，判断变量的显著性（即哪些是显著的，哪些是不显著的，显著 的保留，不显著的忽略）；（4）应用结果是对实际问题做出的判断。回归分析的第一步，是要建立模型，即函数关系，其自变量称为回归变量，因变量称为应 变量或响应变量。如果模型中只含有一个回归变量，称为一元回归模型，否则称为多元回归模 型（实际中所见的大都是线性回归模型 啡线性的一般可以化为线性的来处理 例如：用Taylor 展开法作局部线性化），为了大家容易理解，首先讨论一元的情况。9.1 一元线性回归方法9.1.1 一元线性回归模型（1）一般形式：一元回归模型的一般形式记为n（x）二 b + b

3、x01并设观测值为 y ，则y =卩+卩 x + 8（9.1）01其中卩0，卩是未知的待定常数，称为回归系数；x是回归变量，可以是随机变量，也可以是 一般变量； 8 是随机因素对响应变量 y 所产生的影响-随机误差，也是随机变量。为了便于 作估计和假设检验，总是假设 E （8 ）二0, D （8 ） = 2 ,亦即8N（0q 2）,则随机变量yN（P + B xQ 2） o01（2）对模型的分析假设有一组试验数据（x , y ）（i二1,2,n） 并假设y （i = 1,2,n）是相互独立的随机变i ii量，则有y = B + P x + ,i = 1,2,ni 01 i i其中 .是相互独立

4、的，且了N (0, Q 2), yN (P +P x Q2) (i = 1,2,n )。iii01 i若用卩,卩分别表示卩，pi的估计值，则称$ =卩 +卩x为y关于x的一元线性回归方 程。要研究的问题是：(1) 如何根据(x , y )(i = 1,2,n)来求卩,卩的估计值？i i1(2) 如何检验回归方程的可信度呢？ 要解决的第一个问题,通常采用最小二乘估计,第二个问题采用统计检验的方法。912参数p,pi的最小二乘估计(1) 最小二乘法八八用最小二乘法估计卩，卩的值，即取卩，卩的一组估计值卩，卩使其随机误差的平方111i和达到最小，即使y.与y = p +卩x的拟合最佳。若记i i 1

5、 iQ (P , P )二工(y -P -Px )21i 1 ii=1则Q(p ,p ) = minQ(卩，卩)二工(y - p - p x )20 1 p , p0 1 i 0 1 ip0 ,p1i=1显然Q(卩0，卩)工0，且关于卩0，p1可微，则由多元函数存在极值的必要条件得=0 ap 9.95到F分布的值，记为F (1,n-PF F (1,n-2)是小概率事件，在一次检验中是不会发生的。如果确实算出aF(1,n 2) F (1,n 2)，则说明0 = 0的假设不成立，即模型中一次项0 x是必要的，是(X11不可少的。换言之，模型对水平 而言是显著的，反之是不显著的。9.1.4 回归方程

6、的拟合检验通过对回归方程的显著性检验，在显著的情况下，即说明兀对的影响是主要的，但不能 肯定y与x的关系一定是线性的，也可能是非线性的，也可能还存在其它的影响因素，为此， 就需要在同一个 x 下进行重复试验，检验回归方程的拟合问题。i假设对同一个x，进行m次试验，得到观测数据(x ,y ), j二1,2,m (1 i n)，即iii iji共有N二工m组独立观测数据，由此来检验耳(x)=卩+0 x是否为真。i01i=1为了建立统计量，考虑相应的残差平方和SS =工迓(y - y )2Eij ii=1 j =1=工区(y -y )2 +工m (y -y )2 (利用正规方程组)ij ii i i

7、i=1 j =1i=1= SS + SSe Me其中y = 瓦y为第i组试验数据的平均值。i m iji j =1SS =工区(y y )2表示试验中的随机误差平方和，自由度为f = N n。eij iei=1 j =1SS =工m (y - $ )2表示模型中其它影响因素所产生的误差平方和，称为模型误差平 Mei i ii=1方和(失拟平方和)，其自由度为 f = n - 2 。Me在回归方程为真的假设下，则有y + P x + , j 二 1,2,m ; i 二 1,2,n ij01 i iji其中e .是相互独立的，且8n(0Q2) (i = 1,2,n; j = 1,2,m )。则ij

8、ijE(SS ) = (n-2)a2, E(SS ) = (N -n)a2Me eSSSS即E(Me)=2, E(e) =2，而SS 与SS是相互独立的，由x 2-分布的性质可知n - 2N - nMe e汇x2(- 2),邑x2(N -n)n-2N - n因此MSSF = MeMSSeSSMe n - 2 SSe N - n F(f , f ) = F(n-2,N -n)Me e可作为检验模型拟合的统计量，即给定一个显著水平Q (0.010.05)，对应地可查表得到F- 分布值 Fa(n 2, N -n)。如果计算出F(n 一 2,N 一 n) F (n 2,N n)，则说明模型的拟合是不好

9、的，即其它因 a素所产生的误差超过了试验误差，是显著的，需要进一步改进模型。这有两种可能：一种是y 不是x的线性关系；另一种是回归变量的个数不够，需要增加新的变量，究竟属于哪一种需要 找出原因加一改进。以上我们讨论了一元线性模型估计和显著性、拟合性的检验方法，对于多元线性模型也是 类似的。9.2 多元线性回归方法9.2.1 多元线性回归模型多元线性回归模型的一般形式为耳(u) = P (u) + P (u) + +P 9 (u)(9.2)1 1 2 2 m m令y = P 9 (u) + P 9 (u) + + P (u) + 8(9.3)1 1 2 2 m m其中为随机误差，且服从于N(0,

10、b 2),申(u)(i二1,2,m)均为实际问题的解释变量，是i已知函数。假设作了 n次试验，得到n组观测值为 (u1u2 unny1y2代入(9.3)中可得y = P P (u ) + p p (u ) + + B pi 1 1 i 2 2 i m mi = 1,2,，n(u ) +ii其中为第i次试验时的随机误差，且相互独立同服从于N (0, b 2)。i该模型关于回归系数卩，卩，,卩 是线性的，u一般是向量。1 2 m为了方便,引入矩阵记号：Y=y2 (u )1 1P (u )12p (u ) p (u ) 1 p (u )p (u )22m 2p (u ) p (u )丿2 nm n0

11、=fp 11 p .2, =f 12p Jnn其中X称为模型设计矩阵，是常数矩阵，Y与是随机向量，且Y N (X 0,b21), N (0,b21) (I 为 n 阶单位阵) nn 是不可观测的随机误差向量, 0是回归系数构成的向量,是未知待定的常数向量。 下面的问题是如何估计回归系数0,检验模型的显著性和拟合程度。9.2.2 回归系数0 的最小二乘估计选取0 的一个估计值,记为0 ,使随机误差 的平方和达到最小,即min = min(Y - X 0) (Y X 0) = (Y X 0) - Y - X 0)=Q0) 00写成分量形式：Q(卩,卩，,卩)=2 y 卩 p (u )卩 p (u

12、)卩 p (u )11 2 m i 1 1 i 2 2 i m m ii=1则Q(0 ,0，,0 ) = minQ(0 ,0，,0 )0i1 2 m注意到Q(0 ,0，,0 )是非负二次式，是可微的。由多元函数取得极值的必要条件可得12 mdQQ 二 0(j 二 1,2,m),即jF , 一0 9 (u ) 0 9 (u )0 9 (u ) 9 (u ) = 0i 1 1 i22 im m i j i(j = 1,2,，m)整理得1 i 2 i(u )9 (u ) 0 + +2(u )9 (u ) 0 i m i0 =工 9 (u ) ym1 i ii=1艺 9 2(u ) 0 +1 i一1-

13、 i=11 i m i2 i m i(u)9 (u)片 +(u )mi(u )9 (u )0 + +j =1L 9mi =1(u ) y miiX X -p = X Y称为正规方程组，记A = X X称为系数矩阵，B = X Y称为常数矩阵。如果A-1存在， 则称其为相关矩阵。可以证明：对任意给定的X ,Y，正规方程组总有解，虽然当X不满秩时， 其解不唯一，但对任意一组解P都能使残差平方和最小，即Q0) = min Q()。0特别地，当X满秩时，即r(X) = r(XX) = p，则正规方程组的解为0= (X X)-1 -X Y， 即为回归系数的估计值。因为YNn (X0 021)，则0也是一

14、个随机向量，且期望为E ()= X)-1 X Y )= (X X) -1 X E (Y)=X X)-1 Xf X 0 =0同理方差为D(卩)=02(X X)-1，即0是0的一个无偏估计。将0代入模型n (u)中得模型的估计：Y = x卩，它是模型n (u)的无偏估计，即E (Y) = E (x P) = x E (P) = x 卩=n 其中 x = G (u), 9 (“), 9 (u)。12m9.2.3 回归模型的显著性检验主要是检验模型是否一定与解释变量有密切的关系，即是否具有(9.2)式的形式。y ，nii =1其总偏差平方和为SST (y1,y2, y 之间的差)，即 nSS = Y

15、(y - y=Y (y - yTiii=1i =1=Y(y - y+Y(y - y=ss + ssi iiERi=1+ y -ii利用正规方程组)ii=1假设耳不依赖于“即耳二卩0为常数洞一元的情况类似 记实验值的均值为y二丄工其中ss =工6 -y 1为残差平方和，反映的是随机误差和其它未加控制的因素所引起的误Ei ii=1差，即是误差向量的估计量E的各分量的平方和，且nSS 仝(y - y)2 = (Y - X 书)，.(Y - X 卩)=Y Y - YX 书 Ei ii=1ssRY(y - y丄为回归平方和，是由回归变量x的变化引起的误差。ii=1ss现在主要考虑回归平方和SS ，定义复

16、相关系数为R = r (0 R F一 1,n一 )时，认为模型是显著的，则拒绝H二卩0的成立，即 n与u存在明显的函数关系。当F( 一 1,n 一 ) 化(一 1,n 一 )时，认为模型是不显著的，则H二卩是成立的，即 n与u不存在明显的函数关系。9.2.4回归模型的拟合性检验在模型的检验显著的情况下，需要进一步地做拟合性检验，目的是检验模型是否一定为(9.2)式所给的形式，即是否还存在其它的影响因素没有考虑到？将回归变量u的n个观测值u ,u，,u按相同(或相近)值分成k组，每组的个数记为1 2 n,，,，显然n =丈，相应地y ,y，,y也可分为k组，即第i组的观测值为12 ki12 ni

17、=1(u ,y ) (j = 1,2,;i = 1,2,k)。记T =芸y ，则第i组的平均值为y =-，根据i ijiiiji j =1i正规方程组第i组的试验随机误差的平方和为SS =工2 C y)=Ky 2 迓仝eij iiji =1 j =1i=1 j =1i=1 i从总的残差平方和SS 中减去SS ，即为模型(9.2)中的其它因素的影响误差，记SS ，亦EeMe即SS = SS SS =才 殳Y XMeEei =1i称为模型的误差平方和，其自由度分别为f = n 一 k, f =k 一 。eMe在模型(9.2)为真的条件下，可以得到(SS A1 ss AE(MS ) Eec 2， E

18、(MS ) EMe(n 一 k 丿Me(k 一 m 丿=c且SS与SS 相互独立，由X 2-分布的性质得e MeL X 2(n - k)， c2SSMec2 X2(k -m)MSF MeMSeSSMek - mSSe n - kF (f , f ) F (k - m, n - k)Me e即为拟合检验的统计量。取一个显著水平a (0.01或0.05)，对应地可查表得到F (k -m,n-k)，用数值计算aF(k 一 m, n 一 k)，并与 F (k - m, n - k)比较：a当F(k - m,n - k) F (k -m,n -k)时，则说明模型的拟合是不好的，是显著的，即模 a 型的省

19、略项造成的误差影响不可忽略，需要增加新的变量。现在的问题是：如何增加新的变量？就是下面的模型选择要解决的问题了。9.3 回归模型的选择方法由上面拟合性检验结果：F(k - m,n - k) )F (k - m,n - k)，当“”成立时拟合性a检验是显著的，即未考虑到的因素的影响不可忽略，这就需要引入新的解释变量；当“ SS ，则称SS-SS为解释变量9 (u)的偏回归平方和，E E E E E m它的大小是反映了 9 (u)在模型中贡献的大小，即是衡量一个解释变量的重要性的定量指标。究竟多大为重要(需要保留)，多小为不重要(可以去掉)，这就需要给出一个统计的界限值。不妨设要考查第j个解释变量

20、9 (u)(1 j m)的偏回归平方和。ij如果已知0 = (X - X)-1 - X -Y为回归系数的估计值，相关矩阵为(X X)-1 = (C )，0 2 ，则可以证明：9 (u)的偏回归平方和为SS(j) = j(j = 1,2,m)，其中0 .为0的估计值，jE Cj jC 为相关矩阵的对角元素。如果存在一个k(1 k m)使SS(k) = minSS(j)，即第k个解释变量9 (u)在模型中起的E1 j mEk作用最小，能否把它去掉还要考查相应的F-统计量EE取一个显著水平Q，对应地可查表得到化(1,f 厂用数值计算F(1,f )，并与F(1,f )a eEa e比较：当F(1,f

21、) F (1,f )时，则说第k个解释变量9 (u)是显著的，不可以去掉，并且其Ea Ek它的也都不能去掉。注：如果去掉一个变量后，需要重新计算所有的偏回归平方和，因为变量之间有相关性，原来 在m个变量中作用第二小的那个变量在m-1个变量中其偏回归平方和不一定是最小的，一般 会发生变化。9.3.2 增加解释变量设要引进的变量为x , =9 ,u)，记为x 在试验观测点u ,u，,u的值为m+1m+1m+11 2nm +1m+11m+12m+1nx= (9(u ),9(u ),9(u )则m个变量的回归系数的估计值取为fl (x) = (X X) -1 - X xm+1m+1相应的残差平方和为S

22、S(X,Y) = (Y- X fl(X)(x- X fl (x) = Yx- Y X /? (x)E m+1m+1m +1m+1m+1m +1而SS (x , x ) = x x x X fl (x)Em+1 m+1m+1m+1m+1m+1SS (m+1) = SSE (xm+1 E则可以证明：xm+1的偏回归平方和为(x , x )E m+1 m+1SS (m+1)的大小反映了 9 (u)对模型影响的大小，即是衡量9 (u)的作用的定量指标。Em +1m +1究竟SS (m+1)多大可以引进，多少不需要引进呢？这就需要建立统计量，找出界限值。E假设m +1个变量的残差平方和为 SS，它比原m

23、个变量的残差平方和SS刀要减少 EESS (m+1) ，即ESS = SS - SS (m+1) EEE相应的自由度为 f = f - f (m+1) = n-m-1。EEE不妨设SS(m+1)是所有准备增加的变量中其偏回归平方和最大的一个，它是否需要增加到E模型中去，要考查F统计量：F = F(1, f) =EMS ( m+1)EMSSS ( m+1)ESSE -n m 1取一个显著水平a，查表得 F(1,f)，计算得到F(1,f)并比较二者大小。如果a eeF(1,f) F (1,f)，则第m +1个解释变量9(u)需要增加到模型中去，否则无需增加，Ea Em+1而且也没有其它的变量需要增

24、加了。注：在增加了 9(U)以后，可以继续上面的过程，考查其它准备引入的变量中其偏回归m +1平方和最大的那一个变量作为9(U)，注意在m个变量中偏回归平方和第二大的那个变量在m+2m +1个中不一定是最大的，这是因为变量有一定的相关性。9.3.3 模型选择的一般方法上面给出了在已知模型中剔除和增加解释变量的具体方法和步骤，模型选择的一般方法如 下：(1)淘汰法(向后法)基本思想是：把所有可选择的变量都放进模型中，而后逐个做剔除检验，直到不能剔除为止，最后得到所选的模型。(2) 纳新法(向前法) 基本思想是：先少选取几个变量进入模型中，而后对其它的变量逐个地做引入模型的检验， 直到不能引入为止

25、，得到最后的模型。(3) 逐步回归法(吐故纳新法) 基本思想是：结合上面的两种方法。9.4 回归模型的正交化设计方法由上面的讨论我们可以知道，因为模型的解释变量之间有很复杂的相关性，使回归系数的 估计、模型的选择都带来很多的麻烦，为了简化计算，借助正交函数系可使问题简化。9.4.1 正交的概念设9 (u),9 (“),Q (u)是m个解释变量，如果对于u ,u，,u满足：1 2 m 1 2 n(1)另9 2 (u )丰 0(k 二 1,2,m);ki2)i=1i=1(u )9 ,(u ) = 0( j 丰 k)i j i则称9 (u),9 (u), ,9 (u)是正交的(m 1)阶正交多项式9

26、 (u),9 (砒,9(u)，则第k +1阶正交多项式为12k+19(u) = (u a)9(u) b 9 (u) ，其中k+2k+1k+1k k工 u 9 (u )ik +1ia = -4=4k +1n乙 9 2 (u )k +1ii=1工 9 2 (u )k +1 ib = 4(i k X X表示X X的m个特征根，且当X X = XX尢(行12m12 m列式)很小，即至少有一个特征根接近于0 (例如九 接近于0)，但不等于0时，则使正规方m程组X X 点=X Y成为一种病态方程。虽然B是B的无偏估计，即E(B) = B，但其均方误差E(B -B) (B -B) =c2(亠 +1 + +

27、丄)九 九九12m充分的大，即使B 的估计值B 的误差太大，无实用的价值。此时称m个解释变量之间具有多重共线性，即也就是说设计矩阵x的列向量之间有近似的线性关系，但非绝对的线性关系。 衡量多重共线性程度的量用7最大特征根尢k = 1最小特征根尢m来表示，1)当k 100时，则不存在多重共线性；2) 当100 k 1000时，则存在严重的多重共线性。问题：如何解决多重共线性的情况呢？9.5.2回归系数的有偏估计在模型具有多重共线性时，可使回归系数的估计值的偏差增大，即均方差变大，使估计不 稳定，为解决这个问题采用有偏估计法可以减少均方误差。(1)岭估计法基本思想：由于|X X|q0，使正规方程出

28、现病态，对一个常数k 0，则有X X + kI X X用(X X + kI二X Y代替正规方程组，其解为E(k)二(X X + kI)-1.X Y实际中，根据需要可适当调整k的大小。(2)主成份估计法基本思想：因为X X是对称正定阵，由代数的知识可知，存在正交阵p(pp =1)使iP X X P =k其中九、九 、九为X X的m个特征根。在有多重共线性时，某些特征根近似为0，1 2 m特征根的大小反映了对应的变量对模型影响的大小，此方法就是忽略小的，保留大的。9.6沼气的生成问题9.6.1 问题的提出沼气的主要成份为甲烷，它是由含纤维素的有机物质在隔绝空气的情况下受到细菌分解作 用所产生的一种

29、有毒易燃气体。在我国农村广泛地利用沼气池生成沼气，作为一种卫生快捷的 燃料，一般是用植物结杆残体在保持一定温度和温度的条件下，并与空气隔绝一段时间后经自 然分解而成。试验证明，如果适当地加入一些有机肥料作为发酵剂，则可以加快沼气的形成。 下面是在一个确定沼气池中加入相同数量的同质植物结杆，加入不同数量的水(W)和有机肥(F) 后形成沼气的时间（T ）对比数据，请根据这些试验数据分析研究沼气形成的时间与水和有机肥 料之间的关系，并有此关系讨论最佳的配料方案。表9-l:W，F和T的试验数据试验次数123456789W （公斤）300400500300400500300400500F （公斤）200

30、200200250250250300300300T （小时）7768596662525955509.6.2 模型的假设与分析 模型假设（1）设试验数据是在相同的试验条件下进行的，即沼气池大小形状相同，结杆和有机肥料 相同，其自身的含水量也相同；（ 2 ）在此不考虑环境温度的影响，虽然在同等条件下高温可以促使沼气的形成，但实际中 的环境温度一般是不可控的，于是我们认为总是在一定的适宜温度围，温度因素对形成沼气的 时间影响不大；（3）每次实验是独立进行的，且W、F和T的试验值是准确的。 模型的分析根据实际中沼气的自然形成的原理和有关的常识，我们知道在同等条件下，水分和肥料 各自都对沼气的形成有一定

31、的促进，而且二者之间也有一定的交互效应，即二者用量的多少不 同其效果是不同的。即沼气的形成时间不仅与水和肥料的用量有关，而且还与二者的交互作用 有关。因此，一般认为沼气形成时间T的长短应该是加水量W和肥料用量F的二次多项式函数， 为此，我们可以采用线性回归方法来研究它们之间的关系式。9.6.3模型的建立与求解为了便于对问题的描述，我们不直接将沼气形成的时间T表示成W，F的函数，根据试验 数据的分布情况，在这里引入两个新的变量W - 400 F - 250u , u 1100250为此可以将产量T表示成U, u 2的二次多项式函数。 我们首先来构造正交的多项式，由试验数据（表9-1）可得相应的新

32、数据如表9-2。表9-2:W，F的试验数据转换为ui, u 2的数据试验次数123456789uiu-101-10 1-1 0 10旨-1-1-100 01 1 10实际上可以证明：22申(u)= 1,申(u)= U ,申(u) = U 2 一 ,申(u) = U ,申(u)= U 2 一 ,申(u)= u u1213134252361 2在9个试验点上是正交的，其中向量u二(X，u2)t。于是可有回归模型的一般形式为T (u) = 0 甲(u) + 0 甲(u) + 0 甲(u) +0 甲(u) + 0 甲(u) + 0 Q (u)1 12 23 34 45 56 622=0 + 0 U +

33、 0 (u2 一 ) +0 u + 0 (u 2 一 ) + 012 13134 2523uu612在这里可以用最小二乘法求出所有的回归系数0 (i = 1,2,i将表 9-2中数据代入(9.4)式中计算可得回归系数的估计值,6) ，实际上，根据其正交性，0 = 549 = 61,0 =-41 q-6.83, 0192630 =-却 q-6.67,0 = 4 沁 1.33,043536=-q-1.1769=2.254由公式(9.5)，各个变量的偏回归平方和为SS(1) = 33367, SS (2) = 280.17,SS(3) = 2.72 EEESS(4) = 266.67,SS(5) =

34、 3.56, SS (6) = 20.25 EEE又由公式(9.6)，总残差平方和为SS 二工 y2-1L SS(k)沁 33944 - 33940.47 二 3.53EiEi=1k=1而且其自由度为 A = 9一6 = 3。在所有偏回归平方和中最小的是SS=2.72，对应的解释EE2变量为申(u) = U2 -，它是否要从模型中去掉，需要做进一步的显著性检验。3 1 3由于 MS =SS =2.72, MSEEESSf = 1.177，则F-统计量为EF(1,3)MS (3)E-MSE2.72二 2.311.1772取显著水平J = 0.05时，查表得F (1,3) = 10.1，即F (1

35、,3) F (1,3)，于是申(u) = u2-厅在313模型中的作用是不显著的，可以将此项从模型中剔除。而后应将相应的偏回归平方和加入到总 残差平方和中 去(这是因为 模型是由 正交变量构成的， 所以可以直接求和)， 即为SS 二 3.53 + 2.72 二 6.25，自由度为 f = 4，均值为 MS = 1.5625。E E E下面要进一步考查偏回归平方和次小的解释变量的显著性。显然次小是SS二3.56，对E应的解释变量为9 5(u)=类似的可以计算F (1,4)二MS(5)EMSE3.561.5625二 2.784而对于显著水平0.05，查表得F (1,4)二7.71，即F(1,4) F (1,5)，于是申(u)在模XX6型中的作用还是显著的，即正好反映出了水(W)和肥料(F )对生成沼气的交互作用。到此为止， 模型中也没有可剔除的变量了，故此，我们最后确定的回归模型为T (u) = 61 41 u61209u + u u(9.7)3 2 4 1 241209=61 u u + u u6 13 24 1 2将u1W 400,u1002F 25050代入上可以得沼气的生成时间T与水W和肥料F的函数关系式。由(9.7)式可得：当u180 - 2.963, u272=3，即W=696公斤和F=400公斤时，生成沼气的时间有最小值T=40小时。