第三章 环与域

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1、第三章 环与域与群一样，环与域也是两个重要的代数系统。但我们早在高等代 数课程里就已经接触过它们了，在哪里，我们有数环和数域的概念， 它们实际上就是特殊的环与域。在本章里，我们只是介绍环与域的最 基本的性质及几类最重要的环与域，通过本章的学习，将使得我们一 方面对数环和数域有更清楚的了解，另一方面也为进一步学习研究代 数学打下必备的基础。1 加群、环的定义一、加群在环的概念里要用到加群的概念，因此要先介绍一下什么是加 群，实际上加群也不是什么新的群，在习惯上，抽象群的代数运算， 都是用乘法的符号来表示的，但我们知道，一个代数运算用什么符号 表示是没有什么关系的，对于一个交换群来说，它的代数运算

2、在某种 场合下，用加法的符号来表示更加方便。因此，我们通常所说的加群，是指用加法符号表示代数运算的交 换群。由于加法符号与乘法符号有所不同，所以加群的许多运算规则与 表示形式就要与乘法表示的群有所不同。如：(1) 加群G的单位元用0表示，叫做零元。即Va e G，有0+a a+0 a。(2) 加群G的元素a的逆元用-a表示，叫做a的负元。即有-a+a a + (-a) 0。利用负兀可定乂加群的减法运算：a-b a + (-b)。(3 ) -(-a) = a。( 4 ) a + c = b o c = b - a。(5) -(a + b) = - a - b , - (a - b) = - a

3、+ ba + a + b a (n个a相加)n为正整数(6) na = 0，有(ab)n 二 a nb n例 若环R的每一个元素a都适合a 2二a，则称R是布尔环。证明，布尔环是交换环。证明： Va , b e R，有(a + b)2 二a + b , (2a)2 二 2a，于是有a 2 + ab + ba + b 2 二 a + b , 4a 2 二 2a，即卩 ab + ba = 0, 2a = 0，即卩ab = -ba二b(-a), a = -a，所以ab = ba，故布尔环R是父换环。2、单位元在群论里。我们已经看到了单位元的重要性。在环的定义里，没 有要求一个环要有一个对于乘法来说的

4、单位元，但一个环如果有这样 一个元，我们可以想象这个元也会占有一个很重要的地位。事实上， 有些环确实有单位元，女口：整数环Z就有乘法单位元1；数域P上n阶 方阵环Pn x n也有乘法单位元，即单位矩阵E。但并不是所有环都有单 位元，如偶数环2Z就没有乘法单位元。若环R存在兀素e，使得Va e R，有 ea = ae = a， 则称e是R的单位 元。此时环R也叫做有单位元环。一般地，一个环未必有单位元。但如果有的话，一定是唯一的。 因为，若e , e/都是环R的单位兀，则e = ee/ = e。例 1( P )85在一个有单位元的环里，这个唯一的单位元习惯上常用1 来表 示。注意，这里的 1不是

5、普通的整数1.在有单位元的环R里，和群一样，规定a 0 = 1( Va e R)。设R是有单位兀1的环，a , b e R，若ab =a = 1，则称a(b)是可逆 元，b(a)是a(b)的一个逆元。在有单位元的环r里，未必每个元素都有逆元，如整数环z是一 个有单位元的环，但除了 i外，其它的整数都没有逆元。又如在矩阵 环P nxn中非可逆矩阵就没有逆元。但是如果a e R有逆元，则其逆元是唯一的。因为，若a有两个逆 兀b 和 b/，则 b = bi = b(ab/) = (ba)b/ = 1b/ = b/。当a是可逆元时，其唯一的逆元记作a -1。并规定a-n = (a-i)n( n 是正整

6、数)这样规定以后，当a是可逆元时aaan是正整数an 二 1)不是素数时，n = ab (1 a , b n)则n J a , n 1 ，于是在Z中a丰0, b丰0，而a b二ab二0，这里0是 Z 的零元素。n定义若环R中两个非零元a , b，使得ab二0，则称a是环R的左 零因子， b 是环 R 的右零因子。注：左，右零因子统称零因子。若R是交换环，则它的一个左零 因子也是右零因子，反之也一样。但在非交换环中，一个左零因子未 必是右零因子，同样一个右零因子也未必是左零因子。另外，未必每一个环都有零因子，例如整数环Z就没有零因子。显然，Va , b e R，由ab二0可推出a二0或b二0当且

7、仅当环R没有 零因子。例3设a e Z，贝Ua不是Z零因子O(a , n)二1。 nn证明：(U)因为(a , n)二1，所以存在p , q e Z，使得pa + qn二1。Vb e Z，右ab = 0，贝寸由 pab + qnb = b，有nb二pab + qnb二pab + qnb二p0 + q0b二0，所以a不是 Zn零因子。元，(二)若(a, n) =d T，则 n e Z 且 0 土 ndd所以d是Z中非零nn| nl ddrl=|a| =-0 = 0与a不是Z零因子矛 d盾，所以 d = 1，即(a , n) = 1。 例 4 ( P )88定理若环R没有零因子，则a丰0 , ab

8、 = ac n b = c （左消去律） a 丰 0 , ba = ca n b = c （右消去律） 成立。反之，若环R里有一个消去律成立，则环R没有零因子。证明：若环R没有零因子，则由a 丰 0 , ab = ac有a 丰 0 , a(b - c) = 0于是b-c = 0，从而b = c。同样可证右消去律成立。若在环R里左消去律成立，则当ab = 0时，由ab = 0 = a0及a丰0， 有b = 0，故环R没有零因子。同理可证右消去律成立时，也没有零因 子。推论 在环R中，只要有一个消去律成立，那么两个消去律就都 成立。4、整环以上我们给出了一个环R的乘法运算可能适合的三个附加条件：

9、交换律，单位元，零因子。一个环当然可以同时适合一个以上的附加 条件，同时适合以上三个附加条件的环特别重要。定义若环R适合以下条件：1乘法适合交换律(即血,b g R , ab = ba)；2. R 有单位兀 1 (即 Va g R , 1a = al = a)；3. R 没有零因子(即 Va , b g R, ab = 0 n a = 0或b = 0)。则称R是一个整环。即，有单位兀无零因子的交换环叫做整环。例如，整数环 Z 是整环。P89、5证明r = a + 2la , b eZ，显然R是非空集合。Va + b、：2 , c + d:2 , e + f2 e R，有 (a + b叮2) +

10、 (c + dJ2) = (a + c) + (b + d)j2 e R，即 R 对力口法封闭。 (a + b 冋 + (c + d J2) + (e + f 2)=(a + b、运)+ (c + d J2) + (e + f * 即力法适合结合律。 存在0二0 + 0迈e R，使得0 + (a + b 2) = (a + b、： 2) + 0 = a + b、： 2所以0是R的零元。 (-a - b 2) + (a + b 2) = (a + b 冋 + (-a - b 冋=0，所以a + b迈的负元是 a b迈，艮卩(a + bQ2) = a b迈。 (a + b、，2) + (c + d

11、耐=(c + dp2) + (a + bp2)，即加法适合交换律。 由可知， R 关于力法构成群。 (a + b2)(c + d2) = (ac + 2bd) + (ad + bc2eR，即R 对乘法封闭。 (a + b 2)( c + d J2)( e + f 2)=(a + b ： 2)( c + dp 2)( e + f冋 即乘法适合结合律。 (a + b J2)(c + d 迈)+ (e + f J2)=(a + bp 2)( c + d、：2) + (a + b J2)( e + f *2)(c + d2) + (e + f v2)( a + b 迪=(c + d i； 2)( a

12、+ b J2) + (e + f v2)( a + b J2)即乘法对力法适合分配律。由一一可知，R关于加法和乘法构成环。 因为（a + b迈）（c + d、；2） = （c + g2）（a + b迈），所以R是交换环。 1二1 + 0迈eR是R的单位元。（11）若 a + b 迈丰 0, c + d 迈丰 0，贝U （a + b 冋（c + dj2）丰 0。故R是整环。3 除环、域在上一节，我们对环的乘法运算附加了一些条件后就产生了一些 特殊的环，如：交换环，有单位元环，无零因子环，整环等。在本节 将进一步讨论特殊的环，介绍两类重要的特殊环：除环与域。由上一节知识可知在一个有单位元1的环里，

13、可以讨论元素的逆 元问题，即当ab = ba = 1时，称a是可逆元，b是a的逆元。而且当a可 逆时其逆元是唯一的，记作a -1。那么对于有单位元的环，其中的元 素是否都有逆元呢？，为此我们先看下面两个例子。例 1 （P90 ）例 2 （P91 ）由例 1 知，当一个有单位元环至少有一个非零元时，零元一定没 有逆元。而由例2 知，有的有单位元环其每个非零元都有逆元，但有 的有单位元环则未必每个非零元都有逆元，例如，Pnxn是有单位元环， 但Pn x n中并非每个非零元都有逆元。于是有如下概念。定义设R是一个环，若1、R 含有非零元；2、R有单位元1；3、R的每个非零元都有逆元（即Vr e R，

14、当r丰0时，存在r一 1 g R，）。则称R是除环。由此定义及例2知，有理数环Q、实数环R、复数环C都是除环, 但整数环Z不是除环。除环有如下性质：（ 1）除环没有零因子。事实上，设R是除环，对a e R , a丰0，若有ab = 0，贝U a-iab = a-10 = 0, 从而b = 0，同理若有ba = 0，则b = 0。故R的非零元a都不是零因子， 即 R 无零因子。由此可知，除环是无零因子环，但是无零因子环未必是除环，如 整数环Z是无零因子环，但不是整环。（2）除环中非零元集合，关于除环的乘法构成群事实上，设R是除环，R*二R - 0，则I、由（1）知R *对R的乘法封闭；II、由环

15、的定义知，乘法适合结合律；W、R的单位元1就是R *的单位元；V、由除环的定义知，R*中每个元素都有逆元。故 R * 关于 R 的乘法构成群。R *叫做除环R的乘群。这样，一个除环是由两个群：加群与乘群凑合而成的，分配律就像是一座桥，使得这两个群之间发生一种联系由（1）、（2）知，在一个除环R里，方程ax = b和ya = b（a , b e R , a丰0）各有一个唯一的解:a-ib和ba-1。这两个解分别叫做 用a从左边和右边去除b，这就是除环这个名字的来源。要注意的是， 一般地有a-ib丰ba-i （因为除环里的乘法不适合交换律）。定义 交换的除环叫做域。由此可见，域是特殊的环。所以除环

16、的性质对域也成立，但反之则未必。由于在域里有a-ib = ba-i，所以我们用匕来表示这两个相等的元素, a即a-ib丰ba-i b，这时我们就可以得到普通运算法则。a设R是一个域，则对a , b , c , d e R , a zO, czO，有1)23)b d=o ad 二 bcacb d ad + bc+ 二a c acb 也 _ bda c ac证明(1)若 b 二 1，则 a-ib = c-id，从而 aca-ib = acc-id， 于是ad = bc 。 ac反之，右ad = bc，则(ad)(a-ic-1) = (bc)(a-ict)，因而 a-ib = c-id，即 2 =。

17、 ac2）因为ac (b d)ac=aca-ib + acc-id = bc + ad = ad + bc所以b dad + bcH=(ac)-i (ad + bc)=a cac3）因为ac=(ac )(a-ibOc-id) = bd所以ac (3 -) = (ac)-i(bd)=acac例 3 (P92 ) 到现在为止，我们已经把几种最常见的适合乘法附加条件的环， 都稍微做了介绍，为了能够把它们的隶属关系看得更清楚些，我们做 了一个表，详见 P93。例4模n剩余类环Z是域On是素数。n证明(二)由第二节知，z是有单位元的交换环，因此要证 nZ是域，只需证Z中非零元都可逆即可。 nnVa e

18、Z , a丰0，则1 a n，因为n是素数，所以有(a , n) = 1， n于是存在p , q e Z，使得pa + qn = 1，从而有1 = pa + qn = p a + q n = p a 即p是a的逆元，所以Z的每个非零元均可逆，故Z是域。 nn(U)若n不是素数，则有n = pq (1 p , q 0)(1)例1在域Z ( n是素数)里，有a丰0 (0 a n)，但 n/处S /nSna = a + a + a = a + a + a = na = 0那么，(1)之所以不一定成立的原因在哪里呢？设R是一个环， 我们知道R的元素对于加法来说构成一个加群，在这个加群里每一个 元素都有

19、一个阶，由阶的定义可知，R的元素a在加群里的阶若是无 限的，那么不管m是哪一个整数，都有ma丰0 ；若a的阶是一个有限 数n，就有ma = 0。即对R的一个不等于零的元素a来说，（1）式能不 能成立，完全由a在加群里的阶是无限还是有限来决定的，a的阶无 限时（1）式成立，a的阶有限时（1）不成立。在一个环可能某一个不等于零的元素对于加法来说的阶是无限 的，而另一个不等于零的元素的阶却是有限的。例 2 （ P95 ）可见，在一个一般环里，（1）这个计算规则可能对于某一个元素 来说成立，对于另一个元素来说又不成立。但在一个没有零因子的环 里情形就不同了。定理1在一个没有零因子的环R里，所有不等于零

20、的元素，对 于加法来说的阶都是一样的。证明 若R的每一个不等于零的元素，对于加法的阶都是无限 的，那么定理 1 成立。假定R的某一个不等于零的元素a对于加法的阶是有限整数n。Vb g R , b丰0，贝U由0 = na = （na）b = a（nb）, a丰0及R是无零因子环可得 nb = 0，所以I b 11 a I，故I b 1=1 a I。所以R的所有不等 于零的元素，对于加法来说的阶都是一样的。定义 一个无零因子环R的非零元素对于加法的相同阶，叫做无 零因子环R的特征。这样，一个无零因子环R的特征如果是无限的，那么R里计算规 则(1)永远是对的；R的特征如果是有限整数，这个计算规则就永

21、 远不对。定理2若无零因子环R的特征是有限整数n，则n是素数。证明 若n不少素数，则n = pq (p , q e Z , 1 p , q n)，于是Va e R , a 丰 0，有 pa 丰 0 , qa 丰 0， 但(pa)(qa)二(pq)a2 二 na2 二(na)a 二 0a 二 0 这与R是无零因子环矛盾，故n是素数。推论 整环、除环、域的特征或是无限大，或是一个素数。若R是特征为p的无零因子的交还环，则Va , b e R，有(a + b)p 二 ap + bp 事实上，因为(a + b) p = ap + Ci ap-ib HF Cp-iabp-1 + bppp而 Ci (1

22、i p -1)是 p 的倍数，因而 Ciap-ibi= 0 (1 i 0)01n01n的元素，叫做r上a的多项式，a (i二1, 2,n)多项式的系数。i记Ra = a + a a f a a n | a , a，,a e R , n e Z , n001n01n则Ra 是R的非空子集，且对任意0a + a a + + a a n , b + b a + + b a m e Ra 01n01m不妨设m n，有(a + a a + + a a n) + (b + b a + + b a m)01n01m=(a + b ) + (a + b )a + + (a + b )a n0011n n其中

23、b = 0(m k 0)01n01n即Ra 匸S 所以Ra是R的包含R和a的最小子环。03 vaeR，当a , a ,，a不全为零时，未必有001na + a a + a a n丰001n例如，a e R 时，a =a ? a =1，则多项式a + aa =a_a =0 o0 1 0 1二、未定元多项式（一元多项式）定义3设x e R，若不存在不全为零的元素0a , a , , a e R01n使得a + a x + axn = 001n则称x是R的一个未定元。1当X是R的一个未定兀时，若a + a x+ a xn = b + bx+ b xn01n01n则(a - b ) + (a - b

24、)x + (a - b )xn = 00011n n因为x是未定元，所以a -b = a -b =a -b =00011n n即 a = b ( i = 0 , 1, , n ) o由此可见，R上未定元x的多项式只能用一种方法写成。2 般地，R未必有R上未定兀。0如 P103 例题：(a2 + b2) + (2a )a +a 2 = (a2 + b 2) + (2a)(a + bi) + (a + bi )2=a 2 + b 2 2a 2 2abi + a 2 b 2 + 2abi = 03定理1若R是有单位元交还环，则一定存在R上未定元。注：本定理是说，一定存在一个以R为子环的环R，使R含有

25、R00上未定元。证明(略)4 R上未定元x的多项式a + ax+ a xn (a e R , i = 0, 1,n)01ni简称为一元多项式，记作f(x)，而称Rx为R上多项式环。由定理1知，有单位元交还环R上必存在一元多项式环Rx。7 理想前面我们介绍了子环的概念，在这一节里我们要讨论一种特别重 要的子环，就是理想子环，这种子环在环论里的地位同不变子群在群 论里的地位类似。定义设U是环R的一个非空子集，若(1) a , b e U n a b e U ；( 2) aeU, re Rn ra, areU。则称U是R的一个理想子环，简称理想。注： 由(1)知：理想是子加群。 有（2）知：理想对乘

26、法封闭。 由、知：理想是子环。 由（2）知：理想所适合的条件比子环的条件要强一点，所以 子环未必是理想。 每个环都有两个理想：零理想0二0与单位理想r。这两个理 想也叫做平凡理想，其它理想叫做非平凡理想。定理 1 除环只有平凡理想。证明 设U是除环R的一个理想，若U北0，则存在a g U , a丰0， 于是存在 a-i g R o由理想的定义得1 = a-ia g U，从而Vr g R，有r =r 1U , 因而R匸U，又U匸R，故U = R是单位理想，因此R只有平凡理想。由此可见，在除环、域中讨论理想是没有意义的。例 1 （P111） nZ = an I a g Z是Z 的理想。例 2（P1

27、11）P1113、4.证明 设U , U是环R的两个理想，则有12ogu , ogu，所以ogu nu，因此u nU =Q o1 2 1 2 1 2Va , b g U n U , Vr g R，有12(1)由 a , b g U , a , b g U，可得 a - b g U , a - b g U，从而1 2 1 2a-bgU nU o122 )由 ar ,ra gU ,1ar ,ra gU ， 可得 ar , ragU nU o2 1 2综合（1）、（2）可知u nu是r的理想。12此题的结论可推广到任意多个理想，即若 U 是R的一族理i ig I想，则n U是R的理想。iigI现在设

28、A是环R的一个非空子集，令A= UIU是R的理想，且AU则Ah (因为R wA),于是A U是R的理想，而且它是包含A的最小U gA理想(因为每个包含A的理想v必属于A，于是A U匸V)。我们把这UgA个包含A的最小理想叫做由A生成的理想，记作(A)。当A二a时，记(A)二(a)，叫做由a生成的主理想。关于主理想(a) 有下面结论：(a) = 区 x ay + sa + at + na I x , y , s , t g R , n g Z i i i ii=1事实上： 等式右边集合中的任意两个元素的差以及与R中元素的乘积 仍在这个集合中，因此它是R的一个理想。 因为(a)是理想，a g (a

29、)，所以瓦 x ay + sa + at + na g (a)iii=1从而等式右边集合匸(a)，又因为(a)是包含a的最小理想，所以(a)二右 边。当 R 是交换环时，(a) = r a + naI r gR, n gZ 。当 R 有单位元时，(a) = x ay I x , y g R, i = 1,m oi i i ii=1当R是有单位兀的交换环时，(a) = r a I r g R o这样，例1中的理想nZ = r n I r g Z = (n)是主理想。设 A , B 是 R 的两个非空子集，定义A + B = a + b I a g A , b g B称为A与B的和。当A , B是

30、R的理想时 ，A + B 也是R的理想。事实上，因为0 = 0 + 0e A + B，所以A + B是R的非空子集。Va + b , c + d e A + B， Vr e R，有 a , c e A , b , d e B，于是a 一 c , ra , ar e A , b 一 d , rb , br e B， 从而有(a + b) 一 (c + d) = (a 一 c) + (b 一 d) e A + Br(a + b) = ra + rb e A + B , (a + b) r = ar + br e A + B故A + B是R的理想。当 A = a, a12a 时，(A) = (a )

31、 + (a ) + (a )。m 1 2 m事实上， (a ) + (a ) + + (a )是R 的理想;12 因为a e (a )iiA 匸(a ) + (a ) + (a )，1 2 m因为a e A匸(A)im，所以a e (a ) + (a ) + (a )， 于是有i12m从而(A)匸(a ) + (a ) + (a )。1 2 m所以(a )匸(A)从而i(a ) + (a ) + (a )匸(A)1故 ( A ) = ( a ) + ( a ) + + ( a12今后记(A) = ( a , a12)。ma ），叫做由 a , a , , a 生成的理想。m 1 2 m例 3

32、（P113）(2 , x) = (2) + (x) =2p (x) | p (x)e R(x)+xp (x) | p (x)e R(x)1 1 2 2=2p(x)+xp(x)|p(x), p (x)eR(x)1 2 1 2= a xn + a x + 2a I a e R , i = 0, 1,n , n 0 n10 i(2 , x) 是主理想，则有 p(x)e Rx使得（2, x）二（p（x），于是由2 , x e (p(x)有2 = q(x)p(x),x =h(x)p(x)从而p(x)是零次多项式即p(x) = a丰0，因而x = ah(x)所以h(x)是次多项式即h(x) = bx +

33、c，因此1 = ab 故a = 1。这样就有1 = p(x) g (2 , x)但1丰a xn + + a x + 2a，产生矛盾，所以(2, x)不是主理想。n10P113、.证明 因为R二Q，所以丄G Rx，因而Rx的的理想(2, x)2含有-2 = 1，因此(2 , x) = (1)= Rx是主理想。2注：若有单位元环R的理想U含有单位元1,那么一定有U 二(1)二 R。P113、5.解 R = Z = 0, 1, 2, 3, 4, 5。6若U是R的一个理想，则U定是加群的一个子群，但加群Z是6循环群，所以它的子群也是循环群，因此R的理想只能是下列形式的集合：G广()二0，叮()二()二

34、 RG3 二(2)二()二24，叮()二易证，G , G , G , G都是R的理想。1234P113、1.证明 U = 4r I r g R ， V4r , 4r g U , Vr g R，有 124r 一 4r = 4(r 一 r ) g U1 2 1 2r(4r ) = (4r )r = 4(r r) GU1 1 1所以 U 是 R 的理想。P113、2.证明 由(3, 7)是R的理想，3 G (3, 7)，可知 6 = 2 3 g (3, 7)，从而 1 = 7 - 6 g (3, 7)，于是 R =匸(3, 7)，又显然有 (3, 7)匸 R，故(3, 7) = R = (1)。另证

35、因为3, 7互素，所以存在p , q g R，使得由 3 p , 7 q e (3,7)， 得 1 二 3p + q e (3, 7 于是 R 二(1 址(3, 7 故 (3 , gR =。18 剩余类环，同态与理想设R是一个环，U是R的一个理想，于是U构成R的一个子加群, 从而U是R的不变子群，因此有商集RU 二 a + U I a e R 由群论知识可知，RU有一个加法(a + U) + (b + U)二(a + b) + U(*)且RU关于上述加法构成一个加群(商群)。再定义：(a + U)。(b + U)二(ab) + U，贝寸当 a + U = a + U， b + U = b +

36、U11时，有a a , b b e U，从而11ab a b = ab ab + ab a b = a (b b ) + (a a )b e U1 1 1 1 1 1 1 1 1于是ab + U = a b + U，所以(*)是RU的代数运算，叫做乘法。1 1令申：a a + U (Va e R)，贝U 显然申(a) e RU，且当a = b时，有a -b = 0 e U，于是有a + U = b + U，即q(a) =Q(b)，故甲是R到RU的映射。 Va + U e R U，存在a e R，使得申(a) = a + U，所以q是满射。 因为q (a + b) = (a + b) + U =

37、 (a + U) + (b + U) = q (a) + q (b)q (ab) = (ab) + U = (a + U )(b + U) = q (a )q (b)所以q是R到R U的同态满射。于是有定理1若U是环R的一个理想，则R U关于商集的加法与乘法构成一个环，这个环叫做R的模U剩余类环(商环)。定理2 (环同态基本定理)设R, R是两个环，甲是R到R的同 态满射，则(1) U = ker = a e R I 甲(a)二 0是 R 的理想；(2) Rker申仝R。证明(1)因为甲(0)= 0，所以o e ker申，于是ker是R的非空子集。 Va , b e ker申,Vr e R，贝U q(a) = 0 , Q(b) = 0，于是Q (a 一 b) =Q (a)(b) = 0 一 0 = 0Q(ra) =Q(r)Q(a) =Q(r)0 =0Q(ar)=Q(a)Q(r)=0Q(r)=0所以