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1、数值分析实验报告实验序号:实验五实验名称:1、 实验目的：随着插值节点的增加，插值多项式的插值多项式的次数也增加，而对于高次的插值容易 带来剧烈的震荡，带来数值的不稳定(Runge现象)。为了既要增加插值的节点，减小插值 的区间，以便更好的逼近插值函数，又要不增加插值多项式的次数以减少误差，可采用分段 线性插值。2、 实验内容：求一个函数9 (x)用来近似函数/(x),用分段线性插值的方法来求解近似函数9 (x) 并画出近似函数图像及原函数图像。设在区间a,b上，给定n+1个插值节点a二x x x . x二b和相应的函数 0 1 2 n值y ,y，,y，求一个插值函数9(x)，满足以下条件：0
2、 1 n(1) 9 (x ) = y (j = 0,1,2,., n)；jj(2) 9(x)在每一个小区间x ,x 上是线性函数。j j+1对于给定函数f (x) -1,-1 x 1。在区间Ll，l上画出/(x)和分段线性插1+ 25x2值函数9 (x)的函数图像。1. 分段线性插值的算法思想：分段线性插值需要在每个插值节点上构造分段线性插值基函数l (x)，然后再 j作它们的线性组合。分段线性插值基函数的特点是在对应的插值节点上函数值取1，其它节点上函数值取0。插值基函数如下：l0( x)=x - x, x x x x - x 01010, 其它x-xj-1x - xjj-1,xj-1xxj
3、x - xl (x) = , x x xxxjj+1jj+10,其它x - x1 (x)=nn 1 , x x - xn-1nn-10,其它设在节点aWx0x1Wb=f(xi),(i=0,1,2,n)求折线函数L (x)满足:(1) L(x)GCa,b2)L(xi=yi)(3)L(x)在每个小区间(xi,xi+1)上是线性插值函数C(x)叫做区间a,b上对数据(xj,yj) (j=0,1,2,n)的分段区间函数。利用一介拉格朗日函数，直接得到线性插值函数为:L(x0)= (x-x 1) /x0-x1;(x0WxWx 1)L(x0)=0(x1WxWxn)分段线性方程的表达式:C(x) =E(j=
4、0,.,n)yj*Lj(x);3、实验代码:. menu item to system menu.ASSERT(IDM_ABOUTBOX & 0xFFF0) = IDM_ABOUTBOX);ASSERT(IDM_ABOUTBOX AppendMenu(MF_SEPARATOR);pSysMenu-AppendMenu(MF_STRING, IDM_ABOUTBOX, strAboutMenu);The framework does this automaticallyFor MFC applications using the document/view model,void CLDlg:On
5、Paint()if (IsIconic()CPaintDC dc(this); HCURSOR CLDlg:OnQueryDragIcon()return (HCURSOR) m_hIcon;void CLDlg:OnOK()int x00=300,y00=350,i,j;double x;CDC *pDC=GetDC();pDC-SetMapMode(MM_LOMETRIC);pDC-SetViewportOrg(x00,y00);实验结果分析：分析:分段线性插值的方法克服了 Lagrange插值法当节点不断加密时，构造的插值多项式的 次数不断升高，高次多项式虽然是连续的，但是不一定都收敛到相应的被插函数而产生 Runge现象。分段线性插值因为在每一段小区间上都是线性插值而极大地降低了插值多项式 的次数，从几何图形上可以看出，当节点取得较多时插值函数的逼近效果还是很好的，但是 所求函数是一条以型值点为顶点的折线，这也表现出了它的缺点就是所求得的插值函数的光 滑性较差，这就要求一种更好的方法来克服这一缺点了。
分段线性插值法
