C1概率及其运算

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1、C1.1 随机事件随机事件C1.2 概率的计算概率的计算C1.3 条件概率条件概率 独立性独立性 C1.1 随机事件随机事件B 一、随机现象与随机试验一、随机现象与随机试验B 二二、样本空间与随机事件、样本空间与随机事件 B 三三、事件间的关系与运算事件间的关系与运算一、随机现象一、随机现象与与随机试验随机试验1 1、随机现象、随机现象带有随机性、偶然性的现象带有随机性、偶然性的现象特点：特点：当人们在一定的条件下对它加以观察或进行当人们在一定的条件下对它加以观察或进行试验时，观察或试验的结果是多个可能结果试验时，观察或试验的结果是多个可能结果中的某一个中的某一个.而且在每次试验或观察前都无而

2、且在每次试验或观察前都无法确知其结果，即呈现出法确知其结果，即呈现出偶然性偶然性.或者说，或者说，出现哪个结果出现哪个结果“凭凭机会机会而定而定”.在一定条件下对随机现象进行大量观测会发现在一定条件下对随机现象进行大量观测会发现某种规律性某种规律性.例如例如:一门火炮在一定条件下进行射击，个别一门火炮在一定条件下进行射击，个别炮弹的弹着点可能偏离目标而有随机性的误差，炮弹的弹着点可能偏离目标而有随机性的误差，但大量炮弹的弹着点则表现出一定的规律性，如但大量炮弹的弹着点则表现出一定的规律性，如一定的命中率，一定的分布规律等等一定的命中率，一定的分布规律等等.随机现象的规律性随机现象的规律性又如又

3、如:在一个容器内有许多气在一个容器内有许多气体分子，每个气体分子的运动存在体分子，每个气体分子的运动存在着不定性，无法预言它在指定时刻着不定性，无法预言它在指定时刻的动量和方向的动量和方向.但大量分子的平均但大量分子的平均活动却呈现出某种稳定性，如在一活动却呈现出某种稳定性，如在一定的温度下，气体对器壁的压力是定的温度下，气体对器壁的压力是稳定的，呈现稳定的，呈现“无序中的规律无序中的规律”.从表面上看，随机现象的每一次观察结果都是从表面上看，随机现象的每一次观察结果都是随机的，但多次观察某个随机现象，便可以发现，随机的，但多次观察某个随机现象，便可以发现，在大量的偶然之中存在着必然的规律在大

4、量的偶然之中存在着必然的规律.概率论的研究对象概率论的研究对象 随机现象的统计规律性随机现象的统计规律性 随机现象有其偶然性的一面，也有其必随机现象有其偶然性的一面，也有其必然性的一面，这种必然性表现在大量重复试然性的一面，这种必然性表现在大量重复试验或观察中呈现出的固有规律性，称为随机验或观察中呈现出的固有规律性，称为随机现象的现象的统计规律性统计规律性.概率论正是研究随机现象统计规律性的概率论正是研究随机现象统计规律性的一门学科一门学科.这里试验的含义十分广泛，它包括各种各样这里试验的含义十分广泛，它包括各种各样的科学实验，也包括对事物的某一特征的观察。的科学实验，也包括对事物的某一特征的

5、观察。其典型的例子有：其典型的例子有：2、随机试验随机试验（Experiment）研究随机现象，首先要对研究对象进行观察试验研究随机现象，首先要对研究对象进行观察试验.这里的试验，指的是随机试验这里的试验，指的是随机试验.E5：记录寻呼台一分钟内接到的呼唤次数。：记录寻呼台一分钟内接到的呼唤次数。E6：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。E7：记录某地一昼夜的最高温度和最高温度。：记录某地一昼夜的最高温度和最高温度。E1：抛一枚硬币，观察正面：抛一枚硬币，观察正面H（Heads）、反面）、反面T（Tails）出现的情况。）出现的情况。E2：将一枚硬

6、币抛掷三次，观察正面、反面出现：将一枚硬币抛掷三次，观察正面、反面出现的情况。的情况。E3：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数。：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数。E4：抛一颗骰子，观察出现的点数。：抛一颗骰子，观察出现的点数。从观察试验开始从观察试验开始这些实验具有以下特点：这些实验具有以下特点：可以在相同的条件下重复进行；可以在相同的条件下重复进行；每次实验的可能结果不止一个，并且能事先明确每次实验的可能结果不止一个，并且能事先明确实验的所有可能结果；实验的所有可能结果；进行一次实验之前不能确定哪一个结果会出现。进行一次实验之前不能确定哪一个结果会出现。二、二、样本空间与样本空间

7、与随机事件随机事件定义定义将将随机试验随机试验 E 的所有可能结果组成的集合的所有可能结果组成的集合称为称为 E 的的样本空间样本空间，记为记为 S 或或。称试验称试验 E 的样本空间的样本空间 S 的子集为的子集为 E 的随机事件；的随机事件；常用集合记号如常用集合记号如A，B等表示。等表示。基本事件基本事件:有一个样本点组成的单点集；有一个样本点组成的单点集；必然事件必然事件:样本空间样本空间 S 本身；本身；不可能事件不可能事件:空集空集。样本空间样本空间的元素，即的元素，即 E 的每个结果，称为的每个结果，称为样本点样本点。S1:H,T S2:HHH,HHT,HTH,THH,HTT,T

8、HT,TTH,TTT S3:0,1,2,3 S4:1,2,3,4,5,6 E E1 1：抛一枚硬币，观察正面：抛一枚硬币，观察正面H H（HeadsHeads）、反面）、反面T T（TailsTails）出现的情况。）出现的情况。E E2 2：将一枚硬币抛掷三次，观察正面、反面出现：将一枚硬币抛掷三次，观察正面、反面出现的情况。的情况。E E3 3：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数。：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数。E E4 4：抛一颗骰子，观察出现的点数。：抛一颗骰子，观察出现的点数。S5:0,1,2,3S6:t|t 0 S7:(x,y)|T 0 x,y T1 E5E5：记录寻

9、呼台一分钟内接到的呼唤次数。：记录寻呼台一分钟内接到的呼唤次数。E6E6：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。E7E7：记录某地一昼夜的最高温度和最高温度。：记录某地一昼夜的最高温度和最高温度。例如：例如：S2 中事件中事件 A=HHH,HHT,HTH,HTT表示表示“第一次出现的是正面第一次出现的是正面”S6 中事件中事件 B1=t|t 1000表示表示“灯泡是次品灯泡是次品”事件事件 B2=t|t 1000表示表示“灯泡是合格品灯泡是合格品”事件事件 B3=t|t 1500表示表示“灯泡是一级品灯泡是一级品”称一个随机事件发生当且仅当它所包含称

10、一个随机事件发生当且仅当它所包含的一个样本点在试验中出现的一个样本点在试验中出现10 包含关系包含关系 20 和事件和事件 30 积事件积事件 40 差事件差事件50 互不相容互不相容60对立事件对立事件SABBABABABABASBABA 三三、事件间的关系与运算、事件间的关系与运算SABS2 中事件中事件A=HHH,HHT,HTH,HTT,B=HHH,TTT20 和事件和事件 30 积事件积事件BABA?BA?BASABSABAS 40 差事件差事件BAABSB50 互不相容互不相容BAASA60对立事件对立事件SBABA AB SAB随机事件的运算规律随机事件的运算规律幂等律幂等律:AA

11、AAAA,交换律交换律:ABBAABBA,结合律结合律:CBACBACBACBA分配律分配律:CABACBACABACBA De Morgan De Morgan定律定律:AAAA,C1.2 概率的计算概率的计算B 一、一、频率与概率频率与概率B 二二、概率的定义与性质概率的定义与性质B 三三、等可能概型（古典概型）等可能概型（古典概型）B 四四、几何概型几何概型一一、频率与概率频率与概率例如例如 若我们希望知道某射手中靶的概率，应若我们希望知道某射手中靶的概率，应对这个射手在同样条件下大量射击情况进行观对这个射手在同样条件下大量射击情况进行观察记录察记录.若他射击若他射击n发，中靶发，中靶m

12、发，当发，当n很大时，可用很大时，可用频率频率m/n作为他中靶概率的估计作为他中靶概率的估计.1.频率的定义和性质频率的定义和性质 定义定义 在相同的条件下，进行了在相同的条件下，进行了n 次试验，次试验，在这在这 n 次试验中，事件次试验中，事件 A 发生的次数发生的次数 nA 称为称为 事件事件 A 发生的频数。比值发生的频数。比值 n A /n 称为事件称为事件 A 发生的频率，并记成发生的频率，并记成 fn(A)。性质性质:)()()()(AfnAfnAfnAAAfkkn 2121;)(12 Sfn则则是是两两两两互互不不相相容容事事件件若若,AAAk0123;)(101 Afn 考虑

13、在相同条件下进行的考虑在相同条件下进行的S 轮试验轮试验.第二轮试验试验次数试验次数n2事件事件A出现出现m2次次第S轮试验试验次数试验次数ns事件事件A出现出现ms 次次试验次数试验次数n1事件事件A出现出现m1次次第一轮试验事件事件A A在各轮试验中频率形成一个数列在各轮试验中频率形成一个数列我们来说明频率稳定性的含义我们来说明频率稳定性的含义.,11nm,22nmssnm,频率在一定程度上反映了事件发生的可能性大频率在一定程度上反映了事件发生的可能性大小小.尽管每进行一连串（尽管每进行一连串（n n次）试验，所得到的频率次）试验，所得到的频率可以各不相同，但只要可以各不相同，但只要 n

14、n相当大，频率与概率是会相当大，频率与概率是会非常接近的非常接近的.因此，因此，概率是可以通过频率来概率是可以通过频率来“测量测量”的的,频率是概率的一个近似频率是概率的一个近似.频率频率概率概率这种确定概率的方法称为这种确定概率的方法称为在实际中，当概率不易求出时，人们常取实验次在实际中，当概率不易求出时，人们常取实验次数很大时事件的频率作为概率的估计值，数很大时事件的频率作为概率的估计值，关于频率和概率的关系，需要强调以下事实：关于频率和概率的关系，需要强调以下事实：对于较大的对于较大的n，n次试验中事件次试验中事件A的频率，一的频率，一般与事件般与事件A的概率的概率P相差不大，试验次数相

15、差不大，试验次数n越大，越大，频率与概率有较大偏差的情形就越少见频率与概率有较大偏差的情形就越少见.概率是频率稳定性的依据，是随机事件规律概率是频率稳定性的依据，是随机事件规律的一个体现的一个体现.实际中，当概率不易求出时，实际中，当概率不易求出时，人们常通过作人们常通过作大量试验，用事件出现的频率去近似概率大量试验，用事件出现的频率去近似概率.它的理论依据我们将在最后介绍它的理论依据我们将在最后介绍.251 249 256 253 251 246 2440.502 0.498 0.512 0.506 0.502 0.492 0.4880.002 -0.002 0.012 0.006 0.00

16、2 -0.008 -0.012 投硬币正反面说明投硬币正反面说明 频率的稳定性频率的稳定性nAfn(A)n=500时时 实实 验验 者者 德德摩根摩根 蒲蒲 丰丰K 皮尔逊皮尔逊K 皮尔逊皮尔逊 n nH fn(H)2048 40401200024000 1061 2048 6019120120.51810.50960.50160.5005 频率稳定性频率稳定性高尔顿钉板试验高尔顿钉板试验.小球在高尔顿板小球在高尔顿板中的分布规律中的分布规律.高尔顿板实验.记左图所示正方形的面积为记左图所示正方形的面积为 ，其中的四分之一圆围成的区域为其中的四分之一圆围成的区域为A A.现向区域现向区域 随机

17、投点随机投点n n次，由次，由几何方法可计算得几何方法可计算得利用频率和概率的关系，当利用频率和概率的关系，当 n充分大充分大时，时，441)()()(22rrAAPArnmAP)(于是于是nm4频率频率)频频 率率 稳定值稳定值 概率概率事件发生事件发生的频繁程度的频繁程度事件发生事件发生的可能性的大小的可能性的大小频率的性质频率的性质概率的公理化定义概率的公理化定义定义定义 设设 E 是随机试验，是随机试验，S 是它的样本空间，对于是它的样本空间，对于 E 的每一个事件的每一个事件 A 赋予一个实数，记为赋予一个实数，记为 称为事件称为事件 A 的概率，要求集合函数的概率，要求集合函数 满

18、足满足 下列条件下列条件：;)(120 SP;)(AP 010 )()()(APAPAAP2121则则是是两两两两互互不不相相容容事事件件若若,AA2013)(P,)(AP二二、概率的定义与性质概率的定义与性质概率的性质概率的性质;)(01 P性质性质则则是是两两两两互互不不相相容容事事件件若若性性质质,AAAn212)()()()(APAPAPAAAPnn 2121)()()()()(APBPAPBPABPBA 3性质性质SAB;)()(APAP 15性质性质;)(14 AP性质性质。性性质质)()()()(ABPBPAPBAP 6SABSAAB 重要推广重要推广:)()()()()()()

19、()()ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP 1)()()()ABPBPABP 2SBA加法公式的推广加法公式的推广 nnnkjikjinjijiniiniinAAAPAAAPAAPAPAPAAAn2111111211 有有个事件个事件对任意对任意,生活中有这样一类试验，它们的共同特点是：生活中有这样一类试验，它们的共同特点是：样本空间的元素只有有限个；样本空间的元素只有有限个；每个基本事件发生的可能性相同每个基本事件发生的可能性相同。比如：足球比赛中扔硬币挑边，围棋比赛中猜先。比如：足球比赛中扔硬币挑边，围棋比赛中猜先。我们把这类实验称为我们把这类实验称为等可能概型等可能概型，考虑

20、到它在概率论早期发展中的重要地位，又考虑到它在概率论早期发展中的重要地位，又把它叫做把它叫做古典概型古典概型。三、三、等可能概型（古典概型）等可能概型（古典概型）设设 S=e1,e2,en,由古典概型的等可能性，得由古典概型的等可能性，得.21ne=PePeP 又由于基本事件两两互不相容；所以又由于基本事件两两互不相容；所以,nePePePSP 211.,ninePi211 若事件若事件 A 包含包含 k 个基本事件，即个基本事件，即 A=e1,e2,ek,则有则有：.)(中中基基本本事事件件总总数数包包含含的的基基本本事事件件数数SAnkAP 例例 1 将一枚硬币抛掷三次。设：将一枚硬币抛掷

21、三次。设：事件事件 A1为为“恰有一恰有一次出现正面次出现正面”，事件，事件 A2为为“至少有一次出现正面至少有一次出现正面”，求求 P(A1),P(A2)。解：根据前面的记号，解：根据前面的记号，E2 的样本空间的样本空间 S2=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT,n=8，即即 S2 中包含有限个元素，且由对称性中包含有限个元素，且由对称性 知每个基本事件发生的可能性相同，属于知每个基本事件发生的可能性相同，属于古典概型古典概型。A1为为“恰有一次出现正面恰有一次出现正面”，A1=HTT,THT,TTH,=)(=8331nkAPk，.=)(=)(87811122

22、APAP,=)(=T,TT=:8112222nkAPkAAA，由由于于另另解解 事件事件 A2为为“至少有一次出现正面至少有一次出现正面”，A2=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,=)(=877222nkAPk，例例 2 一口袋装有一口袋装有 6 只球只球，其中，其中 4 只白球只白球、2 只红球。只红球。从袋中从袋中取球两次取球两次，每次随机的取一只。，每次随机的取一只。考虑两种取球方式：考虑两种取球方式：放回抽样放回抽样 第一次取一只球，观察其颜色后放回袋中，第一次取一只球，观察其颜色后放回袋中，搅匀后再取一球。搅匀后再取一球。不放回抽样不放回抽样 第一次取一球不放回

23、袋中，第二次从剩第一次取一球不放回袋中，第二次从剩余的球余的球 中再取一球。中再取一球。分别就上面两种方式求：分别就上面两种方式求：1）取到的）取到的两只都是白球两只都是白球的概率；的概率；2）取到的）取到的两只球颜色相同两只球颜色相同的概率；的概率；3）取到的两只球中）取到的两只球中至少有一只是白球至少有一只是白球的概率。的概率。解：从袋中取两球，每一种取法就是一个基本事件解：从袋中取两球，每一种取法就是一个基本事件。设设 A=“取到的取到的两只都是白球两只都是白球”，A1=“取到的都取到的都是红球是红球”;B=“取到的取到的两只球颜色相同两只球颜色相同”C=“取到的两只球中取到的两只球中至

24、少有一只是白球至少有一只是白球”。44406422.)(AP111062221.)(AP8890621221.)()(APCP 有放回抽取有放回抽取:无放回抽取无放回抽取:2624CCAP)(262224CCCBP )(262211CCAPCP)()(5550624222.)(BP例例 3 将将 n 只球随机的放入只球随机的放入 N(N n)个盒子中去，求个盒子中去，求每个盒子至多有一只球的概率。每个盒子至多有一只球的概率。(设盒子的容量不限）设盒子的容量不限）,种种放放法法nNNNN 解：解：将将 n 只球放入只球放入 N 个盒子中去个盒子中去,共有共有而每个盒子中至多放一只球而每个盒子中至

25、多放一只球,共有共有,)()(种种放放法法nNAnNNN 11.)()(nnNnNANnNNNp 11故故问题改为问题改为:求求至少有一只至少有一只盒子盒子里有两个以上的球的里有两个以上的球的概率。概率。.nnNNApP 11 此例可以作为许多问题的数学模型，比如此例可以作为许多问题的数学模型，比如用此公式可以得出：用此公式可以得出：nP20 23 30 40 50 64 1000.411 0.507 0.706 0.891 0.970 0.997 0.9999997 考虑考虑N=365,经计算可得下述结果：经计算可得下述结果：“在一个有在一个有64人的班级里，至少有两人同生日人的班级里，至少

26、有两人同生日”的概率为的概率为 99.7%。例例4 设有设有 N 件产品，其中有件产品，其中有 D 件次品，今从中任件次品，今从中任取取 n 件，问其中恰有件，问其中恰有 k (k D)件次品件次品的概率是多少的概率是多少?种，种，nNC又在又在D件次品中取件次品中取 k 件，所有可能的取法有件，所有可能的取法有 种，种，knDNC 在在 N-D 件正品中取件正品中取 n-k 件件,所有可能的取法有所有可能的取法有种种，kDC 解：在解：在 N 件产品中抽取件产品中抽取 n 件，取法共有件，取法共有不放回抽样不放回抽样1）由乘法原理知：在由乘法原理知：在 N 件产品件产品 中取中取 n 件，其

27、件，其中恰有中恰有 k件次品的取法共有件次品的取法共有 种种，knDNkDCC 于是所求的概率为：于是所求的概率为：nNknDNkDCCCp 此式即为此式即为超几何分布超几何分布的概率公式。的概率公式。2 2）有放回抽样有放回抽样从从N件产品中有放回地抽取件产品中有放回地抽取n件产品进行排列，件产品进行排列，可能的排列数为可能的排列数为 个，将每一排列看作基本个，将每一排列看作基本事件，总数为事件，总数为 。而在而在 N 件产品件产品 中取中取 n 件，其中恰有件，其中恰有 k件次品件次品的取法共有的取法共有 于是所求的概率为于是所求的概率为：nNknkknDNDC )(nNknkknnknk

28、knNDNDCNDNDCP )()()(1此式即为此式即为二项分布二项分布的概率公式的概率公式。例例5 5 在在 12000 的整数中随机的取一个数，问取到的整数中随机的取一个数，问取到的整数既不能被的整数既不能被 6 整除，又不能被整除，又不能被 8 整除的概率整除的概率是多少？是多少？解：解：设设 A A 为事件为事件“取到的整数能被取到的整数能被 6 6 整除整除”，B B 为为“取到的整数能被取到的整数能被 8 8 整除整除”，,33462000333 由由于于).()()()(),()()(ABPBPAPBAPBAPBAPBAP 其其中中1为：为：6 6，1212，18181998

29、1998 共共 333 333 个个，所以能被所以能被 6 6 整除的整数整除的整数则所求的概率为：则所求的概率为：,)(2000333 APAB 为为“既被既被 6 整除又被整除又被 8 整除整除”或或“能被能被 24 整除整除”.)(,)(:2000832000250 ABPBP同同理理得得.)()()(432000500120008325033311 ABPBPAPp于是所求的概率为：于是所求的概率为：其中其中 B=8,16,2000,AB=24,48 1992，例例 6 魔法学院假如将魔法学院假如将 15 名新生随机地平均分配到葛名新生随机地平均分配到葛来芬多、斯莱特林、拉文克劳来芬多

30、、斯莱特林、拉文克劳3 个学院中去，这个学院中去，这 15 名新生中有名新生中有 3 人是人是哈利波特、榮恩哈利波特、榮恩与与妙麗妙麗。问：。问：(1)他们他们3 人被分配到人被分配到3 个不同的学院的概率是多少？个不同的学院的概率是多少？(2)他们他们3 人被分配到同一个学院的概率是多少？人被分配到同一个学院的概率是多少？解：解：15名新生平均分配到名新生平均分配到 3 个学院中去的分法总数为：个学院中去的分法总数为：55510515CCC ,!512345!5678910!51112131415 !5!5!5!15 (1)将将哈利波特、榮恩哈利波特、榮恩与与妙麗妙麗分配到分配到 3 个学院

31、，个学院，使每个学院都有一人的分法共有使每个学院都有一人的分法共有 3!种。种。种种，)!(/!44412他们他们3 人被分配到人被分配到3 个不同的学院个不同的学院的分法总数为：的分法总数为：)!4!4!4/(!12!3于是所求的概率为：于是所求的概率为：.!/!27470912555515444123555154441231 p其余其余 12 名新生平均分配到名新生平均分配到 3 个学院中的分法共有个学院中的分法共有三人分配在同三人分配在同一一学院学院内内.0659.0916!15!2!5!123!5!5!5!15/!5!5!2!1232 p其余其余12名新生，一个名新生，一个学院学院分分

32、2名，名，另外两另外两学院学院各分各分5名名(2)哈利波特、榮恩哈利波特、榮恩与与妙麗妙麗分配到同一个学院的分配到同一个学院的概率为：概率为：例例 7 某接待站在某一周曾接待过某接待站在某一周曾接待过 12 次来访，已知所次来访，已知所有这有这 12 次接待都是在周二和周四进行的。问是否可次接待都是在周二和周四进行的。问是否可以推断接待时间是有规定的？以推断接待时间是有规定的？解解：假设接待站的接待时间没有规定，各来访者在：假设接待站的接待时间没有规定，各来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的，那么，一周的任一天中去接待站是等可能的，那么，12 次接待来访者都在周二、周四的概率为次接待来访者

33、都在周二、周四的概率为:212/712=0.0000003，即千万分之三。，即千万分之三。人们在长期的实践中总结得到人们在长期的实践中总结得到“概率很小的事件在一次实概率很小的事件在一次实验中几乎是不发生的验中几乎是不发生的”（称之为实际推断原理称之为实际推断原理）。）。现在概率很小的事件在一次实验中竟然发生了，从而推断现在概率很小的事件在一次实验中竟然发生了，从而推断接待站不是每天都接待来访者，即认为其接待时间是有规接待站不是每天都接待来访者，即认为其接待时间是有规定的。定的。几何概型考虑的是有几何概型考虑的是有无穷多个无穷多个、等可能等可能结果结果的随机试验。的随机试验。四、几何概型四、几

34、何概型首先看下面的例子首先看下面的例子:会面问题会面问题 例例1 甲、乙两人相约在甲、乙两人相约在 0 到到 T 这段时间内这段时间内,在预定在预定地点会面地点会面.先到的人等候另一个人先到的人等候另一个人,经过时间经过时间 t (tT)后离去后离去.设每人在设每人在0 到到T 这段时间内各时刻到这段时间内各时刻到 达该地是等可能的达该地是等可能的,且两人到达的时刻互不牵连且两人到达的时刻互不牵连.求甲、乙两人能会面的概率求甲、乙两人能会面的概率.解解 的的时时分分别别为为甲甲、乙乙两两人人到到达达设设yx,刻刻,那么那么 .0,0TyTx 两人会两人会 面的充要条件面的充要条件 .tyx 若

35、以若以 x,y 表示平面上点的坐标表示平面上点的坐标,则则 xoytxy tyx t T T故所求的概率为故所求的概率为 p 正正方方形形面面积积阴阴影影部部分分面面积积 222)(TtTT .)1(12Tt 一般，设某个区域一般，设某个区域 D(线段，平面区域，空线段，平面区域，空间区域），间区域），具有测具有测 度度 mD(长度，面积，体积长度，面积，体积)。如果随机实验如果随机实验 E 相当于向区域内任意地取点，相当于向区域内任意地取点，且取到每一点都是等可能的，则称此类试验为且取到每一点都是等可能的，则称此类试验为 几何概型几何概型。如果试验如果试验 E 是向区域内任意取点，事件是向区

36、域内任意取点，事件 A 对应于点落在对应于点落在 D 内的某区域内的某区域 A，则则.)(DAmmAP C1.3 条件概率条件概率 独立性独立性B一一、条件概率条件概率B二二、乘法定理乘法定理B三三、全概率公式和贝叶斯公式全概率公式和贝叶斯公式 B四四、独立性独立性一、条件概率一、条件概率 .,为反面为反面为正面为正面设设TH例例1 将一枚硬币抛掷两次将一枚硬币抛掷两次,观察其出现正反面的情况观察其出现正反面的情况.,”“HA至至少少有有一一次次为为为为设设事事件件两两为为设设事事件件“B次掷出同一面次掷出同一面”.发发生生的的概概率率发发生生的的条条件件下下现现求求已已知知事事件件BA分析分

37、析 .,TTTHHTHHS ，2142)(BP,TTHHBTHHTHHA ,43)(AP)(ABP,41 将事件将事件A 已经发生的条件下事件已经发生的条件下事件B 发生的概率发生的概率记为记为 ,)(ABP31)(ABP.)(BP)()(APABP)()()(BPABPBAP 同理可得同理可得 为事件为事件 B 发生的条件下事件发生的条件下事件 A 发生的条件概率发生的条件概率.定义定义 ,是是两两个个事事件件设设BA,0)(AP且且称称 )(ABP)()(APABP.发发生生的的条条件件概概率率发发生生条条件件下下事事件件为为在在事事件件BA,)B(0P当当条件概率的性质：条件概率的性质：

38、01 ABPB，有，有非负性：对任意事件非负性：对任意事件 ；规范性：规范性：12 ASP 11213nnnnnABPABPBBB则则两两互互不不相相容容，两两，事事件件可可列列可可加加性性：如如果果随随机机例例2 一个盒子装有一个盒子装有4只产品只产品,其中有其中有3只一等品只一等品,二等品二等品.从中取产品两次从中取产品两次,每次任取一只每次任取一只,作不放作不放回抽样回抽样.,”“第第一一次次取取到到的的是是一一等等品品为为设设事事件件 A,”“第第二二次次取取到到的的是是一一等等品品为为事事件件B试求条件概试求条件概 .)(ABP率率解解 此为古典概型问题此为古典概型问题.先将产品编号

39、先将产品编号,1,2,3号为号为一等品一等品;4号为二等品号为二等品.,),(表表示示第第一一次次以以ji,号号分分别别取取到到第第 i第二次第二次 .号产品号产品第第j1 1只只的的样样本本空空间间为为：试试验验ES),2,1(),3,1(),4,1(),1,2(),3,2(),4,2(,),1,4(),2,4(,)3,4(A),2,1(),3,1(),4,1(),1,2(),3,2(),4,2(),1,3(),2,3(,)4,3(AB),2,1(),3,1(),1,2(),3,2(),1,3(.)2,3(由定义由定义,得条件概率得条件概率 )(ABP)()(APABP 129126.32.

40、)(ABP接接含含义义求求也也可可按按照照条条件件概概率率的的直直.A就就是是,9个个元元素素中中有有A),1,2(),3,1(),2,1(其其中中只只有有,)2,3(),1,3(),3,2(B属属于于故可得故可得 )(ABP96.32,发发生生以以后后当当事事件件 A所所有有可可能能的的结结果果的的集集合合试试验验E二、乘法定理二、乘法定理 乘法定理乘法定理 ,0)(AP设设则有则有)(ABP).()(APABP推广推广 ,为为事事件件设设CBA,0)(ABP且且则有则有 )(ABCP)(ABCP)(ABP.)(AP一般一般,21个个事事件件为为设设nAAAn,2 n且且 ,0)(121 n

41、AAAP则有则有 )(21nAAAP)(121 nnAAAAP)(2211 nnAAAAP)(12AAP).(1AP例例3 ,只只红红球球设设袋袋中中装装有有 r.只只白白球球t每次自袋中任每次自袋中任取一只球取一只球,观察其颜色然后放回观察其颜色然后放回,只只与与所所并并再再放放入入a取出的那只球同色的球取出的那只球同色的球.若在袋中连续取球四次若在袋中连续取球四次,试求第一试求第一、二次取到红球且第三二次取到红球且第三、四次取到白球的概率四次取到白球的概率.解解 ,“)4,3,2,1(次取到红球次取到红球第第表示事件表示事件以以iiAi.,43四次取到白球四次取到白球分别表示第三分别表示第

42、三则则AA所求概率为所求概率为 )(4321AAAAP)(3214AAAAP)(213AAAP)(12AAP)(1AP atrat3 atrt2 atrar .trr 波波利利亚亚传传染染病病数数学学模模型型例例3 袋中有一个白球与一个黑球，现每次从中取出袋中有一个白球与一个黑球，现每次从中取出一球，若取出白球，则除把白球放回外再加进一一球，若取出白球，则除把白球放回外再加进一个白球，直至取出黑球为止求取了个白球，直至取出黑球为止求取了n次都未取出次都未取出黑球的概率黑球的概率 次都未取出黑球次都未取出黑球取了取了设设nB niiAi，次取出白球次取出白球第第21 则则nAAAB21 由乘法公

43、式，我们有由乘法公式，我们有解：解：nAAAPBP21 121213121 nnAAAAPAAAPAAPAP1433221 nn11 n例例 4 设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打破的概率为破的概率为 1/21/2 ，若第一次落下未打破，第二次落，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率为下打破的概率为 7/107/10,若前两次落下未打破，第三若前两次落下未打破，第三次落下打破的概率为次落下打破的概率为 9/109/10 。求透镜落下三次而未打。求透镜落下三次而未打破的概率。破的概率。)()|()|()()(112213321APAAPAAAPA

44、AAPBP 解：解：以以 Ai(i=1,2,3)表示事件表示事件“透镜第透镜第 i 次落下打破次落下打破”，以以 B 表示事件表示事件“透镜落下三次而未打破透镜落下三次而未打破”，有：，有：.)()(200321110711091 1.样本空间的划分样本空间的划分 1B2B3B1 nBnB三、全概率公式与贝叶斯公式三、全概率公式与贝叶斯公式 定义定义 ,的的样样本本空空间间为为试试验验设设ES为为nBBB,21,的的一一组组事事件件E若若 ;,2,1,)i(njijiBBji ,)ii(21SBBBn.,21的一个划分的一个划分为样本空间为样本空间则称则称SBBBn定理定理 ,SE的的样样本本

45、空空间间为为设设试试验验,的事件的事件为为EA,21的的一一个个划划分分为为SBBBn,2,1(0)(iBPi且且),n则则 )(AP)()(11BPBAP)()(22BPBAP )()(nnBPBAP 称为称为全概率公式全概率公式.2.全概率公式全概率公式 ,),2,1(0)(niBPi 由由假假设设,)(jiABAB且且,ji ,2,1,nji 得到得到 )(AP)(1ABP)(2ABP )(nABP )()(11BPBAP)()(22BPBAP ).()(nnBPBAP 证证 因为因为 A AS)(21nBBBA,21nABABAB说明说明 全概率公式的主要用处在于它可以将一个全概率公式

46、的主要用处在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题复杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单事分解为若干个简单事件的概率计算问题件的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最后应用概率的可加性求出最终结果最终结果.图示图示 A1B2B3B1 nBnB化整为零各个击破化整为零各个击破 例例5 有一批同一型号的产品，有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生已知其中由一厂生产的占产的占 30%，二厂生产的占二厂生产的占 50%，三厂生产的占三厂生产的占 20%，又知这三个厂的产品次品率分别为又知这三个厂的产品次品率分别为2%,1%,1%,问从这批产品中任取一件是次品的概率是多问从这批产品中任取一件是次品的概

47、率是多少少?解解 设事件设事件 A 为为“任取一件为次任取一件为次品品”,.3,2,1,”“iiBi厂厂的的产产品品任任取取一一件件为为为为事事件件321BBB,S jiBB.3,2,1,ji,S30%20%50%2%1%1%由全概率公式得由全概率公式得 .)()()()()()(332211BPBAPBPBAPBPBAP )(AP,3.0)(1 BP,5.0)(2 BP,2.0)(3 BP,02.0)(1 BAP,01.0)(2 BAP,01.0)(3 BAP)()()()()()()(332211BPBAPBPBAPBPBAPAP 故故2.001.05.001.03.002.0 .013.

48、0定理定理 .SE的的样样本本空空间间为为设设试试验验,的的事事件件为为EA,21的的一一个个划划分分为为SBBBn,0)(AP且且0)(iBP,),2,1(ni 则则 )(ABPi,)()()()(1 njjjiiBPBAPBPBAP.,2,1ni 此式称为此式称为贝叶斯公式贝叶斯公式.3.贝叶斯公式贝叶斯公式 )(ABPi)()(APABPi,)()()()(1 njjjiiBPBAPBPBAP.,2,1ni,2 n若若在在公公式式中中取取,1BB 记记为为并并将将,2BB 就就是是则则那么那么,全概率公式和贝叶斯公式变为全概率公式和贝叶斯公式变为 )(AP)()(BPBAP,)()(BP

49、BAP)(ABP)()(APABP.)()()()()()(BPBAPBPBAPBPBAP 证证 由条件概率的定义及全概率公式得由条件概率的定义及全概率公式得 例例6 某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件 制造厂提供的制造厂提供的.根据以往的记录有以下的数据根据以往的记录有以下的数据 元件制造厂元件制造厂次品率次品率提供元件的份额提供元件的份额1230.020.010.030.150.800.05设这三家工厂的产品在仓库是均匀混合的设这三家工厂的产品在仓库是均匀混合的,且无区且无区 别的标志别的标志.(1)在仓库中随机地取一只元件在仓库中随机地取一只元件

50、,求它是求它是 次品的概率次品的概率;(2)在仓库中随机地取一只元件在仓库中随机地取一只元件,若已若已 知取到的是次品知取到的是次品,为分析此次品出自何厂为分析此次品出自何厂,需求出需求出 此次品由三家工厂生产的概率分别是多少此次品由三家工厂生产的概率分别是多少.试求这试求这 些概率些概率.解解 ,“取取到到的的是是一一只只次次品品”表表示示设设 A)3,2,1(iBi.家家工工厂厂提提供供的的”“所所取取到到的的产产品品是是由由第第表表示示i,321的一个划分的一个划分是样本空间是样本空间 SBBB而且有而且有 易知易知,15.0)(1 BP,80.0)(2 BP,05.0)(3 BP,02

51、.0)(1 BAP,01.0)(2 BAP.03.0)(3 BAP(1)由全概率公式由全概率公式 )(AP)()(11BPBAP)()(22BPBAP)()(33BPBAP .0125.0(2)由贝叶斯公式由贝叶斯公式 )(1ABP)()()(11APBPBAP 0125.015.002.0 .24.0)(2ABP,64.0)(3ABP.12.0 以上结果表明以上结果表明,这只次品来自第这只次品来自第2家工厂的可能性家工厂的可能性 最大最大.例例7 对以往数据分析结果表明对以往数据分析结果表明,当机器调整良好时当机器调整良好时,产品的合格率为产品的合格率为98%,而当机器发生某种故障时而当机器

52、发生某种故障时,其合格率为其合格率为55%.每天早上机器开动时每天早上机器开动时,机器调整机器调整良好的概率为良好的概率为95%.试求已知某日早上第一件产品试求已知某日早上第一件产品是合格品时是合格品时,机器调整良好的概率是多少机器调整良好的概率是多少?解解 ,“产品合格”“产品合格”为事件为事件设设 A“机机器器调调为为事事件件B整良好整良好”.,98.0)(BAP,55.0)(BAP已知已知 ,95.0)(BP,05.0)(BP.)(ABP所求的概率为所求的概率为 由贝叶斯公式由贝叶斯公式 )(ABP)()()()()()(BPBAPBPBAPBPBAP 05.055.095.098.09

53、5.098.0 .97.0这就是说这就是说,当生产出的第一件产品是合格品时当生产出的第一件产品是合格品时,此此 时机器调整良好的概率为时机器调整良好的概率为0.97.上题中概率上题中概率 0.95 是由以往的数据分析得到的是由以往的数据分析得到的,叫做叫做先验概率先验概率.而在得到信息之后再重新加以修正的概率而在得到信息之后再重新加以修正的概率 0.97叫做叫做后验概率后验概率.先验概率与后验概率先验概率与后验概率 例例8 根据以往的临床记录根据以往的临床记录,某种诊断癌症的试验具某种诊断癌症的试验具有如下效果有如下效果:,”“试试验验反反应应为为阳阳性性表表示示若若以以A,”“被被诊诊断断者

54、者患患有有癌癌症症表表示示事事件件C)(CAP则有则有,95.0.95.0)(CAP现在对自然人群进行普查现在对自然人群进行普查,设被试验的人患有癌症的概率为设被试验的人患有癌症的概率为0.005,)(CP也就是也就是,005.0.)(ACP试求试求解解 ,95.0)(CAP已已知知)(CAP)(1CAP ,05.0,005.0)(CP,995.0)(CP 由贝叶斯公式由贝叶斯公式 以以)(ACP)()()()()()(CPCAPCPCAPCPCAP .087.0本题结果表明本题结果表明,95.0)(CAP虽虽然然,95.0)(CAP这两个概率都比较高这两个概率都比较高.但若将此试验用于普查但

55、若将此试验用于普查,则有则有 ,087.0)(ACP亦即正确性只有亦即正确性只有8.7%.如果不注意如果不注意 这一点这一点,将会得出错误的诊断将会得出错误的诊断.四、事件的相互独立性四、事件的相互独立性 则有则有,)()(BPABP.发生的可能性大小发生的可能性大小的发生并不影响的发生并不影响它表示它表示BA)()(BPABP)()()(BPAPABP 1.引例引例 袋中有袋中有 a 只黑球，只黑球，b 只白球每次从中取出一球，只白球每次从中取出一球，取后放回取后放回令：令：A=第一次取出白球第一次取出白球，B=第二次第二次取出白球取出白球，,babAP ,222baabBAPbabABP

56、由由BAABB BAPABPBP 得：得：babbaabbab 222 APABPABP bab 取后放回取后放回这表明，事件这表明，事件 A 是否发生对事件是否发生对事件 B 是否发生在是否发生在概率上是没有影响的，即事件概率上是没有影响的，即事件 A 与与 B 呈现出某呈现出某种独立性事实上，由于是有放回摸球，因此在种独立性事实上，由于是有放回摸球，因此在第二次取球时，袋中球的总数未变，并且袋中的第二次取球时，袋中球的总数未变，并且袋中的黑球与白球的比例也未变，这样，在第二次摸出黑球与白球的比例也未变，这样，在第二次摸出白球的概率自然也未改变白球的概率自然也未改变 BPABP 袋中有袋中有

57、 a 只黑球，只黑球，b 只白球每次从中取出一球，只白球每次从中取出一球，取后不放回取后不放回令：令：A=第一次取出白球第一次取出白球，B=第二次取出白球第二次取出白球，则，则 babAP 111 babaabBAPbababbABP BAPABPBP 得得：111 babaabbababbbab APABPABP 而，而，11 bab BPABP这表明，事件这表明，事件 A 与事件与事件 B 不相互独立事实上，不相互独立事实上，由于是不放回摸球，因此在第二次取球时，袋中由于是不放回摸球，因此在第二次取球时，袋中球的总数变化了，并且袋中的黑球与白球的比例球的总数变化了，并且袋中的黑球与白球的比

58、例也发生变化了，这样，在第二次摸出白球的概率也发生变化了，这样，在第二次摸出白球的概率自然也应发生变化或者说，第一次的摸球结果自然也应发生变化或者说，第一次的摸球结果对第二次摸球肯定是有影响的对第二次摸球肯定是有影响的由此，我们引出事件独立性的概念由此，我们引出事件独立性的概念 事件事件 A 与与 事件事件 B 相互独立相互独立,说明说明 2.定义定义 ,是两事件是两事件设设BA)(ABP,相相互互独独立立则则称称事事件件BA如果满足等式如果满足等式 )()(BPAP.,独独立立简简称称BA容易知道容易知道,0)(AP若若,0)(BP相相互互则则BA,.,互互不不相相容容不不能能同同时时成成立

59、立独独立立与与BA与事件与事件 B 发生的概率无关发生的概率无关.是指事件是指事件 A 的发生的发生事件独立性的性质：事件独立性的性质：1）如果事件）如果事件A 与与 B 相互独立，而且相互独立，而且 0AP BPABP 则则2）必然事件）必然事件S与任意随机事件与任意随机事件A相互独立；相互独立；不可能事件不可能事件与任意随机事件与任意随机事件A相互独立相互独立3)若随机事件若随机事件 A 与与 B 相互独立，则相互独立，则BABABA与与、与与、与与也相互独立也相互独立.证：为方便起见，只证证：为方便起见，只证BA 与相互独立即可相互独立即可由于由于ABBPBAP，由由概概率率的的可可减减

60、性性，得得注注意意到到BAB ABPBPBAP 的独立性与事件BABPAPBP BPAP 1 BPAP相互独立相互独立与与所以，事件所以，事件BA注意：注意：在实际应用中，对于事件的独立性，我在实际应用中，对于事件的独立性，我们往往不是根据定义来判断，而是根据实际意们往往不是根据定义来判断，而是根据实际意义来加以判断的。具体的说，题目一般把独立义来加以判断的。具体的说，题目一般把独立性作为条件告诉我们，要求直接应用定义中的性作为条件告诉我们，要求直接应用定义中的公式进行计算。公式进行计算。两事件相互独立两事件相互独立 )()()(BPAPABP 两事件互斥两事件互斥 ABA,21)(,21)(

61、BPAP若若.)()()(BPAPABP 则则例如例如 由此可见由此可见两事件两事件相互独立，相互独立，但两事件但两事件不互斥不互斥.两事件相互独立与两事件互斥的关系两事件相互独立与两事件互斥的关系.请同学们思考请同学们思考 二者之间没二者之间没有必然联系有必然联系 BABAB21)(,21)(BPAP若若.)()()(BPAPABP 故故由此可见由此可见两事件两事件互斥互斥但但不独立不独立.,0)(ABP则则,41)()(BPAP结论结论:设事件设事件 A 与与 B 满足：满足：若事件若事件 A 与与 B 相互独立，则相互独立，则 AB；若；若 AB=，则则事件事件 A 与与 B 不相互独立

62、不相互独立.0 BPAP证：证：相相互互独独立立，故故与与由由于于事事件件BA 0 BPAPABP AB所所以以，若若AB=，所以，所以 0 PABP但是，由题设但是，由题设 0 BPAP BPAPABP 所所以以，这表明，事件这表明，事件 A 与与 B 不相互独立不相互独立说明说明:互不相容与相互独立不能同时成立。互不相容与相互独立不能同时成立。注意注意 三个事件相互独立三个事件相互独立 三个事件两两相互独立三个事件两两相互独立 3.三事件相互独立的概念三事件相互独立的概念 定义定义,是三个事件是三个事件设设CBA如果满足不等式如果满足不等式 ABP BPAP BCP CPBP ACP CP

63、AP ABCP CPBPAP .,相互独立相互独立则称事件则称事件CBA,)()()()(2121kkiiiiiiAPAPAPAAAP.,21为为相相互互独独立立的的事事件件则则称称nAAAn 个事件相互独立个事件相互独立n个事件两两相互独立个事件两两相互独立具有等式具有等式任意任意如果对于任意如果对于任意个事件个事件是是设设,1,)1(,2121niiinkknAAAkn 推广推广 证明证明 )()()(APABPABP)()()()(BPAPBPAP .)()(BPABP 几个重要定理几个重要定理 定理一定理一,是两事件是两事件设设BA,0)(AP且且BA,若若相互独立相互独立,.)()(

64、BPABP 则则反之亦然反之亦然.定理二定理二,相相互互独独立立与与若若事事件件BA则下列各对事则下列各对事 件也相互独立件也相互独立.,BA与与,BA与与.BA与与证证 因为因为 A)(BBA BAAB 于是于是 )(AP)(BAABP)()(BAPABP )()(BPAP)(BAP)(BAP)(1)(BPAP )()(BPAP.相相互互独独立立与与因因此此BA.独独立立与与由由此此可可立立即即推推出出BA,BB 再由再由.相相互互独独立立与与又又推推出出BA两个推论两个推论 1。,)2(,21相相互互独独立立若若事事件件 nAAAn1A则将则将们各自的对立事们各自的对立事中任意多个事件换成

65、它中任意多个事件换成它nAA,2件件,.个个事事件件仍仍相相互互独独立立所所得得的的 n2。.)2(个个事事件件也也是是相相互互独独立立其其中中任任意意nkk ,)2(,21相互独立相互独立若事件若事件 nAAAn则则 例例1 ,“乙乙两两枚枚硬硬币币抛抛甲甲为为设设试试验验 E观察正反面观察正反面 出现的情况出现的情况”.,”“HA甲甲币币出出现现为为设设事事件件B事件事件.”“H乙乙币币出出现现为为的的样样本本空空间间为为ES.,TTTHHTHH)(AP 42,21)(BP 42,21)(ABP,21)(ABP.41,)()(BPABP 所所以以)(ABP)()(BPAP 由题意由题意,甲

66、币是否出现正面与乙币是否出现甲币是否出现正面与乙币是否出现 正面是互不影响的正面是互不影响的.例例2 一个元件一个元件(或系统或系统)能正常工作的概率称为元件能正常工作的概率称为元件 (或系统或系统)的可靠性的可靠性.如下图如下图,设有设有4个独立工作的元个独立工作的元 件件1,2,3,4按先串联再并联的方式联接按先串联再并联的方式联接.个元件个元件设第设第i),4,3,2,1(ipi的的可可靠靠性性为为试求系统的可靠性试求系统的可靠性.1234故有故有 A21AA.43AA 由事件的独立性由事件的独立性,得系统的可靠性得系统的可靠性 )(AP)(21AAP)(43AAP)(4321AAAAP )()(21APAP)()(43APAP)()()()(4321APAPAPAP 21pp43pp.4321pppp 解解 个元件正常工个元件正常工第第表示事件表示事件以以iiAi“)4,3,2,1(作作”,.”“系系统统正正常常工工作作表表示示事事件件以以 A系统由两条线路系统由两条线路I和和II组成组成.当且仅当至少有一当且仅当至少有一 条线路中两个元件均正常工作时条线路中两个元件均正常工作