分段函数专题练习.ppt

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1、 1、了解分数函数的定义； 2、学会求分段函数 定义域 、 解析式 、 值域 ； 3、学会运用 函数图象 来研究分段函数； 4、学会判定分段函数的奇偶性、单调性； 学 习 目 标： 一、分段函数的定义 ： 在函数定义域内，对于自变量 x的不同取值 范围，有着不同的对应法则，这样的函数叫做 分段 函数 ； 1 ( 0 ) ( 0 ) | 1 ( 0 ) ( 0 ) ( , ) x x x y y x x x x 例 如 ， ， 是 定 义 在 的 分 段 函 数 ； 2 2 4 ( 1 ) ( , 1 ) 1 , ) 4 ( 1 ) x x xy x x x 是 定 义 在 上 的 分 段 函

2、数 ； 试 着 画 出 它 们 的 图 像 ( 0 )| ( 0 ) xxyx xx 0, ) 定义域： 值 域： R 图 像： 2 2 4 ( 1 ) 4 ( 1 ) x x x y x x x ( , 1 ) 1 , ) 定义域： 值 域： R 图 像： 2、分段函数定义域： 各段 自变量取值范围的的 并 集，其值域是 各段 函数值取值范围的 并 集 ; 3、分段函数图象 依据自变量的不同取值范围， 分段 画出函数的图象 . 1、分段函数是 一个函数 ，不要把它误认为是几 个函数；书写时用 花括号 把各段函数写在一 起，并注明各段函数的自变量 x的取值范围。 注意： 你能自己构造一个分段函

3、数吗？ 2 3 , 0 1 ( ) 4 , 2 5 , 2 xx f x x x xx 判 断 是 函 数 吗 ？ 为 什 么 ？ (0 , 1 x 不 是 函 数 ， 因 为 当 时 ， 对 应 两 个 表 达 式 . 构 造 分 段 函 数 ， 解 析 式 自 由 ， 但 区 间 不 能 有 重 复 。 二、求值、与解不等式 ： 2 2 ( 0 2 ) 33( ) ( ) , ( ( ) ) . ( 2 ) 22 xxy f x f f f xx 已 知 求 例 1： 3 2 37 ( ) ( 2 , ) , 22 3 49 ( ( ) ) 24 f ff 答 案 ： 0,2, 所 以 带

4、 入 第 一 个 解 析 式 得 ， 再 带 入 第 二 个 解 析 式 得 ， 2 5 ( 5 ) () ( 2) ( 5 ) ( 8 ) ( ) . x x x y f x f x x f 已 知 ， 则 例 2： 76 5 , ( ) ( 2 )x f x f x 注 意 ： 当 时 用 途 ！ , ( )x R f x 有 了 这 个 式 子 ， 都 能 算 出 值 ， 不 求 出 数 值 ， 誓 不 罢 休 ！ 求分段函数的值， 要先弄清自变量所在 区间，然后代入对应的解析式求值， “ 由内到外 ”逐一求值 。 小结： ( ) 3fx 2 2( 1 ) ( ) ( 1 2) 2 (

5、2) xx f x x x xx 在函数 中，若 则 x的值为 。 3 例 3： 1,x 解 ： 若 2,x 若 3x 综 上 ， 2 3 , 1xx 则 有 得 （ 舍 ） 2 3 3 3x x x 则 ， 得 或 （ 舍 ） 32 3 , . 2xx则 （ 舍 ） 1 2 ,x 若 已知分段函数的函数值，求对应自变 量的值， 采取 分类的方法 ，利用已知分段函 数，把 所求等式化为分段的几个等式，然 后取解的并集。 小 结： “ 分类 ”是为了确定解析式！ 1 00 2 2 1 , 0 ( ) , ( ) 1 , ( ) ,0 x x f x f x x xx 若 则 的 取 值 范 围

6、( , 1 ) (1 , ) 例 4： 0 0,x 解 ： 若 1 2 0 0 00 , 1 1 ( , 1 ) ( 1 , ) x x x 若 则 ， 得 综 上 ， 0 02 1 1 , 1x x 则 1 , 0 () 1 , 0 ( 1 ) ( 1 ) 1 xx fx xx x x f x 设 函 数 ， 则 不 等 式 的 解 集 为 ()( , 2 1 例 5： 1 0 ( 1 ) 2x f x x 解 ： (1) 若 ， 则 ， 1 0 , ( 1 ) ( 2 ) 1 , x x x x 1 0 ( 1 ) ( 1 ) 1 1 0 , 1 2 1 , ( 1 ) 1 , ( , 2

7、 1 x f x x x x x x x x x x (2) 若 ， 则 ， 原 不 等 式 化 为 ： ， 所 以 有 解 得 ， 综 上 ， ( 1 ) ( 2 ) 1x x x 原 不 等 式 化 为 ： ， 所 以 有 1,x 解 得 ， 已知分段函数的取值范围，求对应自变量的 范围， 采取 分类的方法 ，利用已知分段函数， 把 所求不等式化为分段的几个不等式，然 后取不等式解集的并集。 小 结： 三、解析式 ： 2( ) 2 2 , , 1 ( ) () f x x x x t t g t gt 设 函 数 的 最 小 值 为 ， 求 的 解 析 式 。 例 1： 2 2 2 2 2

8、 ( ) ( 1 ) 1 , 1 1 1 , 0 , ( ) , 1 ( ) ( 1 ) 1 1 1 , 0 1 , ( ) , 1 ( ) ( 1 ) 1 1 , ( ) , 1 ( ) ( ) 2 2 1 , 0 , ( ) 1 , 0 1 , 2 2 , 1 f x x x t t f x t t g t f t t t t t f x t t g t f t f x t t g t f t t t tt g t t t t t 解 ： 对 称 轴 为 直 线 ， 当 时 即 是 的 减 函 数 ， 当 即 在 不 单 调 ， 当 是 的 增 函 数 ， 综 上 ， 闭 区 间 上 二

9、次 函 数 的 值 域 ， 一 定 要 讨 论 对 称 轴 与 闭 区 间 的 关 系 ！ 1 2 ( ) 0 ( ) l o g () f x x f x x x fx 已 知 函 数 是 偶 函 数 ， 当 时 ， 有 ， 求 的 解 析 式 。 例 3： 0,x 解 ： 设 x 求 那 个 区 间 的 解 析 式 ， 就 把 设 在 那 个 区 间 上 。 1 2 1 2 1 2 () ( ) ( ) l og ( ) , l og ( ) , 0 , () l og ( ) , 0 , fx f x f x x x x x x fx x x x 是 偶 函 数 ， 综 上 ， 1 2

10、0 , ( ) l o g ( ) ,x f x x x 则 例 4： 某同学从甲地以每小时 6千米的速度步行 2小 时到达乙地，在乙地耽搁 1小时后，又以每小时 4千 米的速度步行返回甲地。写出该同学在上述过程中 ，离甲地的距离 S(千米 )和时间 t(小时 )的函数关系式 ，并作出函数图象 . 12 6 , 0 2 , 1 2 , 2 3 , 2 4 4 , 3 6 , tt St tt 解 ： 甲 乙 两 地 相 距 千 米 ， 由 题 意 得 ， 分段函数的求法： 分别求出定义域内各段 对应的解析式，再 组合 在一起，要注意各 区间的点要“ 不重不漏 ” 小 结： 四、值域 ： 2 3

11、 , 0 3 , 0 1 5 , 1 xx y x x xx 已 知 ， 求 它 的 最 大 值 。例 1： 0 , 3 , 0 1 , 3 4 , 1 , 4 4 xy xy xy 解 ： 当 时 当 时 当 时 ， 综 上 ， 最 大 值 为 2( ) | 2 | 1 ( )f x x x f x 已 知 ， 求 的 值 域 。例 2： 2 2 3 , 2 ,() 1 , 2 , x x xfx x x x 解 ： 去 绝 对 值 得 ， 2 , ( ) 3 , 3 2 , ( ) , 4 3 4 x f x x f x 当 时 当 时 综 上 ， 值 域 为 ,+ ) 求 值 域 ， 含

12、 绝 对 值 的 ， 要 先 去 掉 绝 对 值 ！ (选 做 ) m in , , , , ( ) m in 2 , 2 , 10 ( )x a b c a b c f x x x f x 若 表 示 三 个 数 中 的 最 小 值 ， 设 ， 则 最 大 值 为 () 例 3： 6 由 图 像 可 知 (选 做 ) 求分段函数的最值： 先分别求出每个区间上的最值，然后通过 比较取其中最大 (最小 ) 数形结合法作出函数的图象，观察即得。 小 结： 四、奇偶性 ： ( 1 ) 1 1y x x ( 2 ) 1 1y x x 例 1： 判 断 下 列 函 数 的 奇 偶 性 ： ( 3 ) |

13、 |y x x , ( ) | 1 | | 1 | | ( 1 ) | | ( 1 ) | | 1 | | 1 | ( ) () R f x x x xx x x f x fx 解 ： 定 义 域 ： 故 ， 为 偶 函 数 。 绝 对 值 函 数 判 断 奇 、 偶 性 时 ， 一 般 不 需 要 把 绝 对 值 号 打 开 ； 求 最 值 时 ， 要 把 绝 对 值 号 打 开 。 奇 奇 2 , 1 , ( ) 0 , | | 1 , 2 , 1 xx f x x xx 判 断 的 奇 偶 性 。 R解 ： 定 义 域 为 ： ； 例 2： 奇 偶 性 ， 分 段 函 数 、 分 段 判

14、 断 ！ 1 , ( ) 2 , 1 , ( ) 2 ( ) x f x x x f x x f x 当 时 | | 1 , ( ) ( ) 0 x f x f x 当 时 1 , ( ) 2 , 1 , ( ) 2 ( ) , x f x x x f x x f x 当 时 R ( ) ( ) () x f x f x f x R 综 上 ， 对 任 意 的 ， 都 有 ， 故 ， 是 上 的 偶 函 数 。 五、单调性 ： 2 2 2 4 , 0 ( ) ( 2 ) ( ) 4 , 0 x x x f x f a f a x x x a 设 函 数 ， 若 ， 则 的 取 值 范 围 是

15、() 例 1： ( 2,1) 解 ： 由 图 象 知 ， ()f x R是 上 的 增 函 数 。 2 2 ( 2 ) ( ) , 2, 21 f a f a aa a 解 得 ， (都选 做 ) 例 2： 1( 3 ) , 1( ) , ( ) ( , )2 l og , 1a a x a x f x f x xx a 设 函 数 且 是 上 的 增 函 数 ， 求 的 取 值 范 围 。 ( ) ,f x R解 ： 在 上 是 增 函 数 则 各 段 的 解 析 式 也 为 增 ， 1,x 且 在 区 间 的 分 界 点 上 有 1( 3 ) 1 l og 1 0 , 2 aaa 3 0

16、, 1, 1 ( 3 ) 1 0 2 23 a a aa a 从 而 ， 解 得 ： 六、分段函数与绝对值 ： 1 2 3 3y x x x 作 出 , 的 图 像 并 求 值 域 。 例 1： 零点分段法 1 , 2分 析 ： 绝 对 值 中 式 子 的 零 点 为 ： 。 ( 3 , 2 , ( 2 , 1 , ( 1 , 3 ) . 这 两 个 零 点 把 定 义 域 分 成 三 段 ： 3 2 , 1 0 , 2 0 , 1 2 2 1x x x y x x x 当 时 有 从 而 ， 2 1 , 1 0 , 2 0 , 1 2 3 1 3 , 1 0 , 2 0 , 1 2 2 1

17、x x x y x x x x x y x x x 当 时 有 从 而 ， 当 时 有 从 而 ， 2 1 , 3 2 , 3 , 2 1 , 2 1 , 1 3 , xx yx xx 综 上 ， 2 2 | | 3y x x 设 函 数 ， (1) 求 函 数 的 解 析 式 ; (2) 求 函 数 的 单 调 递 增 区 间 、 值 域 。 例 2： 图 像 ( ) | 2 1 | | 4 | ( 1 ) ( ) ( 2 ) ( ) 2 f x x x f x f x 设 函 数 ， 求 的 最 小 值 ； 求 不 等 式 的 解 集 。 m in 19 ( 1 ) , 22 5 ( 2)

18、 ( , 7 ) ( , ) 3 xf 例 3： (选 做 ) 2 1 ( ) , 4 , ( ) ( ) , ( l o g 3 )2 ( 1 ) , 4 , x x f x f x f f x x 设 函 数 满 足 则 () 练习 1: 1 24 (练习题都“选 做” ) 2l o g ( 4 ) , 0 ,R ( ) ( ) , ( 1 ) ( 2 ) , 0 , ( 3 ) xx f x f x f x f x x f 定 义 在 上 的 函 数 满 足 则 () 练习 2: 2 练习 3: 1 , 0 , () 1 , 0 , ( 2) ( 2) 5 x fx x x x f x

19、已 知 函 数 求 不 等 式 的 解 集 。 3( , 2 2 , 0 , ( ) , ( 4) ( 0) , ( 2) 2 2 , 0 , () x bx c x f x f f f x x f x x 设 函 数 若 ， 则 关 于 的 方 程 的 解 的 个 数 为 () 练习 4： 3 2 3 ( ) 0 ( ) 4 ( ) f x R x f x x x f x 已 知 函 数 是 定 义 在 上 的 奇 函 数 ， 当 时 ， 有 ， 求 的 解 析 式 。 练习 5： 2 3 2 3 4 , 0 , ( ) 0 , 0 , 4 , 0 , x x x f x x x x x 2 ( ) 1 1 ( ) ( 1 ) 1 1 ( ) f x x x f x x x f x 设 函 数 的 图 像 关 于 直 线 对 称 ， 当 时 ， 则 当 时 ， () 2( 3 ) 1x 练习 6： , | 1 | | 1 |, , x x y x y m m m m y x y 设 若 则 的 取 值 范 围 是 () 1 2m 练习 7： 2( ) 1 2 2 2 , 2 , 2 ( ) () f x a a x x x g a ga 设 函 数 的 最 小 值 为 ， 求 的 解 析 式 。 练习 8：