可分离变量的微分方程SeparableDifferentialEquation

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1、2 可分离变量的微分方程(Separable Differential Equation)dxxfdyyg)()(Separable Equation.dye gx ydx425.2,2254dxxdyy We integrate both sides：dxxfdyyg)()(CxFyG )()(is the general solution of the differential equation.Let G yg yF xf x()(),()(),thenEg.1 Solve the differential equation yx yx2d3.d Sol.Turn it asyxxy2d

2、3d,integrate both sidesxxyyd3d2get13lnCxyCxylnln3i.e.13eCxy31eexC3exCy 1eCC令(C is an arbitrary constant)or(Note that the function y=0 is also a solution)Eg.2 Find the solution of the initial-value problem0d)1(d2yxxyxSol.Turn it asyxxyx2dd,1 integrate both sides,we haveCxyln11lnln2i.e.21CyxSince y(0)

3、=1,we get C=1,yx21.1 (C is an arbitrary constant)so the solution is 1)0(yEg.3 子的含量 M 成正比,0M求在衰变过程中铀含量 M(t)随时间 t 的变化规律.Sol.根据题意,有)0(ddMtM00MMt(初始条件)分离变量,MMd,lnlnCtM得即tCMe利用初始条件,得0MC 故所求铀的变化规律为.e0tMM然后积分:td)(已知 t=0 时铀的含量为已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原M0MtO内容小结 可分离变量方程的求解方法可分离变量方程的求解方法:分离变量后积分分离变量后积分;根据定解条件定常数根据

4、定解条件定常数.思考与练习思考与练习 求下列方程的通解:0d)(d)()1(22yyyxxyxx提示提示:xxxyyyd1d122)sin()sin()2(yxyxy(1)分离变量(2)方程变形为yxysincos2Cxysin22tanln补充题补充题:1.度成正比,解解:根据牛顿第二定律列方程tvmdd00tv初始条件为分离变量,mtvkmgvdd然后积分:得Cmtvkgmk)(ln1)0(vkgm此处利用初始条件,得)(ln1gmkC代入上式后化简,得特解并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为0,)e1(tmkkgmvmgvk设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速求降落伞下落速度与时间的

5、函数关系.kgmv t 足够大时一、求下列微分方程的通解一、求下列微分方程的通解:1 1、0tansectansec22 xdyyydxx；2 2、0)()(dyeedxeeyyxxyx；3 3、0)1(32 xdxdyy.二、二、求下列微分方程满足所给初始条件的特解求下列微分方程满足所给初始条件的特解:1 1、xdxyydyxsincossincos,40 xy；2 2、0sin)1(cos ydyeydxx,40 xy.练练 习习 题题三、质量三、质量克克为为1的质点受外力作用作直线运动的质点受外力作用作直线运动,这外力这外力和时间成正比和时间成正比,和质点运动的速度成反比和质点运动的速度

6、成反比.在在10 t秒时秒时,速度等于速度等于秒秒厘米厘米/50,外力为外力为2/4秒秒厘厘米米克克,问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少?四、小船从河边四、小船从河边处处点点 0出发驶向对岸出发驶向对岸(两岸为平行直线两岸为平行直线).).设设a船速为船速为,船行方向始终与河岸垂直船行方向始终与河岸垂直,设河宽设河宽h为为,河中任意点处的水流速度与该点到两岸距离河中任意点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比的乘积成正比(比例比例k系数为系数为).).求小船的航行路求小船的航行路线线.练习题答案练习题答案一、一、1 1、Cyx tantan；2 2、Ceeyx )1)(1(；3 3、Cxy 433)1(4.二、二、1 1、xycoscos2；2 2、yexcos221 .三、三、3.269 v厘米厘米/秒秒.四、取四、取 0 0 为原点为原点,河岸朝顺水方向为河岸朝顺水方向为轴轴x,轴轴y指向对指向对 岸岸,则所求航线为则所求航线为)312(32yyhakx .