第一章质点运动学14改

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1、工科大学物理电子教案昆明理工大学理学院电子科学与应用物理系 力学是研究物体机械运动的规律及其应用的学科。力学是研究物体机械运动的规律及其应用的学科。机械运动机械运动：物体在空间的位置随时间变化的过程。：物体在空间的位置随时间变化的过程。运动学运动学：只从几何观点研究物体的运动。只从几何观点研究物体的运动。（如何运动）（第（如何运动）（第1章）章）力学力学 动力学动力学：联系产生或改变运动的原因一起研究。联系产生或改变运动的原因一起研究。（第（第2、3、4、5章）章）静力学静力学：研究作用在物体上的力的平衡条件。研究作用在物体上的力的平衡条件。（本课程内不讨论）（本课程内不讨论）引言第一篇第一篇

2、 力力 学学1-4 圆周运动圆周运动1-3 相对运动相对运动 1-2 质点的位移、速度和加速度质点的位移、速度和加速度1-1 参考系参考系 质点质点3.理解运动描述的相对性，能用速度合成定理和理解运动描述的相对性，能用速度合成定理和加速度合成定理求解简单相对运动问题。加速度合成定理求解简单相对运动问题。1.掌握位矢、位移、速度、加速度、角速度和角掌握位矢、位移、速度、加速度、角速度和角加速度等描述运动和运动变化的物理量的定义及加速度等描述运动和运动变化的物理量的定义及其矢量性、相对性和瞬时性；其矢量性、相对性和瞬时性；2.能借助于直角坐标系计算质点在平面内运动时能借助于直角坐标系计算质点在平面

3、内运动时的速度、加速度。能计算质点作圆周运动时的角的速度、加速度。能计算质点作圆周运动时的角速度、角加速度、切向加速度和法向加速度。速度、角加速度、切向加速度和法向加速度。物体运动是绝对的，对运动的描述是相对的。物体运动是绝对的，对运动的描述是相对的。一、参照系、坐标系一、参照系、坐标系 参照系：为了研究一个物体的运动，必须另选一物参照系：为了研究一个物体的运动，必须另选一物体作参考，这个被选作参考的物体称为参照系。体作参考，这个被选作参考的物体称为参照系。参照系的数学抽象是坐标系。参照系的数学抽象是坐标系。坐标系：定量地表示某一物体相对于参照系的位置。坐标系：定量地表示某一物体相对于参照系的

4、位置。物体的运动对不同的物体的运动对不同的参照系有不同的描述。这参照系有不同的描述。这个事实称为运动描述的相个事实称为运动描述的相对性。对性。由于运动的描述是相由于运动的描述是相对的，所以描述物体的机对的，所以描述物体的机械运动时必须指明所用的械运动时必须指明所用的参照系。参照系。1-1 参考系参考系 质点质点XYZ参照系参照系O运动物体坐标系 一般描述地球上物体运动时，以地球作为参考系。一般描述地球上物体运动时，以地球作为参考系。例：例：车厢在地面上向右匀速运动，甲在地面上，乙在车车厢在地面上向右匀速运动，甲在地面上，乙在车厢内，同时观察螺钉从车顶落下的过程。厢内，同时观察螺钉从车顶落下的过

5、程。甲：螺钉作平抛运动。甲：螺钉作平抛运动。乙：螺钉作自由落体运动。乙：螺钉作自由落体运动。可见参考系不同对运动的描述也不同。可见参考系不同对运动的描述也不同。即对运动的描述即对运动的描述 是相对的。是相对的。甲乙v二、质点二、质点（理想模型（理想模型）质点：具有质量而没有形状和大小的理想物体。质点：具有质量而没有形状和大小的理想物体。一个物体能否看作质点，要根据问题的性质来决定。一个物体能否看作质点，要根据问题的性质来决定。例如，例如，两条原则：两条原则：1、物体的线度大大地小于它的运动空间；、物体的线度大大地小于它的运动空间；2、物体作、物体作平动平动。地球绕太阳运动，地球绕太阳运动，地球

6、可以当作质点；地球可以当作质点；而研究地球的自转时，而研究地球的自转时，地球就不能当作质点。地球就不能当作质点。SunEarth三、时间和时刻三、时间和时刻 任何一个物理过程任何一个物理过程包括机械运动包括机械运动都必须经都必须经历一段时间。历一段时间。人们常用一个物理过程来定义时间。例如，地球自转一人们常用一个物理过程来定义时间。例如，地球自转一周所经历的时间为一天，周所经历的时间为一天，24小时等于小时等于86400秒。秒。时间趋于无限小时，时间趋于无限小时，位置位置路程，位移路程，位移时刻对应于物理状态。时刻对应于物理状态。时间对应于物理过程。时间对应于物理过程。就是时刻就是时刻一、质点

7、的运动方程、轨道一、质点的运动方程、轨道1、质点的运动方程、质点的运动方程 一质点在一质点在OXY平面上运动，任平面上运动，任意时刻意时刻 t,在平面上在平面上 P 点的位置点的位置可以由两个坐标可以由两个坐标 x,y 来确定（如图来确定（如图)它们是时间的函数：它们是时间的函数：OXYrijyxP tyytxx 1-2质点的位移速度和加速度质点的位移速度和加速度 运动学的问题，归根结底就是求质点的运动方程。运动学的问题，归根结底就是求质点的运动方程。知道了运动方程，就可以描述出质点在空间运动的轨知道了运动方程，就可以描述出质点在空间运动的轨迹，掌握质点运动的规律。迹，掌握质点运动的规律。上式

8、称为质点的运动方程。上式称为质点的运动方程。jtyitxtr)()()(运动方程运动方程：描述质点的位置随时间变化的方程描述质点的位置随时间变化的方程。（或表示质点运动的规律的方程）（或表示质点运动的规律的方程）2、轨道、轨道 由运动方程消去时间由运动方程消去时间 t 就得到质点的轨道方程。就得到质点的轨道方程。0),(yxf2021gtytvx轨道为一抛物线轨道为一抛物线:轨道方程：描述质点运动路线的方程轨道方程：描述质点运动路线的方程。（如直线运动。（如直线运动、曲线运动、圆、椭圆、抛物线运动等）曲线运动、圆、椭圆、抛物线运动等）例如，平抛运动例如，平抛运动：2202xvgy（1-3)和和

9、(1-1)是等效的。是等效的。都称为质点的运动方程。都称为质点的运动方程。222 siny cosAyxtAtAx 轨道为一圆心在原点，半径为轨道为一圆心在原点，半径为 A 的园。的园。3、位置矢量、位置矢量：从坐标原点到质点所在位置从坐标原点到质点所在位置P 的矢量的矢量 称为位置矢量。称为位置矢量。r圆周运动圆周运动:jtyitxr)()(1-1)(trr(1-3)i ，j 是是 X,Y 轴上的单位矢量。轴上的单位矢量。是时间的函数。是时间的函数。r二、位移二、位移：质点沿轨道运动，质点沿轨道运动，t 时刻在时刻在 点，点，时刻到达时刻到达 点。点。则在则在 t 到到 这段时间间隔内，质点

10、从这段时间间隔内，质点从 位移到位移到 点，点，到到 的矢量的矢量 称为质点在称为质点在 时时间内的位移。间内的位移。1Ptt2P1P1P2P2Prtrrr1YXOr1rrs1P2P 到到 的路程为的路程为1P2Psrs 要注意区别位移与路程要注意区别位移与路程。路程：是路程：是 内质点运动的轨道的长度内质点运动的轨道的长度。即在轨道上。即在轨道上 与与 间的长度，是标量间的长度，是标量。s位移：是从起始位置引向终止位置的有向线段位移：是从起始位置引向终止位置的有向线段。即是从。即是从 到到 间的矢径，是矢量间的矢径，是矢量。r1P2P1P2Pttt 平均速度与所选取的时间段（或位移平均速度与

11、所选取的时间段（或位移段）有关，故必须说明是一段时间间隔段）有关，故必须说明是一段时间间隔内的平均速度。内的平均速度。平均速度是质点运动状况的一种近似平均速度是质点运动状况的一种近似描述。描述。trv大小为大小为:方向为方向为 的方向。的方向。rtrvQPrvvQYXrP1rrso三、速度三、速度：速度是描述质点运动快慢程度和运动方向的物理量。速度速度是描述质点运动快慢程度和运动方向的物理量。速度是矢量。是矢量。1、平均速度：、平均速度：位移位移 与发生这段位移所用时间与发生这段位移所用时间 之比，称为质点在时之比，称为质点在时间间 内的平均速度：内的平均速度：trt2、瞬时速度、瞬时速度：当

12、当 趋近于趋近于0时，时，也趋近于也趋近于0，点无限接近点无限接近 点，点，此时的此时的平均速度就是在平均速度就是在 t 时刻（或时刻（或 位置）的瞬时速度，简称速度。位置）的瞬时速度，简称速度。dtrdtrvtlim0)4.1(t r1P2P1Pj yixrjdtdyidtdxdtrdv)6.1(jvivvyx)7.1(从矢量代数可得：从矢量代数可得：v的数值：的数值：1Pv的方向是曲线在的方向是曲线在 点的切线方向。点的切线方向。dtdststrvlimlim0t0t|dtdxvxdtdyvy222yxvvv)8.1(2222)dd()dd(tytxvvvyx)9.1(vtxtyvvxyd

13、dddtg)10.1(总之总之,速度的大小：速度的大小：2222dtdydtdxvvvyx或或tsvdd速度的方向：该点切线方向，与速度的方向：该点切线方向，与X方向间夹角方向间夹角xyvvtg1在描述运动时常用到在描述运动时常用到“速率速率”的概念，的概念，速率速率是标量。是标量。在内的平均速率与运动方向无关，其大小为：在内的平均速率与运动方向无关，其大小为：t时间路程tsv 平均速率与平均速度是不相同的。假如在平均速率与平均速度是不相同的。假如在 内质点绕圆运内质点绕圆运动一周，则平均速度动一周，则平均速度 而平均速率而平均速率0vtrv2t瞬时速率为平均速率在瞬时速率为平均速率在 0 时

14、的极限。时的极限。t 可见，瞬时速率与瞬时速度的大小相同。即该时刻的速度可见，瞬时速率与瞬时速度的大小相同。即该时刻的速度的大小就等于该时刻的速率。请判断下列式子的对错：的大小就等于该时刻的速率。请判断下列式子的对错：dtdstsvt0limt 时刻的速率时刻的速率dtdrv dtrdvdtdsv 22dtdydtdxvtRytRxsin),cos21()111(tRRxcos2tRysin2222RyRx)(Example 1-1 已知质点的运动方程为：已知质点的运动方程为：其中其中R及及 为常量，求质点的轨道为常量，求质点的轨道 及速度。及速度。解：将（解：将（1-11）式改为：）式改为：

15、将以上二式两边平方及相加得：将以上二式两边平方及相加得：)0,2(R 这就是轨道的正交坐标方程，上式表示质点的轨道是半这就是轨道的正交坐标方程，上式表示质点的轨道是半径为径为R的圆周，圆心在点的圆周，圆心在点 处。处。XYROtRdtdxvxsintRdtdyvycosRttRv22cossin)121(tctgvvtgxy由此得速度的大小由此得速度的大小:xvvyv 为一常量，所以质点的运动为匀速圆周运动。又当为一常量，所以质点的运动为匀速圆周运动。又当t从零从零增加时，增加时，为负，为负，为正，为正，所以质点在圆周上以反时针方所以质点在圆周上以反时针方向绕圆心运动。向绕圆心运动。速度速度v

16、与与X轴所成的角轴所成的角 由下式决定：由下式决定：由（由（1-11）式求得的速度分量为：）式求得的速度分量为：tRytRxsin),cos21(四、加速度：四、加速度：1平均加速度：平均加速度：加速度是描述质点速度变化快慢的物理量。是矢量。加速度是描述质点速度变化快慢的物理量。是矢量。设质点在设质点在 t 时刻时在时刻时在P点，速度为点，速度为v，经过，经过 t 后，质点运动到后，质点运动到Q点，速度为点，速度为v1（如图），则在（如图），则在 t 时间内速度的增量为：时间内速度的增量为：vvv1tvaQYX)(trP)(ttrv1vPvv1vat 称为在称为在 t 到到 t+时间间隔内的平

17、均时间间隔内的平均加速度。加速度。同理，平均加速度也是加速度的近似值。同理，平均加速度也是加速度的近似值。t则则 内的平均加速度为：内的平均加速度为：2、瞬时加速度、瞬时加速度：当当 ，即，即 时，可以得到质点在时，可以得到质点在P点时的瞬点时的瞬时加速度：时加速度：0tPQ jdtydidtxddtrdadtrdvdtvdtvat2222220lim2222dtydadtxdayx,)131()151()161(QYX)(trP)(ttrv1v加速度的大小为加速度的大小为22222222dtyddtxdaaayx)171(2222dtxddtyddtdvdtdvaatgxyxy)181(加速

18、度是速度对时间的变化率，所以无论速度的大小改变或加速度是速度对时间的变化率，所以无论速度的大小改变或方向改变方向改变，都有加速度。都有加速度。a加速度加速度 与与 X 轴所成的角为轴所成的角为 ，则：，则：书中书中Example 1-2 设质点的运动方程仍由设质点的运动方程仍由Example 1-1中（中（1-11）式表示，求加速度。式表示，求加速度。Solution：利用（利用（1-16）式及例题）式及例题1-1的结果可得的结果可得tRdtdvdtydatRdtdvdtxdayyxxsincos222222RvRttRa22222sincos)191(上式中的最后等式是利用了（上式中的最后等

19、式是利用了（1-12）式得出的。）式得出的。由此得加速度的大小由此得加速度的大小RttRv22cossin)121(tRytRxsin),cos21(tRdtdxvxsintRdtdyvycos如果把加速度写成矢量式，则有：如果把加速度写成矢量式，则有：)()sincos(jyiRxj tRi tRa2222)211(jyiRx)(2)201(2aXYOa可见加速度的方向为沿半径指向圆心的方向。可见加速度的方向为沿半径指向圆心的方向。合并（合并（1-20）及（）及（1-21）式便得到）式便得到),(02R令令 表示从圆心表示从圆心 到质点（到质点（x,y）的矢径，得：）的矢径，得：tRdtdv

20、dtydatRdtdvdtxdayyxxsincos222222 已知质点的运动方程，用微分的方法可以求得质点运动的速已知质点的运动方程，用微分的方法可以求得质点运动的速度和加速度。反之，已知质点运动的加速度和初始条件也可以度和加速度。反之，已知质点运动的加速度和初始条件也可以用积分的方法求得速度和运动方程。用积分的方法求得速度和运动方程。Example：一质点作匀变速直线运动，加速度为：一质点作匀变速直线运动，加速度为 a，在，在 t=0 时，时，x=x0，v=v0 求质点的速度及运动方程。求质点的速度及运动方程。Solution：adtdvadtdv两边积分得：两边积分得：1catadtv

21、再由再由dtcatdxcatvdtdx)(11得得212121ctcatdtcatx)(两边积分得：两边积分得：当当 t=0 时时 x=x0 ，v=v0 可以求得可以求得 c1=v0 ，c2=x020020002121attvxxattvxxatvv)/()/(所以得所以得 速速 度：度：运动方程：运动方程：位移公式：位移公式：匀变速直线运动公式匀变速直线运动公式Example jtyitxtrSolution 125.11425.261436 smjijijtyitxv 241)(,2)(2 ttyttx 12/122.80.15.11 smvv解（）：由题意知，速度的分量式为：解（）：由题

22、意知，速度的分量式为：tdtdyvdtdxvyx21,1 故故t=3st=3s时速度分量为时速度分量为115.1,1 smvsmvyx故故t=3st=3s时速度为时速度为 15.1 smjiv而在而在t=3st=3s时的速率为：时的速率为：（）求时的速度和速率；（）求时的速度和速率；241)(2)(2ttyttx2 24 46 62 24 4 6 6X Xy yo oo o2 24 46 62 2 4 46 6x-tx-ty-ty-t0 0 x xy y 2 24 46 6-2-2-4-4-6-62 24 46 6 y-x y-xt tt t241)(,2)(2 ttyttx321412xxy

23、Example 2 2、一质点运动轨迹为抛物线、一质点运动轨迹为抛物线 (parabola)2422ttytx =xxy22 (z z=0)=0)求：求：x x=-4=-4时（时（t t0)0)粒子的速度、速率、粒子的速度、速率、加速度。加速度。分析：分析：x x=-4=-4，t t=2=2x xy yvSolution：4|22 txtdtdxv24|4423 tyttdtdyv37422 yxvvv444122222 tytdtyda22222 txxdtxddtdvajiv244 jia442 速率：速率：已知：已知：x x=-4=-4，t t=2=22422ttytx xxy22 So

24、lution Example0,00,2300vxtj tia时时rv,jti tv23 tvdtdvdtadvdtdvaxvtxxxxxx33002002tvtdtdvdtadvdtdvaytvyyyyyyjtitr323123位置矢量为：位置矢量为：30200200031233tdttdtvyyttdtdtvxxttyttx根据积分公式，得根据积分公式，得dtvdydtvdxyx jti tv23 0,000 vxExample 4、已知质点运动方程为已知质点运动方程为x=2t,y=19 2t2,式中式中x,y以米计以米计，t以秒计，试求：（以秒计，试求：（1）轨道方程；（）轨道方程；（2

25、）t=1s 时的速度和加速时的速度和加速度；（度；（3）何时质点位矢与速度矢量垂直？）何时质点位矢与速度矢量垂直？22119xy（2）对运动方程求导，得到任意时刻的速度）对运动方程求导，得到任意时刻的速度ttyvtxvyx4dd2dd 对速度求导，得到任意时刻的加速度：对速度求导，得到任意时刻的加速度：（1）4dd0dd tvatvayyxx(2)Solution：（：（1）运动方程联立，消去时间）运动方程联立，消去时间t 得到轨道方程得到轨道方程将时间将时间t=1s代入速度和加速度分量式代入速度和加速度分量式(1)、(2)中，求出时间中，求出时间t=1s对应的速度和加速度：对应的速度和加速度

26、：jijvivvtyvtxvyxyx424dd2dd jjaiaatatayxyyxx44ddv0ddv 速度大小速度大小)m.s(47.4122 yxvvv加速度大小：加速度大小：与与 x 轴夹角轴夹角6263arctan0 xyvv)m.s(4222 yxaaa0 vr（3）质点位矢与速度矢量相互垂直的条件为）质点位矢与速度矢量相互垂直的条件为与与 y 轴正方向相反。轴正方向相反。矢量的乘积有两种：标积（点乘积），两矢量点积后为标量。矢量的乘积有两种：标积（点乘积），两矢量点积后为标量。矢积（叉乘积），两矢量叉积后为矢量。矢积（叉乘积），两矢量叉积后为矢量。矢量的矢积（叉乘积）：矢量的矢积

27、（叉乘积）：矢矢量量方方向向间间的的夹夹角角、为为BAABBAcosAB矢量的标积（点乘积）：矢量的标积（点乘积）：sinABBAAB四指转向母指指向大小：方向：t=3s舍去，所以质点位矢与速度矢量在舍去，所以质点位矢与速度矢量在 t=0s和和t=3s 时相互时相互垂直。垂直。)s(3,0 t解得：解得：0872)()(3 ttyvxvjvivj yi xvryxyx由由矢量加法：矢量加法：BAC ABC矢量减法：矢量减法：ACB ABCA Example 5、离水平面高为离水平面高为h 的岸边，有人用绳以恒定速率的岸边，有人用绳以恒定速率v0拉拉船靠岸。试求：船靠岸的速度，加速度随船至岸边距

28、离变化的船靠岸。试求：船靠岸的速度，加速度随船至岸边距离变化的关系式？关系式？jhi xj yi xr 对时间求导得到速度和加速度：对时间求导得到速度和加速度：itxtrvdddd itxtva22dddd (1)(2)由题意知：由题意知：trvdd0 oyrhxx0v(3)Solution：在如图所示的坐标系中，船的位矢为：在如图所示的坐标系中，船的位矢为：22hrx 又xhxvdtdrhrrdtdxvvx22022 32202/322220)(xhvhrhvdtdvaaxx(4)将将(5)(5)式代入式代入(1)(1)和和(2)(2)式中得：式中得：ixhvtxaixhvtxv322022

29、20dd1dd 分析船的运动特点：分析船的运动特点：虽然收绳速率是均匀的，但船的前进方向并不是绳子的虽然收绳速率是均匀的，但船的前进方向并不是绳子的方向，故其运动是变速的，加速度也是变化的。方向，故其运动是变速的，加速度也是变化的。32202220dd1ddxhvtxxhvtx 即即（5）itxtrvdddd itxtva22dddd (1)(2)作业：作业：第一章第一章质点运动学质点运动学一选择题：一选择题：2，4，5,11，12,14,15,16二填空题：二填空题：1,5,7,11,三计算题：三计算题：1,2,3,4,6,7 圆运动是曲线运动圆运动是曲线运动 的特例。曲线运动总伴随有速度变

30、化。的特例。曲线运动总伴随有速度变化。大小变化，方向不变。大小变化，方向不变。直线运动直线运动大小不变，方向变化。大小不变，方向变化。大小变化，方向变化。大小变化，方向变化。速度变化速度变化曲线运动曲线运动 加速度是反映速度变化的物理量。而速度有大小和方向的变加速度是反映速度变化的物理量。而速度有大小和方向的变化化。反映速度方向变化快慢反映速度方向变化快慢 法向加速度法向加速度 反映速度大小变化快慢反映速度大小变化快慢 切向加速度切向加速度 这种法向、切向的分析方法叫自然法（或称自然坐标法）。这种法向、切向的分析方法叫自然法（或称自然坐标法）。下面就用这种方法来讨论圆周运动。下面就用这种方法来

31、讨论圆周运动。13 圆周运动圆周运动一、匀速圆周运动一、匀速圆周运动 向心加速度向心加速度 质点在一个圆周上运动，它的质点在一个圆周上运动，它的速度大小保持不变，则其运动称为匀速圆周运动，此时虽然质速度大小保持不变，则其运动称为匀速圆周运动，此时虽然质点的运动速率不变，但方向随时变化，所以质点有加速度。点的运动速率不变，但方向随时变化，所以质点有加速度。设质点在半径为设质点在半径为r 的圆周上，的圆周上，以速率以速率v 作匀速率圆周运动。在作匀速率圆周运动。在t时刻，质点在时刻，质点在P点速度为点速度为 ，则，则经过时间经过时间 t后，运动到后，运动到Q点，速点，速度为度为 ，则速度的增量为：

32、，则速度的增量为：v1vvvv1其加速度为：其加速度为：tvat0lim（1-39）orv1vv1vvo QP 从一点从一点O 作作 （如图）由于（如图）由于 分别与半径垂直，分别与半径垂直，所以所以 之间的夹角等于之间的夹角等于OP和和OQ之间之间 的夹角的夹角，则，则Q 与与Q相似，对应边成比例：相似，对应边成比例：vv及1vv及1vv及1rPQvvrPQvvrvtPQrvtPQrvtvattt2000limlimlim当当 t时时，v趋近于与趋近于与 垂直，即指向圆心，故垂直，即指向圆心，故 的方向的方向va指向圆心，因此指向圆心，因此 称为向心加速度或法向加速度。称为向心加速度或法向加

33、速度。aorv1vv1vvo QPQP二、变加速圆周运动，切向加速度和法向加速度二、变加速圆周运动，切向加速度和法向加速度 质点作圆周运动，其速度的大小随时间而变化，则称为变质点作圆周运动，其速度的大小随时间而变化，则称为变速圆周运动。速圆周运动。设在设在t 时刻，质点位于时刻，质点位于P点，速点，速度为度为 ，则经过时间，则经过时间 t后，运后，运动到动到Q点，速度为点，速度为 ，（如图，（如图）从）从A点作点作 ，则，则BC表示在表示在 t时间内的速度的增量时间内的速度的增量 。在在AC上取一点上取一点D，令，令AD=AB，则矢量，则矢量 分为两个矢量分为两个矢量 和和 即即 v1vv1v

34、v和vnvtv tnvvv 其中其中nv为因加速度的方向改变而产生的速度增量。为因加速度的方向改变而产生的速度增量。tv 为因加速度的大小改变而产生的速度增量。为因加速度的大小改变而产生的速度增量。1vvPQO vBnvtv v1vACD 平均加速度平均加速度：tvtvtvatn瞬时加速度为：瞬时加速度为：（1-46）tvtvtvattttddlimlim00 rvan2（1-45）tnttnttaatvtvtva 000limlimlim（1-42）加速度的大小为：加速度的大小为：22222ddtvrvaaatn（1-47）为为 与与 之间的方向角（图之间的方向角（图1-16）vatnaat

35、g（1-48）归纳起来归纳起来：法向加速度：法向加速度 na切向加速度切向加速度ta大小：大小：方向：沿半径指向圆心。方向：沿半径指向圆心。rvan2 dtdvat 大小：大小：方向：沿圆周切向。方向：沿圆周切向。总加速度总加速度tnaaa nataa大小：大小：方向：方向：22tnaaa tnaaarctan atanaatn三、圆周运动的角量描述三、圆周运动的角量描述 当质点作圆周运动时它的运动也可以用角位移、角速度和当质点作圆周运动时它的运动也可以用角位移、角速度和角加速度等角量来描述。角加速度等角量来描述。1、角坐标、角坐标 描述质点在圆周运动中描述质点在圆周运动中 的位置，用的位置，

36、用 表示。表示。2、角位移、角位移 描述质点角位置变化的描述质点角位置变化的物理量，用物理量，用 表示。表示。角位移是矢量，其方向由右手螺旋确角位移是矢量，其方向由右手螺旋确定，大小为定，大小为 =-0 一般规定：逆时针转动，角位移为正，一般规定：逆时针转动，角位移为正，顺时针为负顺时针为负。3、角速度、角速度 描述质点角位移变化快慢描述质点角位移变化快慢的物理量，用的物理量，用 表示。表示。4、角加速度、角加速度 描述质点角速度变化快描述质点角速度变化快慢的物理量，用慢的物理量，用 表示。表示。orPo0rP 设质点绕设质点绕O点作圆周运动，在点作圆周运动，在 t 时刻质点处于时刻质点处于P

37、点，经过点，经过 t 时间后运动到时间后运动到Q点，则点，则OP与与OQ之间的夹角之间的夹角称为质点在称为质点在 t 时时间内的角位移。（如图），角位移是矢量，质点沿反时针方向间内的角位移。（如图），角位移是矢量，质点沿反时针方向时，时，取正值；取正值；质点沿顺时针方向时，质点沿顺时针方向时，取负值。取负值。以以 代表质点运动的平均角速度，代表质点运动的平均角速度，t 瞬时角速度为：瞬时角速度为：tttdd0 lim 的单位为的单位为1弧度弧度/秒（秒（1/S）PQO 以以 代表质点运动的平均角加速度，代表质点运动的平均角加速度，t瞬时角加速度为：瞬时角加速度为：tttddlim0 的单位为的

38、单位为1弧度弧度/秒秒2（1/S2）当当 =恒量时，质点作匀变速圆周运动（与匀变速直线运动恒量时，质点作匀变速圆周运动（与匀变速直线运动的公式相似）。的公式相似）。t 02021tt 2202avxx四、线量与角量之间的关系四、线量与角量之间的关系2rararvrsntPQO s线量线量 角量角量 关系关系svtanaSolution：在最高处的加速度：在最高处的加速度 g 就是向心加速度，即就是向心加速度，即2水平vg Example 1、以初速率为、以初速率为 抛射角为抛射角为 抛出一物体，问在其抛抛出一物体，问在其抛物线轨道物线轨道 最高处的曲率半径最高处的曲率半径 为多少？为多少？0v

39、000cosvv 水平gvgv02202cos 水平0vgv水平水平0Example 2、一质点沿半径为一质点沿半径为R 的圆周按的圆周按2021bttvs 规律运动，规律运动，v0、b 是正值常数。求：（是正值常数。求：（1）t 时刻总加速度？时刻总加速度？（2）t 为何值时总加速度大小等于为何值时总加速度大小等于b？btvtsv 0dd速度方向与圆周相切并指向前方，速度方向与圆周相切并指向前方，nneRbtvebaRbtvRvabtva20202)()(dd bRbtvbaaan 240222)(（2)由由得得bvt0 Solution：（：（1）已知运动轨道的问题，选用自然坐标系。）已知

40、运动轨道的问题，选用自然坐标系。Example 3、试计算地球自转时地面上各点的速度和加速度？试计算地球自转时地面上各点的速度和加速度？15s102772 .T P点的纬度为点的纬度为，在半径为，在半径为R且与赤道平面平行的平面内作且与赤道平面平行的平面内作圆周运动，其速度和向心加速度分别为圆周运动，其速度和向心加速度分别为)(cos.cosm/s106542 RRv)m/s(cos1037.3cos2222 RRan将北京、上海、广州纬度代入上式得：将北京、上海、广州纬度代入上式得：)(m/s1058.2m/s)(35622 nav，75390 上海纬度上海纬度21310 )(m/s1089

41、.2m/s)(39822 nav，Solution：由自转周期：由自转周期T=24 60 60 s 有自转角速度为有自转角速度为北京纬度北京纬度地球半径地球半径R=6.4 106m广州纬度广州纬度00230 )(m/s1010.3m/s)(42822 nav，PvanRoRExample 4、一质点沿半径为、一质点沿半径为R的圆运动，其路程的圆运动，其路程S随时间随时间t变化的变化的规律为规律为 S=b t-c t2/2 （SI），式中），式中 b、c 为大于零的常数，且为大于零的常数，且 b2 Rc。求：（。求：（1）质点运动的切向加速度）质点运动的切向加速度 at 和法向加速度和法向加速度

42、 an。（2）质点运动经过）质点运动经过 t=？时，？时，at=an 。Solution：（1）ctbdtdsv RctbRvacdtdvant22)(（2）当 时有Rcctbaant 2)(cRcbtRcctb 例题例题5、质点作曲线运动，、质点作曲线运动，表示位置矢量，表示位置矢量，表示路程，表示路程，表示表示切向加速度，下列表达式中切向加速度，下列表达式中：rStaadtdv)1(vdtdr)2(vdtdS)3(tadtvd|)4(（A）只有（）只有（1）、（）、（4）是对的。（）是对的。（B）只有（）只有（2）、（）、（4）是）是 对的。（对的。（C）只有（）只有（2）是对的。）是对的

43、。（D）只有（）只有（3）是对的。）是对的。例题例题6、一质点作匀速率圆周运动时、一质点作匀速率圆周运动时 （A）切向加速度改变，法向加速度也改变。）切向加速度改变，法向加速度也改变。（B）切向加速度不变，法向加速度改变。）切向加速度不变，法向加速度改变。（C）切向加速度不变，法向加速度也不变。）切向加速度不变，法向加速度也不变。（D）切向加速度改变，法向加速度不变。）切向加速度改变，法向加速度不变。例题例题7、对于沿曲线运动的物体，以下几种说法中正确的是、对于沿曲线运动的物体，以下几种说法中正确的是（A）切向加速度必为零。（）切向加速度必为零。（B）法向加速度必不为零。）法向加速度必不为零。

44、（C）由于速度沿切向，法向分速度必为零，因此法向加速）由于速度沿切向，法向分速度必为零，因此法向加速 必为零。（必为零。（D）若物体作匀速率运动，其总加速度必为零。）若物体作匀速率运动，其总加速度必为零。（E）若物体的加速度）若物体的加速度 为恒矢量，其总加速度必为零。为恒矢量，其总加速度必为零。a选选12选选5（）（）（）例题例题8、（、（28页页1-19）一质点作半径）一质点作半径 的圆周运动，其角加的圆周运动，其角加速度速度 ，若质点由静止开始运动，求质点在第，若质点由静止开始运动，求质点在第 末的末的（1）角速度。（）角速度。（2）法向加速度和切向加速度。（）法向加速度和切向加速度。（

45、3）总加速度的）总加速度的大小和方向。大小和方向。mr102/srads1解：已知：解：已知：求：求：mr102/sradst10|0tv0|0tnataa（1）由）由dtdctdt00|0cttsradt/|1ran2)2()/(10)|(|22211smrattn)/(102smrdtdrdtdvat（3）求）求a大小：大小：)/(5.103222smaaatn方向：与切向的夹角为：方向：与切向的夹角为：0272tan01tnaa#（自学）（自学）例题例题9、一物体被水平抛出，初速度、一物体被水平抛出，初速度 ，求物体被抛出后，求物体被抛出后的第一秒末的法向加速度和切向加速度。（的第一秒末

46、的法向加速度和切向加速度。（29页页1-22）smv/1500vxyOg解：已知：解：已知：ivvt00|j gacjgtjgdtdtavivcivvt000|jgtivv0求：求：?|1tna?|1tta220)(gtvv)/(36.5|)(|21220211smgtvtgdtdvatttt)/(20.836.5|2221221smgaaatttn（自学）（自学）一、相对运动的速度一、相对运动的速度 物体的运动速度和加速度是相对于某个参考系的，参考物体的运动速度和加速度是相对于某个参考系的，参考系选取的不同，则物体的速度和加速度也不同。例如：在匀系选取的不同，则物体的速度和加速度也不同。例如

47、：在匀速直线运动的车厢中，有一苹果落下，以车厢为参考系，苹速直线运动的车厢中，有一苹果落下，以车厢为参考系，苹果作自由落体运动，而以地球作为参考系，苹果作平抛物运果作自由落体运动，而以地球作为参考系，苹果作平抛物运动。动。一个物体的运动，在两个不同的参考系之间的描述有何一个物体的运动，在两个不同的参考系之间的描述有何关系呢？关系呢？把描述同一质点的运动把描述同一质点的运动,采用不同的参考系采用不同的参考系,参考系参考系之间的关系称为相对运动问题。之间的关系称为相对运动问题。我们讨论一种简单的情形。我们讨论一种简单的情形。1 14 4 相对运动相对运动 设地球为参考系设地球为参考系S，称为，称为

48、静止参静止参考系考系，相对于地球作，相对于地球作平动平动的坐标系的坐标系为为 称为称为运动参考系运动参考系。则在。则在 运动过运动过程中，它的三条坐标轴始终与最初程中，它的三条坐标轴始终与最初的方向平行。（如图）的方向平行。（如图）ssO Y X POXYSsr1r0rO Y X POXYSsr1r0r运动质点运动质点P对静止参考系的位矢为对静止参考系的位矢为 ，对运动参考系的位矢为对运动参考系的位矢为 ，而运动参，而运动参考系对静止参考系的位矢为考系对静止参考系的位矢为 ，有：，有：r1r0r10rrr由：由：dtrdv，得：，得：dtrddtrddtrd10 为质点为质点P对静止参考系的速

49、度，称为对静止参考系的速度，称为绝对速度绝对速度，用，用 表示；表示；为运动参考系对静止参考系的速度，称为为运动参考系对静止参考系的速度，称为牵连速度牵连速度，用，用 表示；表示；为质点为质点P对运动参考系的速度，称为对运动参考系的速度，称为相对速度相对速度，用，用 表示。表示。dtrddtrd0dtrd1PSvSSvSPv质点的绝对速度等于牵连速度与相对速度的矢量和。质点的绝对速度等于牵连速度与相对速度的矢量和。（速度（速度合成定律）合成定律）SSSPPSvvvSSSPPSvvv二、相对运动的加速度：二、相对运动的加速度：dtrddtrddtrd10由：由：dtvda，得：，得：dtvddt

50、vddtvdSSSPPS 为质点为质点P对静止参考系的加速度，称为绝对加速度，用对静止参考系的加速度，称为绝对加速度，用 表示；表示；为动参考系对静参考系的加速度，称为牵连加速度，用为动参考系对静参考系的加速度，称为牵连加速度，用 表示；表示；为质点为质点P对运动参考系的加速度，称为相对加速度，用对运动参考系的加速度，称为相对加速度，用 表示。表示。dtvdPSdtvdSP dtvdSSPSaSSaSPa质点的绝对加速度等于牵连加速度与相对加速度的矢量和。质点的绝对加速度等于牵连加速度与相对加速度的矢量和。（加速度合成定律）（加速度合成定律）SSSPPSaaa21220222dtrddtrdd

51、trd注意：动参相对于静参只作平动，作转动不行。注意：动参相对于静参只作平动，作转动不行。例题例题1、某人骑自行车以速率、某人骑自行车以速率 向西行驶，今有风以相同速率从北向西行驶，今有风以相同速率从北偏东偏东 方向吹来，试问人感到风从哪个方向吹来。方向吹来，试问人感到风从哪个方向吹来。（A）北偏东）北偏东 。（B）南偏东）南偏东 。（C）北偏西）北偏西 。（D）西偏南）西偏南 。030030030030选地面为静参，人为动参，风（空气）为运动质点。选地面为静参，人为动参，风（空气）为运动质点。人对地面为牵连速度人对地面为牵连速度 ，大小，大小 ，方向正西；，方向正西；风对地面为绝对速度风对地

52、面为绝对速度 ，大小，大小 ，方向北偏东，方向北偏东 ；风对人为相对速度风对人为相对速度 ，大小未知，方向未知。，大小未知，方向未知。由速度合成定理：由速度合成定理：作出矢量图（如图）：作出矢量图（如图）：东东南南北北西西v030ssvvpsvv030SSSPPSvvvspv顶角顶角060 ACB（C）030psvspvssvABC选选16例题例题2、一飞机驾驶员想往正北方向航行，而风以、一飞机驾驶员想往正北方向航行，而风以 的速度的速度由东向西刮来，如果飞机的航速（在静止空气中的速率）为由东向西刮来，如果飞机的航速（在静止空气中的速率）为 。试问驾驶员应取什么航向？飞机相对于地面的速率为。试

53、问驾驶员应取什么航向？飞机相对于地面的速率为多少？是用矢量图说明。多少？是用矢量图说明。hkm/60hkm/180东东南南北北西解：解：选地面为静参、空气为动参，飞机为运动质点。选地面为静参、空气为动参，飞机为运动质点。飞机对地面为绝对速度飞机对地面为绝对速度 ，大小未知，方向正北；，大小未知，方向正北；风（空气）对地面为牵连速度风（空气）对地面为牵连速度 ，大小，大小 ，方向正西；方向正西；飞机对空气为相对速度飞机对空气为相对速度 ，大小，大小 ，方向未知。，方向未知。由速度合成定理：由速度合成定理：作出矢量图（如图）。由矢量图得：作出矢量图（如图）。由矢量图得：spvpsvhkm/180s

54、svhkm/60SSSPPSvvvpsvssvspv)/(7.16922hkmvvvssspps2370cos01spssvv东偏北：东偏北：或北偏东：或北偏东：2370082190计计5Example 3、飞机相对于空气的速度为、飞机相对于空气的速度为200 Km/h，风速为，风速为56 Km/h，方向从西向东，地面上雷达测得飞机速度的大小为方向从西向东，地面上雷达测得飞机速度的大小为192 Km/h，方向是多少？，方向是多少？Solution：三矢量构成三角形空地机空机地vvv由余弦定律有：由余弦定律有：三者构成直角三角形空地机地机空空地机地空地机地空地机地机空20561922200561

55、9222222222222vvvvvvvvvvcoscos飞机向正南或正北方向飞行飞机向正南或正北方向飞行机地v机空v空地v机空v机地v空地v机地v机空v空地vExample 4、某人骑摩托车向东前进，其速率为、某人骑摩托车向东前进，其速率为10m.s 1时觉得有时觉得有南风，当速率增大到南风，当速率增大到15m.s 1时，又觉得有东南风。试求风的速时，又觉得有东南风。试求风的速度？度？Solution：在如图所示的坐标系中，：在如图所示的坐标系中，K系是地面参考系；系是地面参考系；K 系是系是建立在运动的人身上的参考系。建立在运动的人身上的参考系。AKv为风对地的速度；为风对地的速度；KKK

56、Kvv ，分别为两种条件下人对地的速度；分别为两种条件下人对地的速度；KAKAvv ，分别为两种条件下风对人的速度，分别为两种条件下风对人的速度，y(北)x(东)AKvKA vKK vKA vKKv45o 由相对运动速度变化式有：由相对运动速度变化式有：KKKAKKKAAKvvvvv 由题知：由题知：ivjjvvvKKKKKKKA10545tan)(0 4326)10/5arctan().(51001 smjivAK得得风速的大小为：风速的大小为：)/(18.1151022smvAk 由题知：由题知：ivjjvvvKKKKKKKA10545tan)(0y(北)x(东)AKvKA vKK vKA

57、 vKKv45o 1、质点的运动方程：、质点的运动方程：（位矢）（位矢）jtyitxtr)()()(小结：小结：tyytxx 2、质点的轨道方程：、质点的轨道方程：0),(yxf3、质点的速度：、质点的速度：jvivjdtdyidtdxdtrdvyx4、质点的加速度：、质点的加速度：jaiajdtydidtxddtrddtvdayx2222225、已知加速度及初始条件用积分方法求速度及运动方程：、已知加速度及初始条件用积分方法求速度及运动方程：dtavddtvdatvvdtavd00dtvrddtrdvtrrdtvrd00若若 a=f（t）若若 v=f（t）dsdvvdtdsdsdvdtdva

58、ssvvadsvdv00若若a=f（s）dxdvvdtdxdxdvdtdva xxvvadxvdv00若若a=f（x）6、相对运动速度合成定律：、相对运动速度合成定律：MEPMPEvvv7、相对运动加速度合成定律：、相对运动加速度合成定律：MEPMPEaaa8、圆周运动的法向和切向加速度：、圆周运动的法向和切向加速度：法向加速度法向加速度 na大小：大小：方向：沿半径指向圆心。方向：沿半径指向圆心。rvan2 切向加速度切向加速度tadtdvat 大小：大小：方向：沿圆周切向。方向：沿圆周切向。总加速度总加速度tnaaa nataa大小：大小：方向：方向：22tnaaa tnaaarctan

59、a8、圆周运动的角速度和角加速度及角量和线量的关系：、圆周运动的角速度和角加速度及角量和线量的关系：角速度为：角速度为：tddtdd角加速度为：角加速度为：t 02021tt 22022rararvrsnt作业、书作业、书28页页1-19、29页页1-22例题例题质点运动学的两类基本问题1.已知运动方程，如何求速度、加速度？()()()r tv ta t2.已知加速度，如何求速度、运动方程和轨道方程？drdtdvdt*已知运动方程，用求导的方法可求速度、加速度。00vtvtdvadtdvadt00ttvvadt00rtrtdrvdtdrvdt00ttrrvdt*已知加速度和运动的初始条件，用积

60、分的方法可求速 度、运动方程和轨迹方程。Example 6、一小球沿斜面向上运动，其运动方程为、一小球沿斜面向上运动，其运动方程为 S=5+4t-t2（SI），），则小球运动到最高点的时刻是：则小球运动到最高点的时刻是：（）（）（）（）（）（）（）（）Example 7、一质点在平面上运动，已知质点位置矢量的表示式、一质点在平面上运动，已知质点位置矢量的表示式为：为：（其中（其中a、b为常量）则该质点作为常量）则该质点作 （A）匀速直线运动。）匀速直线运动。（B）变速直线运动。）变速直线运动。（C）抛物线运动。）抛物线运动。（D）一般曲线运动。）一般曲线运动。jbtiatr22 sttdtds

61、v2024 B直线方程得消去xabytbtyatx 22有关，变速与tjbtiatdtrdv22 BExample 8、一质点沿、一质点沿X轴运动，其加速度轴运动，其加速度a与位置坐标与位置坐标X的关的关系为系为 a=2+6 x2 （SI）如果质点在原点处的速度为零，试求其在任意位置处的速度。如果质点在原点处的速度为零，试求其在任意位置处的速度。Solution：dxdvvdtdxdxdvdtdva xxvdxxadxvdv0200)62(分离变量两边积分分离变量两边积分33222221xxvxxv Example 9、一质点在平面上作曲线运动，其速率、一质点在平面上作曲线运动，其速率V与路程

62、与路程S的关的关系为系为 V=1+S2 （SI）求其切向加速度以路程）求其切向加速度以路程S来表示的表达式？来表示的表达式？32222sssvdtdssdtdvat Solution：即即322ssat 选16某人骑自行车以速率 向正 西方行驶，遇到由北向南刮的风 （设风速大小也为V），则他感到风 是从何方向吹来？V解：本题涉及：风、地、车上人Vj xy人感到风是从西北西北方向吹来Vi VVV 风对人风对地地对人北南西东V 风对人练习练习.在相对地面静止的坐标系内，在相对地面静止的坐标系内，A、B二船二船都以都以2m/s的速率匀速行驶，的速率匀速行驶，A船沿船沿X轴正向，轴正向，B船沿船沿Y轴

63、正向，今在轴正向，今在A船上设置与静止坐标系船上设置与静止坐标系方向相同坐标系，那么在方向相同坐标系，那么在A船的坐标系中，船的坐标系中，B 船的速度船的速度?V 22BAVVij 答案：练习练习 当一列火车以当一列火车以10m/s的速率向东行驶时，若相的速率向东行驶时，若相对于地面竖直下落的雨滴在列车的窗子上形成的对于地面竖直下落的雨滴在列车的窗子上形成的雨迹偏离竖直方向雨迹偏离竖直方向30度，则雨滴相对于地面的速度，则雨滴相对于地面的速率等于多少？相对于列车的速率等于多少？率等于多少？相对于列车的速率等于多少？答案：17.3m/s 20m/sijVjViV1030cos30sin00雨对地雨对车雨对车 VVV 雨对车雨对地地对车3.1730cos0雨对地雨对车VV（m/s）（m/s）010/sin3020V 雨雨车